八年級上冊期中測試試卷02

2022—2023學(xué)年八年級上學(xué)期期中測試卷（2）一、選擇題（本題共12小題，每小題4分，共48分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目答案標(biāo)號涂黑）1．（4分）已知一個三角形的兩邊長分別為a＝5cm，b＝8cm，則第三邊長c的取值范圍是（）A．c＞3cm B．c＜13cm C．3cm＜c＜13cm D．5cm＜c＜8cm【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊以及任意兩邊之差小于第三邊，即可得出第三邊的取值范圍．【解答】解：∵此三角形的兩邊長分別為3和8，∴第三邊長的取值范圍是：8﹣5＜第三邊＜8+5．即：3＜c＜13，故選：C．2．（4分）下列四個圖形中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A，C，D選項中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；B選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；故選：B．3．（4分）“又是一年三月三”．在校內(nèi)勞動課上，小明所在小組的同學(xué)們設(shè)計了如圖所示的風(fēng)箏框架．已知∠B＝∠E，AB＝DE，BF＝EC，△ABC的周長為24cm，F(xiàn)C＝3cm．制作該風(fēng)箏框架需用材料的總長度至少為（）A．44cm B．45cm C．46cm D．48cm【分析】根據(jù)BF＝EC以及邊與邊的關(guān)系即可得出BC＝EF，再結(jié)合∠B＝∠E、AB＝DE即可證出△ABC≌△DEF（SAS），進(jìn)而得出C△DEF＝C△ABC＝24cm，結(jié)合圖形以及CF＝3cm即可得出制成整個金屬框架所需這種材料的總長度．【解答】解：∵BF＝EC，BC＝BF+FC，EF＝EC+CF，∴BC＝EF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴C△DEF＝C△ABC＝24cm．∵CF＝3cm，∴制成整個金屬框架所需這種材料的總長度為C△DEF+C△ABC﹣CF＝24+24﹣3＝45cm．故選：B．4．（4分）如圖，AB∥CD，BP和CP分別平分∠ABC和∠BCD，AD過點P且與AB垂直．若AD＝8，BC＝10，則△BCP的面積為（）A．16 B．20 C．40 D．80【分析】過P作PE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PE＝PA＝PD，求出PE＝PA＝PD＝AD＝4，再根據(jù)三角形的面積公式求出答案即可．【解答】解：過P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，∴∠BAP+∠CDP＝180°，∵AD⊥AB，∴∠BAP＝90°，∴∠CDP＝90°，即AD⊥CD，∵PE⊥BC，BP和CP分別平分∠ABC和∠BCD，∴PA＝PE，PE＝PD，∴PA＝PD，∵AD＝8，∴PE＝PD＝AP＝4，∵BC＝10，∴△BCP的面積為＝＝20．故選：B．5．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）A．9.6 B．8 C．6 D．4.8【分析】由等腰三角形的三線合一可得出AD垂直平分BC，過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，在△ABC中，利用面積法可求出BQ的長度，此題得解．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．過點B作BQ⊥AC于點Q，BQ交AD于點P，則此時PC+PQ取最小值，最小值為BQ的長，如圖所示．∵S△ABC＝BC?AD＝AC?BQ，∴BQ＝＝9.6．故選：A．6．（4分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，點D在BC邊上，點E在AC上，∠ADE＝∠AED，若∠BAD＝40°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．25°【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAD+∠B＝∠C+2∠EDC，進(jìn)而解答即可．【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝40°+∠B，∵∠AED是△DEC的外角，∴∠AED＝∠C+∠EDC，∵∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝∠C+∠EDC，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠C+2∠EDC，∵∠B＝∠C，∴∠B+40°＝∠B+2∠EDC，∴∠EDC＝20°，故選：C．7．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．下列說法不正確的是（）A．與∠1互余的角只有∠2 B．點B到CD的距離是BD的長 C．∠1＝∠B D．若∠A＝2∠1，則∠B＝30°【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余和等角或同角的余角相等對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、∵∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵CD⊥AB，∴∠1+∠A＝90°，∴與∠1互余的角有∠2與∠A兩個角，故本選項錯誤；B、點B到CD的距離是BD的長，故本選項正確；C、∠1+∠2＝90°，∠2+∠B＝90°，∴∠1＝∠B，故本選項正確；D、∵∠A＝2∠1＝2∠B，∴∠A+∠B＝3∠B＝90°，解得∠B＝30°，故本選項正確．