期末考前基礎(chǔ)練練練-圓(55題)(原卷版+解析)

期末考前基礎(chǔ)練練練-圓一．圓的認(rèn)識（共2小題）1．已知⊙O中最長的弦為10，則⊙O的半徑是（）A．10 B．20 C．5 D．152．下列說法，其中正確的有（）①過圓心的線段是直徑②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑組成的圖形叫做扇形③大于半圓的弧叫做劣?、軋A心相同，半徑不等的圓叫做同心圓A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．垂徑定理（共3小題）3．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為10cm，AB＝16cm，則OD的長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4．如圖，AB，CD是⊙O的兩條平行弦，且AB＝4，CD＝6，AB，CD之間的距離為5，則⊙O的直徑是（）A． B．2 C．8 D．105．（1）解方程：x2﹣4x＝0．（2）如圖，已知弓形的弦長AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并經(jīng)過圓心O）．求弓形所在⊙O的半徑r的長．三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共3小題）6．如圖，AB為⊙O的直徑，C是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延長線交⊙O于點(diǎn)E，若∠C＝23°，試求∠EOB的度數(shù)．7．如圖，AB是⊙O直徑，，連接CD，過點(diǎn)D作射線CB的垂線，垂足為點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝EF；（2）若CD＝EF＝10，求BG的長．8．如圖．在四邊形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．?O經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，分別交邊AF．FC于點(diǎn)D，E．且E是的中點(diǎn)．（1）求證：E是FC的中點(diǎn)．（2）連結(jié)AE，當(dāng)AB＝6．AE＝5時，求AF的長．四．圓周角定理（共3小題）9．如圖，已知AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)D是半圓上的兩點(diǎn)，且OD∥BC．求證：AD＝CD．10．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)AD．（1）若＝104°，求∠BAD的度數(shù)．（2）點(diǎn)G是上任意一點(diǎn)，連結(jié)GA，GD求證：∠AGD＝∠ADC．11．如圖，C是的中點(diǎn)，∠AOC＝4∠B，OC＝4．（1）求∠A的度數(shù)；（2）求線段AB的長度．五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共3小題）12．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，CE是邊BC的延長線．（1）求證∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數(shù)．13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是弧AC的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使CE＝AB，連接BD，ED．（1）求證：BD＝ED．（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，則⊙O的直徑長為10．14．如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．（1）求∠BOC的度數(shù)；（2）求∠ACB的度數(shù)；六．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共2小題）15．已知點(diǎn)P在圓外，它到圓的最近距離是1cm，到圓的最遠(yuǎn)距離是7cm，則圓的半徑為（）A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm16．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在圖中清晰標(biāo)出點(diǎn)P的位置；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是，⊙P的半徑是．七．確定圓的條件（共2小題）17．下列語句中正確的有（）①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③三點(diǎn)確定一個圓；④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個18．某地出土一個明代殘破圓形瓷盤，為復(fù)制該瓷盤需確定其圓心和半徑，請在圖中用直尺和圓規(guī)畫出瓷盤的圓心（不要求寫作法、證明和討論，但要保留作圖痕跡）．八．三角形的外接圓與外心（共4小題）19．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝30°，則∠A的大小為（）A．30° B．60° C．80° D．120°20．如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)在⊙O上，⊙O的半徑為5，∠A＝60°，求弦BC的長．21．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，直徑AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接AD、BD．（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度數(shù)；（2）求AD的長．22．如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延長線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，連接BD．求證：DB＝DE．九．直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）23．如圖，已知∠O＝30°，C為OB上一點(diǎn)，且OC＝6，以點(diǎn)C為圓心，試判斷半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系，并說明理由．24．如圖，AB是⊙O的直徑，AN、AC是⊙O的弦，P為AB延長線上一點(diǎn)，AN、PC的延長線相交于點(diǎn)M，且AM⊥PM，∠PCB＝∠PAC．（1）試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝10，∠P＝30°，求MN的長．25．如圖，在△ABC中，BD＝DC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：AB＝AC；（2）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．一十．切線的性質(zhì)（共3小題）26．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）A．4 B．3 C．2 D．227．如圖，AB是⊙O的弦，直線BC與⊙O相切于點(diǎn)B，AD⊥BC，垂足為D，連接OA、OB．（1）求證：AB平分∠OAD；（2）點(diǎn)E是⊙O上一動點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、B重合，連接AE、BE，若∠AOB＝100°，求∠AEB的度數(shù)．28．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，AC是直徑．（1）連接BC，OP，求證：OP∥BC；（2）若OP與AB交于點(diǎn)D，OD：DP＝1：4，AD＝2，求直徑AC的長．一十一．切線的判定（共3小題）29．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，以CD為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)N作NE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．