專題07【五年中考+一年模擬】幾何壓軸題-備戰(zhàn)2023年江西中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編(原卷版+解析)

專題07幾何壓軸題1．（2022?江西）綜合與實踐問題提出某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形中心處，并繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，若將三角板的頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與重合時，重疊部分的面積為；當(dāng)與垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與的關(guān)系為；類比探究（2）若將三角板的頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中，，分別與正方形的邊相交于點，．①如圖2，當(dāng)時，試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)時，求重疊部分四邊形的面積（結(jié)果保留根號）；拓展應(yīng)用（3）若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心處，該銳角記為（設(shè)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為，請直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示）．（參考數(shù)據(jù)：，，2．（2021?江西）課本再現(xiàn)（1）在證明“三角形內(nèi)角和定理”時，小明只撕下三角形紙片的一個角拼成圖1即可證明，其中與相等的角是；類比遷移（2）如圖2，在四邊形中，與互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形中這對互余的角可類比（1）中思路進(jìn)行拼合：先作，再過點作于點，連接，發(fā)現(xiàn)，，之間的數(shù)量關(guān)系是；方法運(yùn)用（3）如圖3，在四邊形中，連接，，點是兩邊垂直平分線的交點，連接，．①求證：；②連接，如圖4，已知，，，求的長（用含，的式子表示）．3．（2020?江西）某數(shù)學(xué)課外活動小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積，，之間的關(guān)系問題”進(jìn)行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以，，為斜邊向外側(cè)作，，，若，則面積，，之間的關(guān)系式為；推廣驗證（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以，，為邊向外側(cè)作任意，，，滿足，，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在五邊形中，，，，，點在上，，，求五邊形的面積．4．（2019?江西）在圖1，2，3中，已知，，點為線段上的動點，連接，以為邊向上作菱形，且．（1）如圖1，當(dāng)點與點重合時，；（2）如圖2，連接．①填空：（填“”，““，“”；②求證：點在的平分線上；（3）如圖3，連接，，并延長交的延長線于點，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的值．5．（2018?江西）在菱形中，，點是射線上一動點，以為邊向右側(cè)作等邊，點的位置隨著點的位置變化而變化．（1）如圖1，當(dāng)點在菱形內(nèi)部或邊上時，連接，與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是；（2）當(dāng)點在菱形外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由（選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）；（3）如圖4，當(dāng)點在線段的延長線上時，連接，若，，求四邊形的面積．6．（2022?南昌模擬）已知正方形與正方形，正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周．（1）如圖1，連接、，①求的值；②求的度數(shù)．（2）當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，連接、，分別取、的中點、，連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由．7．（2022?吉安一模）在中，，，，點關(guān)于直線的對稱點為點，連接，點為直線上的動點（不與點重合），連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖①，當(dāng)點在線段上時，線段與的數(shù)量關(guān)系為，；拓展探究（2）如圖②，當(dāng)點在的延長線上時，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；問題解決（3）當(dāng)時，求線段的長度．8．（2022?新余一模）綜合與實踐如圖1，已知點在正方形的對角線上，，垂足為，，垂足為．【證明與推斷】（1）①四邊形的形狀是；②的值為；【探究與證明】（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖2所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展與運(yùn)用】（3）如圖3，在（2）的條件下，正方形在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)、、三點共線時，探究和的位置關(guān)系，并說明理由．9．（2022?贛州一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小麗和小亮對等腰三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．觀察猜想（1）如圖1，是以、為腰的等腰三角形，點、點分別在、上．且，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．