安徽省池州市青陽一中2025屆數(shù)學高三第一學期期末聯(lián)考試題含解析

安徽省池州市青陽一中2025屆數(shù)學高三第一學期期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則的虛部是（）A． B． C． D．2．已知正三角形的邊長為2，為邊的中點，、分別為邊、上的動點，并滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知橢圓（a＞b＞0）與雙曲線（a＞0，b＞0）的焦點相同，則雙曲線漸近線方程為（）A． B．C． D．4．已知正項等比數(shù)列中，存在兩項，使得，，則的最小值是（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)滿足：當時，，且對任意，都有，則（）A．0 B．1 C．-1 D．6．已知，則下列說法中正確的是（）A．是假命題 B．是真命題C．是真命題 D．是假命題7．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是由一個棱柱挖去一個棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．72 B．64 C．48 D．328．已知向量，，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．9．已知拋物線：（）的焦點為，為該拋物線上一點，以為圓心的圓與的準線相切于點，，則拋物線方程為（）A． B． C． D．10．設，點，，，，設對一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．11．已知向量，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件12．點為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)滿足則點構成的區(qū)域的面積為____，的最大值為_________14．若，則=____，=___.15．已知數(shù)列的前項和且，設，則的值等于_______________.16．“”是“”的__________條件.（填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，側面為等邊三角形，且垂直于底面，，分別是的中點.（1）證明：平面平面；（2）已知點在棱上且，求直線與平面所成角的余弦值.18．（12分）若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過，則該養(yǎng)殖場考核為合格，該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月，求恰好有2個月考核獲得合格的概率；（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤y（十萬元）關于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預計在今后的養(yǎng)殖中，月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只，試估計：該月利潤約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下：，參考數(shù)據(jù)：.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）求證：在區(qū)間上有且僅有一個零點，且；（2）若當時，不等式恒成立，求證：.20．（12分）已知為各項均為整數(shù)的等差數(shù)列，為的前項和，若為和的等比中項，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求最大的正整數(shù)，使得.21．（12分）已知函數(shù)與的圖象關于直線對稱.（為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若的圖象在點處的切線經(jīng)過點，求的值；（2）若不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值.22．（10分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

通過復數(shù)的乘除運算法則化簡求解復數(shù)為：的形式，即可得到復數(shù)的虛部.【詳解】由題可知，所以的虛部是1.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.2、A【解析】

建立平面直角坐標系，求出直線，設出點，通過，找出與的關系．通過數(shù)量積的坐標表示，將表示成與的關系式，消元，轉化成或的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的相關知識，求出其值域，即為的取值范圍．【詳解】以D為原點，BC所在直線為軸，AD所在直線為軸建系，設，則直線，設點，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函數(shù)的圖像知，，所以的取值范圍是．故選A．【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應用，以及轉化與化歸思想的運用．3、A【解析】

由題意可得，即，代入雙曲線的漸近線方程可得答案.【詳解】依題意橢圓與雙曲線即的焦點相同，可得：，即，∴，可得,雙曲線的漸近線方程為：,故選：A．【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，考查漸近線方程的求法，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．4、C【解析】

由已知求出等比數(shù)列的公比，進而求出，嘗試用基本不等式，但取不到等號，所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】，，或（舍）.，，.當，時；當，時；當，時，，所以最小值為.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算及最小值，屬于基礎題.5、C【解析】

由題意可知，代入函數(shù)表達式即可得解.【詳解】由可知函數(shù)是周期為4的函數(shù)，.故選：C.【點睛】本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)周期的應用，屬于基礎題.6、D【解析】

舉例判斷命題p與q的真假，再由復合命題的真假判斷得答案．【詳解】當時，故命題為假命題；記f（x）＝ex﹣x的導數(shù)為f′（x）＝ex，易知f（x）＝ex﹣x（﹣∞，0）上遞減，在（0，＋∞）上遞增，∴f（x）＞f（0）＝１＞0，即，故命題為真命題；∴是假命題故選D【點睛】本題考查復合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對函數(shù)的圖象與性質，是基礎題．7、B【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個底面邊長為4，高為3的正四棱錐，利用體積公式，即可求解。【詳解】由題意，幾何體的三視圖可知該幾何體是一個底面邊長為4的正方形，高為5的正四棱柱，挖去一個底面邊長為4，高為3的正四棱錐，所以幾何體的體積為，故選B。【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線。求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應公式求解。8、C【解析】

求出，進而可求,即能求出向量夾角.【詳解】解：由題意知，.則所以，則向量與的夾角為.故選:C.【點睛】本題考查了向量的坐標運算，考查了數(shù)量積的坐標表示.求向量夾角時，通常代入公式進行計算.9、C【解析】