（1）若⊙O的半徑為，AC＝5，求BN的長；（2）求證：NE是⊙O的切線．30．如圖，以△ABC的邊BC的長為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，若∠A＝∠DBC，求證：AB是⊙O的切線．31．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點(diǎn)，∠ADB＝∠BDC＝60°，過點(diǎn)A作AE∥BC交CD延長線于點(diǎn)E．（1）求∠ABC的大??；（2）證明：AE是⊙O的切線．一十二．切線的判定與性質(zhì)（共2小題）32．如圖，AB是半圓O的直徑，D為BC的中點(diǎn)，延長OD交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為OD的延長線上一點(diǎn)且滿足∠B＝∠F．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AB＝4，∠B＝30°，連接AD，求AD的長．33．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，延長EC，AB交于點(diǎn)F，∠ECD＝∠BCF．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，DE＝1，求CD的長．一十三．切線長定理（共3小題）34．如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，AC＝10，AB＝8，BC＝9，點(diǎn)D，E分別為BC，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙O的切線，則△CDE的周長為（）A．9 B．7 C．11 D．835．如圖，圓O的圓心在梯形ABCD的底邊AB上，并與其它三邊均相切，若AB＝10，AD＝6，則CB長（）A．4 B．5 C．6 D．無法確定36．如圖，PA和PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)．C是弧AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C畫⊙O的切線，分別交PA和PB于D，E兩點(diǎn)，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周長．一十四．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共2小題）37．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD＝BD＝2，EC＝3，則△ABC的周長為（）A．10 B．12 C．14 D．1638．如圖，點(diǎn)I為等邊△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，已知外接圓的半徑為2，則線段DB的長為（）A．2 B．3 C．4 D．一十五．正多邊形和圓（共5小題）39．如圖，有一個直徑為4cm的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個最大正六邊形紙片，則這個正六邊形紙片的邊心距是（）A．1 B． C．2 D．440．如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N分別為邊CD，BC的中點(diǎn)，AN與BM相交于點(diǎn)P，則∠APM的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．118° D．122°41．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在上，則∠CMD的大小為（）A．60° B．45° C．30° D．15°42．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，求證：BM＝CM．43．如圖，已知⊙O內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的邊心距r6、面積S6．一十六．弧長的計算（共2小題）44．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC為直徑的半圓O交斜邊AB于點(diǎn)D．（1）求證：AD＝3BD；（2）求的長．（結(jié)果保留π）45．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，點(diǎn)C，D在AB的兩側(cè)．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，求弧CD的長．一十七．扇形面積的計算（共4小題）46．如圖，為了美化校園，學(xué)校在一塊靠墻角的空地上建造了一個扇形花圃，其圓心角∠AOB＝120°，半徑為6m，求該扇形的弧長與面積．（結(jié)果保留π）47．如圖所示，以?ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，延長BA交⊙A于點(diǎn)G．（1）求證：＝；（2）若∠C＝120°，BG＝4，求陰影部分弓形的面積．48．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的長；（2）求圖中兩陰影部分的面積各是多少？49．如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點(diǎn)分別為D、E．（1）若＝．求證：AB＝AC；（2）若D、E為半圓的三等分點(diǎn)，且半徑為2，圖中陰影部分的面積是π﹣．（結(jié)果保留π和根號）一十八．圓錐的計算（共6小題）50．如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖的圓心角是120°，則圓錐的母線長是（）A．1 B．3 C．2 D．651．如圖，圓錐母線長l＝8，底面圓半徑r＝2，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角θ是（）A．60° B．90° C．120° D．150°52．若圓錐的底面半徑為1cm，側(cè)面展開圖的面積為2πcm2，則圓錐的母線長為（）A．2cm B． C．πcm D．3cm53．如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm54．如圖，有一直徑為4的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大圓心角為60°的扇形ABC．（1）求剪下的扇形ABC（即陰影部分）的半徑；（2）若用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐形鐵帽，求此圓錐形鐵帽的底面圓的半徑r．55．在一塊大鐵皮上裁剪如圖所示圓錐形的煙囪帽，它的底面直徑為80cm，母線為50cm，求裁剪的面積．期末考前基礎(chǔ)練練練-圓一．圓的認(rèn)識（共2小題）1．已知⊙O中最長的弦為10，則⊙O的半徑是（）A．10 B．20 C．5 D．15【分析】根據(jù)圓的直徑為圓中最長的弦求解．【解答】解：∵最長的弦長為10，∴⊙O的直徑為10，∴⊙O的半徑為5．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了圓的認(rèn)識：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．2．下列說法，其中正確的有（）①過圓心的線段是直徑②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑組成的圖形叫做扇形③大于半圓的弧叫做劣弧④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)圓的有關(guān)概念進(jìn)項分析即可．【解答】解：①過圓心的弦是直徑，故該項錯誤；②由一條弧和經(jīng)過這條弧的兩個端點(diǎn)的兩條半徑組成的圖形叫做扇形，故該項正確；③小于半圓的弧叫做劣弧，故該項錯誤；④圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓，故該項正確．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了圓的認(rèn)識，熟練掌握圓的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．二．垂徑定理（共3小題）3．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若⊙O的半徑為10cm，AB＝16cm，則OD的長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】連接OA，先由垂徑定理得AD＝BD＝AB＝8cm，再由勾股定理求出OD的長即可．