專(zhuān)題1與垂線(xiàn)有關(guān)的計(jì)算與證明(原卷版+解析)

專(zhuān)題1與垂線(xiàn)有關(guān)的計(jì)算與證明（原卷版）第一部分典例精析+變式訓(xùn)練類(lèi)型一運(yùn)用垂直的定義直接計(jì)算典例1（2020?谷城縣校級(jí)模擬）如圖所示，直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．30° D．35°變式訓(xùn)練1．（2021春?江夏）如圖所示，直線(xiàn)AB⊥CD于點(diǎn)O，直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，若∠1＝37°，則∠2的度數(shù)是（）A．37° B．53° C．43° D．63°典例2（2021秋?松陽(yáng)縣期末）如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝40°．（1）若OE⊥CD，求∠BOE的度數(shù)；（2）若OA平分∠COE，求∠DOE的度數(shù)．變式訓(xùn)練22．（2021秋?盱眙縣期末）如圖，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)MN相交，交點(diǎn)為O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度數(shù)．典例3（2022春?陽(yáng)高縣月考）如圖，直線(xiàn)BC與MN相交于點(diǎn)O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝21°，求∠AOM的度數(shù)．變式訓(xùn)練1．（2022春?東莞市月考）如圖，已知直線(xiàn)AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，AB⊥CD，∠COE＝53°，求∠DOF與∠BOF的度數(shù)．類(lèi)型二運(yùn)用方程思想進(jìn)行計(jì)算典例4（2021春?集賢縣期中）如圖，直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE＝4：1，求∠DOE和∠AOF的度數(shù)．變式訓(xùn)練1．如圖，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC=13∠BOC，求∠

典例5（2021秋?泊頭市期末）如圖，點(diǎn)O是直線(xiàn)AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如圖1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖2，若∠COE=13∠DOB，求∠變式訓(xùn)練1．如圖，AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，EF⊥AB，OG、OH分別為∠COF、∠DOG的平分線(xiàn)，若∠AOC：∠COG＝4：7，則∠DOF＝，∠DOH＝．2．（2021秋?城廂區(qū)期末）如圖，直線(xiàn)MD、CN相交于點(diǎn)O，OA是∠MOC內(nèi)的一條射線(xiàn)，OB是∠NOD內(nèi)的一條射線(xiàn)，∠MON＝70°．（1）若∠BOD=12∠COD，求∠（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度數(shù)．

類(lèi)型三用計(jì)算的方法證明兩直線(xiàn)垂直典例6（2022春?郾城區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，F(xiàn)H⊥AB于H．試判斷AB與CD有什么位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．變式訓(xùn)練1．（2021春?秦都區(qū)月考）如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°，OE與CD垂直嗎？為什么？典例7（2019?衢江區(qū)開(kāi)學(xué)）如圖，點(diǎn)O是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，∠COE＝75°．（1）則DO⊥OE，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）OE平分∠BOC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．變式訓(xùn)練1．（蔡甸區(qū)期中）如圖，直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝28°，∠BOF＝59°，OF平分∠DOE，OE與AB垂直嗎？為什么？專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練（2022?桐柏縣一模）如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O，∠EOC＝40°，求∠AOD的度數(shù)（）A．110° B．120° C．130° D．140°第1題圖第2題圖第3題圖2．（2022春?福清市期中）如圖，點(diǎn)O在直線(xiàn)CD上，已知∠1＝25°，OB⊥OA，則∠BOD等于（）A．25° B．65° C．75° D．90°3．（2020秋?南崗區(qū)期末）如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為點(diǎn)O，若∠AOD＝132°，則∠EOC＝°．4．（2020春?興國(guó)縣期末）如圖，已知直線(xiàn)AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．