故選：A．8．（4分）如圖，已知AB∥CD，AC⊥AB，點P是AB上的一點，連結(jié)CP，將△ACP沿CP所在直線折疊，點A落在點M處，連結(jié)MB，MD．若∠B＝∠D，∠CMD＝∠PMB+12°，則∠ACP＝（）A．24° B．24.5° C．25° D．25.5°【分析】連接PM并延長交CD于點E，根據(jù)折疊與平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出∠APC的值，并進(jìn)一步得到∠ACP的值．【解答】解：如圖，連接PM并延長交CD于點E，由折疊與平行線的性質(zhì)可知：∠CME＝∠CMP＝∠A＝90°，∠2＝∠3，∠2＝∠1+∠D，∠B＝∠D，2∠3＝∠1+∠B＝∠CMD﹣90°+180°﹣∠3﹣∠PMB，2∠3＝90°+∠CMD﹣∠PMB＝102°，∠3＝51°，∠APC＝＝64.5°，∠ACP＝90°﹣∠APC＝90°﹣64.5°＝25.5°故選：D．9．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG∥AB，交HM的延長線于點G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）A．24 B．22 C．20 D．18【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時，四邊形ACGH的周長有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進(jìn)而可求解．【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當(dāng)GH最小時，即MH⊥AB時四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，故選：B．10．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，若干個等腰三角形按如圖所示的規(guī)律擺放．點P從原點O出發(fā)，沿著“O→A1→A2→A3→A4…”的路線運動（每秒一條直角邊），已知A1坐標(biāo)為（1，1），A2（2，0），A3（3，1），A4（4，0）…設(shè)第n秒運動到點Pn（n為正整數(shù)），則點P2022的坐標(biāo)是（）A．（2022，0） B．（2021，1） C．（1011，0） D．（2022，﹣1）【分析】通過觀察可知，縱坐標(biāo)每6個進(jìn)行循環(huán)，先求出前面6個點的坐標(biāo)，從中得出規(guī)律，再按規(guī)律寫出結(jié)果便可．【解答】解：由題意知，A1（1，1），A2（2，0），A3（3，1），A4（4，0），A5（5，﹣1），A6（6，0），A7（7，1），…由上可知，每個點的橫坐標(biāo)等于序號，縱坐標(biāo)每6個點依次為：1，0，1，0，﹣1，0這樣循環(huán)，∵點P從原點O出發(fā)，第n秒運動到點P2022，即點A2022，∴P2022（2022，0），故選：A．11．（4分）如圖，已知等邊三角形ABC，點D為線段BC上一點，以線段DB為邊向右側(cè)作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，則∠DBE的度數(shù)是（）A．（m﹣60）° B．（180﹣2m）° C．（2m﹣90）° D．（120﹣m）°【分析】如圖連接AE．證明△ADC≌△ADE（SAS），求出∠ABE＝∠AEB＝m即可解決問題．【解答】解：如圖，連接AE．∵△ABC是等邊三角形，∴∠C＝∠ABC＝60°，∵∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，∴∠ADC＝180°﹣m°，∠ADE＝180°﹣m°，∴∠ADC＝∠ADE，∵AD＝AD，DC＝DE，∴△ADC≌△ADE（SAS），∴∠C＝∠AED＝60°，∠DAC＝∠DAE，∴∠DEA＝∠DBA，∴∠BDE＝∠BAE＝180°﹣2m，∵AE＝AC＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣180°+2m）＝m，∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABC＝（m﹣60）°，故選：A．12．（4分）如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，三條角平分線AD、BE、CF交于O，OH⊥BC于H．下列結(jié)論：①∠BOC＝120°；②∠DOH＝∠OCB﹣∠OBC；③OD平分∠BOC；④BF+CE＝BC．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由∠BAC＝60°得∠ABC+∠ACB＝120°，即可求得∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，可判斷①正確；由∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC，而∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB），可推導(dǎo)出∠DOH＝90°﹣（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）﹣∠ABC＝（∠ACB﹣∠ABC）＝∠OCB﹣∠OBC，可判斷②正確；由∠BAC＝60°，∠ABC＜60°得∠ABC＜∠ACB，則∠ABC＜∠ACB，再由∠OAB＝∠OAC推導(dǎo)出∠OBA+∠OAB＜∠OCA+∠OAC，即可證明∠BOD＜∠COD，可判斷③錯誤；在BC上截取BI＝BF，連接OI，由∠EOF＝∠BOC＝120°得∠AFO+∠AEO＝180°，即要證明∠CEO＝∠AFO，再證明△OBI≌△OBF，得∠OIB＝∠OFB，則∠CIO＝∠AFO，所以∠CIO＝∠CEO，即可證明△CIO≌△CEO，得CI＝CE，所以BF+CE＝BC，可判斷④正確．