請直接寫出旋轉(zhuǎn)后與的數(shù)量關(guān)系；探究證明（2）如圖2，是以為直角頂點的等腰直角三角形，分別交與兩邊于點、點．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時，（1）中結(jié)論是否仍然成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；拓展延伸（3）如圖3，是等邊底邊的中線，，．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，點落在點的位置，若等邊三角形的邊長為4，當(dāng)時，求出的值．10．（2022?宜春模擬）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，，，點為的中點，以為一邊作正方形，點恰好與點重合，則線段與的數(shù)量關(guān)系為；（2）【拓展探究】在（1）的條件下，如果正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，，線段與的數(shù)量關(guān)系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）【問題解決】當(dāng)，且（2）中的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，，三點共線時，請直接寫出線段的長．11．（2022?尋烏縣模擬）（1）發(fā)現(xiàn)如圖1，和均為等邊三角形，點在邊上，連接．填空：①的度數(shù)是；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）探究如圖2，和均為等腰直角三角形，，點在邊上，連接．請判斷的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，．若點滿足，且，請直接寫出的長．12．（2022?江西模擬）【性質(zhì)探究】（1）如圖1，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則：①與的位置關(guān)系為；②如圖2，連接，，若點為的中點，連接，請?zhí)骄烤€段與的關(guān)系并給予證明．【拓展應(yīng)用】（2）如圖3，已知點是正方形的邊上任意一點，以為邊作正方形，連接，點為的中點，連接．①若，，求的長；②若，，則的長為（用含，的代數(shù)式表示）．13．（2022?石城縣模擬）【溫故知新】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值．我們知道：如圖1，點把線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點．【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，請直接寫出與的比值是．【問題探究】如圖2，在中，，，，在上截取，再在上截取，則的值為．【問題解決】如圖3，用邊長為6的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形得折痕，連接，將折疊到上，點對應(yīng)點，得折痕，試說明：是的黃金分割點．【拓展延伸】如圖4，正方形中，為對角線上一點，點在邊上，且，當(dāng)為的黃金分割點時，，連，延長交于，請用相似的知識求出的值為．14．（2022?石城縣模擬）如圖1，菱形中，．，四邊形的頂點，分別在邊和上，，，連接．（1）若平分，求證：四邊形為菱形；（2）在（1）中的條件下，當(dāng)時，將四邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，連接．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；②當(dāng)過點時，求的值．15．（2022?贛州模擬）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，，則四邊形為等鄰角四邊形．（1）定義理解：已知四邊形為等鄰角四邊形，且，，則度．（2）變式應(yīng)用：如圖2，在五邊形中，，對角線平分．①求證：四邊形為等鄰角四邊形；②若，，請判斷的形狀，并明理由．（3）深入探究：如圖3，在等鄰角四邊形中，，，垂足為，點為邊上的一動點，過點作，，垂足分別為，．在點的運(yùn)動過程中，判斷與的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（4）遷移拓展：如圖4，是一個航模的截面示意圖．四邊形是等鄰角四邊形，，為邊上的一點，，，垂足分別為、，，，．、分別為、的中點，連接、，求與的周長之和．16．（2022?南昌模擬）如圖1，在中，，，是邊上的中線，點是上一點，，是垂足，可繞著點旋轉(zhuǎn)，點是點關(guān)于點的對稱點，連接和．●問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖2，當(dāng)時，則下列結(jié)論正確的是（填序號）①；②點是的中點；③是的角平分線；④．●數(shù)學(xué)思考（2）將圖2中繞點旋轉(zhuǎn)，如圖3，則和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；●拓展應(yīng)用（3）在圖1中，若，將繞著點旋轉(zhuǎn)．①則；②若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當(dāng)點落在上時，連結(jié)，，求四邊形的面積．17．（2022?江西二模）操作：如圖1，正方形中，，點是邊上一個動點，在上截取，連接，過正方形的中心作交邊于，連接、、、．探究：在點的運(yùn)動過程中：（1）猜想線段與的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）的度數(shù)會發(fā)生變化嗎？若不會，求出其度數(shù)，若會，請說明理由．應(yīng)用：（3）當(dāng)時，試求出的周長，并寫出的取值范圍；（4）當(dāng)?shù)闹挡淮_定時：①若時，試求的值；②在圖1中，過點作于，過點作于，與相交于點；并將圖1簡化得到圖2，記矩形的面積為，試用含的代數(shù)式表示出的值，并說明理由．18．（2022?湖口縣二模）在矩形中，，，為上的動點，為上的動點，且．（1）如圖①，當(dāng)點在上時，求的值．（2）如圖②，與相交于點，連接，當(dāng)平分時，求證：．（3）在（2）的前提下，連接，當(dāng)時，求的值．19．（2022?