《中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》參考答案

課后習(xí)題參考答案:

第1章：

1.利用反證法：如果兩條無差異曲線相交于A點(diǎn)，如下圖。

由無差異曲線的定義和三點(diǎn)（消費(fèi)組合）在圖上的位置，很顯然有

A?C,A?8但

由傳遞性公理，必然有AaA,矛盾，故得證。

2?若萬1〈萬2,則顯然有3（萬［）33（萬2），這里的

B（pz,m）={x\px<m9xe,m>0}

是對應(yīng)于價(jià)格Pi上的可行消費(fèi)集。顯然，在3（A，/n）上達(dá)到的最大效用

,m）不可能小于在其子集B（p2,m）上達(dá)到的最大效用v（p2,m）：

v（pvm）>v{p2,m）

同理，若m1sm2,則3（區(qū)仍）q3（萬,牡），從而

貝瓦班）?一"加2）

3.我們?nèi)⌒в煤瘮?shù)的等價(jià)形式〃（斗，X2）=。111%+〃111%2,而且，還可

以假設(shè)a+〃=L

(1)考慮效用最大化問題

max(aln%+^lnx2)

x\，/2

s.t.

p{x1+p2x2=m

拉格朗日函數(shù)為

L=a\nx}+J3\nx2_4(白%+p2x2-ni)

一階必要條件為

dLadLa.八

---=-----九PT=0，~-=------2“2=0

dxx%dx2x2

dL八

—=p2x2-m=0

聯(lián)立方程求解得：

amm

九4=m/i/P

(a+0)/m=\Jm,%=----，x2=-----

PTPI

此即為馬歇爾需求；相應(yīng)的間接效用函數(shù)是

v(p,m)=Inm-Inp；(a+/?=l)

(2)考慮支出最小化問題

min(〃]X]+p2x2)

s.t.

a\nx}+J3\nx2=u

拉格朗日函數(shù)為

L=PE+p2x2-2(alnxj+J3\nx2-u)

由一階條件解得：

2=Al&"

)

Pll/pjPl\apl）

這即為?？怂剐枨螅恢С龊瘮?shù)為

(7(、夕

e（Pi，，2,4）2PiPi

\a)<

B/

（3）以商品1為例。在（％,〃1）平面內(nèi)，兩條需求曲線相交處滿足

amap?

PiPP\

在該點(diǎn)兩條需求曲線的斜率分別為

dx^p.m)_am嘰(0,4)aPz

一臉、《p、

明P；的

利用交點(diǎn)條件，顯然二者存在關(guān)系

九》）=dx^p.m）

明明

注意到二者都為負(fù)數(shù)，且分＜1,這意味著在（石，〃1）坐標(biāo)平面中希克斯需求

曲線較馬歇爾需求陡峭。

（4）由（1）,v（p,m）=Inm-ln所以

dv（p.m）adv（p.m）1

—,-

dp、Pidmm

所以

3v(p,m)/dp,am

——X]

dv(p,m)/dmpx

（5）利用關(guān)系a+4=1,容易證明

4［萬,y（萬,機(jī)）］=（乎1］"（"⑺="=%］（萬,旭）

\BPI）PI

其余三個(gè)恒等式類似驗(yàn)證。

4.（1）在正單調(diào)變換y=〃"0+6+"下，原函數(shù)變?yōu)?/p>

u=（%甘產(chǎn)2+，）（々一為嚴(yán)3人）（芻—&

此時(shí)的三個(gè)指數(shù)之和顯然為lo由于在正單調(diào)變換之下效用函數(shù)仍然表示原來的

消費(fèi)偏好，所以我們假設(shè)a+/?+/=1,這并不影響原有效用函數(shù)表示的偏

好性質(zhì)。

（2）為方便計(jì)算，將a,B,7分別記為4，%,av并選用另一等價(jià)的

效用函數(shù)形式

33

u=Z〃Jn(Xj—2)，其中Zq=l

z=lZ=1

考慮支出最小化的解

minZPR

s.t.ln（w--）=u

一階條件為

dL

-^_孫=0,i=l,2,3

xb

dxii~i

%="〃n（%/%）"

k

故?？怂剐枨蠛瘮?shù)為

45M=x；=%Yl(")"+bi

Pik以

（3）考慮效用最大化問題

maxZailn（xz-bj

s.t.ZPiXi=m

由一階條件得到馬歇爾需求為

Xi（0,m）=4m-￡口也）+（1_ai）bi

Pij"