【解答】解：∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故①正確；∵OH⊥BC于H，∴∠OHD＝90°，∴∠DOH＝90°﹣∠ODH＝90°﹣（∠BAD+∠ABC）＝90°﹣∠BAD﹣∠ABC，∵∠BAD＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB），∴∠DOH＝90°﹣（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）﹣∠ABC＝（∠ACB﹣∠ABC），∵∠OCB﹣∠OBC＝∠ABC﹣∠ACB＝（∠ACB﹣∠ABC），∴∠DOH＝∠OCB﹣∠OBC，故②正確；∵∠BAC＝60°，∠ABC＜60°，∴∠ACB＞60°，∴∠ABC＜∠ACB，∵∠ABC＜∠ACB，∴∠ABO＝∠ABC，∠OCA＝∠ACB，∴∠OBA＜∠OCA，∵∠OAB＝∠OAC，∴∠OBA+∠OAB＜∠OCA+∠OAC，∴∠BOD＜∠COD，故③錯誤；如圖，在BC上截取BI＝BF，連接OI，∵∠EOF＝∠BOC＝120°，∴∠AFO+∠AEO＝180°，∵∠CEO+∠AEO＝180°，∴∠CEO＝∠AFO，在△OBI和△OBF中，，∴△OBI≌△OBF（SAS），∴∠OIB＝∠OFB，∴180°﹣∠OIB＝180°﹣∠OFB，∴∠CIO＝∠AFO，∴∠CIO＝∠CEO，在△CIO和△CEO中，，∴△CIO≌△CEO（ASA），∴CI＝CE，∵BF+CE＝BI+CI＝BC，故④正確，故選：C．二、填空題（本題共4個小題，每小題4分，共16分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)的位置上）13．（4分）如圖，小虎用10塊高度都是4cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離DE為cm．【分析】根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進(jìn)而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【解答】解：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；由題意得：AD＝EC＝12cm，DC＝BE＝28cm，∴DE＝DC+CE＝40（cm），答：兩堵木墻之間的距離為40cm．故答案為：40．14．（4分）如圖是某公司開發(fā)的可調(diào)整的躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖所示），AB與CD的交點為O，且∠ODB，∠OBD，∠ECO保持不變，為了舒適，需調(diào)整∠OAE的大小，使∠AEC＝115°，則圖中∠A應(yīng)（填“增加”或“減小”）度．【分析】延長EC交AB于F，利用“8”字形求出∠EFB，利用外角的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù)，進(jìn)而得到答案．【解答】解：延長EC交AB于F，∵∠COF＝∠DOB，∴∠C+∠CFO＝∠B+∠D，∴30°+∠CFO＝50°+60°，∴∠CFO＝80°，∴∠AFE＝180°﹣∠CFO＝180°﹣80°＝100°，∵∠AEC＝115°，∠AEC是△AFE的外角，∴∠AEC＝∠A+∠AFE，∴∠A＝∠AEC﹣∠AFE＝115°﹣100°＝15°，∵∠A原來是20°，∴圖中∠A應(yīng)減小20°﹣15°＝5°．故答案為：減小，5．15．（4分）如圖，把一張長方形紙片ABCD的一角沿AE折疊，點D的對應(yīng)點D′落在∠BAC的內(nèi)部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，則∠DAE的度數(shù)為（用含n的式子表示）．【分析】由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：如圖，設(shè)∠BAD′＝x，則∠CAE＝2x，由翻折變換的性質(zhì)可知，∠DAE＝∠EAD′＝2x+n，∵∠DAB＝90°，∴4x+2n+x＝90°，∴x＝（90°﹣2n），∴∠DAE＝2×（90°﹣2n）+n＝+36°．故答案為：+36°．16．（4分）如圖，已知：∠MON＝30°，點A1、A2、A3、…在射線ON上，點B1、B2、B3、…在射線OM上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均為等邊三角形，若OB1＝1，則△A8B8B9的邊長為【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出B1A1∥A2B2∥A3B3，以及a2＝2a1，得出a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1…進(jìn)而得出答案．【解答】解：設(shè)等邊三角形的邊長一次為a1，a2，a3，…，∵△A1B1B2是等邊三角形，∴B1A1＝B2A1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OB1＝B1A1＝1，∴B2A1＝1，∵△B2A2B3、△B3A3B4是等邊三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴B1A1∥A2B2∥A3B3，A1B2∥A2B3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴a2＝2a1，a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1，以此類推：a8＝27＝128，即△A8B8B9的邊長為128，故答案為：128．