吉州區(qū)模擬）綜合與實踐數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗，讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片折疊，使邊、都落在對角線上，展開得折痕、，連接，如圖1．（1），寫出圖中兩個等腰三角形：（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊、于點、，連接，如圖2．（2）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）連接正方形對角線，若圖2中的的邊、分別交對角線于點、點，如圖3，則；剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線剪開，如圖4．（4）求證：．20．（2022?景德鎮(zhèn)模擬）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，點為平面內(nèi)一動點，且，，則的最小值為，的最大值為；（2）輕松嘗試：如圖2，在矩形中，，，為邊的中點，是邊上的動點，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值為．（3）方法運(yùn)用：在四邊形中，，點是上方的動點，且，，．①如圖3，當(dāng)時，求線段的最大值．②如圖4，當(dāng)時，用含式子表示線段的最大值．21．（2022?撫州模擬）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們總是從一些最簡單的圖形出發(fā)，研究其中的邊角關(guān)系，然后再應(yīng)用所得到的結(jié)論去解決其他較復(fù)雜的問題．【基本圖形】（1）如圖（1），在中，，，則．（用含，的式子表示）【解決問題】（2）在中，，，．①如圖（2），是邊上一動點，點關(guān)于，的對稱點分別是，，連接，，，，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖（3），若，，分別是邊，，上的動點，則的周長的最小值為．【應(yīng)用拓展】（3）如圖（4），，分別是邊長為2的正方形的邊，上的動點，且，，，分別是的邊，，上的動點，請直接寫出的周長的最小值．22．（2022?九江三模）回歸教材：（1）如圖1，小然同學(xué)在學(xué)習(xí)九年級上（北師版）教材頁時，遇到了這個問題．如圖，在中，，，垂足為．求證：．請你替小然寫出過程．小試牛刀：（2）如圖2，，，，，，，．變式探索：（3）如圖3，中，，點為內(nèi)部一點，且滿足，，，，求長．拓展應(yīng)用：（4）如圖4，正方形中，以為圓心，為半徑作圓在正方形內(nèi)得到弧，點為弧上一點，且滿足．面積記作，正方形面積記為．①求；②試猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明．23．（2022?九江一模）如圖（1），在四邊形中，，，以點為頂點作，且，連接．（1）觀察猜想如圖（2），當(dāng)時，①四邊形是（填特殊四邊形的名稱）；②，，之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）類比探究如圖（1），線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．（3）解決問題如圖（3），在中，，，點，均在邊上，且，若，求的長．24．（2022?南城縣一模）定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點所連線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果其中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們就把這條線段叫做這個三角形的“華麗分割線”．例如：如圖1，把分成和，若是等腰三角形，且，那么就是的“華麗分割線”．（1）【定義感知】如圖1，在中，，，．求證：是的“華麗分割線”．（2）【問題解決】①如圖2，在中，，是的“華麗分割線”，且是等腰三角形，則的度數(shù)為．②如圖3，在中，，，是的“華麗分割線”，且是以為底邊的等腰三角形，求華麗分割線的長．25．（2022?九江二模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，點為平面內(nèi)一動點，且，，則的最小值為，的最大值為；（2）輕松嘗試：如圖2，在矩形中，，，為邊的中點，是邊上的動點，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值為；（3）方法運(yùn)用：在四邊形中，，，，．①如圖3，當(dāng)時，求線段的最大值；②如圖4，當(dāng)時，用含的式子表示線段的最大值．26．（2022?萍鄉(xiāng)模擬）定義：有一組對角互補(bǔ)的四邊形叫做“對補(bǔ)四邊形”，例如：在四邊形中，，或，則四邊形是“對補(bǔ)四邊形”．【概念理解】（1）如圖（1），四邊形是“對補(bǔ)四邊形”．①若，則的度數(shù)是；②若，且，則．【拓展延伸】（2）如圖（2），四邊形是“對補(bǔ)四邊形”，當(dāng)，且時，猜測，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【類比運(yùn)用】（3）如圖（3），如圖（4），在四邊形中，，平分．①如圖（3），求證：四邊形是“對補(bǔ)四邊形”；②如圖（4），設(shè)，，連接，當(dāng)，且時，求的值．27．（2022?玉山縣二模）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，為上一點，．求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，為上一點，為延長線上一點，．若，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，在菱形中，是上一點，是內(nèi)一點，，，，，，求菱形的邊長．28．（2022?紅谷灘區(qū)校級一模）提出問題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形在第一象限內(nèi)，點，分別在軸和軸上．點從點出發(fā)，沿方向運(yùn)動，到達(dá)點后停止．在運(yùn)動過程中，以點為旋轉(zhuǎn)中心，將線段按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．