因此

、a.

v（瓦加）=ZQJn［；（加一ZPjbj）-岫］

為驗(yàn)證斯勒茨基方程，

dx^p.m)_生與dx4認(rèn)m)_ai

池Pidmpi

dA（認(rèn)u）二%%人產(chǎn)J,

池PiPjk處

滿足

的［萬#（",㈤］dx^p.m）他_dx^p.rn）

X）（P，m）==

opidmpidpi

即

dh\p.v{p.m）］_dx^p.m）dx^p.m）

z=I1IxRp,m）

dpiopidm

故得證。

5.先求解效用最大化問題

maxx{x2

為/2

s.t.pxxx+p2x2=100

一階必要條件是

x2一％P[=0

玉一沏2二0

,50

代入約束等式求出4=---,得到馬歇爾需求函數(shù)

P也

5050

斗=—,x?=—

PiPl

因此

萬°二(1,1)時(shí)：%=々=50,〃°="(50,50)=2500

"=(1/4/)時(shí)：石=200,%=50,儲(chǔ)="(200,50)=10000

由公式可得

「1501

ACS=1/i(Pi)曲=，/4一曲=[501nR]，4a69.3

.Pi

為求EV和CV,再考慮支出最小化問題

minpxxx+p2x2

玉，笠

s.t.X1%2=〃

一階條件是

Pi-AX2=0

p2-Xxx=0

代入約束等式求出4=4/Pl〃2。

U

所以希克斯需求函數(shù)是

X]=4（〃1，〃2）=J衛(wèi)〃,％2=H（P1，〃2）=J且〃

VA\P1

注意到商品2的價(jià)格，2始終等于1，將其代入上面的希克斯需求函數(shù)，再根據(jù)

公式可得EV和CV：

=100

=50

比較三者可以看出存在CV<ACS<EV的結(jié)論。

6.按定義，和式可分效用函數(shù)形式如下

(元)=以x

UF[u{(%)+〃2(%)+…+(k)]

記需求函數(shù)為元(萬，勿2),滿足以下一階必要條件：對任意的。，=1,2,?,?,幾

Pi_dUIdxi_F(?)%[%(p,7)]_

PjdU1dxjk(?)%'[x,(p,M]

進(jìn)一步變形為

,p.f

U.t[xi(p.m)]=-^-uj[Xj(p.m)]

若"2增加，，不變，則至少有一種商品的需求量上升。不妨設(shè)X,增加，又因

為〃(?)是嚴(yán)格凹的，則與'口/(〃,m)]必然下降，所以〃：[七(2根)]下降，

因?yàn)椤??)是嚴(yán)格凹的，所以巧(〃,根)上升。所以不存在劣質(zhì)品。

7.

(1)考慮效用最大化問題

max(2X1/2+4^/2)

s.t.PR+p2x2=m

拉格朗日函數(shù)為

L—2X；2+_4(P[X]+P2X2—〃2)

一階必要條件為

Pl%+P1X2一根=0

解得:

pm_4PM

2_IP2+4PI

人]-99人2—o，/L-I

PM+4PI4Plp2+P￡VmP\Pi

這里的玉和馬即為馬歇爾需求，間接效用函數(shù)為

-\m4m

v=2一+——

VAPi

(2)考慮支出最小化問題

min(P]X[+p2x2)

』，電

s.t.2X：2+4XY2=U

拉格朗日函數(shù)為

L=Pi%+p,x?~2(2x：2+4X12_H)

由一階條件解得

4二S〃2

2P2+8P]

幾丫、2

p2u

%=￡=+2P2,

(2公2/、2

Pl"

/^=x2

4Pl+

Pi)P2)

這里的乙和刈即為?？怂剐枨?，支出函數(shù)為

e(P|,，2，〃)=%=

27A+4V2pT>

/、-\m4m

（3）以商品1為例，由（l）可知，v（/?pp2,m）=2—+——，所以

VA〃2

=(mlp、+4m/〃2)一"2(-機(jī)/p；)

明

dv

P1+4/

-{mlpx+4m/P2)"2(1/p2)

dm

可得

5v(p,m)/

dpx_p2m_

Su(p.m)/dmpp+4p；

因此滿足羅伊恒等式。

8.

