15.2.2分式的加減（講練）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊重要考點(人教版)

15.2.2分式的加減同分母分式的加減同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；上述法則可用式子表為：.注意：（1）“把分子相加減”是把各分式的分子的整體相加減，即各個分子都應(yīng)用括號，當(dāng)分子是單項式時，括號可以省略；當(dāng)分子是多項式時，特別是分子相減時，括號不能省，不然，容易導(dǎo)致符號上的錯誤.（2）分式的加減法運算的結(jié)果必須化成最簡分式或整式.題型1：同分母的分式相加減1.計算.（1）2ab（2）x2【答案】（1）解：原式=2?4?1ab=（2）解：原式=x【解析】【分析】（1）根據(jù)同分母分式的減法運算整理可得結(jié)果；

（2）根據(jù)同分母分式的減法進行運算，分解分子進行約分可得結(jié)果.【變式11】計算：（1）；（2）； （3）；（4）【答案】解：（1）；（2） （3）；（4）.【總結(jié)】本例為同分母分式加減法的運算，計算時注意運算符號，結(jié)果一定要化簡．異分母分式的加減異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.上述法則可用式子表為：.注意：（1）異分母的分式相加減，先通分是關(guān)鍵.通分后，異分母的分式加減法變成同分母分式的加減法.（2）異分母分式加減法的一般步驟：①通分，②進行同分母分式的加減運算，③把結(jié)果化成最簡分式.題型2：異分母的分式相加減2.計算：（1）aa2【答案】解：原式=====【解析】【分析】先通分，再計算即可。（2）化簡：2x【答案】解：2x=2x=2?(=?xx=?1【解析】【分析】先通分，再利用分式的減法計算即可。（3）x2解：原式=(x+2)(x?2)=x+2=x+2?x+1=3x【變式21】（1）；（2）；（3）．【點撥】（1）題中的兩個分母都是單項式，最簡公分母為；（2）題是異分母分式的加減，為了減少錯誤應(yīng)先把分母按字母降冪排列，并且使最高次項系數(shù)為正，再將分母因式分解；（3）題是分式與即的和，可將整式部分當(dāng)成一個整體，且分母為1，使運算簡化．【答案】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．【總結(jié)】（1）異分母分式的加減法關(guān)鍵是確定最簡公分母；（2）整式和分式相加減時，把整式看作分母是1的“分式”，按異分母分式的加減法的步驟進行運算．【變式22】計算：（1）；（2）.【答案】解：（1）．（2）.分式的混合運算與分數(shù)的加、減、乘、除混合運算一樣，分式的加、減、乘、除混合運算，也是先算乘、除，后算加、減；遇到括號，先算括號內(nèi)的，按先小括號，再中括號，最后大括號的順序計算.分式運算結(jié)果必須達到最簡，能約分的要約分，保證結(jié)果是最簡分式或整式.注意：（1）正確運用運算法則：分式的乘除（包括乘方）、加減、符號變化法則是正確進行分式運算的基礎(chǔ)，要牢牢掌握.（2）運算順序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、減，遇有括號，先算括號內(nèi)的.（3）運算律：運算律包括加法和乘法的交換律、結(jié)合律，乘法對加法的分配律.能靈活運用運算律，將大大提高運算速度.題型3：分式的混合運算3.計算（1）x?2x解：x?2===x?1(解：1==?=?x?1a?21+2a+a2解：a?2===1【變式31】計算：（1）； （2）．【答案】解：（1）．（2）．【變式32】（1）；（2）．【答案】解：（1）原式．（2）原式零指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，即.注意：同底數(shù)冪的除法法則可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪.即（，、為整數(shù)）當(dāng)時，得到.負整數(shù)指數(shù)冪任何不等于零的數(shù)的（為正整數(shù)）次冪，等于這個數(shù)的次冪的倒數(shù)，即（≠0，是正整數(shù)）.引進了零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴大到了全體整數(shù)，以前所學(xué)的冪的運算性質(zhì)仍然成立.注意：是的倒數(shù)，可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如（），（）.題型4：整數(shù)指數(shù)冪與計算4.計算：（1）20210+（13）﹣1．【答案】解：20210+（13）＝1+3＝4．（2）(π?2022【答案】解：原式＝1﹣4＝﹣3【解析】【分析】先利用0指數(shù)冪和負指數(shù)冪的性質(zhì)化簡，再計算即可?！咀兪?1】計算：(?1)【答案】解：原式=1+=1【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運算法則、0次冪的性質(zhì)及負整數(shù)指數(shù)冪的法則，先算乘方運算，再利用有理數(shù)的加減法法則進行計算，可求出結(jié)果.【變式42】計算：（1）5解：原式=5（2）12020+（3.14π）0（12）解：12020+（3.14π）0（12）=1+14=4科學(xué)記數(shù)法的一般形式（1）把一個絕對值大于10的數(shù)表示成的形式，其中是正整數(shù)，（2）利用10的負整數(shù)次冪表示一些絕對值較小的數(shù)，即的形式，其中是正整數(shù)，.用以上兩種形式表示數(shù)的方法，叫做科學(xué)記數(shù)法.題型5：用科學(xué)計數(shù)法表示小數(shù)5.新型冠狀病毒的直徑約為0.000000907米，0.000000907用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．9.07×1010B．9.07×1011C．9.07×108D．9.07×107【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．【解答】解：0.000000907=9.07×107．