（1）求∠AOG的度數(shù)；（2）若OC是∠AOE的平分線(xiàn)，那么OG是∠AOF的平分線(xiàn)嗎？說(shuō)明你的理由．5．（2021春?雙遼市期末）如圖，直線(xiàn)AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，若∠EOG=13∠AOE，求∠6．如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，判斷ON與CD的位置關(guān)系，請(qǐng)將下面的解題過(guò)程補(bǔ)充完整，在括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)理由．解：ONCD．理由如下：因?yàn)镺M⊥AB，所以∠AOM＝°（）所以∠1+∠AOC＝90°．又因?yàn)椤?＝∠2，所以+∠AOC＝90°（等量代換），即∠CON＝90°，所以（）（2）若∠BOC＝4∠1，求∠MOD的度數(shù)．7．（2020秋?和平區(qū)期末）平面內(nèi)兩條直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．（1）如圖1：①若∠AOE＝20°，則∠DOF＝°；②請(qǐng)寫(xiě)出∠DOF和∠AOE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，∠DOF與∠AOE的數(shù)量關(guān)系是．8．如圖，已知鈍角∠ABC．（1）在鈍角∠ABC外，過(guò)點(diǎn)B作射線(xiàn)BE，射線(xiàn)BD，使BE⊥AB，BD⊥BC．（2）在（1）的情況下，若∠EBD=57∠ABC，試求∠EBD和∠9．（未央?yún)^(qū)期末）如圖，∠BOC＝2∠AOC，OD是∠AOB的平分線(xiàn)，且∠COD＝18°，求∠AOC的度數(shù)．10．（2022春?大荔縣期末）如圖，已知直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，∠COE＝90°．若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度數(shù)．11．（2019春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，已知∠ADB＝∠BCE，∠CAD+∠E＝180°．（1）判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AF于點(diǎn)F，∠ADB＝80°，求∠BAD的度數(shù)．12．（2022?江陰市期末）如圖，直線(xiàn)AB與CD相交于O，OE是∠COB的平分線(xiàn)，OE⊥OF．∠AOD＝74°（1）求∠BOE的度數(shù)；（2）試說(shuō)明OF平分∠AOC．

13．（2022秋?滑縣期末）如圖，直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O，OP是∠BOC的平分線(xiàn)，OE⊥AB，OF⊥CD．如果∠AOD＝40°，求∠POF的度數(shù)．14．（2020春?石城縣期中）平面內(nèi)兩條直線(xiàn)EF、CD相交于點(diǎn)O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．（1）如圖1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度數(shù)；（2）在圖1中，若∠AOE＝x°，請(qǐng)求出∠BOD的度數(shù)（用含有x的式子表示），并寫(xiě)出∠AOE和∠BOD的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，當(dāng)OA，OB在直線(xiàn)EF的同側(cè)時(shí)，∠AOE和∠BOD的數(shù)量關(guān)系是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．專(zhuān)題1與垂線(xiàn)有關(guān)的計(jì)算與證明（解析版）第一部分典例精析+變式訓(xùn)練類(lèi)型一運(yùn)用垂直的定義直接計(jì)算典例1（2020?谷城縣校級(jí)模擬）如圖所示，直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，∠COE＝55°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．30° D．35°思路引領(lǐng)：先根據(jù)垂直的定義求出∠AOC，然后根據(jù)對(duì)頂角相等即可求出∠BOD的度數(shù)．解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠COE＝55°，∴∠AOC＝90°﹣∠COE＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°．故選：D．總結(jié)提升：本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)，垂直的定義，根據(jù)圖形找出角的關(guān)系代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可，比較簡(jiǎn)單．變式訓(xùn)練1．（2021春?江夏區(qū)期中）如圖所示，直線(xiàn)AB⊥CD于點(diǎn)O，直線(xiàn)EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，若∠1＝37°，則∠2的度數(shù)是（）A．37° B．53° C．43° D．63°思路引領(lǐng)：利用垂線(xiàn)的定義得∠BOC＝90°，從而得出∠BOE＝90°﹣37°＝53°，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得答案．