（1）通過瓦爾拉斯定律，我們可以得到

&=（W-X]P]一工2〃2）/，3

（2）對于任意的4〉0,有

=100—54〃[I九P3+外〃2/4〃3+或卬/九〃3

=100_5口/P3+〃P2/P3+^>w/p3=X](Aw)

+以丸〃+宓卬/幾〃

X2(2^,2W)=a+0九p、/4P3P2/33

=a+BP\/P3+/p2/〃3+5w/P3=x"反卬)

因此看和馬是齊次的。

（3）由定理可得，斯勒茨基替代矩陣是對稱的，因此有

的(7,〃)_d%?u)

同時(shí)

e%(p,u)_dr,(p,w)6x,(p,w)

'—+x%(萬,w)

dpl池dw

=2+2?(100-5?且+4?&+3?上)

P3P3〃3P3P3

。九(P，4)__&2(7，W).Sx2(p,W)

-Z-------==Z---------+------；-------X%2(P，叼

op20P2ow

=2+三3+0旦+廣區(qū)+一)

〃3〃3〃3〃3A

假定P3=L我們得到

2

+aS}+P]+川〃2+*卬=(B+1005)—55〃]+[38p2+Sw

對于任意的Pi，P2和卬，要使上式成立，必須滿足以下條件

/3+a3=P+100<J,/3S=—53,y8—/38

因此a=100,2=—5,7=—5,所以有

inn5Pl5p,

Xj=x2-100---------1--------H-------

P3P3P3

同時(shí)，斯勒茨基矩陣對角線上的元素為負(fù)，因此我們得到3=0。

令〃3=1，對角線上的第一個(gè)元素等于

—5+5(100—5P[+5%)+&vv

如果SwO,那么內(nèi)2>0,此時(shí)我們總能找到一組(〃]，P2，W)使得上式大

于零，因此必須滿足5=0c所以可得

玉7=100一也+“1

-P3P3

(4)對于任意價(jià)格力，都有玉=々，所以消費(fèi)者的無差異曲線為里昂惕夫型

無差異曲線，如卜圖

個(gè)/

X2/

>

0XI

(5)由(4)可知，在給定￡時(shí)，商品1和商品2的最優(yōu)選擇為口1缶{玉，％2}，

同時(shí)，商品1和商品2的需求不存在財(cái)富效應(yīng)。因此我們可以得到

w(xpx2,x3)=min{xpx2}+x3

或該式的一個(gè)單調(diào)變化。

第2章：

1.一個(gè)函數(shù)成為支出函數(shù)，必須滿足的性質(zhì)有七條

(工).當(dāng)4取U中的最低效用水平時(shí)，e(",〃)=0。即〃(x)20時(shí),

e（p,u）=0。

這樣因?yàn)椤ā?，則Z（P1,〃2）>0。

（2）.在定義域上連續(xù)。

因?yàn)閜f是連續(xù)的，且〃。也是連續(xù)的，那么要使e（",〃）也連續(xù)，必然有

Z（P[,P2）連續(xù)。

（3）.對于所有P>>0,支出函數(shù)關(guān)于“嚴(yán)格遞增且無上界。

因?yàn)镻?（根>0）是嚴(yán)格遞增的，且〃（?）也是嚴(yán)格遞增的，那么Z（P1，〃2）也

必須嚴(yán)格遞增。

（4）.關(guān)于"是遞增的。

砥。,u)0z(P],〃2)

因?yàn)?--------=-P--^-U---o-則---要-使關(guān)于萬是遞增的，必

明明

須Z（〃i，〃2）關(guān)于萬是遞增的。

（5）.關(guān)于萬是一次齊次的。

要使：e（tp,u）=Z（如，少2）（么）““=%Z（P1，P2）“"〃=駿（萬,〃）

即：Z（孫皿2）（加3）"〃=磔P|，P2）P?。則有：Z（R],卬2）二廣“Z（P|，P2）o

即要求；Z（/7],/72）關(guān)于萬是（1一〃次齊次的。

（6）.關(guān)于萬是凹的。

即要滿足丑3<0儼z（Pi產(chǎn)）<0

明岫

（7）.如果萬是嚴(yán)格擬凹的，我們便有謝潑德（Shephard）引理：

Se

—=h.(p.u)