根據(jù)拋物線方程求得點的坐標，根據(jù)軸、列方程，解方程求得的值.【詳解】不妨設在第一象限，由于在拋物線上，所以，由于以為圓心的圓與的準線相切于點，根據(jù)拋物線的定義可知，、軸，且.由于，所以直線的傾斜角為，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以拋物線的方程為.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線的斜率，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.10、A【解析】

先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.【點睛】本題考查了數(shù)列的通項及求和問題，考查了數(shù)列的單調性及不等式的解法，考查了轉化思想，屬于中檔題.11、A【解析】

向量，，，則，即，或者-1，判斷出即可．【詳解】解：向量，，，則，即，或者-1，所以是或者的充分不必要條件，故選：A．【點睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標表示，屬于基礎題.12、B【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，利用的幾何意義即可得到結論．【詳解】不等式組作出可行域如圖：，，，的幾何意義是動點到的斜率，由圖象可知的斜率為1，的斜率為：，則的取值范圍是：，，．故選：．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義結合斜率公式是解決本題的關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、811【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結合求得區(qū)域面積以及目標函數(shù)的最值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示：數(shù)形結合可知，可行域為三角形，且底邊長，高為，故區(qū)域面積；令，變?yōu)?，顯然直線過時，z最大，故.故答案為：；11.【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題，涉及區(qū)域面積的求解，屬基礎題.14、12821【解析】

令，求得的值.利用展開式的通項公式，求得的值.【詳解】令，得.展開式的通項公式為，當時，為，即.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查賦值法求解二項式系數(shù)有關問題，屬于基礎題.15、7【解析】

根據(jù)題意，當時，，可得，進而得數(shù)列為等比數(shù)列，再計算可得，進而可得結論.【詳解】由題意，當時，，又，解得，當時，由，所以，，即，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，又，，所以，.故答案為：.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關系、函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，計算得是解決本題的關鍵，屬于中檔題.16、充分不必要【解析】

由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由平面幾何知識可得出四邊形是平行四邊形，可得面，再由面面平行的判定可證得面面平行；（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建立空間直角坐標系，可求得面PAB的法向量，再運用線面角的向量求法，可求得直線與平面所成角的余弦值.【詳解】（1），,又，，,而、分別是、的中點，，故面,又且，故四邊形是平行四邊形,面,又，是面內(nèi)的兩條相交直線,故面面.（2）由（1）可知，兩兩垂直，故建系如圖所示,則，，，,設是平面PAB的法向量,，令，則,,直線NE與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查空間的面面平行的判定，以及線面角的空間向量的求解方法，屬于中檔題.18、（1）；（2）；（3）利潤約為111.2萬元.【解析】

（1）首先列出基本事件，然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個月合格的概率；（2）首先求出利潤y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤.【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個月份任意選取3個月份的基本事件有，，，，，，，，，，共計10個，故恰好有兩個月考核合格的概率為；（2），，，，故；（3）當千只，（十萬元）（萬元），故9月份的利潤約為111.2萬元.【點睛】本題主要考查了古典概型，線性回歸方程的求解和使用，屬于基礎題.19、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

（1）利用求導數(shù)，判斷在區(qū)間上的單調性，然后再證異號，即可證明結論；（2）當時，不等式恒成立，分離參數(shù)只需時，恒成立，設（），需，根據(jù)（1）中的結論先求出，再構造函數(shù)結合導數(shù)法，證明即可.【詳解】（1），令，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因為，，所以在區(qū)間上有且僅有一個零點，且.（2）由題意，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，當時，；當時，恒成立，設（），所以.由（1）可知，，使，所以，當時，，當時，，由此在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以.又因為，所以，從而，所以.令，，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，故.【點睛】本題考查導數(shù)的綜合應用，涉及到函數(shù)的單調性、函數(shù)的零點、極值最值、不等式的證明，分離參數(shù)是解題的關鍵，意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于較難題.20、（1）（2）1008【解析】

（1）用基本量求出首項和公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求得和，然后解不等式可得．【詳解】解：（1）由題得，即解得或因為數(shù)列為各項均為整數(shù)，所以，即（2）令所以即，解得所以的最大值為1008【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，考查裂項相消法求數(shù)列的和．在等差數(shù)列和等比數(shù)列中基本量法是解題的基本方法．21、（1）e；（2）2.【解析】

（1）根據(jù)反函數(shù)的性質，得出，再利用導數(shù)的幾何意義，求出曲線在點處的切線為，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出單調性，即可得出的值；（2）設，求導，求出的單調性，從而得出最大值為，結合恒成立的性質，得出正整數(shù)的最小值.【詳解】（1）根據(jù)題意，與的圖象關于直線對稱，所以函數(shù)的圖象與互為反函數(shù)，則,，設點，，又，當時，，曲線在點處的切線為，即，代入點，得，即，構造函數(shù)，當時，，當時，，且，當時，單調遞增，而，故存在唯一的實數(shù)根.（2）由于不等式恒成立，可設，所以，令，得.所以當時，；當時，，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).故函數(shù)的