解：∵AB⊥CD，∴∠BOC＝90°，∵∠1＝37°，∴∠BOE＝90°﹣37°＝53°，∴∠2＝∠BOE＝53°，故選：B．總結(jié)提升：本題主要考查了垂線(xiàn)的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，角的和差關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．典例2（2021秋?松陽(yáng)縣期末）如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝40°．（1）若OE⊥CD，求∠BOE的度數(shù)；（2）若OA平分∠COE，求∠DOE的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠BOD的度數(shù)，再由OE⊥CD得出∠DOE＝90°，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出∠AOE的度數(shù)，再由對(duì)頂角相等得出∠BOD的度數(shù)，根據(jù)平角的定義即可得出結(jié)論．解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOD＝40°．∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝40°+90°＝130°；（2）∵OA平分∠COE，∠AOC＝40°．∴∠AOE＝∠AOC＝40°，∠BOD＝∠AOC＝40°，∴∠DOE＝180°﹣∠AOE﹣∠BOD＝180°﹣40°﹣40°＝100°．總結(jié)提升：本題考查了角平分線(xiàn)，鄰補(bǔ)角．解題的關(guān)鍵是掌握角平分線(xiàn)的定義．鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．變式訓(xùn)練22．（2021秋?盱眙縣期末）如圖，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)MN相交，交點(diǎn)為O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON＝25°，求∠COD的度數(shù)．解：∵∠BON＝25°，∴∠AOM＝25°，∵OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝25°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣25°＝65°．典例3（2022春?陽(yáng)高縣月考）如圖，直線(xiàn)BC與MN相交于點(diǎn)O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝21°，求∠AOM的度數(shù)．思路引領(lǐng)：利用角平分線(xiàn)定義可得∠BON＝2∠EON＝42°，然后根據(jù)垂直定義可得∠AOC＝90°，進(jìn)而可得∠AOM的度數(shù)．解：∵OE平分∠BON，∠EON＝21°，∴∠BON＝2∠EON＝42°，∴∠MOC＝42°，∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝90°﹣42°＝48°．總結(jié)提升：此題主要考查了垂線(xiàn)，以及角平分線(xiàn)的定義，關(guān)鍵是掌握角平分線(xiàn)把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角．變式訓(xùn)練1．（2022春?東莞市月考）如圖，已知直線(xiàn)AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，AB⊥CD，∠COE＝53°，求∠DOF與∠BOF的度數(shù)．思路引領(lǐng)：利用垂直定義可得∠BOD＝90°，然后再利用對(duì)頂角相等可得∠DOF＝53°，再利用角的和差關(guān)系計(jì)算出∠BOF的度數(shù)即可．解：∵AB⊥CD，∴∠BOD＝90°，∵∠COE＝53°，∴∠DOF＝53°，∴∠BOF＝90°+53°＝143°．總結(jié)提升：此題主要考查了垂線(xiàn)，關(guān)鍵是掌握對(duì)頂角相等，當(dāng)兩條直線(xiàn)相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線(xiàn)互相垂直，其中一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)．類(lèi)型二運(yùn)用方程思想進(jìn)行計(jì)算典例4（2021春?集賢縣期中）如圖，直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE＝4：1，求∠DOE和∠AOF的度數(shù)．思路引領(lǐng)：利用角平分線(xiàn)及比例式求出角的關(guān)系，利用平角是180°，求出∠BOE＝∠DOE＝30°，OF平分∠COE得到∠EOF＝75°，求出∠BOF＝45°，根據(jù)鄰補(bǔ)角的和等于180°求出∠AOF．解：∵∠AOD：∠BOE＝4：1，∴∠AOD＝4∠BOE，∵OE平分∠BOD，∴∠D0E＝∠EOB，∵∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°，∴6∠BOE＝180°，∴∠BOE＝∠DOE＝30°，∴∠COE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF＝75°，∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝75°﹣30°＝45°，∠AOF＝180°﹣45°＝135°．總結(jié)提升：本題考查了鄰補(bǔ)角的定義，對(duì)頂角相等的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．