明

可以根據(jù)包絡(luò)定理證明。這樣Z（P],，2）滿足這樣的性質(zhì)。

00

2.由元1＞，少°,可以推出FARX,而這與P°X＜萬。元1并不矛盾,

因此可以得出，觀察值與顯示偏好弱公理并不沖突。

3.支出最小化問題為

minPE+p2x2+p3x3

St（%-乙）。（%2-力2）'（七一&）'二〃

拉格朗日函數(shù)是

玉+巧

L—P]p2X2+P3X3——4）°（%2—，2）'（—b3y—〃]

一階條件

（尤一工「癡二

些=P「4a1-b}y~\x2a）'（3一bj=P0

一

oxxx{

r

^-=u-（xl-b1y（x2-b2）\x3-b3）=0

OA

Xau,XBu,Ayu

求解得：X）=d7T-------,X,=b2T-------,%=4H-------,其中

P\一一Pz.P3

2=（^r（—/（—）z（注意a+A+/=l）

aPy

支出函數(shù)是

e=￡P(guān)E=+X"=A（力）+B⑺u

其中A（萬）=￡2pj,B（0）=Q

4.(1)利用Roy等式，可直接由間接效用函數(shù)求出個(gè)體的馬歇爾需求

-。吠(力川)/物c：(m4⑺$

X(p.m)=-----：-------；------L=-----------------m

5vv(p,/ns)/dmd(p)d(0)

這顯然是其收入ms的線性函數(shù)，所以個(gè)體的偏好是擬位似的。

(2)集團(tuán)需求函數(shù)即為各個(gè)體的需求加總

4(萬,M)=z%；(萬,加)=NZm'

ssd(p)d(p)s

二G⑺45)

d⑺d(萬)

其中M2s為集團(tuán)總收入，C(?)=”⑺。

(3)利用對偶性等式三〃，可得到個(gè)體的支出函數(shù)為高曼

(Gorman)形式

c\p)1

+------u

d(p)d(p)

在利用指出函數(shù)性質(zhì)立即有(以下為簡潔省寫了函數(shù)變量)

s

cdi-de：4s

3=^2一一7"

明

從而

”,.(RU)=2/瓦心=CdJG?

其中U=°現(xiàn)在

dZ人認(rèn)M)二Cdj_dCijddjj-djdjMdZ@,M)二4

而)~不^dM~~~d

1

8Hj(D，U)d?(Cd"+Cj4-C-d-Gd)-2dd-{Cdi—Qd)ddi.-Idd^-

dp;--巨星

啊5,V(D,M))dz^M)

Zj(Q,M)

dM

d?(Cdq+Cjdj—C-；d—Cjdj)—2ddj(Cdj-Jd)

d2d-2ddidjdC.d

fJ(C+dM)--

J4ddd

_C/j-Cgddd；j—dd-_6Z(p,Af)

-zzt1V1—z

22

dddPj

這便是斯勒茨基方程

5.在我們的偏好假設(shè)下，約束下效用最大化問題的解必然是處于一條無差異曲線

與財(cái)富約束線的切點(diǎn)，在這點(diǎn)上二者的斜率相等

%（一,一）_1

—JL?/

%（城,城）

dudu

其中“。=嬴Ui—u口I得

duty

=1+-=肛=匕￡(1+廠)%

(l—a)嘴叫aqa\0

代入預(yù)算約束等式

/+a=%+產(chǎn)=匕

14-r1+r

解得

"％=a[m^+m,/(1+r)]

町=(1-a)[(l+r)%+friy]

6.假設(shè)第二年商品2的消費(fèi)量為y

(i)消費(fèi)者滿足弱公理必須滿足以下條件：

100xl20+100y>100x100+100x100

100x120+80x100>100x120+80y

可得

y<75或者yN80

因此，當(dāng)[75,80]時(shí)，消費(fèi)者的行為不一致，即不滿足弱公理。

(2)第一年的消費(fèi)束顯示出優(yōu)于第二年的消費(fèi)束需滿足以下條件：

100x120+100y<100x100+100x100

100xl00+80xl00>100xl20+80y

可得：y<75

(3)消費(fèi)者在第二年的消費(fèi)束顯示出優(yōu)于第一年的消費(fèi)束需滿足以下條件：

100xl00+80xl00<100x120+803；

100x120+1003；>100x100+100x100

可得：y>80

(4)對于任意的y值，我們都有充分的信息來斷定(1),(2)和(3)的其中

一個(gè)。

(5)我們可以證明當(dāng)yv75時(shí)，商品I是一個(gè)劣等品。假定yv75,可得

100x120+100y<100x100+100x100

100x100+80x100>100x120+80^

因此從第一年到第二年，實(shí)際財(cái)富減少了。同時(shí)商品1的相對價(jià)格提高了。但是

對于商品2的需求y減少了，因?yàn)閥v75<100。這意味著商品i的財(cái)富效

應(yīng)是負(fù)向的，因此它是一個(gè)劣等品。

(6)我們可以證明當(dāng)80vy<100時(shí)，商品2是一個(gè)劣等品，證明方法和

(5)相似。

7.(1)

