特訓04第8-9章壓軸題（題型歸納）（原卷版）

特訓04第89章壓軸題（題型歸納）一、解答題1．找規(guī)律：觀察算式13＝113+23＝913+23+33＝3613+23+33+43＝100…（1）按規(guī)律填空）13+23+33+43+…+103＝；13+23+33+43+…+n3＝．（2）由上面的規(guī)律計算：113+123+133+143+…+503（要求：寫出計算過程）（3）思維拓展：計算：23+43+63+…+983+1003（要求：寫出計算過程）2．閱讀下列材料：小明為了計算的值，采用以下方法：設①則②②①得，．請仿照小明的方法解決以下問題：（1）______；（2）求______；（3）求的和；（請寫出計算過程）（4）求的和（其中且）．（請寫出計算過程）3．觀察下面三行單項式：x，，，，，，；①，，，，，，；②，，，，，，；③根據你發(fā)現的規(guī)律，解答下列問題：（1）第①行的第8個單項式為_______；（2）第②行的第9個單項式為_______；第③行的第10個單項式為_______；（3）取每行的第9個單項式，令這三個單項式的和為當時，求的值．4．閱讀下列材料：一般地，n個相同的因數a相乘，記為．如，此時，3叫做以2為底8的對數，記為（即）．一般地，若（且，），則n叫做以a為底b的對數，記為（即．如，則4叫做以3為底81的對數，記為（即）．(1)計算以下各對數的值：＝_____，＝_____，＝_____．(2)寫出（1）、、之間滿足的關系式______．(3)由（2）的結果，請你能歸納出一個一般性的結論：_____（且，，）．(4)設，，請根據冪的運算法則以及對數的定義說明上述結論的正確性．5．閱讀材料：的末尾數字是3，的末尾數字是9，的末尾數字是7，的末尾數字是1，的末尾數字是3，......，觀察規(guī)律，，∵的末尾數字是1，∴的末尾數字是1，∴的末尾數字是3，同理可知，的末尾數字是9，的末尾數字是7．解答下列問題：(1)的末尾數字是，的末尾數字是；(2)求的末尾數字；(3)求證：能被5整除．6．（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝（n為大于3的正整數），并證明你的結論；（3）運用（2）的結論計算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝．7．已知：

（1）當時，______．（2）試求：的值．（3）判斷的值的個位數是______．8．好學的小東同學，在學習多項式乘以多項式時發(fā)現：的結果是一個多項式，并且最高次項為：，常數項為：，那么一次項是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項的系數．根據嘗試和總結他發(fā)現：一次項系數就是：，即一次項為．請你認真領會小東同學解決問題的思路，方法，仔細分析上面等式的結構特征．結合自己對多項式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計算所得多項式的一次項系數為______．（2）若計算所得多項式不含一次項，求的值；（3）若，則______．9．你能求（x一1）（x99+x98+x97+…+x+1）的值嗎?遇到這樣的問題，我們可以先思考一下，從簡單的情形人手，分別計算下列各式的值．（1）（x－1）（x+1）=_____________；（2）（x—1）（x2+x+1）=_____________；（3）（x－1）（x3+x2+x+1）=____________；…由此我們可以得到：（4）（x一1）（x99+x98+x97+…+x+1）=___________，請你利用上面的結論，完成下列的計算：（5）299+298+297+…+2+1；10．觀察下列各式：……(1)按以上等式的規(guī)律填空：（_____________）；(2)根據規(guī)律可得____________（其中為正整數）；(3)利用上面的結論，完成下面兩題的計算：①②11．李狗蛋同學在學習整式乘法公式這一節(jié)時，發(fā)現運用乘法公式在進行一些計算時特別簡便，這激發(fā)了李狗蛋同學的學習興趣，他想再探究一些有關整式乘法的公式，便主動查找資料進行學習，以下是他找來的資料題，請你一同跟李狗蛋同學探究一下：（1）探究：____；___；_____；（2）猜想：______（為正整數，且）；（3）利用上述猜想的結論計算：的值．12．觀察并驗證下列等式：(1)續(xù)寫等式__________．(2)根據上述等式中所體現的規(guī)律，猜想結論__________．(3)利用（2）中的結論計算：①