求點在整個運(yùn)動過程中，點的路徑長．探究問題：（1）探究一：當(dāng)點與點重合時，點的位置為，當(dāng)點與點重合時，點的位置為，請你寫出和的坐標(biāo)，并求出直線的函數(shù)關(guān)系式；（2）探究二：當(dāng)點運(yùn)動到的中點時，點的位置為，請你判斷點是否在直線上，并說明理由；（3）根據(jù)上述探究，請你直接寫出點的路徑長．延伸應(yīng)用：（4）如圖2，，，點是邊上的一個動點，連接，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段．求的最小值．專題07幾何壓軸題1．（2022?江西）綜合與實踐問題提出某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形中心處，并繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為．操作發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，若將三角板的頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與重合時，重疊部分的面積為1；當(dāng)與垂直時，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與的關(guān)系為；類比探究（2）若將三角板的頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中，，分別與正方形的邊相交于點，．①如圖2，當(dāng)時，試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②如圖3，當(dāng)時，求重疊部分四邊形的面積（結(jié)果保留根號）；拓展應(yīng)用（3）若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心處，該銳角記為（設(shè)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的兩邊與正方形的邊所圍成的圖形的面積為，請直接寫出的最小值與最大值（分別用含的式子表示）．（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，若將三角板的頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與重合時，與重合，此時重疊部分的面積的面積正方形的面積；當(dāng)與垂直時，，重疊部分的面積正方形的面積；一般地，若正方形面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積與的關(guān)系為．理由：如圖1中，設(shè)交于點，交于點，過點作于點，于點．是正方形的中心，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，，，．故答案為：1，1，．（2）①如圖2中，結(jié)論：是等邊三角形．理由：過點作，是正方形的中心，，，，，，，是等邊三角形；②如圖3中，連接，過點作于點．，，，，，，，，，，，．（3）如圖中，過點作于點，當(dāng)時，的面積最小，即最?。谥?，，，．如圖中，當(dāng)時，最大．同法可證，，，，，，．2．（2021?江西）課本再現(xiàn)（1）在證明“三角形內(nèi)角和定理”時，小明只撕下三角形紙片的一個角拼成圖1即可證明，其中與相等的角是；類比遷移（2）如圖2，在四邊形中，與互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形中這對互余的角可類比（1）中思路進(jìn)行拼合：先作，再過點作于點，連接，發(fā)現(xiàn)，，之間的數(shù)量關(guān)系是；方法運(yùn)用（3）如圖3，在四邊形中，連接，，點是兩邊垂直平分線的交點，連接，．①求證：；②連接，如圖4，已知，，，求的長（用含，的式子表示）．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1中，由圖形的拼剪可知，，故答案為：．（2）解：如圖2中，，，，．故答案為：．（3）①證明：如圖3中，連接，作的外接圓．點是兩邊垂直平分線的交點點是的外心，，，，，，，．②解：如圖4中，在射線的下方作，過點作于．，，，，，，，，，，，，，，，．3．（2020?江西）某數(shù)學(xué)課外活動小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積，，之間的關(guān)系問題”進(jìn)行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以，，為斜邊向外側(cè)作，，，若，則面積，，之間的關(guān)系式為；推廣驗證（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以，，為邊向外側(cè)作任意，，，滿足，，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；拓展應(yīng)用（3）如圖4，在五邊形中，，，，，點在上，，，求五邊形的面積．【答案】見解析【詳解】類比探究（1），，，，同理可得：，，，，故答案為：．（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：，，，，同理可得：，，，，（3）過點作于，連接，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，且，，，，，，，，，，，，，又，，由（2）的結(jié)論可得：，五邊形的面積．4．（2019?江西）在圖1，2，3中，已知，，點為線段上的動點，連接，以為邊向上作菱形，且．（1）如圖1，當(dāng)點與點重合時，60；（2）如圖2，連接．①填空：（填“”，““，“”；②求證：點在的平分線上；（3）如圖3，連接，，并延長交的延長線于點，當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）四邊形是菱形，，，故答案為：；（2）①四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，故答案為：；②當(dāng)時，如圖，作于，交的延長線于，則，，又，，，，為等邊三角形，，在和中，，，又，，點在的平分線上，當(dāng)時，如圖3，連接，，，，，四邊形為菱形，，又，為等邊三角形，，，則，又，點在的平分線上，當(dāng)時，同理可證，點在的平分線上，綜上所述，點在的平分線上；（3）設(shè)線段，相交于點，四邊形是菱形，，，，四邊形為平行四邊形，，，，，又，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，平行四邊形為菱形，，，．