重難點01平行線(四種模型)(原卷版+解析)

重難點01平行線（四種模型）目錄題型一：M型（含鋸齒形）題型二：筆尖型題型三：“雞翅”型題型四：“骨折”型技巧方法技巧方法模型一：M模型如圖，若AB//CD，你能確定∠B、∠D與∠BED的大小關系嗎？解：∠B＋∠D＝∠DEB．理由如下：過點E作EF//AB又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB

即∠B＋∠D＝∠DEB．模型二、筆尖型如圖，AB//CD，探索∠B、∠D與∠DEB的大小關系？解：∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．理由如下：過點E作EF//AB．

又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠B+∠BEF＝180°．

∠D+∠DEF＝180°．∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF＝360°．

即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．模型三、“雞翅”型如圖，已知AB//CD，試猜想∠A、∠E、∠C的關系，并說明理由．解：∠AEC=∠A-∠C,

理由如下：過點E作EF//AB

又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠A+∠FEA=180°，

∠C+∠FEC=180°

∴∠AEC＝∠FEC-∠FEA

=180°-∠C–(180°-∠A)

=∠A-∠C即：∠AEC=∠A-∠C模型四、“骨折模型”如圖，已知BC//DE，試猜想∠A、∠B、∠D的關系，并說明理由．

解：∠BAD=∠D-∠B,理由如下：過點A作AG//BC又∵CB//DE．

∴AG//DE

∴∠GAB+∠B=180°，

∠GAD+∠D=180°

∴∠BAD＝∠GAB-∠GAD

=180°-∠B–(180°-∠D)

=∠D-∠B

即：∠BAD=∠D-∠B注：平行線四大模型大題不可直接使用，必須證明后再用，選擇填空滿足條件即可直接用！

能力拓展能力拓展題型一：M型（含鋸齒形）一、填空題1．（2023春·七年級課時練習）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為___________．（用含n的式子表示）二、解答題2．（2023春·七年級課時練習）如圖，，點E在直線AB，CD內部，且．（1）如圖1，連接AC，若AE平分，求證：平分；（2）如圖2，點M在線段AE上，①若，當直角頂點E移動時，與是否存在確定的數(shù)量關系?并說明理由；②若（為正整數(shù)），當直角頂點E移動時，與是否存在確定的數(shù)量關系?并說明理由．3．（2023春·七年級課時練習）如圖：(1)如圖1，，，，直接寫出的度數(shù)．(2)如圖2，，點為直線，間的一點，平分，平分，寫出與之間的關系并說明理由．(3)如圖3，與相交于點，點為內一點，平分，平分，若，，直接寫出的度數(shù)．4．（2023春·七年級課時練習）問題情境：如圖①，直線，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．(1)猜想：若，，試猜想______°；(2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．5．（2023春·七年級課時練習）已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如圖，當點在線段上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當點P在線段EF外運動時有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關系（不要求證明）．6．（2023春·七年級課時練習）已知直線AB//CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關系，并說明理由．7．（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀下面內容，并解答問題．已知：如圖1，，直線分別交，于點，．的平分線與的平分線交于點．(1)求證：；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說明理由．我選擇題．①在圖1的基礎上，分別作的平分線與的平分線交于點，得到圖2，則的度數(shù)為．②如圖3，，直線分別交，于點，．點在直線，之間，且在直線右側，的平分線與的平分線交于點，則與滿足的數(shù)量關系為．8．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過作，通過平行線性質可求的度數(shù)．（1）請你按小明的思路，寫出度數(shù)的求解過程；（2）如圖3，，點在直線上運動，記，．①當點在線段上運動時，則與、之間有何數(shù)量關系？請說明理由；②若點不在線段上運動時，請直接寫出與、之間的數(shù)量關系．9．（2023春·七年級課時練習）請在橫線上填上合適的內容．（1）如圖（1）已知//，則．解：過點作直線//．∴（

