2025屆河南省駐馬店市上蔡二高高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題含解析

2025屆河南省駐馬店市上蔡二高高二上數(shù)學(xué)期末調(diào)研模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓的離心率為，則（）A. B.C. D.2．與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為（）A. B.C. D.3．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則的最小值（）A.5 B.C. D.84．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由附表：0．0500．0100．0013．8416．63510．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0．1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”5．已知拋物線上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是3，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為（）A.1 B.2C.3 D.46．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則A. B.C. D.7．如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A.圓 B.雙曲線C.拋物線 D.橢圓8．我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍《四元玉鑒》中有如下一段話：“河有汛，預(yù)差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日轉(zhuǎn)多七人，今有三日連差三百人，問(wèn)已差人幾天，差人幾何？”其大意為“官府陸續(xù)派遣1880人前往修筑堤壩，第一天派出65人，從第二天開(kāi)始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，則目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）A.6天495人 B.7天602人C.8天716人 D.9天795人9．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（）A.2 B.3C.-2 D.-310．等差數(shù)列中，已知，則（）A.36 B.27C.18 D.911．已知F是雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C的漸近線上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，則的面積為（）A.1 B.C. D.12．圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F斜率為的直線與拋物線C交于點(diǎn)M（M在x軸的上方），過(guò)M作于點(diǎn)N，連接NF交拋物線C于點(diǎn)Q，則__________14．已知等差數(shù)列中，，則=_________.15．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長(zhǎng)為正三角形，分別是的中點(diǎn)，，則球的體積為_(kāi)________________16．若不同的平面的一個(gè)法向量分別為，，則與的位置關(guān)系為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物錢(qián)C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線OA，OB的斜率分別，，求證：為定值.18．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的倍（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，求面積的最大值19．（12分）已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為，是上一點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形（1）證明：是中點(diǎn)；（2）求點(diǎn)到平面的距離20．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，直線、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）在第（2）問(wèn)條件下，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)的面積是否達(dá)到最大？并說(shuō)明理由.21．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，求面積的最大值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，已知平面ABCD，為等邊三角形，，，.（1）證明：平面PAD；（2）若M是BP的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D2、D【解析】點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.【詳解】設(shè)(x，y)是與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)，則(x，－y)在上，故，∴與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為.故選：D.3、B【解析】做出，滿足約束條件的可行域，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】做出，滿足約束條件可行域如圖，化為，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)有最小值，由得，所以的最小值為.故選：B.4、A【解析】由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選A5、B【解析】利用拋物線的定義求解即可【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是3，所以，得，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，故選：B6、B【解析】設(shè)，則，若函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點(diǎn)即有正根，當(dāng)有成立時(shí)，顯然有，此時(shí)．由，得參數(shù)a的范圍為．故選B考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值7、D【解析】根據(jù)題意知,所以,故點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【詳解】由題意知，關(guān)于CD對(duì)稱，所以，故，可知點(diǎn)P的軌跡是橢圓.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，屬于中檔題.8、B【解析】根據(jù)題意，設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，可得數(shù)列是首項(xiàng)，公差數(shù)7的等差數(shù)列，解方程可得所求值【詳解】解：設(shè)第天派出的人數(shù)為，則是以65為首項(xiàng)、7為公差的等差數(shù)列，且，，∴，，∴天則目前派出的人數(shù)為人，故選：B9、A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出基本量，再由即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，且q為整數(shù)，所以，，即q=2.所以.故選：A10、B【解析】直接利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得.故選：B11、B【解析】根據(jù)給定條件求出，再利用余弦定理求出即可計(jì)算作答.【詳解】雙曲線C：中，，其漸近線，它與x軸的夾角為，即，在中，，由余弦定理得：，即，整理得：，解得，所以面積為.