【解答】解：如圖，連接OA，則OA＝10cm，∵OC⊥AB，AB＝16cm，∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝AB＝8cm，在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（cm），故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解此題的關(guān)鍵．4．如圖，AB，CD是⊙O的兩條平行弦，且AB＝4，CD＝6，AB，CD之間的距離為5，則⊙O的直徑是（）A． B．2 C．8 D．10【分析】作OM⊥AB于M，延長MO交CD于N，連接OB，OD，由垂徑定理，勾股定理即可求解．【解答】解：作OM⊥AB于M，延長MO交CD于N，連接OB，OD，設(shè)OM＝x，∴MB＝AB＝2，DN＝CD＝3，∵OB2＝OM2+MB2，∴OB2＝x2+22，∵OD2＝ON2+DN2，∴OD2＝（5﹣x）2+32，∵OB＝OD，∴x2+4＝（5﹣x）2+9，∴x＝3，∴OB2＝32+4＝13，∴OB＝，∴⊙O直徑長是2，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是作OM⊥AB于M，延長MO交CD于N，連接OB，OD構(gòu)造直角三角形，以便應(yīng)用垂徑定理，勾股定理．5．（1）解方程：x2﹣4x＝0．（2）如圖，已知弓形的弦長AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并經(jīng)過圓心O）．求弓形所在⊙O的半徑r的長．【分析】設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)垂徑定理得到AD＝6，由于OD＝r﹣2，則利用勾股定理得到62+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可．【解答】（1）解：∵x（x﹣4）＝0，∴x＝0或x﹣4＝0，∴x1＝0，x2＝4；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，∵CD⊥AB并經(jīng)過圓心O，∴AD＝BD＝AB＝×8＝4，OD＝OC﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAD中，42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，即⊙O的半徑的長為5．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理：直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．三．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共3小題）6．如圖，AB為⊙O的直徑，C是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延長線交⊙O于點(diǎn)E，若∠C＝23°，試求∠EOB的度數(shù)．【分析】利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)求得∠EDO，從而利用三角形的外角的性質(zhì)求解．【解答】解：∵CD＝OA＝OD，∠C＝23°，∴∠ODE＝2∠C＝46°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝46°，∴∠EOB＝∠C+∠E＝46°+23°＝69°．【點(diǎn)評】本題考查了圓的認(rèn)識及等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)是關(guān)鍵．7．如圖，AB是⊙O直徑，，連接CD，過點(diǎn)D作射線CB的垂線，垂足為點(diǎn)G，交AB的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝EF；（2）若CD＝EF＝10，求BG的長．【分析】（1）連接AD，證明∠A＝∠F，再根據(jù)三線合一即可證明AE＝EF；（2）先求出DE＝CE＝5，由∠C的正切求出BE＝，從而得到BF的值，在Rt△BGF中即可求出答案．【解答】（1）證明：如圖，連接AD，∵AB是直徑，，∴AB⊥CD，∴∠C+∠CBE＝90°，∵CG⊥DF，∠F+∠FBG＝90°，又∵∠CBE＝∠FBG∴∠C＝∠F，∵，∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠F，又∵AF⊥DE，∴AE＝EF；（2）解：∵CD＝EF＝10，AB⊥CD，∴DE＝CE＝EF＝5，∴tan∠F＝tan∠C＝，∴BE＝CE＝，∴BF＝EF﹣BE＝10﹣＝，∴BG＝．【點(diǎn)評】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系等圓的有關(guān)知識和三角函數(shù)，第（2）問解題的關(guān)鍵是求出BF的長．8．如圖．在四邊形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．?O經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，分別交邊AF．FC于點(diǎn)D，E．且E是的中點(diǎn)．（1）求證：E是FC的中點(diǎn)．（2）連結(jié)AE，當(dāng)AB＝6．AE＝5時，求AF的長．【分析】（1）連接AC，根據(jù)AC為圓O的直徑，得到∠AEC為直角，根據(jù)E為弧CD的中點(diǎn)，得到弧相等，根據(jù)等弧對的圓周角相等，利用ASA得到三角形全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；（2）連接CD，利用面積法求出FC與AF比值，設(shè)FC，根據(jù)勾股定理求出x的值，即可求出AF的長．【解答】（1）證明：連接AC，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴AC是圓O的直徑，∴∠AEC＝90°，∴∠AEF＝180°﹣∠AEC＝90°＝∠AEC，∵E為的中點(diǎn)，∴＝，∴∠FAE＝∠CAE，在△AEC和△AEF中，，∴△AEC≌△AEF（ASA），∴EC＝EF，∴E為FC的中點(diǎn)；（2）連接CD，∵FA⊥AB，CB⊥AB，∴∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四邊形ADCB是矩形，∴CD＝AB＝6，∵S△AFC＝FC?AE＝AF?CD，∴5FC＝6AF，∴＝，設(shè)FC＝12x，則AF＝10x，∵E為FC的中點(diǎn)，∴FE＝FC＝6x，在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得：AE2+EF2＝AF2，即52+（6x）2＝（10x）2，解得：x＝，∴AF＝10x＝．【點(diǎn)評】此題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，矩形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，知識點(diǎn)較多，難度一般，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．四．圓周角定理（共3小題）9．如圖，已知AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C和點(diǎn)D是半圓上的兩點(diǎn)，且OD∥BC．求證：AD＝CD．【分析】利用直徑所對的圓周角是90°，可得AC⊥BC，再利用OD∥BC，可得OD⊥AC，最后利用垂徑定理即可求證．【解答】證明：∵AB是半圓O的直徑，∴AC⊥BC，又∵OD∥BC，∴OD⊥AC，∴，∴AD＝CD．【點(diǎn)評】本題主要考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理得到．10．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)AD．（1）若＝104°，求∠BAD的度數(shù)．（2）點(diǎn)G是上任意一點(diǎn)，連結(jié)GA，GD求證：∠AGD＝∠ADC．【分析】（1）由圓周角定理的推論即可計算；（2）由垂徑定理，圓周角定理的推論，即可證明．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∴＝，∵＝104°，∴＝52°，∴∠BAD＝×52°＝26°；（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∴＝，∴∠AGD＝∠ADC．