5．（2018?江西）在菱形中，，點是射線上一動點，以為邊向右側(cè)作等邊，點的位置隨著點的位置變化而變化．（1）如圖1，當(dāng)點在菱形內(nèi)部或邊上時，連接，與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是；（2）當(dāng)點在菱形外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由（選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）；（3）如圖4，當(dāng)點在線段的延長線上時，連接，若，，求四邊形的面積．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：，．理由：連接．四邊形是菱形，，，都是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，延長交于，，，，即．故答案為，．（2）結(jié)論仍然成立．理由：選圖2，連接交于，設(shè)交于．四邊形是菱形，，，都是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，．，，，，，，，即．選圖3，連接交于，設(shè)交于．四邊形是菱形，，，都是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，．，，，，，，，即．（3），由（2）可知，，在菱形中，，，，，在中，，，與是菱形的對角線，，，，，，，在中，，．6．（2022?南昌模擬）已知正方形與正方形，正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周．（1）如圖1，連接、，①求的值；②求的度數(shù)．（2）當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)至圖2位置時，連接、，分別取、的中點、，連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）①如圖1，連接，，四邊形和四邊形都是正方形，，，，，，，；②是正方形的對角線，，，在中，；（2），，理由如下：如圖2，連接，過點作，交直線于，連接，設(shè)與交點為，與交點為，，，點是的中點，，又，，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，點是中點，，，，．7．（2022?吉安一模）在中，，，，點關(guān)于直線的對稱點為點，連接，點為直線上的動點（不與點重合），連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖①，當(dāng)點在線段上時，線段與的數(shù)量關(guān)系為相等，；拓展探究（2）如圖②，當(dāng)點在的延長線上時，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；問題解決（3）當(dāng)時，求線段的長度．【答案】見解析【詳解】（1）在中，，，，點關(guān)于直線的對稱點為，則，．，是等邊三角形，．，，，，，，，又，，△，，，，，故答案為：相等；；（2）成立，證明如下：如圖②，連接，△是等邊三角形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，是等邊三角形，，，，，，在與△中，，△，，，，；（3）當(dāng)點在線段的延長線上時，如圖②，連接，在中，，，，，，，，，，，，，，，；若點在線段的延長線上，如圖③，連接，，，，，，，，；綜上所述：或．8．（2022?新余一模）綜合與實踐如圖1，已知點在正方形的對角線上，，垂足為，，垂足為．【證明與推斷】（1）①四邊形的形狀是正方形；②的值為；【探究與證明】（2）在圖1的基礎(chǔ)上，將正方形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖2所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展與運(yùn)用】（3）如圖3，在（2）的條件下，正方形在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)、、三點共線時，探究和的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）①正方形②．理由：如圖1中，四邊形是正方形，，，、，，四邊形是矩形，，，四邊形是正方形，，，，．故答案為：正方形，．（2）結(jié)論：，理由：如圖2中，連接．由旋轉(zhuǎn)可得，四邊形是正方形，，，為等腰直角三角形，，由①得四邊形是正方形，，，為等腰直角三角形．，，，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）結(jié)論：，理由：如圖3中，連接，，點、、三點共線，．，．，點，，三點共線，，．9．（2022?贛州一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問題的重要手段之一，小麗和小亮對等腰三角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．觀察猜想（1）如圖1，是以、為腰的等腰三角形，點、點分別在、上．且，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．請直接寫出旋轉(zhuǎn)后與的數(shù)量關(guān)系；探究證明（2）如圖2，是以為直角頂點的等腰直角三角形，分別交與兩邊于點、點．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時，（1）中結(jié)論是否仍然成立．若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；拓展延伸（3）如圖3，是等邊底邊的中線，，．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，點落在點的位置，若等邊三角形的邊長為4，當(dāng)時，求出的值．