如圖，AO⊥BO，CO⊥DO，∠AOC=13∠BOC，求∠思路引領(lǐng)：先設(shè)∠AOC＝x，根據(jù)題意可得∠BOC＝3x，∠AOB＝2x，再由AO⊥BO，運(yùn)用垂直的定義可得2x＝90°，進(jìn)而求解出x的值，再運(yùn)用周角的定義即可求解．解：設(shè)∠AOC＝x，∠BOC＝3x，∴∠AOB＝2x，∵AO⊥BO，∴2x＝90°，∴x＝45°，∴∠BOD＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°．總結(jié)提升：本題主要考查了角的運(yùn)算，正確理解垂直的定義是本題的解題關(guān)鍵．典例5（2021秋?泊頭市期末）如圖，點(diǎn)O是直線(xiàn)AB上的一點(diǎn)，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如圖1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度數(shù)；（2）如圖2，若∠COE=13∠DOB，求∠思路引領(lǐng)：（1）已知∠COD，欲求∠DOE，需求∠COE．由∠AOC＝40°，得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．由OE平分∠BOC，得∠COE=1（2）欲求∠AOC，需求∠BOC．由∠COE=13∠DOB，得∠DOB＝3∠COE．由OE平分∠BOC，得∠BOC＝2∠COE．由∠COD＝90°，得∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°，故∠COE＝18°，進(jìn)而可求得∠解：（1）∵∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．∵OE平分∠BOC，∴∠COE=1∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°．（2）∵∠COE=13∠∴∠DOB＝3∠COE．∵OE平分∠BOC，∴∠BOC＝2∠COE．∵∠COD＝90°，∴∠BOC+∠BOD＝2∠COE+3∠COE＝5∠COE＝90°．∴∠COE＝18°．∴∠BOC＝2∠COE＝36°．∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣36°＝144°．總結(jié)提升：本題主要考查角的和差關(guān)系、角平分線(xiàn)的定義以及直角的定義，熟練掌握角的和差關(guān)系、角平分線(xiàn)的定義以及直角的定義是解決本題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．如圖，AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，EF⊥AB，OG、OH分別為∠COF、∠DOG的平分線(xiàn)，若∠AOC：∠COG＝4：7，則∠DOF＝，∠DOH＝．思路引領(lǐng)：利用垂直定義結(jié)合已知設(shè)∠AOC＝4x，∠COG＝7x，則∠GOF＝7x，進(jìn)而求出x的值，再利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出答案．解：∵EF⊥AB，OG為∠COF的平分線(xiàn)，∴∠COG＝∠FOG，∵∠AOC：∠COG＝4：7，∴設(shè)∠AOC＝4x，∠COG＝7x，則∠GOF＝7x，∴4x+7x+7x＝18x＝90°，解得：x＝5°，故∠AOC＝∠DOB＝20°，∠COG＝∠GOF＝35°，則∠DOF＝90°+20°＝110°，故∠DOG＝20°+90°+35°＝145°，故∠GOH＝∠DOH＝72.5°，故答案為：110°，72.5°．總結(jié)提升：此題主要考查了角平分線(xiàn)的定義以及垂線(xiàn)的定義，熟練應(yīng)用角平分線(xiàn)的定義是解題關(guān)鍵．2．（2021秋?城廂區(qū)校級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)MD、CN相交于點(diǎn)O，OA是∠MOC內(nèi)的一條射線(xiàn)，OB是∠NOD內(nèi)的一條射線(xiàn)，∠MON＝70°．（1）若∠BOD=12∠COD，求∠（2）若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)對(duì)頂角的定義可得∠COD的度數(shù)，再根據(jù)∠BOD=12∠COD可得∠（2）設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝3x°，利用角的和差運(yùn)算即可解得x，進(jìn)而可得∠BON的度數(shù)．解：（1）∵∠MON＝70°，∴∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD=12∠COD∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠BOD＝180°﹣70°﹣35°＝75°；（2）設(shè)∠AOC＝x°，則∠BOC＝3x°，∵∠COD＝∠MON＝70°，∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝3x°﹣70°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝x°+70°，∵∠AOD＝2∠BOD，∴x+70＝2（3x﹣70），解得x＝42，∴∠BOD＝3x°﹣70°＝3×42°﹣70°＝56°，∴∠BON＝180°﹣∠MON﹣∠DOB＝180°﹣70°﹣56°＝54°．總結(jié)提升：此題主要考查了角的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握鄰補(bǔ)角互補(bǔ)．