②13．已知．(1)根據以上式子計算：①；②（n為正整數）；③．(2)通過以上計算，請你進行下面的探索：①_______；②_______；③________．14．閱讀并思考：計算時，山桂娜同學發(fā)現了一個簡單的口算方法，具體步驟如下：第一步：47接近整十數50，；第二步：取50的一半25，；第三步：第四步：把第二、三步綜合起來，．(1)依此方法計算49：第一步：49接近整十數50，；第二步：取50的一半25，；第三步：第四步：把第二、三步綜合起來，．(2)請你根據山桂娜同學的方法，填寫出一個正確的計算公式．．(3)利用乘法運算說明第（2）小題中這個公式的正確性．(4)寫出利用這個公式計算的過程．(5)計算也有一個簡單的口算方法，具體步驟如下：第一步：；第二步：；第三步：前面兩步的結果綜合起來，的結果是4221．寫出上述過程所依據的計算公式_______________________．(6)利用乘法運算說明第（5）小題中這個公式的正確性．15．閱讀材料：把形如的二次三項式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆寫，即．例如：、、是的三種不同形式的配方即“余項”分別是常數項、一次項、二次項．請根據閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；(2)已知，，求的值；(3)當，何值時，代數式取得最小值，最小值為多少？16．先閱讀后解題：若，求m和n的值．解：等式可變形為：即，因為，，所以，即，．像這樣將代數式進行恒等變形，使代數式中出現完全平方式的方法叫做“配方法”．請利用配方法，解決下列問題：(1)已知的三邊長a，b，c都是正整數，且滿足，則的周長是______；(2)求代數式的最小值是多少？并求出此時a，b滿足的數量關系；(3)請比較多項式與的大小，并說明理由．17．方法探究：已知二次多項式，我們把代入多項式，發(fā)現，由此可以推斷多項式中有因式（x＋3）．設另一個因式為（x＋k），多項式可以表示成，則有，因為對應項的系數是對應相等的，即，解得，因此多項式分解因式得：．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：(1)對于二次多項式，我們把x＝代入該式，會發(fā)現成立；(2)對于三次多項式，我們把x＝1代入多項式，發(fā)現，由此可以推斷多項式中有因式（），設另一個因式為（），多項式可以表示成，試求出題目中a，b的值；(3)對于多項式，用“試根法”分解因式．18．教科書中這樣寫道：“我們把多項式及叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當的項，使式子中出現完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數有關的問題或求代數式最大值，最小值等問題．例如：分解因式求代數式的最小值，．當時，有最小值，最小值是，根據閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：__________．（2）當x為何值時，多項式有最大值？并求出這個最大值．（3）若，求出a，b的值．19．已知a+b=1，ab=1，設S1=a+b，S2=a2+b2，S3=a3+b3，…，Sn=an+bn（1）計算S2和S4（2）已知a3+b3=(a+b)(a2ab+b2),求S3并猜想Sn2，Sn1，Sn三者之間的數量關系（不需要證明）；（3）若M=(S1+S2+S3+S99)（S2+S3+S100），N=（S1+S2+S3+S100）（S2+S3+S99）判斷M，N的大小，并說明理由．20．閱讀材料：若，求，的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根據你的觀察，探究下面的問題：（1）已知，則________，________；（2）已知的三邊長、、都是正整數，且滿足，求的周長．21．我們已經學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個多項式適當分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：．②拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項法．例如：③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項，所得結果分別寫在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數項，所得結果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結果．這種分解方法叫作十字相乘法．觀察得出：兩個因式分別為與例如：分析：解：原式（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）②（拆項法）③________．（2）已知：、、為的三條邊，，求的周長．22．我國古代數學的許多發(fā)現都曾位居世界前列，如圖1的“楊輝三角”就是其中的一例．如圖2，某同學發(fā)現楊輝三角給出了（為正整數）的展開式（按的次數由大到小的順序排列）的系數規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個數1，2，1，恰好對應展開式中各項的系數；第四行的四個數1，3，3，1，恰好對應著展開式中各項的系數等等．（1）填出展開式中共有________項，第三項是________．（2）直接寫出的展開式．（3）推斷多項式（為正整數）的展開式的各項系數之和．（4）利用上面的規(guī)律計算：．23．乘法公式的探究及應用．數學活動課上，劉老師準備了若干個如圖的三種紙片，種紙片邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片長為、寬為的長方形并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖的大正方形．（1）觀察圖，請寫出下列三個代數式：，，之間的等量關系____；（2）若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片張，號卡片張，號卡片_____張．（3）根據（1）題中的等量關系，解決如下問題：①已知：，，求的值：②已知．求的值．24．做一做計算：探究歸納，如圖甲、圖乙是兩個長和寬都相等的長方形，其中長為，寬為．(1)根據圖甲、圖乙的特征用不同的方法計算長方形的面積，得到關于字母x的系數是1的兩個一次式相乘的計算規(guī)律，用數學式表達式為．嘗試運用，利用因式分解與整式乘法的關系，我們可以利用上述表達式得到一些二次三項式的因式分解．(2)若，則．(3)若可以分解成關于x的兩個一次式乘積的形式，則整數p的值一定是．(4)若可以分解成關于x的兩個一次式乘積的形式，則整數q的值一定是．A．4