故選：B12、C【解析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件可得直線過(guò)圓心，從而可得，然后由，展開(kāi)利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，該直線經(jīng)過(guò)圓心，即，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意畫(huà)出圖形，寫(xiě)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出的坐標(biāo)，求得即可求解【詳解】解：如圖，由拋物線，得，，則，與拋物線聯(lián)立得，解得、，，，，，為等邊三角形，，過(guò)作軸的垂線交軸于，設(shè)，，，，，在拋物線上，，解得，，，，則，故答案為：14、4【解析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，進(jìn)而求出.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列的公差為，則，所以.故答案為：4.15、【解析】由已知設(shè)出，，，分別在中和在中運(yùn)用余弦定理表示，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，再在中運(yùn)用勾股定理得到關(guān)于x與y的又一關(guān)系式，聯(lián)立可解得x，y，從而分析出正三棱錐是，，兩兩垂直的正三棱錐，所以三棱錐的外接球就是以為棱的正方體的外接球，再通過(guò)正方體的外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)求出球的半徑，再求出球的體積.【詳解】在中，設(shè)，，，,，因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)分別是，的中點(diǎn)，所以，，在中，，在中，，整理得，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，又因?yàn)?，所以，由，解得，所以又因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，所以，所以，，兩兩垂直，則球?yàn)橐詾槔獾恼襟w的外接球，則外接球直徑為，所以球的體積為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何體的外接球的體積，破解關(guān)鍵在于熟悉正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用解三角形的正弦定理和余弦定理得出三棱錐的棱的關(guān)系，繼而分析出正三棱錐的外接球是以正三棱錐中互相垂直的三條棱為棱的正方體的外接球，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)求解更方便快捷，屬于中檔題16、平行【解析】根據(jù)題意得到，得出，即可得到平面與的位置關(guān)系.【詳解】由題意，平面的一個(gè)法向量分別為，，可得，所以，所以，即平面與的位置關(guān)系為平行.故答案為：平行三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程即可求解；（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理即可求出的值;當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由過(guò)點(diǎn)即可求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo),即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】將點(diǎn)代入得，，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，將聯(lián)立得，，由韋達(dá)定理得：，，，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由直線過(guò)點(diǎn),則，，，，綜上所述可知，為定值為.18、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓半焦距c，長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)a，b即可得解.(2)設(shè)出直線的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，求出弦AB長(zhǎng)及點(diǎn)P到直線的距離，然后求出面積的表達(dá)式并求其最大值即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，半焦距，，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意，設(shè)直線，，由消去y并整理得：，由，解得，則有，，于是得，而點(diǎn)到直線的距離為，因此，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以面積最大值為1.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線l：y=kx+b上兩點(diǎn)間的距離；直線l：x=my+t上兩點(diǎn)間的距離.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明出平面，可得出，再利用等腰三角形的幾何性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）計(jì)算出三棱錐的體積以及的面積，利用等體積法可求得點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】證明：在正三棱柱，平面，平面，則，因?yàn)槭且詾橹苯琼旤c(diǎn)的等腰直角三角形，則，，則平面，平面，所以，，因?yàn)闉榈冗吶切危庶c(diǎn)為的中點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，則，平面，平面，則，即，所以，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，解得.因此，點(diǎn)到平面距離為.20、（1）；（2）；（3）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，的面積達(dá)到最大，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)，可得出，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值，即可得出直線的方程；（3）設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為零可求得，分析可知當(dāng)點(diǎn)為直線與橢圓的切點(diǎn)時(shí)，的面積達(dá)到最大，求出直線與橢圓的切點(diǎn)坐標(biāo)，可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋O(shè)，則，，所以，橢圓的方程可表示為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，因此，橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)線段的中點(diǎn)為，因?yàn)?，則軸，故直線、的傾斜角互補(bǔ)，易知點(diǎn)，若直線軸，則、為橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)、，則，，，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，，，則，所以，解得，因此，直線的方程為.【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線的方程為，聯(lián)立，可得（*），，解得，由題意可知，當(dāng)點(diǎn)為直線與橢圓的切點(diǎn)時(shí)，此時(shí)的面積取最大值，當(dāng)時(shí)，方程（*）為，解得，此時(shí)，即點(diǎn).此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，因此，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱時(shí)，的面積達(dá)到最大.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值21、(1)；(2).【解析】（1）根據(jù)題意計(jì)算得到，得到橢圓方程.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到，，表示出，解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)由題意直線的斜率不能為，設(shè)直線的方程為，由方程組得，設(shè)，，所以，，所以，所以，令（），則，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，面積取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓內(nèi)三角形面積的最值問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.22、（1）證明見(jiàn)解析（