x](ap,aw)=ap2/ap3=p21P3=%(p,w)

x2{ap,aw)=-apxIap3=-px/p3=4(p,w)

x3(ap,aw)=aw/ap3=w/p3=x3(p.w)

因此可以證明x(p,vv)在(p,vv)上滿足零次齊次。

同時(shí)

〃丙(p,w)+〃2%(p,w)+〃3%3(p,w)=(P1P2~P2P]+〃3例/P3=W

所以x(〃,w)滿足瓦爾拉斯定律。

(2)假定p=(l,2,l),w=l,p'=(1,1,1)和卬'=2,可得

Xp,w)=(2,-1,1)和x(p：W')=(IT2)

于是有

pf-x(p,w)=2=W

p-x(p\wf)=\=w

因此x(",w)違反弱公理。

第3章：

1.

(1)=—+2總產(chǎn)3①")

a

=小用岫弁+&琢產(chǎn)]ri/%)

=第3"~

⑵77?力=-3(垣廣。

o2x]

(3)y變化時(shí)，技術(shù)替代率保持不變；々/不變化時(shí)，TRS已隨之等比例地

變化。

(4)為簡潔起見，記Z=%2/%。按定義

_dzTRS\2_rd(TRSn)xTRS12

%-d(TRS?z-dzz

=[(l-a)z-a]-]z-a=1/(1-a)

2.

(1)利潤最大化的二階條件是：以下生產(chǎn)函數(shù)的Hessian矩陣是半負(fù)定的

a(a-I)aB、

—2—y—y

玉玉九2

D2f=

鄧、)/(￡一1)?

—y—2—y

這要求主對角線上的元素非正，即

磯。一1)-八隊(duì)〃八

——2—”°，——2—y-°

%x2

同時(shí)矩陣的行列式非負(fù)

22

ID2f\=4T[奶(a-1)(77-D-a?/??]=4T的(1—a—/?)N0

Xjx2xxx2

由于。,尸＞0,顯然只有當(dāng)a+尸Ml,以上兩個(gè)條件才能成立。

（2）利潤最大化問題的一階必要條件是

尸只=—

wi=—p=apAx

dxx%

嗎=%P=PpAx^呼t=

ox2x2

由此立即得耍索需求

/一、apy/Ppy

X]（P，優(yōu)）=-----,%2（，，.）二------

小

w2

將上述要素需求代入生產(chǎn)函數(shù)

y=4也）°（包空）"=Aya”a）e）。

小嗎

w2w2

解出即為產(chǎn)品供給

]an0

y（p,電=（虹尸-女￡￡）?-6

W]

w2

（3）根據(jù)定義，利潤函數(shù)是

萬（〃，/,叫一小石一

）=py{p,w）（p,w）w2x2（p,w）

=PKP,沔-apy",日）一分py（p,電

]aAB

=（1-a-'）pA『a-0（空尸"（絲尸一夕

小

w2

（4）根據(jù)上面求出的利潤函數(shù)表達(dá)式，顯然有

乃Mg,網(wǎng)）=3p,%W）

（5）首先，注意到萬（〃,叱，叱）中p的幕次為

1+^^+上1

\—oc—/3\—oc-/31—oc-/3

/一

很容易看出——=y（p,w）；

劭

加/-、/、

為證明----二一%（p,叩），注意到乃（p,小，叫）中與叫有關(guān)的部分僅為

a

{apt*)

而

aa

8,ap\-a-p_a^Py-a-p1

T-v-)

OW}W,i-a-/3小

從而

1aP

d7Ta41一心一￡（aP）l-a一6（。，）1一攻一/?_也=一%

一PA

加小

.3〃/一、

類似地可以驗(yàn)證-----=一々（P，W）o

電

3.