B．0

C．有限個

D．有無數個25．探索、研究：儀器箱按如圖方式堆放（自下而上依次為第1層、第2層、…），受堆放條件限制，堆放時應符合下列條件：每層堆放儀器箱的個數an與層數n之間滿足關系式an＝n2?32n＋247，1?n＜16，n為整數．(1)例如，當n＝2時，a2＝22?32×2＋247＝187，則a5＝，a6＝；(2)第n層比第（n＋1）層多堆放多少個儀器箱；（用含n的代數式表示）(3)假設堆放時上層儀器箱的總重量會對下一層儀器箱產生同樣大小的壓力，壓力單位是牛頓，設每個儀器箱重54牛頓，每個儀器箱能承受的最大壓力為160牛頓，并且堆放時每個儀器箱承受的壓力是均勻的．①若儀器箱僅堆放第1、2兩層，求第1層中每個儀器箱承受的平均壓力；②再確保儀器箱不被損壞的情況下，儀器箱最多可以堆放幾層，為什么？26．(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式分解因式呢？我們已經知道：．反過來，就得到：．我們發(fā)現，二次三項式的二次項的系數分解成，常數項分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項系數，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數1分解為兩個因數的積，即，把常數項也分解為兩個因數的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項的系數，于是就可以分解為．請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內填入適當的數，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應用】請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究與拓展】對于形如的關于，的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖4．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式，請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：①

