專題4.8全等三角形中的經(jīng)典模型-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（北師大版）

專題4.8全等三角形中的經(jīng)典模型重難點(diǎn)題型【北師大版】【題型1平移模型】【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動(dòng)，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見(jiàn)的平移型全等三角線.【常見(jiàn)模型】【例1】（2020秋?襄城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)B、E、C、F四點(diǎn)在一條直線上，∠A＝∠D，AB∥DE，老師說(shuō)：再添加一個(gè)條件就可以使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個(gè)同學(xué)的發(fā)言，甲說(shuō)：添加AB＝DE；乙說(shuō)：添加AC∥DF；丙說(shuō)：添加BE＝CF．（1）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)說(shuō)法正確的是；（2）請(qǐng)你從正確的說(shuō)法中選擇一種，給出你的證明．【解題思路】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上條件∠A＝∠D，只需要添加一個(gè)能得出邊相等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等，添加AC∥DF不能證明△ABC≌△DEF；（2）添加AB＝DE，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【解答過(guò)程】解：（1）說(shuō)法正確的是：甲、丙，故答案為：甲、丙；（2）證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF（ASA）．【變式11】（2020秋?蘇州期末）如圖，AD，BF相交于點(diǎn)O，AB∥DF，AB＝DF，點(diǎn)E與點(diǎn)C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點(diǎn)O為BF的中點(diǎn)．【解題思路】（1）由“SAS”可證△ABC≌△DFE；（2）由“AAS”可證△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得結(jié)論．【解答過(guò)程】證明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，AB=DF∠B=∠F∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，∠ACB=∠DEF∠AOC=∠DOE∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴點(diǎn)O為BF的中點(diǎn)．【變式12】（2020秋?富順縣校級(jí)月考）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動(dòng)，如圖2，3時(shí)，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】可以根據(jù)已知利用SAS判定△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動(dòng)，如圖（2）、（3）時(shí)，其余條件不變，結(jié)論仍然成立．可以利用全等三角形的常用的判定方法進(jìn)行驗(yàn)證．【解答過(guò)程】解：∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD．∵DE∥AF，∴∠A＝∠D．在△AFC和△DEB中，AF=DE∠A=∠D∴△AFC≌△DEB（SAS）．在（2），（3）中結(jié)論依然成立．如在（3）中，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝BD，∵AF∥DE，∴∠A＝∠D．在△ACF和△DEB中，AF=DE∠A=∠D∴△ACF≌△DEB（SAS）．【變式13】（2021春?雁塔區(qū)校級(jí)期中）如圖①點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，AB＝CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE＝DF．（1）證明：EF平分線段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到圖②時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）由AB＝CD，利用等式的性質(zhì)得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE與直角三角形DBF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG與三角形FBG全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BG＝CG，即可得證；（2）（1）中的結(jié)論成立，理由為：由AC＝DB，利用等式的性質(zhì)得到AC＝BD，再由AE＝DF，利用HL得到直角三角形ACE與直角三角形DBF全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到EC＝BF，再利用AAS得到三角形ECG與三角形FBG全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BG＝CG，即可得證．【解答過(guò)程】（1）證明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分線段BC；（2）（1）中結(jié)論成立，理由為：證明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE＝∠DBF＝90°，∵AB＝CD，∴AB﹣BC＝CD﹣BC，即AC＝DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，AE=DFAC=DB∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE＝FB，在△CEG和△BFG中，∠ECG=∠FBG=90°∠EGC=∠BGF∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG＝BG，即EF平分線段BC．【題型2軸對(duì)稱模型】【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個(gè)三角形稱之為軸對(duì)稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見(jiàn)模型】【例2】（2020秋?杭州校級(jí)月考）如圖，在△ABC和△BAD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，已知AD＝BC，另外只能從下面給出的三個(gè)條件①∠DAB＝∠CBA，②∠D＝∠C③∠DBA＝∠CAB選擇其中的一個(gè)用來(lái)證明在△ABC和△BAD全等，這個(gè)條件是．（填寫(xiě)編號(hào)），并證明△ABC≌△BAD．【解題思路】選擇條件①，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS進(jìn)行證明即可．【解答過(guò)程】解：這個(gè)條件是：①，證明如下：在△ABD與△BAC中，BC=AD∠CBA=∠DAB∴△ABC≌△BAD（SAS）．【變式21】如圖，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于點(diǎn)O，求證：OB＝OC．【解題思路】證△ABE≌△ACD，推出∠B＝∠C，AD＝AE，求出BD＝CE，證△BDO≌△CEO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．