）．（

）∵//，//，∴（

）//（

）．（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）∴（

）．（

）．∴．∴．（2）如圖②，如果//，則（）10．（2023春·七年級課時練習）如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點．(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關系；(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補角，求∠BAE的大?。?1．（2023春·七年級課時練習）已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．①如圖2，當點B在點A的左側時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當點B在點A的右側時，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）12．（2023春·七年級課時練習）已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．13．（2023春·七年級課時練習）如圖1，點、分別在直線、上，，.（1）求證：；（提示：可延長交于點進行證明）（2）如圖2，平分，平分，若，求與之間的數(shù)量關系；（3）在（2）的條件下，如圖3，平分，點在射線上，，若，直接寫出的度數(shù)．14．（2023春·七年級課時練習）已知ABCD，∠ABE的角分線與∠CDE的角分線相交于點F．（1）如圖1，若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線，且∠BED＝100°，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度數(shù)；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，請直接寫出∠M與∠BED之間的數(shù)量關系．15．（2023春·七年級課時練習）已知直線AM、CN和點B在同一平面內，且AM∥CN，AB⊥BC．（1）如圖1，求∠A和∠C之間的數(shù)量關系；（2）如圖2，若BD⊥AM，垂足為D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，已知點D、E、F都在直線AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，請直接寫出∠EBC的度數(shù)．16．（2021春·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，點在直線上，點在直線和之間，，平分．（1）求的度數(shù)（用含的式子表示）；（2）過點作交的延長線于點，作的平分線交于點，請在備用圖中補全圖形，猜想與的位置關系，并證明；（3）將（2）中的“作的平分線交于點”改為“作射線將分為兩個部分，交于點”，其余條件不變，連接，若恰好平分，請直接寫出__________（用含的式子表示）．題型二：筆尖型一、單選題1．（2023春·七年級課時練習）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點在直線上，則．以上結論正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題2．（2023春·七年級課時練習）如圖，若直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°則∠2的度數(shù)為___．3．（2023春·七年級課時練習）如圖，直線a與∠AOB的一邊射線OA相交，∠1＝130°，向下平移直線a得到直線b，與∠AOB的另一邊射線OB相交，則∠2+∠3＝___．三、解答題4．（2021春·山東德州·七年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，，，，則；（2）如圖2，，點在射線上運動，當點在、兩點之間運動時，，，求與、之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點在、兩點外側運動時（點與點、、三點不重合），請你直接寫出與、之間的數(shù)量關系．5．（2023春·全國·七年級專題練習）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，不需要說明理由．6．（2021春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．（1）麗麗同學看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補全她的推理依據(jù)．如圖2，過點P作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關系．7．（2023春·全國·七年級專題練習）已知直線AB∥CD，P為平面內一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．8．（2022春·貴州黔南·七年級統(tǒng)考階段練習）綜合與探究：（1）問題情境：如圖1，．求的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過P作，∴．∴．∵．∴．…………請你幫助小明完成剩余的解答．（2）問題探究：請你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：如圖3，，點P在射線上運動，．當點P在A，B兩點之間時，之間有何數(shù)量關系？請說明理由．9．（2023春·全國·七年級專題練習）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖①，直線，是與之間的一點，連接，，可以發(fā)現(xiàn)：，請你寫出證明過程；（2）拓展探究如果點運動到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：．（3）解決問題如圖③，，，，則________．（直接寫出結論，不用寫計算過程）10．（2023春·七年級課時練習）閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．數(shù)學課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知點分別在上，．求的度數(shù)．同學們經過思考后，小明、小偉、小華三位同學用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過作平行線，發(fā)現(xiàn)，由已知可以求出的度數(shù)．”小偉：“如圖3這樣作平行線，經過推理，得也能求出的度數(shù)．”小華：∵如圖4，也能求出的度數(shù)．”(1)請你根據(jù)小明同學所畫的圖形(圖2)，描述小明同學輔助線的做法，輔助線：______；(2)請你根據(jù)以上同學所畫的圖形，直接寫出的度數(shù)為_________°；老師：“這三位同學解法的共同點，都是過一點作平行線來解決問題，這個方法可以推廣．”請大家參考這三位同學的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問題：(3)如圖，，點分別在上，平分若請?zhí)骄颗c的數(shù)量關系（(用含的式子表示)，并驗證你的結論．11．（2023春·七年級課時練習）問題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．思路點撥：小明的思路是：如圖2，過P作，通過平行線性質，可分別求出、的度數(shù)，從而可求出的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接，通過平行線性質以及三角形內角和的知識可求出的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長交的延長線于E，通過平行線性質以及三角形外角的相關知識可求出的度數(shù)．問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進行推理計算，你求得的的度數(shù)為°；問題遷移：（1）如圖5，，點P在射線上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，，．、、之間有何數(shù)量關系？請說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出、、間的數(shù)量關系．12．（2023春·七年級課時練習）已知直線，點A，C分別在，上，點B在直線，之間，且．（1）如圖①，求證：．閱讀并將下列推理過程補齊完整：過點B作，因為，所以__________（

）所以，（

）所以．（2）如圖②，點D，E在直線上，且，BE平分．求證：；（3）在（2）的條件下，如果的平分線BF與直線平行，試確定與之間的數(shù)量關系，并說明理由．13．（2023春·七年級課時練習）已知，定點，分別在直線，上，在平行線，之間有一動點．（1）如圖1所示時，試問，，滿足怎樣的數(shù)量關系?并說明理由．（2）除了（1）的結論外，試問，，還可能滿足怎樣的數(shù)量關系?請畫圖并證明（3）當滿足，且，分別平分和，①若，則__________°．②猜想與的數(shù)量關系．（直接寫出結論）題型三：“雞翅”型一、解答題1．（2021春·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知于點A，AE∥CD交于點E，且于點F．求證：．證明：∵于點A，于點F，（已知）∴．（垂直的定義）∴AD∥EF，（