【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，圓周角定理的討論，關(guān)鍵是掌握：垂直于弦的直徑平分弦對的兩條?。煌』虻然∷鶎Φ膱A周角相等，圓周角等于它所對弧度數(shù)的一半．11．如圖，C是的中點(diǎn)，∠AOC＝4∠B，OC＝4．（1）求∠A的度數(shù)；（2）求線段AB的長度．【分析】（1）延長CO交AB于H，連接BC，根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)推出∠A＝30°；（2）解直角三角形求出AH＝2，根據(jù)垂徑定理即可解決問題．【解答】解：（1）如圖，延長CO交AB于H，連接BC，∵C是的中點(diǎn)，∵＝，∴CH⊥AB，AH＝BH，∴∠AHO＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵∠AOC＝90°+∠A＝4∠OBA，∴∠A＝30°；（2）∵OA＝OC＝4，CH⊥AB，∠A＝30°，∴OH＝OA＝2，∴AH＝＝＝2，∴AB＝2AH＝4．【點(diǎn)評】本題考查垂徑定理，勾股定理，三角形的外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共3小題）12．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，CE是邊BC的延長線．（1）求證∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DAB+∠DCB＝180°，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等證明結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．【點(diǎn)評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是弧AC的中點(diǎn)，延長BC到點(diǎn)E，使CE＝AB，連接BD，ED．（1）求證：BD＝ED．（2）若∠ABC＝60°，AD＝5，則⊙O的直徑長為10．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到BAD＝∠ECD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝ED；（2）連接DO并延長交⊙O于F，連接CF，則∠FCD＝90°，根據(jù)已知條件得到∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，求得∠F＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵＝，∴AD＝DC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠ECD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠ECD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：連接DO并延長交⊙O于F，連接CF，則∠FCD＝90°，∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5，∵∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴∠F＝∠DBC＝30°，∴DF＝2CD＝10，∴⊙O的直徑長為10，故答案為：10．【點(diǎn)評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．（1）求∠BOC的度數(shù)；（2）求∠ACB的度數(shù)；【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得出，再利用圓周角定理得出∠BOC的度數(shù)；（2）連接BD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)便可求得結(jié)果．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∴，∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝∠BOC＝2∠ADC＝60°，∴∠BOC的度數(shù)為60°；（2）連接BD，∵，∴∠ADC＝∠BDC＝30°，∴∠ADB＝60°，∵∠ACB+∠ADB＝180°，∴∠ACB＝120°．【點(diǎn)評】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理和圓周角定理等知識，熟練掌握和運(yùn)用這些定理是解決問題的關(guān)鍵．六．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共2小題）15．已知點(diǎn)P在圓外，它到圓的最近距離是1cm，到圓的最遠(yuǎn)距離是7cm，則圓的半徑為（）A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm【分析】搞清楚P點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最近距離與到圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離的關(guān)系為差為直徑（P為圓外一點(diǎn)），本題易解．【解答】解：P為圓外一點(diǎn)，且P點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最近距離為1cm，到圓上點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為7cm，則圓的直徑是7﹣1＝6（cm），因而半徑是3cm．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到圓的最大距離和最小距離，可以得到圓的直徑，然后確定圓的半徑．16．平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在圖中清晰標(biāo)出點(diǎn)P的位置；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是，⊙P的半徑是．【分析】點(diǎn)P的坐標(biāo)是弦AB，CD的垂直平分線的交點(diǎn)．【解答】解：（1）弦AB的垂直平分線是y＝6，弦CD的垂直平分線是x＝6，因而交點(diǎn)P的坐標(biāo)是（6，6）．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是，⊙P的半徑是P的半徑是PA的長，，故答案為：（6，6），5．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，掌握圓心是圓的垂直平分線的交點(diǎn)，是解決本題的關(guān)鍵．七．確定圓的條件（共2小題）17．下列語句中正確的有（）①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③三點(diǎn)確定一個圓；④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理等對每一項進(jìn)行分析即可求出正確答案．【解答】解：①同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故本選項錯誤；②平分弦的直徑垂直于弦，被平分的弦不能是直徑，故此選項錯誤；③三點(diǎn)必須不在同一條直線上，故此選項錯誤；④經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸，此選項正確；故正確的有1個，故選：A．【點(diǎn)評】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系以及垂徑定理和圓的有關(guān)定理；解題時要注意圓心角、弧、弦的關(guān)系是在同圓或等圓中才能成立．18．某地出土一個明代殘破圓形瓷盤，為復(fù)制該瓷盤需確定其圓心和半徑，請在圖中用直尺和圓規(guī)畫出瓷盤的圓心（不要求寫作法、證明和討論，但要保留作圖痕跡）．【分析】根據(jù)垂徑定理，在殘破的圓形瓷盤上任取兩個弦，分別作弦的垂直平分線即可．【解答】解：在圓上取兩個弦，根據(jù)垂徑定理，垂直平分弦的直線一定過圓心，所以作出兩弦的垂直平分線即可．