【解答過(guò)程】證明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ABE和△ACD中∠A=∠A∠AEB=∠ADC∴△ABE≌△ACD（AAS），∴∠B＝∠C，AD＝AE，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BDO和△CEO中∠DOB=∠EOC∠B=∠C∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OB＝OC．【變式22】（2020秋?海珠區(qū)校級(jí)期中）如圖，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一點(diǎn)．求證：∠BDP＝∠CDP．【解題思路】求出∠ABP＝∠ACP＝90°，根據(jù)HL推出Rt△ABP≌Rt△ACP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BPD＝∠CPD，根據(jù)SAS推出△BPD≌△CPD，即可得出答案．【解答過(guò)程】證明：∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴∠ABP＝∠ACP＝90°，∴在Rt△ABP和Rt△ACP中AP=APPB=PC∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL），∴∠BPD＝∠CPD，在△BPD和△CPD中PB=PC∠BPD=∠CPD∴△BPD≌△CPD，∴∠BDP＝∠CDP．【變式23】如圖，AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求證：AM＝AN．【解題思路】利用已知條件先證明△DBC≌△EBC，再證明△AMD≌△ANE，即可解答．【解答過(guò)程】解：∵AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝AE＝EC，∠B＝∠C，在△DBC和△EBC中BD=EC∠B=∠C∴△DBC≌△EBC，∴∠BDC＝∠BDE，∵∠BDC＝∠ADM，∠BEC＝∠AEN，∴∠ADM＝∠AEN，在△AMD和△ANE中∵∠AMD=∠ANE=90°∴△AMD≌△ANE∴AM＝AN．【題型3旋轉(zhuǎn)模型】【模型解讀】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個(gè)三角形能夠完全重合，則稱這兩個(gè)三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識(shí)別旋轉(zhuǎn)型三角形時(shí)，涉及對(duì)頂角相等、等角加（減）公共角的條件.【常見(jiàn)模型】【例3】（2020秋?渝水區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求證：∠ABD＝∠ACE．【解題思路】根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAE，利用SAS證明△ABD與△ACE全等，進(jìn)而解答即可．【解答過(guò)程】證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD與△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．【變式31】（2020秋?懷寧縣期末）如圖，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想線段CD與BE之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你的猜想．【解題思路】證明△ACD≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BFD＝∠BAD＝90°，證明結(jié)論．【解答過(guò)程】解：猜想：CD＝BE，CD⊥BE，理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC，∴∠DAB＝∠EAC＝90°．∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△ACD和△AEB中，AD=AB∠CAD=∠EAB∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，∵∠AGD＝∠FGB，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，即CD⊥BE．【變式32】（2020秋?合江縣月考）已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．（1）如圖1，點(diǎn)E在BC上，求證：BC＝BD+BE；（2）如圖2，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，求證：BC＝BD﹣BE．【解題思路】（1）先證∠DAB＝∠EAC，再證△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，則可得出結(jié)論；（2）證明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答過(guò)程】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BE+CE＝BD+BE；（2）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，即∠DAB＝∠EAC，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．【變式33】（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）延長(zhǎng)BD交CE于F，易證△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根據(jù)∠AEC+∠ACE＝90°，可得∠ABD+∠AEC＝90°，即可解題；（2）延長(zhǎng)BD交CE于F，易證∠BAD＝∠EAC，即可證明△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根據(jù)∠ABC+∠ACB＝90°，可以求得∠CBF+∠BCF＝90°，即可解題．【解答過(guò)程】證明：（1）延長(zhǎng)BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，AE=AD∠EAC=∠DAB∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；（2）延長(zhǎng)BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，AD=AE∠BAD=∠EAC∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．【題型4一線三等角模型】【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【常見(jiàn)模型】【例4】（2020秋?覃塘區(qū)期中）已知：D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作△ABC，使AB＝AC，連接BD，CE．（1）如圖①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，請(qǐng)判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解題思路】（1）根據(jù)BD⊥直線m，CE⊥直線m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根據(jù)等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根據(jù)“AAS”可判斷△ADB≌△CEA；（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，進(jìn)而由ASA就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出結(jié)論．