）∴__________（

）∵AE∥CD，（已知）∴________．（兩直線平行，同位角相等）∵，∴．（等量代換）2．（2023春·七年級課時練習）（1）已知：如圖（a），直線．求證：；（2）如圖（b），如果點C在AB與ED之外，其他條件不變，那么會有什么結果？你還能就本題作出什么新的猜想？3．（2022·全國·七年級假期作業(yè)）已知，，．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，作的平分線交于點，點為上一點，連接，若的平分線交線段于點，連接，若，過點作交的延長線于點，且，求的度數(shù)．4．（2023春·七年級課時練習）直線，A是上一點，B是上一點，直線和直線，交于點C和D，在直線CD上有一點P．（1）如果P點在C、D之間運動時，問、、有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．（2）若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），試探索、、之間的關系又是如何？（請直接寫出答案，不需要證明）5．（2023春·七年級課時練習）已知，點為平面內一點，于．（1）如圖1，點在兩條平行線外，則與之間的數(shù)量關系為______；（2）點在兩條平行線之間，過點作于點．①如圖2，說明成立的理由；②如圖3，平分交于點平分交于點．若，求的度數(shù)．題型四：“骨折”型一、填空題1．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，如果AB∥EF，EF∥CD，則∠1，∠2，∠3的關系式__________．2．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為__________．3．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，則∠BCD=_____．4．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為______二、解答題5．（2023春·七年級課時練習）（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．6．（2023春·全國·七年級專題練習）（1）如圖1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接寫出結果）（2）如圖2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接寫出結果）（3）如圖3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接寫出結果）（4）如圖4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接寫出結果）7．（2023春·七年級課時練習）如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．8．（2021春·山西晉中·七年級統(tǒng)考期中）綜合與探究【問題情境】王老師組織同學們開展了探究三角之間數(shù)量關系的數(shù)學活動（1）如圖1，，點、分別為直線、上的一點，點為平行線間一點，請直接寫出、和之間的數(shù)量關系；【問題遷移】（2）如圖2，射線與射線交于點，直線，直線分別交、于點、，直線分別交、于點、，點在射線上運動，①當點在、（不與、重合）兩點之間運動時，設，．則，，之間有何數(shù)量關系？請說明理由．②若點不在線段上運動時（點與點、、三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出，，之間的數(shù)量關系．重難點01平行線（四種模型）目錄題型一：M型（含鋸齒形）題型二：筆尖型題型三：“雞翅”型題型四：“骨折”型技巧方法技巧方法模型一：M模型如圖，若AB//CD，你能確定∠B、∠D與∠BED的大小關系嗎？解：∠B＋∠D＝∠DEB．理由如下：過點E作EF//AB又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠D=∠DEF．∠B=∠BEF．∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠DEB

即∠B＋∠D＝∠DEB．模型二、筆尖型如圖，AB//CD，探索∠B、∠D與∠DEB的大小關系？解：∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．理由如下：過點E作EF//AB．

又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠B+∠BEF＝180°．

∠D+∠DEF＝180°．∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF＝360°．

即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．模型三、“雞翅”型如圖，已知AB//CD，試猜想∠A、∠E、∠C的關系，并說明理由．解：∠AEC=∠A-∠C,

理由如下：過點E作EF//AB

又∵AB//CD．

∴EF//CD．

∴∠A+∠FEA=180°，

∠C+∠FEC=180°

∴∠AEC＝∠FEC-∠FEA

=180°-∠C–(180°-∠A)

=∠A-∠C即：∠AEC=∠A-∠C模型四、“骨折模型”如圖，已知BC//DE，試猜想∠A、∠B、∠D的關系，并說明理由．

解：∠BAD=∠D-∠B,理由如下：過點A作AG//BC又∵CB//DE．

∴AG//DE

∴∠GAB+∠B=180°，

∠GAD+∠D=180°

∴∠BAD＝∠GAB-∠GAD

=180°-∠B–(180°-∠D)