【答案】見解析【詳解】（1），，，，，，，，，，，故答案為：；（2）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為，理由如下：是等腰直角三角形，，，，，，，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，，，又，，，；（3）是等邊底邊的中線，，，，如圖3，當(dāng)時，過點作于，由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，，，，，，，如圖，同理可得：，，，.10．（2022?宜春模擬）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，，，點為的中點，以為一邊作正方形，點恰好與點重合，則線段與的數(shù)量關(guān)系為；（2）【拓展探究】在（1）的條件下，如果正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，連接，，，線段與的數(shù)量關(guān)系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）【問題解決】當(dāng)，且（2）中的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，，三點共線時，請直接寫出線段的長．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，四邊形是正方形，，，，點與點重合，，，，，故答案為：．（2）無變化，證明：如圖2，，，，，，，，，，，，，．（3）如圖2，，，三點共線，且點在線段上，，，，由（1）得，，，，，，；如圖3，，，三點共線，且點在線段的延長線上，，，，，，，，，，，綜上所述，線段的長為或．11．（2022?尋烏縣模擬）（1）發(fā)現(xiàn)如圖1，和均為等邊三角形，點在邊上，連接．填空：①的度數(shù)是；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）探究如圖2，和均為等腰直角三角形，，點在邊上，連接．請判斷的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在中，，，．若點滿足，且，請直接寫出的長．【答案】見解析【詳解】（1）發(fā)現(xiàn)解：①在中，，，，，即，在和中，，，，；故答案為：，②，，，；故答案為：．（2）探究；．理由：和均為等腰直角三角形，，，，，即．．，．．在等腰直角三角形中，，，．（3）應(yīng)用或．作于，連接，在中，，，，，，，，，，點，，，四點共圓，，是等腰直角三角形，，，，，，，或．12．（2022?江西模擬）【性質(zhì)探究】（1）如圖1，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則：①與的位置關(guān)系為；②如圖2，連接，，若點為的中點，連接，請?zhí)骄烤€段與的關(guān)系并給予證明．【拓展應(yīng)用】（2）如圖3，已知點是正方形的邊上任意一點，以為邊作正方形，連接，點為的中點，連接．①若，，求的長；②若，，則的長為（用含，的代數(shù)式表示）．【答案】見解析【詳解】（1）①將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，；幫答案為；②，，證明：延長至點，使，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，可以由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由①可知，，為的中點，，，，（2）①如圖，連接，，四邊形，為正方形，，，，，，可以由繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，由（1）中②可知，，②同①可知，，，．故答案為．13．（2022?石城縣模擬）【溫故知新】黃金分割是一種最能引起美感的分割比例，具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價值．我們知道：如圖1，點把線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點．【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，請直接寫出與的比值是．【問題探究】如圖2，在中，，，，在上截取，再在上截取，則的值為．【問題解決】如圖3，用邊長為6的正方形紙片進(jìn)行如下操作：對折正方形得折痕，連接，將折疊到上，點對應(yīng)點，得折痕，試說明：是的黃金分割點．【拓展延伸】如圖4，正方形中，為對角線上一點，點在邊上，且，當(dāng)為的黃金分割點時，，連，延長交于，請用相似的知識求出的值為．【答案】見解析【詳解】【問題發(fā)現(xiàn)】解：點為線段的黃金分割點，，，故答案為：；【問題探究】解：，，，，，，，故答案為：；【問題解決】解：如圖3，設(shè)與交于點，，且為的中點，，過點作，平分，，設(shè)，，，，即，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，，，故點為的黃金分割點；【拓展延伸】解：如圖4，延長交延長線于，過點作于，過點作于，過作于，，點、、、四點共圓，，，（同為所對的圓周角）又，為等腰直角三角形，，，，，，，，又，，，，為的黃金分割點，設(shè)，則，設(shè)，，，，即，解得，經(jīng)檢驗是方程的解，，，，，，，故答案為：．14．（2022?石城縣模擬）如圖1，菱形中，．，四邊形的頂點，分別在邊和上，，，連接．（1）若平分，求證：四邊形為菱形；（2）在（1）中的條件下，當(dāng)時，將四邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，連接．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；②當(dāng)過點時，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1，連接、，四邊形是菱形，，，，，，，四邊形是平行四邊形；，，，，，，，，；，，，，，四邊形是菱形（2）①．證明：如圖2，連接、，作于點，則，，，，，，，由旋轉(zhuǎn)得，，同理，，，，，，，，，，，，，，②如圖3，作交的延長線于點，作于點，則，在圖1中，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，，，，由得，，解得，，．15．（2022?