類(lèi)型三用計(jì)算的方法證明兩直線(xiàn)垂直典例6（2022春?郾城區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知∠1＝142°，∠ACB＝38°，CD平分∠ACB，∠2＝∠3，F(xiàn)H⊥AB于H．試判斷AB與CD有什么位置關(guān)系？并說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：先證DE∥BC，證明HF∥CD，所以∠BDC＝∠BHF＝90°，即可證明解：AB與CD垂直．理由如下：∵∠1＝142°，∠ACB＝38°，∴∠1+∠ACB＝180°．∴DE∥BC．∴∠2＝∠DCB．又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠DCB．∴HF∥CD．∴∠BHF＝∠BDC，又∵FH⊥AB，∴∠BDC＝∠BHF＝90°，∴CD⊥AB．總結(jié)提升：本題考查了平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟悉以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2021春?秦都區(qū)月考）如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，OF平分∠BOE，∠DOF＝25°，∠AOC＝40°，OE與CD垂直嗎？為什么？思路引領(lǐng)：根據(jù)對(duì)頂角的定義和角平分線(xiàn)的定義即可得到結(jié)論．解：OE⊥CD，理由如下：∵∠AOC＝40°，∴∠DOB＝∠AOC＝40°，∵∠DOF＝25°，∴∠BOF＝∠DOB+∠DOF＝65°，又∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠BOF＝65°，∴∠DOE＝∠EOF+∠DOF＝65°+25°＝90°，∴OE⊥CD．總結(jié)提升：本題考查了垂線(xiàn)，角平分線(xiàn)的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，正確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．典例7（2019?衢江區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，點(diǎn)O是直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，∠COE＝75°．（1）則DO⊥OE，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）OE平分∠BOC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．思路引領(lǐng)：（1）利用角平分線(xiàn)的定義求出∠COD＝15°，然后利用∠COE的度數(shù)即可解決問(wèn)題；（2）利用平角的定義可以求出∠EOB的度數(shù)即可判斷．解：（1）∵∠AOC＝30°，OD平分∠AOC，∴∠COD＝15°，而∠COE＝75°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝15°+75°＝90°，∴DO⊥OE；（2）平分．∵∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，∴∠COE＝∠EOB，即OE平分∠BOC．總結(jié)提升：本題主要考查了垂直的定義、平分線(xiàn)的定義和互補(bǔ)的性質(zhì)計(jì)算，要注意領(lǐng)會(huì)由垂直得直角這一要點(diǎn)．變式訓(xùn)練1．（蔡甸區(qū)期中）如圖，直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝28°，∠BOF＝59°，OF平分∠DOE，OE與AB垂直嗎？為什么？思路引領(lǐng)：根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義即可得到結(jié)論．解：OE⊥AB，理由如下：∵∠AOC＝28°，∴∠DOB＝∠AOC＝28°，∴∠DOF＝∠BOF﹣∠DOB＝59°﹣28°＝31°，又OF平分∠DOE，∴∠EOD＝2∠DOF＝62°，∴∠EOB＝∠EOD+∠DOB＝62°+28°＝90°，∴EO⊥AB．總結(jié)提升：本題考查了垂線(xiàn)，角平分線(xiàn)的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2022?桐柏縣一模）如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為O，∠EOC＝40°，求∠AOD的度數(shù)（）A．110° B．120° C．130° D．140°思路引領(lǐng)：根據(jù)垂直的定義和對(duì)頂角相等得出答案．解：∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，又∵∠EOC＝40°，∴∠AOD＝∠BOC＝∠EOB+∠EOC＝90°+40°＝130°，故選：C．總結(jié)提升：本題考查垂直的定義，對(duì)頂角相等的性質(zhì)，掌握垂直的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2022春?福清市期中）如圖，點(diǎn)O在直線(xiàn)CD上，已知∠1＝25°，OB⊥OA，則∠BOD等于（）A．25° B．65° C．75° D．90°思路引領(lǐng)：利用互余的兩角的關(guān)系計(jì)算即可．解：∵OB⊥OA，∠1＝25°，∴∠BOD＝90°﹣25°＝65°．故選：B．總結(jié)提升：本題考查的是余角的定義，解題的關(guān)鍵是從圖中找到互余的兩個(gè)角．3．（2020秋?