三、解答題（本題共8個小題，共86分，答題請用黑色墨水筆或簽字筆直接答在答題卡相應(yīng)的位置上，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明步驟或演算步驟.）17．（8分）證明命題“有一條直角邊及斜邊上的高分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”．要根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證，寫出證明過程．下面是根據(jù)題意畫出的部分圖形，并寫出了不完整的已知和求證．已知：如圖，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠E＝9O°，AC＝DE，CG⊥AB于G，．求證：Rt△ABC≌Rt△DFE．請補全圖形和補全已知，并寫出證明過程．【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：EH⊥DF于H，CG＝EH，證明：∵CG⊥AB于G，EH⊥DF于H，∴∠AGC＝∠DHE＝90°，在Rt△ACG與Rt△DEH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DEH（HL），∴∠A＝∠D，在△ABC與△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（ASA），故答案為：EH⊥DF于H，CG＝EH．18．（8分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，1）B（4，2）C（2，3）．（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1B1C1；（2）在圖中，若B2（﹣4，2）與點B關(guān)于一條直線成軸對稱，則這條對稱軸是，此時C點關(guān)于這條直線的對稱點C2的坐標(biāo)為；（3）求△A1B1C1的面積．【分析】（1）利用關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征得到A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點即可；（2）作BB2的垂直平分線得到軸對稱為y軸，然后利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征得到C2的坐標(biāo)；（3）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算△A1B1C1的面積．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）這條對稱軸是y軸，C點的對稱點C2的坐標(biāo)為（﹣2，3）；故答案為：y軸，（﹣2，3）；（3）△A1B1C1的面積＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3＝2.5．19．（10分）如圖，B，C，D三點在同一條直線上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝5，BC＝12，CE＝13．（1）求△ABC的周長．（2）求△ACE的面積．【分析】（1）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝CE＝13，然后計算△ABC的周長；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC＝CE，∠ACB＝∠CED，再證明∠ACE＝90°，然后根據(jù)三角形面積公式計算△ACE的面積．【解答】解：（1）∵△ABC≌△CDE，∴AC＝CE＝13，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝5+12+13＝30；（2）∵△ABC≌△CDE，∴AC＝CE＝13，∠ACB＝∠CED，∵∠D＝90°，∴∠CED+∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠DCE＝90°，∴∠ACE＝90°，∴△ACE的面積＝×13×13＝．20．（10分）如圖，在△ABC中，AE是△ABC的高．（1）如圖1，AD是∠BAC的平分線，若∠B＝38°，∠C＝62°，求∠DAE的度數(shù)．（2）如圖2，延長AC到點F，∠CAE和∠BCF的平分線交于點G，求∠G的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分線的定義可得∠CAD的度數(shù)，利用三角形的高線可求∠CAE得度數(shù)，進(jìn)而求解即可得出結(jié)論；（2）由三角形外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可求解∠AEC＝2∠G，根據(jù)三角形的高線可求解∠G的度數(shù)．【解答】解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝62°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；（2）∵∠CAE和∠BCF的角平分線交于點G，∴∠CAE＝2∠CAG，∠FCB＝2∠FCG，∵∠CAE＝∠FCB﹣∠AEC，∠CAG＝∠FCG﹣∠G，∴2∠FCG﹣∠AEC＝2（∠FCG﹣∠G）＝2∠FCG﹣2∠G，即∠AEC＝2∠G，∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°，∴∠G＝45°．21．