贛州模擬）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，，則四邊形為等鄰角四邊形．（1）定義理解：已知四邊形為等鄰角四邊形，且，，則55度．（2）變式應(yīng)用：如圖2，在五邊形中，，對角線平分．①求證：四邊形為等鄰角四邊形；②若，，請判斷的形狀，并明理由．（3）深入探究：如圖3，在等鄰角四邊形中，，，垂足為，點為邊上的一動點，過點作，，垂足分別為，．在點的運(yùn)動過程中，判斷與的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（4）遷移拓展：如圖4，是一個航模的截面示意圖．四邊形是等鄰角四邊形，，為邊上的一點，，，垂足分別為、，，，．、分別為、的中點，連接、，求與的周長之和．【答案】見解析【詳解】（1）解：四邊形為等鄰角四邊形，，，，，故答案為：55；（2）①證明：平分，，，，，四邊形為等鄰角四邊形；②解：是等邊三角形，理由如下：，，，，，，，，又，是等邊三角形；（3）解：，理由如下：如圖，延長，交于點，連接，，，，，；（4）解：如圖，延長，交于點，過點作于，，，、分別為、的中點，，，，，，，，由（3）可得，與的周長之和．16．（2022?南昌模擬）如圖1，在中，，，是邊上的中線，點是上一點，，是垂足，可繞著點旋轉(zhuǎn)，點是點關(guān)于點的對稱點，連接和．●問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖2，當(dāng)時，則下列結(jié)論正確的是①②④（填序號）①；②點是的中點；③是的角平分線；④．●數(shù)學(xué)思考（2）將圖2中繞點旋轉(zhuǎn)，如圖3，則和具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；●拓展應(yīng)用（3）在圖1中，若，將繞著點旋轉(zhuǎn)．①則；②若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當(dāng)點落在上時，連結(jié)，，求四邊形的面積．【答案】見解析【詳解】（1）如圖2，是邊上的中線，點是點關(guān)于點的對稱點，，，，，故①正確；，，，，，，，點是的中點，故②正確；延長到點，使，連結(jié)，，，，，，，，假設(shè)，則，，，這與相矛盾，假設(shè)不成立，不能是的角平分線，故③錯誤；，，，，，，，，，故④正確，故答案為：①②④．（2），證明：如圖3，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，，．（3）①如圖1（1），，，，，，，如圖1（2），由旋轉(zhuǎn)得，，，，，故答案為：．②如圖1（1），，，，，，，如圖4，過作于，過作于，，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，，，四邊形的面積為．17．（2022?江西二模）操作：如圖1，正方形中，，點是邊上一個動點，在上截取，連接，過正方形的中心作交邊于，連接、、、．探究：在點的運(yùn)動過程中：（1）猜想線段與的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（2）的度數(shù)會發(fā)生變化嗎？若不會，求出其度數(shù)，若會，請說明理由．應(yīng)用：（3）當(dāng)時，試求出的周長，并寫出的取值范圍；（4）當(dāng)?shù)闹挡淮_定時：①若時，試求的值；②在圖1中，過點作于，過點作于，與相交于點；并將圖1簡化得到圖2，記矩形的面積為，試用含的代數(shù)式表示出的值，并說明理由．【答案】見解析【詳解】（1），理由：如圖1，連接，在正方形中，點是正方形中心，，，，，，（2）的度數(shù)不會發(fā)生變化，理由：由（1）可知，，，，，，，，，，恒為定值．（3）由（2）可知，，，垂直平分，的周長為，，的周長為，（4）①如圖2，，，，，，，到與的距離相等，，，，，②猜想：，理由：如圖3，由（1）可知，，，，，，，，．18．（2022?湖口縣二模）在矩形中，，，為上的動點，為上的動點，且．（1）如圖①，當(dāng)點在上時，求的值．（2）如圖②，與相交于點，連接，當(dāng)平分時，求證：．（3）在（2）的前提下，連接，當(dāng)時，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）解：四邊形是矩形，．，，．，，，，．（2）證明：如圖1，延長、相交于點，在和中，，，，．，，，，；（3）解：如圖2，過點作交的延長線于點，過點作交于點．，．同（1）可知，，．，，，．，，，，，解得，，．在和中，由勾股定理得，．．，，．19．（2022?吉州區(qū)模擬）綜合與實踐數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗，讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．折一折：將正方形紙片折疊，使邊、都落在對角線上，展開得折痕、，連接，如圖1．（1）45，寫出圖中兩個等腰三角形：（不需要添加字母）；轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的繞點旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊、于點、，連接，如圖2．（2）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為；（3）連接正方形對角線，若圖2中的的邊、分別交對角線于點、點，如圖3，則；剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線剪開，如圖4．（4）求證：．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1中，四邊形是正方形，，，，都是等腰三角形，，，，，，，，，，，，，都是等腰三角形，故答案為：45，，，，．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，延長到，使得．，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．（3）解：如圖3中，四邊形是正方形，，，，，，，故答案為：．（4）證明：如圖4中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．，，，，，，，，，，，，，，，．20．（2022?