=∠D-∠B

即：∠BAD=∠D-∠B注：平行線四大模型大題不可直接使用，必須證明后再用，選擇填空滿足條件即可直接用！

能力拓展能力拓展題型一：M型（含鋸齒形）一、填空題1．（2023春·七年級課時練習）如圖，已知，平分，平分，，，則的度數(shù)為___________．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先過點E作，由平行線的傳遞性得，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等，得出，，由角平分線的定義得出，，再由兩直線平行，內錯角相等得出，由即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點E作，則，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，解題關鍵是作出正確的輔助線，掌握平行線的性質和角平分線的定義．二、解答題2．（2023春·七年級課時練習）如圖，，點E在直線AB，CD內部，且．（1）如圖1，連接AC，若AE平分，求證：平分；（2）如圖2，點M在線段AE上，①若，當直角頂點E移動時，與是否存在確定的數(shù)量關系?并說明理由；②若（為正整數(shù)），當直角頂點E移動時，與是否存在確定的數(shù)量關系?并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①∠BAE+∠MCD=90°，理由見解析；②∠BAE+∠MCD=90°，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)平行的性質可得∠BAC+∠DCA=180°，再根據(jù)可得∠EAC+∠ECA=90°，根據(jù)AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代換可得∠ECD+∠EAC=90°，繼而求得∠DCE=∠ECA；（2）①過E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質及已知條件可推得答案；②過E作EF∥AB，先利用平行線的傳遞性得出EF∥AB∥CD，再利用平行線的性質及已知條件可推得答案.【詳解】（1）解：因為，所以∠BAC+∠DCA=180°，因為，所以∠EAC+∠ECA=90°，因為AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，所以∠BAE+∠DCE=90°，所以∠EAC+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠ECA，所以CE平分∠ACD；（2）①∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；②∠BAE與∠MCD存在確定的數(shù)量關系：∠BAE+∠MCD=90°，理由如下：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°.【點睛】本題主要考查平行線的性質和角平分線的定義，解決本題的關鍵是要添加輔助線利用平行性質.3．（2023春·七年級課時練習）如圖：(1)如圖1，，，，直接寫出的度數(shù)．(2)如圖2，，點為直線，間的一點，平分，平分，寫出與之間的關系并說明理由．(3)如圖3，與相交于點，點為內一點，平分，平分，若，，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)∠BED=66°；(2)∠BED=2∠F，見解析；(3)∠BED的度數(shù)為130°．【分析】（1）首先作EF∥AB，根據(jù)直線AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，據(jù)此推得∠BED=∠1+∠2=66°；（2）首先作EG∥AB，延長DE交BF于點H，利用三角形的外角性質以及角平分線的定義即可得到∠BED=2∠F；（3）延長DF交AB于點H，延長GE到I，利用三角形的外角性質以及角平分線的定義即可得到∠BED的度數(shù)為130°．【詳解】（1）解：（1）如圖，作EF∥AB，，∵直線AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F，理由是：過點E作EG∥AB，延長DE交BF于點H，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2=∠1，∠3=∠4，則∠5=2∠2，∠6=2∠3，∴∠BED=2(∠2+∠3)，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，∴∠3+∠2+∠F=∠BED，綜上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；（3）解：延長DF交AB于點H，延長GE到I，∵∠BGD=60°，∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1)=70°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，∴∠BEI=∠ABE+∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+(∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，∴∠BED的度數(shù)為130°．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，三角形的外角性質等知識，掌握平行線的判定和性質，正確添加輔助線是解題關鍵．4．（2023春·七年級課時練習）問題情境：如圖①，直線，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．(1)猜想：若，，試猜想______°；(2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)；證明見詳解(3)【分析】（1）過點作，利用平行的性質就可以求角度，解決此問；（2）利用平行線的性質求位置角的數(shù)量關系，就可以解決此問；（3）分別過點、點作、，然后利用平行線的性質求位置角的數(shù)量關系即可．【詳解】（1）解：如圖過點作，∵，∴．∴，．∵，，∴∴．∵，∴∠P=80°．故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖過點作，∵，∴．∴，．∴∵，．（3）如圖分別過點、點作、∵，∴．∴，，．∴∵，，，∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質定理，準確的作出輔助線和正確的計算是解決本題的關鍵．5．（2023春·七年級課時練習）已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如圖，當點在線段上運動時，試說明∠1＋∠3＝∠2；(2)當點P在線段EF外運動時有兩種情況．①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關系并給出證明；②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關系（不要求證明）．【答案】(1)證明見詳解(2)①；證明見詳解；②；證明見詳解【分析】（1）如圖4過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；（2）①如圖5過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質可知，，根據(jù)等量代換就可以得出；②如圖6過點作，利用平行線的傳遞性可知，根據(jù)平行線的性質可知，，根據(jù)等量代換就可以得出．【詳解】（1）解：如圖4所示：過點作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如圖5過點作，∵∴∴，，∵，∴；②如圖6過點作，∵∴∴，，∵，∴．【點睛】本題利用“豬蹄模型”及其變式考查了利用平行線的性質求角之間的數(shù)量關系，準確的作出輔助線和找到對應的內錯角是解決本題的關鍵．6．（2023春·七年級課時練習）已知直線AB//CD，EF是截線，點M在直線AB、CD之間．(1)如圖1，連接GM，HM．求證：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如圖2，在∠GHC的角平分線上取兩點M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．試判斷∠M與∠GQH之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)證明見詳解(2)；理由見詳解【分析】（1）過點作，由，可知．由此可知：，，故；（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知：，利用三角形內角和是180°，可得．【詳解】（1）解：如圖：過點作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如圖：過點作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了利用平行線的性質求角之間的數(shù)量關系，正確的作出輔助線是解決本題的關鍵，同時這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應用．7．（2023春·全國·七年級專題練習）閱讀下面內容，并解答問題．已知：如圖1，，直線分別交，于點，．的平分線與的平分線交于點．(1)求證：；(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說明理由．我選擇題．①在圖1的基礎上，分別作的平分線與的平分線交于點，得到圖2，則的度數(shù)為．②如圖3，，直線分別交，于點，．點在直線，之間，且在直線右側，的平分線與的平分線交于點，則與滿足的數(shù)量關系為．【答案】(1)見解析(2)①；②結論：【分析】（1）利用平行線的性質解決問題即可；（2）①利用基本結論求解即可；②利用基本結論，，求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，過作，，，，，平分，平分，，，，在中，，，；（2）解：①如圖2中，由題意，，平分，平分，，，故答案為：；②結論：．理由：如圖3中，由題意，，，平分，平分，，，，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質和判定，角平分線的性質，垂直的定義，解題的關鍵是熟練掌握相關的性質．8．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖1，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過作，通過平行線性質可求的度數(shù)．（1）請你按小明的思路，寫出度數(shù)的求解過程；（2）如圖3，，點在直線上運動，記，．①當點在線段上運動時，則與、之間有何數(shù)量關系？請說明理由；②若點不在線段上運動時，請直接寫出與、之間的數(shù)量關系．【答案】（1）見解析；（2）①，見解析；②【分析】（1）過作，利用平行線的性質即可得出答案；（2）①過作，再利用平行線的性質即可得出答案；②分在延長線上和在延長線上兩種情況進行討論，結合平行線的性質即可得出答案【詳解】解：（1）如圖2，過作，，，，，，，，．（2）①、，理由：如圖3，過作，，，，，；②、．如備用圖1，當在延長線上時，；理由：如備用圖1，過作，，，，，；如備用圖2所示，當在延長線上時，；理由：如備用圖2，過P作，，，，，；綜上所述，．【點睛】本題考查的是平行線的性質，解題的關鍵是過作．9．（2023春·七年級課時練習）請在橫線上填上合適的內容．（1）如圖（1）已知//，則．解：過點作直線//．∴（