故選：D．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式51】用科學(xué)記數(shù)法表示：3105000=，；0.000305=?！痉治觥靠茖W(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．【解答】解：3105000=3.105×106．

0.000305=3.05×104．

故答案為：3.105×106；3.05×104．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．【變式52】人體紅細胞與我們的生命活動息息相關(guān)，是通過血液運送氧氣的最主要的媒介．紅細胞的直徑約為0.00000767米，請把數(shù)0.00000767用科學(xué)記數(shù)法表示為【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．【解答】解：0.00000767=7.67×106．

故答案為：7.67×106．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．題型6：分式化簡求值直接代入6.已知x＝?32，對代數(shù)式x【答案】解：原式＝x＝x＝(＝x+1，當(dāng)x＝?32時，原式＝【解析】【分析】待求式可變形為x2【變式61】先化簡，再求值：x+3x?2÷(x+2?【答案】解：原式＝x+3===1當(dāng)x=2時，原式=【解析】【分析】將括號內(nèi)通分并利用同分母分式減法法則計算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，進行約分即可化簡，最后將x值代入計算即可.

【變式62】先化簡，再求值：(1x?1?【答案】解：原式=[==當(dāng)x=12時，原式【解析】【分析】先利用分式的混合運算化簡，再將x的值代入計算即可。題型7：分式化簡求值整體代入7.已知x2+2x?5=0，求代數(shù)式(x+1?【答案】解：(x+1?=[(x+1)(x?1)=x=x=(x+2)(x?2)=(x+2)x，=x當(dāng)x2+2x?5=0時，∴原式=5．【解析】【分析】先化簡分式，再求出x2【變式71】已知m2+3m?4=0，求代數(shù)式【答案】解：(m+2?5=((m+2)(m?2)=m=m=(m+3)(m?3)=m(m+3)，∵m∴m∴原式=m(m+3)=【解析】【分析】先化簡分式，再根據(jù)m2【變式72】已知m2?m?1=0，求【答案】解：3====3m(m?1)=3(m由已知m2?m?1=0得：m2?m=1，∴原式=3×1=3【解析】【分析】先化簡分式，再求出m2?m=1，最后代入計算求解即可。題型8：分式化簡求值選值代入8.先化簡分式(a2+2a+1a【答案】解：原式=[===根據(jù)分式有意義的條件，a≠?2且a≠?1且a≠1，且a≠0，所以當(dāng)a=2時，原式【解析】【分析】先利用分式的混合運算化簡，再將a的值代入計算即可?！咀兪?1】先化簡x+11?x÷(1+x【答案】解：x+1====x+1因為?1<x<2且x是整數(shù)且x≠1和?1，所以x=0，當(dāng)x=0時，原式=0+1=1【解析】【分析】先通分計算括號內(nèi)異分母分式的加法，然后將各個分式的分子、分母能分解因式的分別分解因式，同時將除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔?，接著約分化簡，最后再從?1<x<2的范圍內(nèi)選取一個使分式有意義的整數(shù)值代入計算即可.【變式82】化簡：(3x?1?x?1)÷【答案】解：(=====?(2+x)(x?1)=?(=?x2x?3(x?2)≥2①解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x>?1，∴不等式組的解集為?1<x≤2，∴不等式組的整數(shù)解為0，1，2，∵分式要有意義，∴x?1≠0x?2≠0∴x≠1且x≠2，∴滿足題意的整數(shù)x的值是0，∴當(dāng)x=0，原式=2．【解析】【分析】先化簡分式，再求出不等式組的整數(shù)解為0，1，2，最后計算求解即可。題型9：分式混合運算的實際應(yīng)用9.如圖，A種小麥試驗田是邊長為a的正方形中減去一個邊長為b的正方形蓄水池后余下的部分；B種小麥試驗田是邊長為（a+b）的正方形．