分解因式__________；②

若關于，的二元二次式可以分解成兩個一次因式的積，求的值．27．數形結合思想是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想．我們常利用數形結合思想，借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，如：探索整式乘法的一些法則和公式．(1)探究一：將圖1的陰影部分沿虛線剪開后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可得一個多項式的分解因式____________________．(2)探究二：類似地，我們可以借助一個棱長為的大正方體進行以下探索：在大正方體一角截去一個棱長為的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的體積為____________；(3)將圖3中的幾何體分割成三個長方體①、②、③，如圖4、圖5所示，∵，，，∴長方體①的體積為．類似地，長方體②的體積為________，長方體③的體積為________；（結果不需要化簡）(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式（將一個多項式因式分解）為______________．(5)問題應用：利用上面的結論，解決問題：已知ab=6，ab=2，求的值．(6)類比以上探究，嘗試因式分解：=．28．把圖1的長方形看成一個基本圖形，用若干相同的基本圖形進行拼圖（重合處無縫隙）．(1)如圖2，將四個基本圖形進行拼圖，得到正方形和正方形，用兩種不同的方法計算圖中陰影部分的面積（用含a，b的代數式表示），并寫出一個等式；(2)如圖3，將四個基本圖形進行拼圖，得到四邊形，求陰影部分的面積（用含a，b的代數式表示）；(3)如圖4，將圖3的上面兩個基本圖形作為整體圖形向左運動x個單位，再向上運動2b個單位后得到一個長方形圖形，若，把圖中陰影部分分割成兩部分，這兩部分的面積分別記為，，若，求證：m與x無關．29．若x滿足(9x)(x4)=4，求(9x)2(x4)2的值．解：設9x=a，x4=b，則(9x)(x4)=ab=4，ab=(9x)(x4)=5∴(9x)2(x4)2=a2+b2=(a+b)22ab=52－24=17請仿照上面的方法求解下面問題：(1)若x滿足，求的值；(2)若x滿足，求的值；(3)已知正方形ABCD的邊長為x，E，F分別是AD、DC上的點，且AE=1，CF=3，長方形EMFD的面積是48，分別以MF、DF為邊長作正方形MFRN和正方形GFDH，求陰影部分的面積．30．數形結合是一種非常重要的數學思想，它包含兩個方面，第一種是“以數解形”，第二種是“以形助數”，我國著名數學家華羅庚曾說過：“數無形時少直覺，形少數時難入微”．請你使用數形結合這種思想解決下面問題：圖1是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分為四塊完成相同的小長方形，然后按照圖2的形狀拼成一個正方形．(1)觀察圖2，用兩種方法計算陰影部分的面積，可以得到一個等式，請使用代數式，，ab寫出這個等式_____________．(2)運用你所得到的公式，計算：若m、n為實數，且，，試求的值．(3)如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積．31．我們學過單項式除以單項式、多項式除以單項式，那么多項式除以多項式該怎么計算呢？我們也可以用豎式進行類似演算，即先把被除式、除式按某個字母的指數從大到小依次排列項的順序，并把所缺的次數項用零補齊，再類似數的豎式除法求出商式和余式，其中余式為0或余式的次數低于除式的次數.例：計算，可依照的計算方法用豎式進行計算.因此.(1)的商是______，余式是______.(2)利用上述方法解決：若多項式能被整除，求值.(3)已知一個長為，寬為的長方形A，若將它的長增加6，寬增加a就得到一個新長方形B，此時長方形B的周長是A周長的2倍（如圖）.另有長方形C的一邊長為，若長方形B的面積比C的面積大76，求長方形C的另一邊長.32．數學中的許多規(guī)律不僅可以通過數的運算發(fā)現，也可以通過圖形的面積發(fā)現．(1)填表：【數的角度】aba＋ba－ba2－b2213133－215(2)【形的角度】如圖①，在邊長為a的正方形紙片上剪去一個邊長為b（b＜a）的小正方形，怎樣計算圖中陰影部分的面積？小明和小紅分別用不同的方法計算圖中陰影部分的面積．小明的方法：若陰影部分看成大正方形與小正方形的面積差，則陰影部分的面積用代數式表示為；小紅的方法：若沿圖①中的虛線將陰影部分剪開拼成新的長方形（圖②），則陰影部分的面積用代數式表示為．(3)【發(fā)現規(guī)律】猜想：a＋b、a－b、a2－b2這三個代數式之間的等量關系是．(4)【運用規(guī)律】運用上述規(guī)律計算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．33．完全平方公式：適當的變形，可以解決很多的數學問題例如：若，，求的值解：∵∴即∵∴根據上面的解題思路與方法，解決下列問題(1)若，，則_______________(2)填空①若，則_________________②若，則________________(3)如圖，點C是線段上的一點，以、為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積34．如圖1的兩個長方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個圖形．(1)在圖2中的陰影部分的面積S1可表示為；（寫成多項式乘法的形式）；在圖3中的陰影部分的面積S2可表示為；（寫成兩數平方差的形式）；(2)比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是；A.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2B.（a＋b）（a﹣b）＝a2﹣b2C.（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2(3)請利用所得等式解決下面的問題：①已知4m2﹣n2＝12，2m＋n＝4，則2m﹣n＝；②計算（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）×…×（232＋1）＋1的值，并直接寫出該值的個位數字是多少．35．學習了平方差、完全平方公式后，小聰同學對學習和運用數學公式非常感興趣，他通過上網查閱，發(fā)現還有很多數學公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他發(fā)現，運用立方和公式可以解決很多數學問題，請你也來試試利用立方和公式解決以下問題：(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何數、字母或式子①化簡：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝；②計算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝；(2)【公式運用】已知：＋x＝5，求的值：(3)【公式應用】如圖，將兩塊棱長分別為a、b的實心正方體橡皮泥揉合在一起，重新捏成一個高為的實心長方體，問這個長方體有無可能是正方體，若可能，a與b應滿足什么關系？若不可能，說明理由．36．【閱讀材料】“數形結合”是一種非常重要的數學思想方法．比如：在學習“整式的乘法”時，我們通過構造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導出了完全平方和公式：（如圖1）．利用“數形結合”的思想方法，可以從代數角度解決圖形問題，也可以用圖形關系解決代數問題．【方法應用】根據以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖2可得等式：__________；由圖3可得等式：__________；(2)利用圖3得到的結論，解決問題：若，，則__________；(3)如圖4，若用其中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張邊長分別為、的長方形紙片拼出一個面積為長方形（無空隙、無重疊地拼接），則______；(4)如圖4，若有3張邊長為的正方形紙片，4張邊長分別為的長方形紙片，5張邊長為的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為______．【方法拓展】(5)已知正數，，和，，，滿足．試通過構造邊長為的正方形，利用圖形面積來說明．37．如圖1是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形（如圖2）．(1)圖2中的陰影部分的面積為：____________（用a、b的代數式表示）；(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關系是____________；(3)利用（2）中的結論，若，，求的值____________；(4)實際上通過計算圖形的面積可以探求相應的等式．如圖3，請你寫出這個等式____________．(5)如圖4，點是線段上的一點，分別以AC、BC為邊在AB的同側作正方形ACDE和正方形CBFG，連接EG、BG、BE，當時，的面積記為，當時，的面積記為，…，以此類推，當時，的面積記為，計算的值．38．一個四位正整數J，將千位上的數字和十位上的數字交換，百位上的數字和個位上的數字交換，得到，我們稱這個數P為原數的“披荊數”，并規(guī)定；將千位上的數字和個位上的數字交換，百位上的數字和十位上的數字交換，得到，我們稱這個