）．（

）∵//，//，∴（

）//（

）．（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）∴（

）．（

）．∴．∴．（2）如圖②，如果//，則（）【答案】（1）∠B，兩直線平行，內錯角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內錯角相等；（2）360°【分析】（1）過點E作直線EF∥AB，則∠FEB=∠B，繼而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED；（2）過點E作直線EF∥AB，則∠FEB+∠B=180°，繼而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°．【詳解】解：（1）解：過點E作直線EF∥AB．∴∠FEB=∠B．（兩直線平行，內錯角相等）∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．∴∠FED=∠D（兩直線平行，內錯角相等）．∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．∴∠B+∠D=∠BED．故答案為：∠B，兩直線平行，內錯角相等，EF，CD，∠D，兩直線平行，內錯角相等；（2）解：過點E作直線EF∥AB，如圖．∴∠FEB+∠B=180°．兩直線平行，內錯角相等）．∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）．∴∠FED+∠D=180°（兩直線平行，內錯角相等）．∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．∴∠B+∠BED+∠D=360°．故答案為：360°．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，平行公理及其推論，熟練掌握平行線判定、性質說理是關鍵．10．（2023春·七年級課時練習）如圖1，AB//CD，E是AB，CD之間的一點．(1)判定∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；(2)如圖2，若∠BAE，∠CDE的角平分線交于點F，直接寫出∠AFD與∠AED之間的數(shù)量關系；(3)將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，若∠AGD的余角等于2∠E的補角，求∠BAE的大?。敬鸢浮?1)；(2)；(3)【分析】（1）作EF∥AB，如圖1，則EF∥CD，利用平行線的性質得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，從而得到∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結論得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，則∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的結論得到∠AFD=∠AED；（3）由（1）的結論得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折疊性質得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代換得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，從而計算出∠BAE的度數(shù)．【詳解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED理由如下：作EF∥AB，如圖1∵AB∥CD∴EF∥CD∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE∴∠BAE+∠CDE=∠AED（2）如圖2，由（1）的結論得∠AFD=∠BAF+∠CDF∵∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點F∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）∵∠BAE+∠CDE=∠AED∴∠AFD=∠AED（3）由（1）的結論得∠AGD=∠BAF+∠CDG而射線DC沿DE翻折交AF于點G∴∠CDG=4∠CDF∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE∵90°-∠AGD=180°-2∠AED∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED∴∠BAE=60°【點睛】本題考查了平行線性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．11．（2023春·七年級課時練習）已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．①如圖2，當點B在點A的左側時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當點B在點A的右側時，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）【答案】（1）見解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質定理解答即可；（2）①如圖2，過點作，當點在點的左側時，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過點作，當點在點的右側時，，，根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，則有，，，，；（2）①如圖2，過點作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過點作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質．12．（2023春·七年級課時練習）已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質可求解；（2）根據(jù)（1）的結論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義可推知∠FEQ=∠BME，進而可求解．【詳解】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【點睛】本題主要考查平行線的性質及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關鍵．13．（2023春·七年級課時練習）如圖1，點、分別在直線、上，，.（1）求證：；（提示：可延長交于點進行證明）（2）如圖2，平分，平分，若，求與之間的數(shù)量關系；（3）在（2）的條件下，如圖3，平分，點在射線上，，若，直接寫出的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質求證即可；（2）根據(jù)三角形的內角和為180°和平角定義得到，結合平行線的性質得到，再根據(jù)角平分線的定義證得，結合已知即可得出結論；（3）分當在直線下方和當在直線上方兩種情況，根據(jù)平行線性質、三角形外角性質、角平分線定義求解即可．【詳解】解：（1）如圖1，延長交于點，∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）延長交于點，交于點，∵，，∴，∵，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∵，，∴；（3）當在直線下方時，如圖，設射線交于，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，即，解得：．當在直線上方時，如圖，同理可證得，則有，解得：．綜上，故答案為或．【點睛】本題考查平行線的判定與性質、角平分線的定義、三角形的外角性質、三角形的內角和定理、平角定義、角度的運算，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．14．（2023春·七年級課時練習）已知ABCD，∠ABE的角分線與∠CDE的角分線相交于點F．（1）如圖1，若BM、DM分別是∠ABF和∠CDF的角平分線，且∠BED＝100°，求∠M的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∠BED＝α°，求∠M的度數(shù)；（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，請直接寫出∠M與∠BED之間的數(shù)量關系．【答案】（1）65°（2）（3）2n∠M+∠BED=360°【分析】（1）首先作EGAB，F(xiàn)HAB，利用平行線的性質可得∠ABE+∠CDE=260°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=130°，從而得到∠BFD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可求∠M的度數(shù)；（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠BED，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代換即可求解；（3）先由已知得到，，由（2）的方法可得到2n∠M+∠BED=360°．【詳解】解：（1）如圖1，作，，∵，∴，∴，，，，∴，∵，∴，∵的角平分線和的角平分線相交于F，∴，∴，∵、分別是和的角平分線，∴，，∴，∴；（2）如圖2，∵，，∴，，∵與兩個角的角平分線相交于點，∴，，∴，∵，∴，∴；（3）∵∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，∴，，∵與兩個角的角平分線相交于點，∴，，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和角平分線的計算，關鍵在于掌握兩直線平行同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補的性質．