仇'（必）=乂，f如果廠商同時(shí)使用兩個(gè)工廠,

（i）4c2（y2）=2y2+2,

應(yīng)當(dāng)滿足。；（乂）=。2'（,2）；但是，注意到。2'（丁2）之’2'（°）=2,而當(dāng)

時(shí)。；（必）（所以，當(dāng)時(shí)廠商只會(huì)選擇在工廠

y1<1/22oy<1/2i

生產(chǎn)；當(dāng)且僅當(dāng)X〉1/2時(shí)，廠商才會(huì)同時(shí)使用兩個(gè)工廠。

（2）在同時(shí)使用兩個(gè)工廠的情況下，廠商的產(chǎn)量分配滿足q'（M）=c27y2）,

由此解得

y=（y+l）/3,%=（2>-1）/3

此時(shí)總成本就為

。（?。?。（弘）+。2（%）=2（^^）2+（^-^+1）2=：（>+1）2

乙JJ

所以

'2y2,”1/2

心）=的+h>1/2

4.

（1）根據(jù)第三章成本函數(shù)的性質(zhì)，典型的成本函數(shù)。（該?。?yīng)當(dāng)是訪和y的

單調(diào)函數(shù)，是訪的一次齊次函數(shù)，同時(shí)還是用的凹函數(shù)。據(jù)此，必然要求

a,/3,yNG,以及&+/?+/=1,注意在這兩個(gè)條件下，

c（wpw2,y）=可。以/為歷凹函數(shù)的條件自動(dòng)成立。

（2）在成本函數(shù)已知的條件下，可根據(jù)謝潑德引理方便地求出條件要素需求

L、%（論y）a—lP

%（W,y）=—Z----=O”喉曠7

dwx

（一、OC（母,?。゛aB-\y

%O,y）=-；------=分明區(qū)了

ow2

5.（1）由于技術(shù)完全可替代，廠商追求利潤最大化，會(huì)選擇使用成本低的生產(chǎn)

要素，所以可得成本函數(shù)為

\qw.ifw}<w2

c(w,q)=<

[m7”〉叫

同理，廠商只會(huì)使用成本較低的生產(chǎn)要素，因此要素需求函數(shù)為

(%。)ifw1<w2

z(w,q)=?{(Z],Z2)￡H：；Z]+Z2=q}/”二嗎

(0國)卬2

(2)在里昂惕夫技術(shù)條件下，廠商按照固定比例生產(chǎn)，所以也是按照固定比例

使用生產(chǎn)要素，固其成本函數(shù)和要素需求函數(shù)分別為

C(WM)=(%+叫)夕和z(vv,g)=(q,q)

(3)成本函數(shù)為

以卬⑼=式“"T+療

要素需求函數(shù)為

Z(W，9)=久可"。一"+㈠,片(P7)

6.(1)假設(shè)廠商生產(chǎn)出的產(chǎn)品都出售出去，廠商追求利潤最大化

max[川一(/％+卬2%)1

X|,X2

一階必要條件為

W_可。_-2/31/3_Py

W\--P-PX\X2~~

dxx3%

?f1/3-2/3py

嗎=丁〃=〃%x2=『

ox

23X2

因此可得要素需求為

11(P，W)=?-'42(P，W)=-

3小

3W2

將上述要素需求代入生產(chǎn)函數(shù)，有

嚴(yán)=3/3(2)1/3(上)1/3

y=3(

3叱3嗎

求解得產(chǎn)品供給為

wxw2

I(P，/，卬2)=py(P，卬)一”石(P，W)一"(P，w)

=py(p9w)-|py(p9w)-|py(p,w)

=-py(p.w)=------

3v\\w2

(3)對于任意的/￡R，有

33

叫,叱)

7T(tp,tW},tW2)=--——=t?——=t7t1p,

叱

twx-tw24

所以，利潤函數(shù)是的一次齊次函數(shù)。

djr

(4)-----=py

小

dw[w^w23

dji/、

因此，可得到——=-1](p,vv),所以，滿足霍特林引理。同時(shí)，類似的也

加

QTI/、

可以證明----

=-x2(p,W)o

一

dw2

第4章:

1.