【點(diǎn)評】本題主要考查了垂徑定理的推論，我們可以把垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論這樣敘述：一條直線①過圓心，②垂直于弦，③平分弦，④平分優(yōu)弧，⑤平分劣弧．在應(yīng)用垂徑定理解題時，只要具備上述5條中任意2條，則其他3條成立．八．三角形的外接圓與外心（共4小題）19．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝30°，則∠A的大小為（）A．30° B．60° C．80° D．120°【分析】由OB＝OC，得∠OBC＝∠OCB＝30°，則∠BOC＝120°，即可根據(jù)圓周角定理求得∠A＝∠BOC＝60°，得到問題的答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°，∴∠A＝∠BOC＝60°，故選：B．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理等知識，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BOC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)在⊙O上，⊙O的半徑為5，∠A＝60°，求弦BC的長．【分析】連接CO并延長交⊙O于D，根據(jù)圓周角定理得到∠D＝∠A＝60°，∠CBD＝90°，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接CO并延長交⊙O于D，連接BD，則∠D＝∠A＝60°，∠CBD＝90°，∵⊙O的半徑為5，∴CD＝10，∴BD＝CD＝5，∴BC＝＝＝5，故弦BC的長為5．【點(diǎn)評】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，直徑AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接AD、BD．（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度數(shù)；（2）求AD的長．【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用角平分線的定義可得∠ACD＝∠BCD＝45°，然后再利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答；（2）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，再利用（1）的結(jié)論可得＝，從而可得AD＝DB，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，∵∠CAB＝25°，∴∠AED＝∠ACE+∠CAE＝70°，∴∠AED的度數(shù)為70°；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝DB，∵AB＝4，∴AD＝BD＝＝2，∴AD的長為2．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，AE的延長線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，連接BD．求證：DB＝DE．【分析】根據(jù)角平分線定義得到∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，得到＝，根據(jù)圓周角定理得到∠DBC＝∠BAE，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，∴和所對的圓心角相等，∴＝，∴∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE，∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB．【點(diǎn)評】本題考查了三角形外接圓和外心，圓周角定理，等腰三角形的判定，熟練掌握角平分線定義是解題的關(guān)鍵．九．直線與圓的位置關(guān)系（共3小題）23．如圖，已知∠O＝30°，C為OB上一點(diǎn)，且OC＝6，以點(diǎn)C為圓心，試判斷半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】利用直線l和⊙O相切?d＝r，進(jìn)而判斷得出即可．【解答】解：相切，理由：過點(diǎn)C作CD⊥AO于點(diǎn)D，∵∠O＝30°，OC＝6，∴DC＝3，∴以點(diǎn)C為圓心，半徑為3的圓與OA的位置關(guān)系是：相切．【點(diǎn)評】此題主要考查了直線與圓的位置，正確掌握直線與圓相切時d與r的關(guān)系是解題關(guān)鍵．24．如圖，AB是⊙O的直徑，AN、AC是⊙O的弦，P為AB延長線上一點(diǎn)，AN、PC的延長線相交于點(diǎn)M，且AM⊥PM，∠PCB＝∠PAC．（1）試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝10，∠P＝30°，求MN的長．【分析】（1）連結(jié)OC，則OA＝OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAC＝∠ACO．求得∠PCB＝∠ACO．根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，求得OC⊥PC．根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論．（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠COP＝60°．解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）直線PC與⊙O相切．理由：連結(jié)OC，則OA＝OC，∴∠PAC＝∠ACO．∵∠PCB＝∠PAC，∴∠PCB＝∠ACO．∴∠OCP＝∠OCB+∠PCB＝∠OCB+∠ACO＝∠ACB．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC．∵OC為半徑，∴直線PC與⊙O相切．（2）∵∠P＝30°，∠OCP＝90°，∴∠COP＝60°．∵AB＝10，∴AN＝5，∴．∴．【點(diǎn)評】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：熟練掌握圓的切線的判定方法．25．如圖，在△ABC中，BD＝DC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：AB＝AC；（2）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用HL證明Rt△ABD≌Rt△ACD，可得結(jié)論；（2）連接OD，利用三角形中位線定理可得OD∥AC，從而證明OD⊥DE，即可證明結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴AD⊥BC，在Rt△ADB和Rt△ADC中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），∴AB＝AC（2）解：直線DE與⊙O相切，理由如下：連接OD，如圖所示：由△ABD≌△ACD知：BD＝DC，又∵OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切．【點(diǎn)評】本題主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理，圓的切線的判定等知識，熟練掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵．一十．切線的性質(zhì)（共3小題）26．如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，過點(diǎn)B作⊙O的切線交OA的延長線于點(diǎn)D．若⊙O的半徑為2，則BD的長為（）A．4 B．3 C．2 D．2【分析】連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到∠OBD＝90°，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到△OAB為等邊三角形，得到∠AOB＝60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算，得到答案．【解答】解：如圖：連接OB，∵BD是⊙O的切線，∴∠OBD＝90°，∵四邊形OABC為菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ODB＝30°，∴OD＝2OB＝4，由勾股定理得，BD＝＝2，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．