15．（2023春·七年級課時練習）已知直線AM、CN和點B在同一平面內，且AM∥CN，AB⊥BC．（1）如圖1，求∠A和∠C之間的數(shù)量關系；（2）如圖2，若BD⊥AM，垂足為D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，已知點D、E、F都在直線AM上，且∠ABD＝∠NCB，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD．若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，請直接寫出∠EBC的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）見解析；（3）∠EBC=105°．【分析】（1）通過平行線性質和直角三角形內角關系求解．（2）畫輔助平行線找角的聯(lián)系．（3）利用（2）的結論，結合角平分線性質求解．【詳解】解：（1）如圖1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠A+∠C=90°，故答案為：∠A+∠C=90°；（2）如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵AM∥CN，∴CN∥BG，∴∠CBG=∠BCN，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，∵∠ABD=∠NCB，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∵BG∥DM，∴∠DFB=∠GBF=β，∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點睛】本題考查平行線性質，三角形內角和定理，角平分線的定義，畫輔助線，找到角的關系是求解本題的關鍵．16．（2021春·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，點在直線上，點在直線和之間，，平分．（1）求的度數(shù)（用含的式子表示）；（2）過點作交的延長線于點，作的平分線交于點，請在備用圖中補全圖形，猜想與的位置關系，并證明；（3）將（2）中的“作的平分線交于點”改為“作射線將分為兩個部分，交于點”，其余條件不變，連接，若恰好平分，請直接寫出__________（用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）畫圖見解析，，證明見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)平行線的傳遞性推出，再利用平行線的性質進行求解；（2）猜測，根據(jù)平分，推導出，再根據(jù)、平分，通過等量代換求解；（3）分兩種情況進行討論，即當與，充分利用平行線的性質、角平分線的性質、等量代換的思想進行求解．【詳解】（1）過點作，，，，．（2）根據(jù)題意，補全圖形如下：猜測，由（1）可知：，平分，，，，，又平分，，，．（3）①如圖1，，由（2）可知：，，，，，，，，，，又平分，，；②如圖2，，（同①）；若，則有，又，，，，綜上所述：或，故答案是：或．【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線、三角形內角和定理、垂直等相關知識點，解題的關鍵是掌握相關知識點，作出適當?shù)妮o助線，通過分類討論及等量代換進行求解．題型二：筆尖型一、單選題1．（2023春·七年級課時練習）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，直線EF，點在直線上，則．以上結論正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①過點E作直線EFAB，由平行線的性質：兩直線平行，同旁內角互補，即可得出結論；②如圖2，先根據(jù)三角形外角的性質得出∠1＝∠C+∠P，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等即可作出判斷；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，由平行線的性質可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如圖4，根據(jù)平行線的性質得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的關系解答即可．【詳解】解：①如圖1，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①錯誤；②如圖2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正確；③如圖3，過點E作直線EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③錯誤；④如圖4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正確；綜上結論正確的個數(shù)為2，故選：B．【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，熟練掌握平行線的性質，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關鍵．二、填空題2．（2023春·七年級課時練習）如圖，若直線l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝30°則∠2的度數(shù)為___．【答案】150°##150度【分析】延長AB交l2于E，根據(jù)平行線的判定可得AB∥CD，根據(jù)平行線的性質先求得∠3的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質求得∠2的度數(shù)．【詳解】解：延長AB交l2于E，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°∵l1∥l2，∴∠3=∠1=30°，∴∠2=180°-∠3=150°．故答案為：150°．【點睛】本題考查了平行線的性質和判定，熟練掌握平行線的性質和判定定理是解題的關鍵．3．（2023春·七年級課時練習）如圖，直線a與∠AOB的一邊射線OA相交，∠1＝130°，向下平移直線a得到直線b，與∠AOB的另一邊射線OB相交，則∠2+∠3＝___．【答案】【分析】過點O作，利用平移的性質得到，可得判斷，根據(jù)平行線的性質得，，可得到，從而得出的度數(shù)．【詳解】解：過點O作，∵直線a向下平移得到直線b，∴，∴，∴，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了平移的性質，平行線的性質，過拐點作已知直線的平行線是解題的關鍵．三、解答題4．（2021春·山東德州·七年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，，，，則；（2）如圖2，，點在射線上運動，當點在、兩點之間運動時，，，求與、之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點在、兩點外側運動時（點與點、、三點不重合），請你直接寫出與、之間的數(shù)量關系．【答案】（1）；（2），理由詳見解析；（3）當點在射線上時，；當點在上時，．【分析】（1）做出輔助線，根據(jù)平行線的性質求解即可；（2）過點作交于點，然后根據(jù)平行線的性質求解即可；（3）根據(jù)題意做出輔助線，然后根據(jù)平行線的性質求解即可；【詳解】（1）如圖1，過作，，，又，，則（2）理由是：如圖2，過點作交于點，，（3）當點在射線上時，設CD與AP交于點P，如圖所示，∵，∴，又∵在△CHP中，，∴，即：．當點在上時，如圖所示，作PE∥AB，∴∠APE=∠BAP=∠α，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE=∠PCD=∠β，∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．答：∠CPA與∠α，∠β之間的數(shù)量關系為：∠CPA=∠β-∠α．即．【點睛】此題考查了平行線的性質，解題的關鍵是根據(jù)題意作出輔助線．5．（2023春·全國·七年級專題練習）（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，不需要說明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由見解析【分析】（1）過點P作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補即可求解；（2）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等與三角形外角的性質，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關系．【詳解】解：（1）如圖（1）過點P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖2，過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如圖（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如圖（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【點睛】此題考查了平行線的性質與三角形外角的性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意掌握平行線的性質，注意輔助線的作法．6．（2021春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．（1）麗麗同學看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補全她的推理依據(jù)．如圖2，過點P作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關系？請說明理由．