（12分）（1）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中線BD將三角形的周長分成12和6兩部分，求這個等腰三角形的腰長及底邊長．（2）已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，求這個等腰三角形的底角的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形中線的定義可得AD＝CD＝AC，再設(shè)AB＝AC＝2x，BC＝y(tǒng)，則AD＝CD＝x，然后分兩種情況：①，②，分別進(jìn)行計算即可解答；（2）分兩種情況：當(dāng)∠A＜90°時，當(dāng)∠A＞90°時，然后利用直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：（1）∵BD是AC邊上的中線，∴AD＝CD＝AC，∵AB＝AC，∴設(shè)AB＝AC＝2x，BC＝y(tǒng)，則AD＝CD＝x，分兩種情況：①，解得：，∴AB＝AC＝2x＝8，∴這個等腰三角形的腰長為8，底邊長為2，②，解得：，∴AB＝AC＝2x＝4，∵4+4＝8＜10，∴不能組成三角形；綜上所述：這個等腰三角形的腰長為8，底邊長為2；（2）分兩種情況：當(dāng)∠A＜90°時，如圖：∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝50°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，∴這個等腰三角形的底角的度數(shù)為70°；當(dāng)∠A＞90°時，如圖：∵BD⊥AC，∴∠BDA＝90°，∵∠ABD＝50°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝140°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠DAB）＝20°，∴這個等腰三角形的底角的度數(shù)為20°；綜上所述：這個等腰三角形的底角的度數(shù)為70°或20°．22．（12分）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交線段AB，BC于點M，P，AC的垂直平分線分別交線段AC，BC于點N，Q．（1）如圖，當(dāng)∠BAC＝78°時，求∠PAQ的度數(shù)；（2）當(dāng)∠PAQ＝40°時，求∠BAC的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C，分兩種情況：再利用三角形內(nèi)角和可得∠BAC的度數(shù)．【解答】解：（1）∵M(jìn)P、NQ分別是AB、AC的垂直平分線，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∵∠BAC＝78°，∴∠B+∠C＝180°﹣78°＝102°，∵AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝102°﹣78°＝24°；（2）∵M(jìn)P、NQ分別是AB、AC的垂直平分線，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C，當(dāng)P點在Q點右側(cè)時，∵∠BAP+∠CAQ＝∠BAC+∠PAQ，∠PAQ＝40°，∴∠B+∠C＝∠BAC+40°，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝70°．當(dāng)P點在Q點左側(cè)時，∵∠BAP+∠CAQ+∠PAQ＝∠BAC，∠PAQ＝40°，∴∠B+∠C＝∠BAC﹣40°，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝110°．綜上∠BAC＝70°或110°．23．（12分）綜合與探究如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延長線交BD于點F．（1）求證：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，請直接寫出∠BFC的度數(shù)．（3）過點A作AH⊥BD于點H，求證：EF+DH＝HF．【分析】（1）可利用SAS證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠AEC＝∠ADB，結(jié)合平角的定義可得∠DAE+∠DFE＝180°，根據(jù)∠BFC+∠DFE＝180°，可求得∠BFC＝∠DAE，即可求解；（3）連接AF，過點A作AJ⊥CF于點J．結(jié)合全等三角形的性質(zhì)利用HL證明Rt△AFJ≌Rt△AFH，Rt△AJE≌Rt△AHD可得FJ＝FH，EJ＝DH，進(jìn)而可證明結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE．∴∠CAE＝∠BAD．在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS）；（2）解：∵△ACE≌△ABD，∴∠AEC＝∠ADB，∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．∴∠DAE+∠DFE＝180°，∵∠BFC+∠DFE＝180°，∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°；（3）證明：如圖，連接AF，過點A作AJ⊥CF于點J．∵△ACE≌△ABD，∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，∵AJ⊥CE，AH⊥BD．∴，∴AJ＝AH．在Rt△AFJ和Rt△AFH中，，∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL），∴FJ＝FH．在Rt△AJE和Rt△AHD中，，∴