【解答過(guò)程】解：（1）證明：如圖①，∵D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∠ADB=∠AEC∠ABD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（AAS）；（2）DE＝BD+CE．理由是：如圖②，∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴由三角形內(nèi)角和及平角性質(zhì)，得：∠BAD+∠ABD＝∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE，∴∠ABD＝∠CAE，∠BAD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，∠ABD=∠CAEAB=AC∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE．【變式41】（2020春?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，CD＝AB，點(diǎn)E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如圖1，求證：BD＝CE；（2）如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【解題思路】（1）由“SAS”可證△ABD≌△DCE，可得BD＝CE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求解．【解答過(guò)程】解：（1）在△ABD和△DCE中，AB=CD∠BAD=∠CDE∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴與∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．【變式42】（2020春?歷下區(qū)期中）CD是經(jīng)過(guò)∠BCA定點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝∠β．（1）若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA內(nèi)部，且E、F在射線CD上，①若∠BCA＝90°，∠β＝90°，例如圖1，則BECF，EF|BE﹣AF|．（填“＞”，“＜”，“＝”）；②若0°＜∠BCA＜180°，且∠β+∠BCA＝180°，例如圖2，①中的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？并說(shuō)明理由；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA外部，且∠β＝∠BCA，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段EF、BE、AF的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）．【解題思路】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根據(jù)AAS證△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．【解答過(guò)程】解：（1）①如圖1，E點(diǎn)在F點(diǎn)的左側(cè)，∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，同理可證EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；故答案為＝，＝．②：①中兩個(gè)結(jié)論仍然成立；證明：如圖2，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°，∴∠CBE＝∠ACF，在△BCE和△CAF中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，當(dāng)E在F的右側(cè)時(shí)，如圖3，同理可證EF＝AF﹣BE，∴EF＝|BE﹣AF|；（2）EF＝BE+AF．理由是：如圖4，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，∴∠EBC＝∠ACF，在△BEC和△CFA中，∠EBC=∠ACF∠BEC=∠AFC∴△BEC≌△CFA（AAS），∴AF＝CE，BE＝CF，∵EF＝CE+CF，∴EF＝BE+AF．【變式43】（2020秋?余杭區(qū)月考）如圖①，點(diǎn)B、C在∠MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求證：△ABE≌△CAF．應(yīng)用：如圖②，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，點(diǎn)D在邊BC上，且CD＝2BD，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段AD上．∠1＝∠2＝∠BAC，若△ABC的面積為15，求△ABE與△CDF的面積之和．【解題思路】（1）由“ASA”可證△ABE≌△CAF；（2）由“ASA”可證△ABE≌△CAF，由全等三角形的性質(zhì)可得S△ABE＝S△CAF，由三角形的面積關(guān)系可求解．【解答過(guò)程】證明：（1）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）（2）∵∠1＝∠2＝∠BAC，且∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FAC+∠FCA，∠BAC＝∠BAE+∠FAC，∴∠BAE＝∠FCA，∠ABE＝∠FAC，且AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（ASA）∴S△ABE＝S△CAF，∵CD＝2BD，△ABC的面積為15，∴S△ACD＝10＝S△ABE+S△CDF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABE≌△CAF是本題的關(guān)鍵．【題型5倍長(zhǎng)中線模型】【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”添加輔助線．所謂倍長(zhǎng)中線法，就是將三角形的中線延長(zhǎng)一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的方法．【常見(jiàn)模型】【例5】（2020秋?津南區(qū)校級(jí)期中）已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE＝AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF＝EF．【解題思路】根據(jù)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，得到△ADC≌△GDB，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量代換，得到△AEF中的兩個(gè)角相等，然后用等角對(duì)等邊證明AE等于EF．【解答過(guò)程】證明：如圖，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G，使得AD＝DG，連接BG．∵AD是BC邊上的中線（已知），∴DC＝DB，在△ADC和△GDB中，AD=DG∠ADC=∠GDB(∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠CAD＝∠G，BG＝AC又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，即：∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF．【變式51】（2020春?大慶期末）如圖．AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC．AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE＝2AM．【解題思路】延長(zhǎng)AM至N，使MN＝AM，證△AMC≌△NMB，推出AC＝BN＝AD，求出∠EAD＝∠ABN，證△EAD≌△ABN即可．