（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關系．【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁內角互補；（2），理由見解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質填寫即可；（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖2，過點P作PE∥AB，因為AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一條直線的兩條直線平行）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（兩直線平行同旁內角互補）因為∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內角互補；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如圖3所示，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）當P在BA延長線時，如圖4所示：過P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；當P在AB延長線時，如圖5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．綜上所述，∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關系為：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【點睛】本題考查了平行線的性質和判定定理，正確作出輔助線是解答此題的關鍵．7．（2023春·全國·七年級專題練習）已知直線AB∥CD，P為平面內一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內角互補以及內錯角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質，即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結論即可求解．【詳解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，過點P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如圖，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)設PD交AN于O，如圖，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【點睛】本題考查了平行線的性質以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．8．（2022春·貴州黔南·七年級統(tǒng)考階段練習）綜合與探究：（1）問題情境：如圖1，．求的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過P作，∴．∴．∵．∴．…………請你幫助小明完成剩余的解答．（2）問題探究：請你依據(jù)小明的思路，解答下面的問題：如圖3，，點P在射線上運動，．當點P在A，B兩點之間時，之間有何數(shù)量關系？請說明理由．【答案】（1）110°；（2），理由見解析【分析】（1）過P作PE//AB，構造同旁內角，通過平行線性質，可得∠APC=50°+60°=110°．（2）過P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根據(jù)平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【詳解】解：（1）過P作，∴，∴．∵，∴．∴，∴，∴．（2），如圖3，過P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；【點睛】本題考查了平行線的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角．9．（2023春·全國·七年級專題練習）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖①，直線，是與之間的一點，連接，，可以發(fā)現(xiàn)：，請你寫出證明過程；（2）拓展探究如果點運動到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：．（3）解決問題如圖③，，，，則________．（直接寫出結論，不用寫計算過程）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)平行判定得到，利用平行線的性質得，，得到，即可求證出答案；（2）類比（1），過點E作EF∥AB，然后根據(jù)平行線的判定和性質即可求證出答案；（3）類比，過點作，根據(jù)平行判定得到，再根據(jù)平行的性質得：，，根據(jù)角與角的關系求得：，則可求出答案．【詳解】（1）證明：如圖①，過點作，∵（已知），（輔助線的作法）.∴（平行于同一直線的兩直線平行），∴（兩直線平行，內錯角相等）.∵，∴，∴（等量代換）即.（2）證明：如圖②，過點作，∵（已知），（輔助線的作法）.∴（平行于同一直線的兩直線平行）.∴，，∴，∴.（3）解：如圖③，過點作，∵（已知），（輔助線的作法），∴（平行于同一直線的兩直線平行），∴，，∵，，∴，∴，∴.故答案為：.【點睛】本題考查平行線的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，靈活運用平行判斷以及平行線的性質找到角與角之間的關系．10．（2023春·七年級課時練習）閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．數(shù)學課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知點分別在上，．求的度數(shù)．同學們經過思考后，小明、小偉、小華三位同學用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過作平行線，發(fā)現(xiàn)，由已知可以求出的度數(shù)．”小偉：“如圖3這樣作平行線，經過推理，得也能求出的度數(shù)．”小華：∵如圖4，也能求出的度數(shù)．”(1)請你根據(jù)小明同學所畫的圖形(圖2)，描述小明同學輔助線的做法，輔助線：______；(2)請你根據(jù)以上同學所畫的圖形，直接寫出的度數(shù)為_________°；老師：“這三位同學解法的共同點，都是過一點作平行線來解決問題，這個方法可以推廣．”請大家參考這三位同學的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問題：(3)如圖，，點分別在上，平分若請?zhí)骄颗c的數(shù)量關系（(用含的式子表示)，并驗證你的結論．【答案】（1）過點作；（2）30；（3）．【分析】（1）根據(jù)圖中所畫虛線的位置解答即可；（2）過點作，根據(jù)平行線的性質可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，進而可得答案；（3）設，過點作，根據(jù)平行線的性質可得，，進而根據(jù)角的和差關系即可得答案．【詳解】（1）由圖中虛線可知PQ//AC，∴小明同學輔助線的做法為過點作，故答案為：過點作（2）如圖2，過點作，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案為：30（3）如圖，設，過點作，∵，即．【點睛】本題考查平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．11．（2023春·七年級課時練習）問題情境：如圖1，，，，求的度數(shù)．思路點撥：小明的思路是：如圖2，過P作，通過平行線性質，可分別求出、的度數(shù)，從而可求出的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接，通過平行線性質以及三角形內角和的知識可求出的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長交的延長線于E，通過平行線性質以及三角形外角的相關知識可求出的度數(shù)．問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進行推理計算，你求得的的度數(shù)為°；問題遷移：（1）如圖5，，點P在射線上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，，．、、之間有何數(shù)量關系？請說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出、、間的數(shù)量關系．【答案】110；（1），理由見解析；（2）或，理由見解析【分析】小明的思路是：過P作，構造同旁內角，利用平行線性質，可得．（1）過P作交于E，推出，根據(jù)平行線的性質得出，，即可得出答案；（2）畫出圖形（分兩種情況：①點P在的延長線上，②點P在的延長線上），根據(jù)平行線的性質得出，，即可得出答案．【詳解】解：小明的思路：如圖2，過P作，∵，∴，∴，，∴，故答案為：110；（1），理由如下：如圖5，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴；（2）當P在延長線時，；理由：如圖6，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴；當P在之間時，．理由：如圖7，過P作交于E，∵，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查了三角形的內角和定理，平行線的判定和性質，主要考查學生的推理能力，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角．12．（2023春·七年級課時練習）已知直線，點A，C分別在，上，點B在直線，之間，且．（1）如圖①，求證：．閱讀并將下列推理過程補齊完整：過點B作，因為，所以__________（