南崗區(qū)期末）如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，EO⊥AB，垂足為點(diǎn)O，若∠AOD＝132°，則∠EOC＝°．思路引領(lǐng)：根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠COB＝132°，再根據(jù)垂直定義可得∠EOB＝90°，再利用角的和差關(guān)系可得答案．解：∵∠AOD＝132°，∴∠COB＝132°，∵EO⊥AB，∴∠EOB＝90°，∴∠COE＝132°﹣90°＝42°，故答案為：42．總結(jié)提升：此題主要考查了垂線(xiàn)，以及對(duì)頂角，關(guān)鍵是掌握對(duì)頂角相等．4．（2020春?興國(guó)縣期末）如圖，已知直線(xiàn)AB、CD、EF相交于點(diǎn)O，OG⊥CD，∠BOD＝24°．（1）求∠AOG的度數(shù)；（2）若OC是∠AOE的平分線(xiàn)，那么OG是∠AOF的平分線(xiàn)嗎？說(shuō)明你的理由．思路引領(lǐng)：（1）由對(duì)頂角的性質(zhì)可得∠AOC＝∠BOD＝24°，由垂線(xiàn)的性質(zhì)可得∠COG＝90°，即可求解；（2）由垂線(xiàn)的性質(zhì)和對(duì)頂角的性質(zhì)可求∠AOG＝∠GOF，可得結(jié)論．解：（1）∵AB、CD相交于點(diǎn)O，∴∠AOC＝∠BOD＝24°，∵OG⊥CD，∴∠COG＝90°，即∠AOC+∠AOG＝90°，∴∠AOG＝90°﹣∠AOC＝90°﹣24°＝66°；（2）OG是∠AOF的角平分線(xiàn)，理由如下：∵OC是∠AOE的角平分線(xiàn)，∴∠AOC＝∠COE，又∵∠DOF＝∠COE，∴∠COA＝∠DOF，∵OG⊥CD，∴∠COG＝∠DOG＝90°，∴∠AOG＝∠GOF，∴OG平分∠AOF．總結(jié)提升：本題考查了垂線(xiàn)，對(duì)頂角的定義，角平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．5．（2021春?雙遼市期末）如圖，直線(xiàn)AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，且AB⊥CD，OG平分∠BOE，若∠EOG=13∠AOE，求∠思路引領(lǐng)：首先根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得∠EOG＝∠BOG，設(shè)∠EOG＝x°，進(jìn)而得到∠EOG=13∠AOE=x°，再根據(jù)平角為180°可得x+x+3x＝180，解出x可得∠EOG解：∵OG平分∠BOE，∴∠EOG＝∠BOG，設(shè)∠EOG＝x°，∵∠EOG=1∴∠AOE＝3x°，∵x+x+3x＝180，解得：x＝36，∴∠AOE＝3×36°＝108°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣108°＝72°，∵AB⊥CD，∴∠AOD＝90°，∴∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝90°﹣72°＝18°．所以∠DOF的度數(shù)18°．總結(jié)提升：此題考查了垂線(xiàn)、角平分線(xiàn)，關(guān)鍵是掌握角平分線(xiàn)可以把角分成相等的兩部分．6．如圖，直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，判斷ON與CD的位置關(guān)系，請(qǐng)將下面的解題過(guò)程補(bǔ)充完整，在括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)理由．解：ONCD．理由如下：因?yàn)镺M⊥AB，所以∠AOM＝90°（）所以∠1+∠AOC＝90°．又因?yàn)椤?＝∠2，所以+∠AOC＝90°（等量代換），即∠CON＝90°，所以（）（2）若∠BOC＝4∠1，求∠MOD的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)垂直定義即可得結(jié)論；（2）由OM⊥AB，可得∠BOM＝90°根據(jù)∠1+90°＝4∠1，得∠1＝30°，再根據(jù)對(duì)頂角相等得∠BOD＝∠AOC＝60°，進(jìn)而求解．解：（1）ON⊥CD．理由如下：因?yàn)镺M⊥AB，所以∠AOM＝90°（垂直定義）所以∠1+∠AOC＝90°．又因?yàn)椤?＝∠2，所以∠2+∠AOC＝90°（等量代換），即∠CON＝90°，所以O(shè)N⊥CD（垂直定義）故答案為：⊥、90、垂直定義、∠2、ON⊥CD、垂直定義．（2）因?yàn)镺M⊥AB，所以∠BOM＝90°因?yàn)椤螧OC＝∠1+∠BOM所以∠1+90°＝4∠1，所以∠1＝30°所以∠AOC＝90°﹣∠1＝90°﹣30°＝60°所以∠BOD＝∠AOC＝60°所以∠MOD＝∠MOB+∠BOD＝90°+60°＝150°答：∠MOD的度數(shù)為150°．總結(jié)提升：本題考查了垂線(xiàn)、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂線(xiàn)定義．7．（2020秋?和平區(qū)期末）平面內(nèi)兩條直線(xiàn)AB、CD相交于點(diǎn)O，∠EOF＝90°，OB平分∠COF．（1）如圖1：①若∠AOE＝20°，則∠DOF＝°；②請(qǐng)寫(xiě)出∠DOF和∠AOE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，∠DOF與∠AOE的數(shù)量關(guān)系是．思路引領(lǐng)：（1）①先利用平角求出∠BOF，再利用角平分線(xiàn)的定義求出∠FOC即可，②設(shè)∠AOE＝x，然后按照①的思路表示∠DOF即可；（2）設(shè)∠AOE＝y(tǒng)，然后按照上題的思路表示∠DOF即可．