【解答過(guò)程】證明：延長(zhǎng)AM至N，使MN＝AM，連接BN，∵點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，∴CM＝BM，在△AMC和△NMB中AM=MN∠AMC=∠NMB∴△AMC≌△NMB（SAS），∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°，∴∠EAD+∠BAC＝180°，∴∠ABN＝∠ABC+∠C＝180°﹣∠BAC＝∠EAD，在△EAD和△ABN中∵AE=AB∠EAD=∠ABN∴△ABN≌△EAD（SAS），∴DE＝AN＝2AM．【變式52】（2020秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＞AC，E為BC邊的中點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線，過(guò)E作AD的平行線，交AB于F，交CA的延長(zhǎng)線于G．求證：BF＝CG．【解題思路】延長(zhǎng)FE至Q，使EQ＝EF，連接CQ，根據(jù)SAS證△BEF≌△CEQ，推出BF＝CQ，∠BFE＝∠Q，根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)推出∠G＝∠GFA＝∠BFE，推出∠G＝∠Q，推出CQ＝CG即可．【解答過(guò)程】證明：延長(zhǎng)FE至Q，使EQ＝EF，連接CQ，∵E為BC邊的中點(diǎn)，∴BE＝CE，∵在△BEF和△CEQ中BE=CE∠BEF=∠CEQ∴△BEF≌△CEQ，∴BF＝CQ，∠BFE＝∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD＝∠G，∠BAD＝∠GFA，∴∠G＝∠GFA，∴∠GFA＝∠BFE，∵∠BFE＝∠Q（已證），∴∠G＝∠Q，∴CQ＝CG，∵CQ＝BF，∴BF＝CG．【變式53】（2020秋?安陸市期中）八年級(jí)一班數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動(dòng)中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動(dòng)，請(qǐng)你和他們一起活動(dòng)吧．【探究與發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使ED＝AD，連接BE，寫(xiě)出圖中全等的兩個(gè)三角形【理解與應(yīng)用】（2）填空：如圖2，EP是△DEF的中線，若EF＝5，DE＝3，設(shè)EP＝x，則x的取值范圍是．（3）已知：如圖3，AD是△ABC的中線，∠BAC＝∠ACB，點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線上，QC＝BC，求證：AQ＝2AD．【解題思路】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；（2）延長(zhǎng)EP至點(diǎn)Q，使PQ＝PE，連接FQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FQ＝DE＝3，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論；（3）延長(zhǎng)AD到M，使MD＝AD，連接BM，于是得到AM＝2AD由已知條件得到BD＝CD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM＝CA，∠M＝∠CAD，于是得到∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，推出△ACQ≌△MBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過(guò)程】（1）證明：在△ADC與△EDB中，AD=DE∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△EDB；故答案為：△ADC≌△EDB；（2）解：如圖2，延長(zhǎng)EP至點(diǎn)Q，使PQ＝PE，連接FQ，在△PDE與△PQF中，PE=PQ∠EPD=∠QPF∴△PEP≌△QFP，∴FQ＝DE＝3，在△EFQ中，EF﹣FQ＜QE＜EF+FQ，即5﹣3＜2x＜5+3，∴x的取值范圍是1＜x＜4；故答案為：1＜x＜4；（3）證明：如圖3，延長(zhǎng)AD到M，使MD＝AD，連接BM，∴AM＝2AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△BMD與△CAD中，MD=AD∠BDA=∠CDA∴△BMD≌△CAD，∴BM＝CA，∠M＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BAM+∠CAD＝∠BAM+∠M，∵∠ACB＝∠Q+∠CAQ，AB＝BC，∵∠ACQ＝180°﹣（∠Q+∠CAQ），∠MBA＝180°﹣（∠BAM+∠M），∴∠ACQ＝∠MBA，∵QC＝BC，∴QC＝AB，在△ACQ與△MBA中，BM=CA∠ACQ=∠MBA∴△ACQ≌△MBA，∴AQ＝AM＝2AD．【題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型】【模型解讀】截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系.截長(zhǎng)，指在長(zhǎng)線段中截取一段等于已知線段;補(bǔ)短，指將短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于已知線段.該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句,可以采用截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來(lái)完成證明過(guò)程【例6】（2020秋?涪城區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB∥CD，E為AD上一點(diǎn)，且BE、CE分別平分∠ABC，∠BCD．求證：AE＝DE．【解題思路】作BE的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于F，結(jié)合條件可證明△FCE≌△BCE，得出EF＝BE，BC＝FC，進(jìn)一步可得出△AEB≌△DEF，可得出結(jié)論．【解答過(guò)程】證明：如圖，延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于F，∵CE是∠BCD的平分線，∴∠BCE＝∠FCE，∵AB∥CD，∴∠F＝∠FBA，∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABF＝∠FBC，∴∠FBC＝∠F．在△FCE和△BCE中∠F=∠FBC∠FCE=∠BCE∴△FCE≌△BCE（AAS），∴EF＝BE，BC＝FC，在△AEB和△DEF中，∠AEB=∠DEFBE=EF∴△AEB≌△DEF（ASA），∴AE＝ED．【變式61】（2020秋?蘄春縣期中）如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求證：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD．【解題思路】（1）利用平行線的性質(zhì)證明∠2+∠3＝90°即可解決問(wèn)題．（2）在BC上取點(diǎn)F，使BF＝BA，連接EF．利用全等三角形的性質(zhì)證明CF＝CD即可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】證明：如圖所示：（1）∵BE、CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．（2）在BC上取點(diǎn)F，使BF＝BA，連接EF．在△ABE和△FBE中，AB=FB∠1=∠2∴△ABE≌△FBE（SAS），∴∠A＝∠5．∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴∠5+∠D＝180，∵∠5+∠6＝180°，∴∠6＝∠D，在△CDE和△CFE中，∠6=∠D∠3=∠4∴△CDE