）所以，（

）所以．（2）如圖②，點D，E在直線上，且，BE平分．求證：；（3）在（2）的條件下，如果的平分線BF與直線平行，試確定與之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）BG；平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，內錯角相等；（2）見解析；（3），理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行可得，再根據(jù)平行線的性質即可得結論；（2）過點作，根據(jù)，可得，所以，，結合（1）即可進行證明；（3）根據(jù)，，可得，根據(jù)平分，可得，結合（2）可得，中根據(jù)平行線的性質即可得結論．【詳解】（1）解：如圖①，過點作，因為，所以（平行于同一條直線的兩條直線平行）．所以，（兩直線平行，內錯角相等）．所以．故答案為：，平行于同一條直線的兩條直線平形，兩直線平行，內錯角相等；（2）證明：如圖②，過點作，因為，所以，所以，，由（1）知：．又，所以．因為．所以，所以，因為平分．所以，所以，所以；（3）解：，理由如下：因為，，所以，因為平分，所以，由（2）知：，所以，因為，所以，所以，，而，所以．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解答此題的關鍵是注意平行線的性質和判定定理的綜合運用．13．（2023春·七年級課時練習）已知，定點，分別在直線，上，在平行線，之間有一動點．（1）如圖1所示時，試問，，滿足怎樣的數(shù)量關系?并說明理由．（2）除了（1）的結論外，試問，，還可能滿足怎樣的數(shù)量關系?請畫圖并證明（3）當滿足，且，分別平分和，①若，則__________°．②猜想與的數(shù)量關系．（直接寫出結論）【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】（1）由于點是平行線，之間有一動點，因此需要對點的位置進行分類討論：如圖1，當點在的左側時，，，滿足數(shù)量關系為：；（2）當點在的右側時，，，滿足數(shù)量關系為：；（3）①若當點在的左側時，；當點在的右側時，可求得；②結合①可得，由，得出；可得，由，得出．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，，，，，，；（2）如圖2，當點在的右側時，，，滿足數(shù)量關系為：；過點作，，，，，，；（3）①如圖3，若當點在的左側時，，，，分別平分和，，，；如圖4，當點在的右側時，，，；故答案為：或30；②由①可知：，；，．綜合以上可得與的數(shù)量關系為：或．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，平行公理和及推論等知識點，作輔助線后能求出各個角的度數(shù)，是解此題的關鍵．題型三：“雞翅”型一、解答題1．（2021春·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知于點A，AE∥CD交于點E，且于點F．求證：．證明：∵于點A，于點F，（已知）∴．（垂直的定義）∴AD∥EF，（

）∴__________（

）∵AE∥CD，（已知）∴________．（兩直線平行，同位角相等）∵，∴．（等量代換）【答案】見解析【分析】首先根據(jù)同位角相等，兩直線平行，