（1）設(shè)兩塊試驗田都收獲了m（kg）小麥，求A，B兩種小麥單位面積產(chǎn)量的比．

（2）當(dāng)a=2b時，A，B兩種小麥單位面積產(chǎn)量哪個較大？

（3）若A，B兩種小麥單位面積產(chǎn)量相同，求a,b滿足的關(guān)系式．【分析】（1）分別表示出兩個陰影部分面積，根據(jù)收獲的小麥重量求出各自的單位面積產(chǎn)量，進而求出之比即可；

（2）把a=2b代入比較大小即可；

（3）根據(jù)兩種小麥單位面積產(chǎn)量相同，確定出a與b的關(guān)系式即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：A種小麥：，B種小麥：，

則A，B兩種小麥單位面積產(chǎn)量的比為；

（2）把a=2b代入得：，，

∴B種小麥單位產(chǎn)量較大；

（3）根據(jù)題意得：，

整理得：4a24b2=4（a+b）（ab）=（a+b）2，

∵a＞b,∴ab≠0，

∴4（ab）=a+b,

整理得：3a=5b.【點評】此題考查了分式的混合運算，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．【變式91】“雜交水稻之父”袁隆平團隊示范基地的“水稻1號”的試驗田是邊長為a米（a＞1）的正方形去掉一個邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2號”的試驗田是邊長為（a1）米的正方形，兩塊試驗田的水稻都收獲了1000千克．

（1）試說明哪種水稻的單位面積產(chǎn)量高？

（2）高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？【分析】（1）分別計算出兩種水稻的單位面積產(chǎn)量，再比較那種的水稻的產(chǎn)量高；

（2）利用分式的除法法則計算即可．【解答】解：（1）“水稻1號”試驗田的面積是（a21）米2，單位面積產(chǎn)量是千克/米2；

“水稻2號”試驗田的面積是（a1）2米2，單位面積產(chǎn)量是千克/米2；

∵a＞1，

∴（a1）2＞0，a21＞0．

∵a21（a1）2=2a2=2（a1）＞0，

∴a21＞（a1）2．∴所以，“水稻2號”的單位面積產(chǎn)量高．所以，“水稻2號”的單位面積產(chǎn)量是“水稻1號”的單位面積產(chǎn)量的倍．【點評】本題主要考查了分式的混合運算，掌握分式除法的運算法則和分式比較大小的方法是解決本題的關(guān)鍵．題型10：探究類題型新定義問題10.定義新運算：a+b=，若a⊕（b）=4，則的值是?！窘獯稹拷猓河深}意可知：=4，∴原式=故答案為：?【變式101】定義運算：a?b＝，比如2?3＝．下面給出了關(guān)于這種運算的幾個結(jié)論：

①2?(?3)＝；

②此運算中的字母a,b均不能取零；

③a?b=b?a；

④a?（b+c）=a?b+a?c.