27．如圖，AB是⊙O的弦，直線BC與⊙O相切于點(diǎn)B，AD⊥BC，垂足為D，連接OA、OB．（1）求證：AB平分∠OAD；（2）點(diǎn)E是⊙O上一動點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、B重合，連接AE、BE，若∠AOB＝100°，求∠AEB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OB⊥BC，證明AD∥OB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAB＝∠OBA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB＝∠OBA，等量代換證明結(jié)論；（2）分點(diǎn)E在優(yōu)弧AB上、在劣弧AB上兩種情況，根據(jù)圓周角定理解答即可．【解答】（1）證明：∵直線BC與⊙O相切于點(diǎn)B，∴OB⊥BC，∵AD⊥BC，∴AD∥OB，∴∠DAB＝∠OBA，∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠DAB＝∠OAB，∴AB平分∠OAD；（2）解：當(dāng)點(diǎn)E在優(yōu)弧AB上時，∠AEB＝∠AOB＝50°，當(dāng)點(diǎn)E′在劣弧AB上時，∠AE′B＝180°﹣50°＝130°，綜上所述，∠AEB的度數(shù)為50°或130°．【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．28．如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，AC是直徑．（1）連接BC，OP，求證：OP∥BC；（2）若OP與AB交于點(diǎn)D，OD：DP＝1：4，AD＝2，求直徑AC的長．【分析】（1）連接OB，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到OP⊥AB，根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝90°，根據(jù)平行線的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AD2＝OD?DP，求出OD，根據(jù)勾股定理求出OA，進(jìn)而求出AC．【解答】（1）證明：如圖，連接OB，∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，∵OA＝OB，∴OP⊥AB，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠ADO，∴OP∥BC；（2）解：設(shè)OD＝x，則DP＝4x，∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，AD⊥OP，∴AD2＝OD?DP，即22＝x?4x，解得：x＝1（負(fù)值舍去），∴OD＝1，由勾股定理得：OA＝＝，∴AC＝2．【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理的應(yīng)用，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．一十一．切線的判定（共3小題）29．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，以CD為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)N作NE⊥AB，垂足為點(diǎn)E．（1）若⊙O的半徑為，AC＝5，求BN的長；（2）求證：NE是⊙O的切線．【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可求AB，由勾股定理可求BC，由等腰三角形的性質(zhì)可得BN＝6；（2）欲證明NE為⊙O的切線，只要證明ON⊥NE．【解答】解：（1）連接DN，ON，∵⊙O的半徑為，∴CD＝，∵∠ACB＝90°，CD是斜邊AB上的中線，∴BD＝CD＝AD＝．∴AB＝13，∴BC＝＝12，∵CD為直徑，∴∠CND＝90°，且BD＝CD．∴BN＝NC＝6．（2）∵∠ACB＝90°，D為斜邊的中點(diǎn)，∴CD＝DA＝DB＝AB．∴∠BCD＝∠B，∵OC＝ON，∴∠BCD＝∠ONC．∴∠ONC＝∠B．∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE．∴NE為⊙O的切線．【點(diǎn)評】本題考查切線的判定，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．30．如圖，以△ABC的邊BC的長為直徑作⊙O，交AC于點(diǎn)D，若∠A＝∠DBC，求證：AB是⊙O的切線．【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝90°，根據(jù)題意得到AB⊥BC，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論．【解答】證明：∵BC為⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵∠A＝∠DBC，∴∠DBC+∠ABD＝90°，∴AB⊥BC，∵BC為⊙O的直徑，∴AB是⊙O的切線．【點(diǎn)評】本題考查的是切線的判定定理、圓周角定理，熟記經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．31．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個點(diǎn)，∠ADB＝∠BDC＝60°，過點(diǎn)A作AE∥BC交CD延長線于點(diǎn)E．（1）求∠ABC的大??；（2）證明：AE是⊙O的切線．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可；（2）連接AO并延長交BC于F，根據(jù)垂徑定理的推論得到AF⊥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到AF⊥AE，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論．【解答】（1）解：由圓周角定理得：∠CAB＝∠BDC＝60°，∠ACB＝∠ADB＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°；（2）證明：連接AO并延長交BC于F，∵AB＝AC，∴＝，∴AF⊥BC，∵AE∥BC，∴AF⊥AE，∵OA是⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線．【點(diǎn)評】本題考查的是切線的判定、圓周角定理、垂徑定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．一十二．切線的判定與性質(zhì)（共2小題）32．如圖，AB是半圓O的直徑，D為BC的中點(diǎn)，延長OD交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為OD的延長線上一點(diǎn)且滿足∠B＝∠F．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AB＝4，∠B＝30°，連接AD，求AD的長．【分析】（1）欲證明CF為⊙O的切線，只要證明即OC⊥CF即可；（2）利用圓周角定理和勾股定理求解即可．【解答】（1）證明：連接CO，∵D為BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB，∵∠B＝∠F，∴∠OCB＝∠F，∵OD⊥BC，∴∠DCF+∠F＝90°，∴∠DCF+∠OCB＝90°．即OC⊥CF，∴CF是⊙O的切線．（2）解：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°．∵AB＝4，∠B＝30°，∴AC＝2BC＝，∴，在Rt△ACD中，AD＝＝．【點(diǎn)評】本題考查切線的判定和性質(zhì)，掌握切線的基本性質(zhì)，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．33．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E，延長EC，AB交于點(diǎn)F，∠ECD＝∠BCF．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，DE＝1，求CD的長．