景德鎮(zhèn)模擬）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，點為平面內(nèi)一動點，且，，則的最小值為，的最大值為；（2）輕松嘗試：如圖2，在矩形中，，，為邊的中點，是邊上的動點，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值為．（3）方法運(yùn)用：在四邊形中，，點是上方的動點，且，，．①如圖3，當(dāng)時，求線段的最大值．②如圖4，當(dāng)時，用含式子表示線段的最大值．【答案】見解析【詳解】（1），，，，當(dāng)點落在線段上時，的值最小，最小值為，，，，，當(dāng)點落在線段的延長線上時，的值最大，最大值為，故答案為：；；（2）如圖所示點在以為圓心為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)、、共線時，此時的值最小，根據(jù)折疊的性質(zhì)，△，，，是邊的中點，，，，，．故答案為：8；（3）①如圖3中，以為邊作等腰直角三角形，，，，，，，欲求的最大值，只要求出的最大值即可，定值，，點在以為直徑的上運(yùn)動，由圖象可知，當(dāng)點在上方，時，的值最大，最大值，的最大值為．②如圖4中，以為邊作直角三角形，使，，，，，，，欲求的最大值，只要求出的最大值即可，定值，，點在以為直徑的上運(yùn)動，由圖象可知，當(dāng)點在上方，時，的值最大，最大值，的最大值為．21．（2022?撫州模擬）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們總是從一些最簡單的圖形出發(fā)，研究其中的邊角關(guān)系，然后再應(yīng)用所得到的結(jié)論去解決其他較復(fù)雜的問題．【基本圖形】（1）如圖（1），在中，，，則．（用含，的式子表示）【解決問題】（2）在中，，，．①如圖（2），是邊上一動點，點關(guān)于，的對稱點分別是，，連接，，，，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖（3），若，，分別是邊，，上的動點，則的周長的最小值為．【應(yīng)用拓展】（3）如圖（4），，分別是邊長為2的正方形的邊，上的動點，且，，，分別是的邊，，上的動點，請直接寫出的周長的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）過點作交于點，，，，，，，故答案為：；（2）①，理由如下：如下圖，連接，，由題意知，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，；②連接，，，，，，則，，的周長為，當(dāng)，，，四點共線時，的周長最小，最小值為的長，，當(dāng)最小時，的周長最小，根據(jù)題意知，當(dāng)時，有最小值，，，，當(dāng)時，，，，，，周長的最小值為，故答案為：；（3）過點作于，延長到點，使，連接，，由（2）②得出周長的最小值為，在長方形中，，，，，，，又，，又，，，周長的最小值為．22．（2022?九江三模）回歸教材：（1）如圖1，小然同學(xué)在學(xué)習(xí)九年級上（北師版）教材頁時，遇到了這個問題．如圖，在中，，，垂足為．求證：．請你替小然寫出過程．小試牛刀：（2）如圖2，，，，，，，．變式探索：（3）如圖3，中，，點為內(nèi)部一點，且滿足，，，，求長．拓展應(yīng)用：（4）如圖4，正方形中，以為圓心，為半徑作圓在正方形內(nèi)得到弧，點為弧上一點，且滿足．面積記作，正方形面積記為．①求；②試猜想與的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，；（2）解：如圖1，延長，交的延長線于，由（1）得：，，，，，，，，，，，，，故答案為：；（3）解：，，，，，，，，，，，；（4）解：如圖，以為圓心，為半徑的圓補(bǔ)全，在優(yōu)弧上任取一點，作于，①，，，，，，，，，，，，，；②由①知：，，，，，，，，．23．（2022?九江一模）如圖（1），在四邊形中，，，以點為頂點作，且，連接．（1）觀察猜想如圖（2），當(dāng)時，①四邊形是正方形（填特殊四邊形的名稱）；②，，之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）類比探究如圖（1），線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．（3）解決問題如圖（3），在中，，，點，均在邊上，且，若，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）①，四邊形是矩形，又，四邊形是正方形，故答案為：正方形；②如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，即點，，共線，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，，，，又，，故答案為：；（2）成立，理由如下：如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，可得，，，，，，點，，在同一直線上，，，，，，又，，，，；（3）如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)90得到△，連接，則，，，，在中，，，，，即，，由②同理得，△，，即，解得．24．（2022?南城縣一模）定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點所連線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果其中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們就把這條線段叫做這個三角形的“華麗分割線”．例如：如圖1，把分成和，若是等腰三角形，且，那么就是的“華麗分割線”．（1）【定義感知】如圖1，在中，，，．求證：是的“華麗分割線”．（2）【問題解決】①如圖2，在中，，是的“華麗分割線”，且是等腰三角形，則的度數(shù)為或．②如圖3，在中，，，是的“華麗分割線”，且是以為底邊的等腰三角形，求華麗分割線的長．【答案】見解析【詳解】證明：（1），是等腰三角形．又，．．又，．是的“華麗分割線”；（2）①當(dāng)時，得，．，．在中，由內(nèi)角和定理得．當(dāng)時，．，．在中，由內(nèi)角和定理得．故的度數(shù)為或．故答案為：或；②，．即，解得，．解得．25．（2022?九江二模）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，點為平面內(nèi)一動點，且，，