其中正確的是．（把所有正確結(jié)論都寫在橫線上）【分析】利用題中的新定義計算各項得到結(jié)果，即可做出判斷．【解答】解：∵2?（3）=，∴①正確；

∵a?b=，

∴a≠0且b≠0，

∴②正確；

∵b?a=，a?b=∴a?b=b?a,

∴③正確；

∵a?（b+c）=，a?b+a?c=，

∴④不一定正確．

故答案為：①②③【點評】此題考查了分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式102】對于任意非零實數(shù)a,b,定義運算“☆”如下：a☆b=，則2☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010=根據(jù)題中的新定義將所求式子變形，拆項抵消后即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：2☆1+3☆2+4☆3+…+2010☆2009+2011☆2010題型11：探究類題型條件形變求值11.已知實數(shù)a、b、c滿足a+bc=計算：(a+b)(b+c)(a+c)abc【答案】解：設(shè)a+bcb+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，①+②+③得，2（a+b+c）=k（a+b+c），當(dāng)a+b+c≠0，則k=2，∴(a+b)(b+c)(a+c)abc=kc·ka·kbabc=k當(dāng)a+b+c=0，則a+b=c，b+c=a，a+c=b，∴(a+b)(b+c)(a+c)abc=(?a)(?b)(?c)abc【解析】【分析】先設(shè)a+bc=b+ca=a+cb=k，易得b+c=ka①，a+c=kb②，a+b=kc③，①+【變式111】比較大小有求差、求比等方法，但靈活應(yīng)用已知巧妙變形也會起到簡化計算的效果．已知a、b為實數(shù)，且ab=1，設(shè)P=aa+1+bb+1，Q=1a+1【答案】解：P=aa+1+bb+1=a(b+1)+b(a+1)(a+1)(b+1)=2ab+a+b(a+1)(b+1)=a+b+2(a+1)(b+1)，Q=1【解析】【分析】首先把P和Q通分相加，把ab=1代入，然后進行比較即可．【變式112】已知a、b、c均為非零的實數(shù)，且滿足a+b?cc=a?b+cb=?a+b+ca【答案】解：當(dāng)a+b+c≠0時，利用比例的性質(zhì)化簡已知等式得：a+b?cc=a?b+cb=?a+b+ca=a+b?c+a?b+c?a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，即a+b﹣c=c，a﹣b+c=b，﹣a+b+c=a，整理得：a+b=2c，a+c=2b，b+c=2a，此時原式=8abc【解析】【分析】根據(jù)比例的等比性質(zhì)進行解答，分情況進行討論，共有a+b+c≠0和a+b+c=0兩種情況，對分式進行通分和約分，求出最終的值即可。一、單選題1．化簡x2A．x+1 B．x﹣1 C．x D．﹣x【答案】C【解析】【解答】解：原式＝x(x?1)x?1故答案為：C【分析】原式利用同分母分式的減法法則計算，約分即可得到結(jié)果2．若a+2b＝0，則分式（2a+ba2?ab+1A．32 B．92 C．﹣3b【答案】A【解析】【解答】解：原式＝[2a+ba(a?b)+a?ba(a?b)＝3aa(a?b)?＝3a+3ba∵a+2b＝0，∴a＝﹣2b，∴原式＝3×(?2b)+3b?2b＝3故答案為：A．

【分析】先對括號內(nèi)的分式進行通分，并將除法轉(zhuǎn)化為乘法運算，然后將各分子、分母中能因式分解的進行因式分解，最后約分即可將式子化簡，根據(jù)已知可得a=2b，將其代入化簡后的式子計算即可.3．化簡4x2?4A．x﹣2 B．1x+2 C．1x?2 【答案】C【解析】【解答】解：4x2＝4(x+2)(x?2)+＝2+x＝1x?2故答案為C．【分析】先把分母因式分解，再通分，然后進行計算，最后約分即可解答．4．已知5x+1(x?1)(x?2)A．3 B．3 C．6 D．6【答案】C【解析】【解答】5x+1(x?1)(x?2)5x+1(x?1)(x?2)得到5x+1=A(x2)+11(x1)=(A+11)x2A11，∴A+11=5，2A11=1，∴A=6.故答案為：C.【分析】已知等式右邊兩項通分并利用同分母分式的加法法則變形，利用多項式相等的條件即可求出a的值.5．化簡a2+2ab+bA．a(chǎn)a?b B．ba?b C．a(chǎn)a+b【答案】A【解析】【解答】原式=(a+b)2(a?b)(a+b)﹣ba?b=a+ba?b﹣b【分析】原式第一項約分后，利用同分母分式的減法法則計算，即可得到結(jié)果．二、填空題6．計算2xx2?9【答案】1【解析】【解答】解：原式=2x(x+3)(x?3)?x+3(x+3)(x?3)=x?3(x+3)(x?3)7．計算ba2?b2【答案】1【解析】【解答】原式=b(a+b)(a?b)÷a+b?aa+b=b(a+b)(a?b)?a+b故答案為：1a?b【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．8．如果x2+x?5=0