【分析】（1）如圖1，連接OC，先根據(jù)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，得∠CDE＝∠OBC，再根據(jù)等量代換和直角三角形的性質(zhì)可得∠OCE＝90°，由切線的判定可得結(jié)論；（2）如圖2，過點(diǎn)O作OG⊥AE于G，連接OC，OD，則∠OGE＝90°，先根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形得四邊形OGEC是矩形，設(shè)⊙O的半徑為x，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1，連接OC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠CDE＝∠OBC，∵CE⊥AD，∴∠E＝∠CDE+∠ECD＝90°，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠OCB+∠BCF＝90°，∴∠OCE＝90°，即OC⊥EF，∵OC是⊙O的半徑，∴CE為⊙O的切線；（2）解：如下圖，過點(diǎn)O作OG⊥AE于G，連接OC，OD，則∠OGE＝90°，∵∠E＝∠OCE＝90°，∴四邊形OGEC是矩形，∴OC＝EG，GD＝5﹣1＝4，∴EC＝OG＝＝3，∴CD＝＝．【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，圓的有關(guān)知識，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握切線的判定是本題的關(guān)鍵．一十三．切線長定理（共3小題）34．如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，AC＝10，AB＝8，BC＝9，點(diǎn)D，E分別為BC，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙O的切線，則△CDE的周長為（）A．9 B．7 C．11 D．8【分析】設(shè)AB，AC，BC，DE和圓的切點(diǎn)分別是P，N，M，Q．根據(jù)切線長定理得到NC＝MC，QE＝DQ．所以三角形CDE的周長即是CM+CN的值，再進(jìn)一步根據(jù)切線長定理由三角形ABC的三邊進(jìn)行求解即可．【解答】解：設(shè)AB，AC，BC，DE和圓的切點(diǎn)分別是P，N，M，Q，CM＝x，根據(jù)切線長定理，得CN＝CM＝x，BM＝BP＝9﹣x，AN＝AP＝10﹣x．則有9﹣x+10﹣x＝8，解得：x＝5.5．所以△CDE的周長＝CD+CE+QE+DQ＝2x＝11．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要是考查了切線長定理．要掌握圓中的有關(guān)定理，才能靈活解題．35．如圖，圓O的圓心在梯形ABCD的底邊AB上，并與其它三邊均相切，若AB＝10，AD＝6，則CB長（）A．4 B．5 C．6 D．無法確定【分析】方法1、設(shè)圓O的半徑是R，圓O與AD、DC、CB相切于點(diǎn)E、F、H，連接OE、OD、OF、OC、OH，則圓的半徑R，可以看作△BOC，△COD，△AOD的高，根據(jù)S梯形ABCD＝S△BOC+S△COD+S△DOA，以及梯形的面積公式即可求解．方法2、利用切線的性質(zhì)得出∠ADO＝∠ODC，進(jìn)而得出∠ADO＝∠AOD，即可得出OA＝6，即：OB＝4，同理：BC＝OB即可得出結(jié)論．【解答】解：方法1、設(shè)圓O的半徑是R，圓O與AD、DC、CB相切于點(diǎn)E、F、H，連接OE、OD、OF、OC、OH．設(shè)CD＝y(tǒng)，CB＝x．設(shè)S梯形ABCD＝S則S＝（CD+AB）R＝（y+10）R﹣﹣﹣﹣（1）S＝S△BOC+S△COD+S△DOA＝xR+yR+×6R﹣﹣﹣﹣（2）聯(lián)立（1）（2）得x＝4；方法2、連接OD．OC∵AD，CD是⊙O的切線，∴∠ADO＝∠ODC，∵CD∥AB，∴∠ODC＝∠AOD，∴∠ADO＝∠AOD∴AD＝OA∵AD＝6，∴OA＝6，∵AB＝10，∴OB＝4，同理可得OB＝BC＝4，故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出OA＝6．36．如圖，PA和PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)．C是弧AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C畫⊙O的切線，分別交PA和PB于D，E兩點(diǎn)，已知PA＝PB＝5cm，求△PDE的周長．【分析】根據(jù)切線長定理得到PA＝PB，DA＝DC，EB＝EC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：∵PA和PB是⊙O的兩條切線，∴PA＝PB，同理可得：DA＝DC，EB＝EC，∴△PDE的周長＝PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝10（cm）．【點(diǎn)評】本題考查的是切線長定理，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等．一十四．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共2小題）37．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD＝BD＝2，EC＝3，則△ABC的周長為（）A．10 B．12 C．14 D．16【分析】根據(jù)切線長定理得出AF＝AD＝2，BE＝BD＝2，CF＝CE＝3，再求出△ABC的周長即可．【解答】解：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AD＝BD＝2，EC＝3，∴AF＝AD＝2，BE＝BD＝2，CF＝CE＝3，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝AD+BD+BE+CE+AF+CF＝2+2+2+3+3+2＝14，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，能熟記從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等是解此題的關(guān)鍵．38．如圖，點(diǎn)I為等邊△ABC的內(nèi)心，連接AI并延長交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，已知外接圓的半徑為2，則線段DB的長為（）A．2 B．3 C．4 D．【分析】連結(jié)BI，先由△ABC是等邊三角形證明∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，則∠D＝∠C＝60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)心的定義證明∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°，即可證明AD是△ABC外接圓的直徑，再證明△DBI是等邊三角形，則DI＝BI，即可證明DI＝AI＝AD＝2，則BD＝DI＝2．【解答】解：如圖，連接BI，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°，∵點(diǎn)I為等邊△ABC的內(nèi)心，∴∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°，∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝60°，∴AD是△ABC外接圓的直徑，∵∠DBI＝180°﹣∠D﹣∠DIB＝60°，∴△DBI是等邊三角形，∴DI＝BI，∵∠IAB＝∠IBA，∴AI＝BI，∴DI＝AI＝AD＝2，∴BD＝DI＝2，∴線段DB的長為2，故選：A．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查三角形的內(nèi)心與三角形的外心的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、90°的圓周角所對的弦是直徑、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．一十五．正多邊形和圓（共5小題）39．如圖，有一個直徑為4cm的圓形紙片，若在該紙片上沿虛線剪一個最大正六邊形紙片，則這個正六邊形紙片的邊心距是（）A．1 B． C．2 D．4【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正多邊形圓心角的求法求出∠AOB的度數(shù)，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OH即可．