代入計(jì)算，比較可得，個(gè)體1選擇右，個(gè)體2選擇L1,個(gè)體3選擇右

2

在狀態(tài)空間某一點(diǎn)（％,y2），個(gè)體購買保險(xiǎn)的意愿取決于該點(diǎn)無差異曲線的斜

率。若約定狀態(tài)2為災(zāi)害發(fā)生的自然狀態(tài)（%>%），災(zāi)害發(fā)生的概率為，，

則無差異曲線的斜率為

1-〃/（%）

P〃'（％）

在條件必>先下，

%'（必）%4（M）2ay-1

4（%）X+c刈（％）2佻-1

這表明，在面臨相同的災(zāi)害時(shí)（相同的災(zāi)害概率），個(gè)體1的無差異曲線較為平

坦，這意味著他愿意以更多的狀態(tài)1財(cái)富來換取一單位狀態(tài)2財(cái)富（或者說他比

個(gè)體2更加看重狀態(tài)2的消費(fèi)）。所以，在其他條件相同時(shí)，說個(gè)體1購買保險(xiǎn)

更為積極是正確的。

3.

（1）投資后的期望效用

Eu=0.5J2+2+0.5-2-1.84=1.2

初試的效用〃（2）=J5〉l.2,所以這個(gè)人不會(huì)投資

（2）如果〃個(gè)人均攤損益，每一個(gè)人的期望效用為

幾）］=

E［u（yQ+y/0.5,2+2/?+0.5^2-1.84/n

最小人數(shù)力滿足等式石［〃（為+y/〃）］=〃（％）

。5J2+2/幾+0.572-1.84/n=血

求解的〃^7.7。故至少需要8人聯(lián)合投資才可行。

(3)由于每個(gè)人是對稱的，個(gè)人達(dá)到期望效用最大化時(shí)聯(lián)合體的期望效用也達(dá)

到最大，所以問題變?yōu)?/p>

max[0.5J2+2/〃+0.5V2-1.84/n]

n

求解一階條件得〃P11.8,所以當(dāng)投資團(tuán)隊(duì)人數(shù)為12時(shí)，期望效用最大。

4.

4Mq=

/⑺A-2Bx

顯然，在區(qū)間[0,A/23)二單調(diào)遞增，其余區(qū)間單調(diào)遞減

5.

為方便，首先我們將風(fēng)險(xiǎn)容忍系數(shù)改寫為

ur(x)

RT(x)=-

〃"(x)[In/(%)了

(i)若R7X%)=a,上式等價(jià)于[lnM(x)]'=-l/a,故有

In/(x)=----Fc=>/(幻=ea=>u{x}-a-bea

a

(2)若RT(x)=0x,且4wl,記y=l//?,則

1y

[ln/(x)[=_■—=—

pxX

6.(1)我們可以通過歸一化選擇一個(gè)效用水平(“A，打8，)，假設(shè)UA=1

和〃。=0,于是有

沏=，?1+(1-，)?0=P

%=q?1+(1-q)?0

所以(〃A，%，〃C，〃D)=(LPM，°)

(2)在標(biāo)準(zhǔn)1的情況下，概率分布情況為

(PA，PB，P「PD)=(0?891,0.099,0.009,0.001)

在標(biāo)準(zhǔn)2的情況下，概率分布情況為

(，〃c，〃。)=(0?8415,0?1485,0.0095,0.0005)

在標(biāo)準(zhǔn)1下的期望效用為

u,=0.891+0.099/7+0.009^

在標(biāo)準(zhǔn)2下的期望效用為

u2=0.8415+0.1485〃+0.0095夕

令％—，可得

99〃+9=99

此時(shí)，兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)無差異，因此，當(dāng)99>99p+q時(shí)機(jī)構(gòu)更偏好于標(biāo)準(zhǔn)1,當(dāng)

99<99p+q時(shí)機(jī)構(gòu)更偏好于標(biāo)準(zhǔn)2,

7.(1)如果個(gè)人擁有彩票，則他的隨機(jī)財(cái)富為(vv+G,w+6),因此他愿

意出售的最低價(jià)格R,要滿足

p〃(w+G)+(1-p)〃(w+B)=u(w+R)

若他以價(jià)格購買該彩票，他的隨機(jī)財(cái)富是(卬-

(2)RR+G.W-R+B)o

因此他愿意購買的最大價(jià)格要滿足

Rb

pu(w-Rh+G)+(1-p)u(w-Rh+B)=w(w)

(3)一般情況下，這兩個(gè)價(jià)格不相同。但如果〃(?)表現(xiàn)出遞減絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡，

這兩個(gè)價(jià)格就相同。當(dāng)伯努利效用函數(shù)〃(。顯示遞減出絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡時(shí)，對于

任意一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)尸(Z),彩票X+Z(即，將風(fēng)險(xiǎn)Z加到財(cái)富水平/上的彩票)