解：（1）①∵∠EOF＝90°，∠AOE＝20°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝70°，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝140°，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝40°，故答案為：40°，②∠DOF＝2∠AOE，理由是：設(shè)∠AOE＝x，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣x，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2x，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2x，∴∠DOF＝2∠AOE；（2）∠DOF＝2∠AOE，理由是：設(shè)∠AOE＝y(tǒng)，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＝180°﹣∠EOF﹣∠AOE＝90°﹣y，∵OB平分∠COF，∴∠COF＝2∠BOF＝180°﹣2y，∴∠DOF＝180°﹣∠COF＝2y，∴∠DOF＝2∠AOE．總結(jié)提升：本題考查了鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角，角平分線(xiàn)的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．8．如圖，已知鈍角∠ABC．（1）在鈍角∠ABC外，過(guò)點(diǎn)B作射線(xiàn)BE，射線(xiàn)BD，使BE⊥AB，BD⊥BC．（2）在（1）的情況下，若∠EBD=57∠ABC，試求∠EBD和∠思路引領(lǐng)：（1）直接畫(huà)出垂線(xiàn)即可；（2）根據(jù)比例關(guān)系，利用周角是360°求解即可．解：（1）作出的圖形如圖所示；（2）∵∠EBD=5∴∠EBD：∠ABC＝5：7．設(shè)∠EBD＝5k，則∠ABC＝7k．∵∠ABE＝∠CBD＝90°．∴∠ABC+∠EBD＝180°，即7k+5k＝180°，解得k＝15°．∴∠EBD＝5k＝5×15°＝75°，∠ABC＝7k＝7×15°＝105°．總結(jié)提升：本題考查的是垂線(xiàn)的作法、角度的求法，解題的關(guān)鍵就是看準(zhǔn)作誰(shuí)的垂線(xiàn)、周角是360°．9．（2019秋?未央?yún)^(qū)期末）如圖，∠BOC＝2∠AOC，OD是∠AOB的平分線(xiàn)，且∠COD＝18°，求∠AOC的度數(shù)．思路引領(lǐng)：設(shè)∠AOC＝x，用x表示出∠BOC、∠AOB及∠AOD，利用角的和差關(guān)系及∠COD＝18°得到關(guān)于x的方程，求解即可．解：設(shè)∠AOC＝x，∵∠BOC＝2∠AOC，∴∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝1.5x．∵∠COD＝∠AOD﹣∠AOC，∴1.5x﹣x＝18°，解得x＝36°．∴∠AOC＝36°．總結(jié)提升：本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)及角的計(jì)算，掌握角的和差關(guān)系列出方程是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022春?大荔縣期末）如圖，已知直線(xiàn)AB，CD相交于點(diǎn)O，∠COE＝90°．若∠BOD：∠BOC＝1：5，求∠AOE的度數(shù)．思路引領(lǐng)：根據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義以及圖形中角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．解：∵∠BOD：∠BOC＝1：5，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOD＝180°×11+5=30°，∠BOC∴∠AOC＝∠BOD＝30°，∵∠COE＝90°．∴∠AOE＝90°+30°＝120°．總結(jié)提升：本題考查對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，理解對(duì)頂角相等以及鄰補(bǔ)角的定義是正確簡(jiǎn)單的前提．11．（2019春?工業(yè)園區(qū)期末）如圖，已知∠ADB＝∠BCE，∠CAD+∠E＝180°．（1）判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AF于點(diǎn)F，∠ADB＝80°，求∠BAD的度數(shù)．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)平行線(xiàn)的判定得出AD∥CE，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠CAD＝∠ACE，求出∠E+∠ACE＝180°，根據(jù)平行線(xiàn)的判定得出即可；（2）根據(jù)∠ADB＝∠BCE求出∠BCE＝80°，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出∠ACE=12∠BCE＝40°，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出∠CAD＝∠ACE＝40°，∠BAC＝∠解：（1）AC∥EF，理由是：∵∠ADB＝∠BCE，∴AD∥CE，∴∠CAD＝∠ACE，∵∠CAD+∠E＝180°，∴∠E+∠ACE＝180°，∴AC∥EF；（2）∵∠ADB＝∠BCE，∠ADB＝80°，∴∠BCE＝80°，∵AC平分∠BCE，∴∠ACE=12∠∵AD∥CE，∴∠CAD＝∠ACE＝40°，∵FE⊥AB，∴∠EFA＝90°，∵AC∥EF，∴∠BAC＝∠