【解答】解：如圖所示，連接OB、OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，∵⊙O的直徑為4cm，∴OB＝OA＝2cm，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵六邊形ABCDEF是正六邊形∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵OH⊥AB，∴BH＝AB＝×2＝1（cm），∴OH＝＝（cm），∴正六邊形紙片的邊心距是cm，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖形，利用直角三角形的性質(zhì)及正六邊形的性質(zhì)解答是解答此題的關(guān)鍵．40．如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N分別為邊CD，BC的中點(diǎn)，AN與BM相交于點(diǎn)P，則∠APM的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定與性質(zhì)可得∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案．【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M(jìn)，N分別為邊CD，BC的中點(diǎn)，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，通過證三角形全等得到∠BNP＝∠CMB是解決此題的關(guān)鍵．41．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)M在上，則∠CMD的大小為（）A．60° B．45° C．30° D．15°【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出∠COD＝60°，由圓周角定理求出∠CMD＝30°．【解答】解：連接OC，OD，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD＝60°，∴∠CMD＝COD＝30°，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，由圓周角定理求出∠AOB＝60°是解決問題的關(guān)鍵．42．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，求證：BM＝CM．【分析】根據(jù)圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理解答即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵＝，∴+＝+，即＝，∴BM＝CM．【點(diǎn)評】本題考查的是正方形的性質(zhì)、弧長的計算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．43．如圖，已知⊙O內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的邊心距r6、面積S6．【分析】連接OB，OG⊥CB于G，易得△COB是等邊三角形，繼而可得正六邊形的外接圓半徑R，然后由勾股定理求得邊心距，又由S正六邊形＝6S△OBC求得答案．【解答】解：連接OB，OG⊥CB于G，∵∠COB＝60°，OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴OC＝OB＝6cm，即R＝6cm，∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，∴CG＝BG＝CB＝×6＝3cm，在Rt△COG中，r6＝OG＝＝3（cm），∴S6＝×6×6×3＝54（cm2）．【點(diǎn)評】此題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．一十六．弧長的計算（共2小題）44．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC為直徑的半圓O交斜邊AB于點(diǎn)D．（1）求證：AD＝3BD；（2）求的長．（結(jié)果保留π）【分析】（1）兩次應(yīng)用“直角三角形中30°角所對的直角邊是斜邊的一半”即可證得結(jié)論；（2）直接利用弧長公式求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠COD＝120°，∵BC＝4，BC為半圓O的直徑，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝2BD，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4BD，∴AD＝3BD；（2）由（1）得∠B＝60°，∴OC＝OD＝OB＝2，∴弧BD的長為＝．【點(diǎn)評】本題考查弧長公式、直角三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是正確記憶相關(guān)知識點(diǎn)．45．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，點(diǎn)C，D在AB的兩側(cè)．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，求弧CD的長．【分析】根據(jù)平角定義和已知條件求出∠AOD＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，進(jìn)而求出∠COD＝90°，解直角三角形求出半徑OD，再根據(jù)弧長公式求出即可．【解答】解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，在Rt△OCD中，OD＝OC，CD＝4，OC2+OD2＝CD2，∴2OD2＝42，∴OD＝2，∴的長＝＝π，即弧CD的長為π．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理和弧長公式，根據(jù)勾股定理能求出半徑OD的長是解此題的關(guān)鍵．一十七．扇形面積的計算（共4小題）46．如圖，為了美化校園，學(xué)校在一塊靠墻角的空地上建造了一個扇形花圃，其圓心角∠AOB＝120°，半徑為6m，求該扇形的弧長與面積．（結(jié)果保留π）【分析】直接利用弧長公式和扇形的面積公式列式計算即可．【解答】解：∵扇形OAB的圓心角為120°，半徑為6m，∴該扇形的弧長為：＝4π（m），面積為＝12π（m2）．答：該扇形的弧長與面積分別為4πm和12πm2．【點(diǎn)評】此題主要考查了弧長公式及扇形面積公式的應(yīng)用，熟練記憶弧長公式及扇形面積公式是解題關(guān)鍵．47．如圖所示，以?ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，延長BA交⊙A于點(diǎn)G．（1）求證：＝；（2）若∠C＝120°，BG＝4，求陰影部分弓形的面積．【分析】（1）由同圓或等圓中相等的圓心角對的弧相等即可證明；（2）根據(jù)弓形的面積等于扇形面積減三角形的面積，即可計算．【解答】（1）證明：連接AF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠GAE＝∠ABF，∠EAF＝∠AFB，∵AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB，∴∠GAE＝∠EAF，∴＝；（2）解：作AH⊥BF于H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠C+∠ABC＝180°，∵∠C＝120°，∴∠ABC＝60°，∵AB＝AF，∴△ABF是等邊三角形，∴BF＝AB＝2，∠BAF＝60°，∴S扇形ABF＝×π×22＝，∵sin∠ABH＝，∴AH＝AB?sin∠ABH，∴AH＝2×＝，∵S△ABF＝BF?AH，∴S△ABF＝×2×＝，∴S陰＝﹣．【點(diǎn)評】本題考查圓的有關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握：在同圓或等圓中相等的圓心角對的弧相等；正確表示出陰影的面積．48．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，∠AOC＝60°，OC＝2．（1）求OE和CD的長；（2）求圖中兩陰影部分的面積各是多少？【分析】（1）在△OCE中，利用三角函數(shù)即可求得CE，OE的長，再根據(jù)垂徑定理即可求得CD的長