的確定性等價(jià)，也就是滿足〃(q)=+的耳，使得x-q

關(guān)于x是遞減的。也就是說，x越高，個(gè)人對消除風(fēng)險(xiǎn)的支付意愿就越小。

事實(shí)上，上述兩個(gè)等式可以表述為=w+R'和C,f,=卬，由定理可以

得，遞減絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡意味著

卬_%，=(卬_&,)一。時(shí)凡

這等價(jià)于Rs=Rbo

(4)計(jì)算可得

凡=5[(7-46)p2+(473-6)p+1]

Rh是下述二次方程的一個(gè)解

232

(1-2/7)^-10(2p+7p-8p+l)/?/7-25(23/-54p+29)=0

第5章：

1.

不妨將商品y的價(jià)格規(guī)范為1,設(shè)商品x的價(jià)格為po則二人的效用最大話問題

分別為：

max(玉+In%)max(Inx2+lny2)

和H以及電，為

s.t.pxx+yx=2p+2s.t.px2+y2=2p

建立拉格朗日函數(shù)

4=玉+lny—4(p%+y-22-2)

=Inx2+ln%+%—2p)

一階必要條件分別為

風(fēng)/亞=1-4p=o

M/加=i/必一4二。

口/朋=g+y-2p-2=0

以及

dL2/dx2=1/x2-4〃=0

dL2/dy2=l/y2-^2=0

dL2/=px2+y2-2p=0

再加上市場出清條件％+N=4,y1+y2=2,瓦爾拉斯均衡價(jià)格和配

置為

（Px，P,，）=（l」），（5，%2）=（3』），（X，%）=（1/）

2.

（1）設(shè)兩消費(fèi)者的初試稟賦分別為口：，啰；，i=1,2。則二人的預(yù)算約束為

PH+2y=PQ：+Py^ii=1，2

兩式相加并整理得

x

px（i+%2_婢一磅+p、，（y+%一可、_娓）=0

由丁+娛=%,69；+G）2=y，代入可得：

Px（Z%（萬）—口+2，（￡%（力）一歹）二0

ii

（2）由（1）的結(jié)果，當(dāng)價(jià)格。"》0下x市場出清，則有：%+%2=元，

代入得

〃；（^?（力）一歹）二°

/

由于萬*>>0,故而％+>2=歹，因此y市場也必然同時(shí)出清。

3.

由Roy等式，個(gè)體i對商品h的需求為

。匕(萬,%)/&?〃_%(/)

馬（力）=

dv^p.m^Idmi

從而

最后一個(gè)不等式成立用到了間接效用函數(shù)的擬凸性質(zhì)。

4.

當(dāng)對于所有稟賦約束下可能的配置結(jié)果x,消費(fèi)者1的無差異曲線斜率都大于消

費(fèi)者2的無差異曲線斜率時(shí)，會(huì)出現(xiàn)角點(diǎn)解，即契約線將完全落在Edgeworth

方框的一條邊上。此時(shí)適當(dāng)調(diào)整初始稟賦，每個(gè)帕累托配置也都對應(yīng)著一個(gè)瓦爾

拉斯均衡。

5.

（1）根據(jù)上述稅制，消費(fèi)者的稅后財(cái)富為

11,、】「31I

〃?小一5〔〃?“+w2）]=/??[-w,+-w2]

1113

P?卬2--[p?墳2—5〃?（/+W2）]=pt-VVi+-W2]

初始稟賦為“=（1,2）和喔=（2/），因此稅后財(cái)富為

5775

-A+-P2W-A+-P2

（2）由（1）的條件可得，稅后超額需求函數(shù)等于經(jīng)濟(jì)環(huán)境中的標(biāo)準(zhǔn)超額需求函

31

數(shù)，同時(shí)消費(fèi)者1的初始稟賦等于1小+-W2,消費(fèi)者2的初始稟賦等于

13

-VV,+-vv2,這滿足瓦爾拉斯均衡存在定理。

6.

根據(jù)消費(fèi)者初始稟賦和消費(fèi)，我們可以定義

“=(%卜嗎”0,0)=(1,0,0,0)

卬2=(叱2,叱2，°，°)=(0,1,0,0)

則超額需求函數(shù)是

z(p)=鐮)

因此，當(dāng)我們假定p=(4],8,4)和p'=(1,4,4,8),可以得到

z(p)=

7

，(p)=d

于是有p