2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.2.2.2函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與最值課時素養(yǎng)檢測含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE十九函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與最值(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知函數(shù)f(x)=QUOTEx2+lnx,則函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE+1【解析】選D.因為函數(shù)f(x)=QUOTEx2+lnx,則f′(x)=x+QUOTE,明顯在[1,e]上f′(x)>0,故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,故f(x)max=f(e)=QUOTEe2+lne=QUOTE+1.2.函數(shù)f(x)=2QUOTE+QUOTE,x∈(0,5]的最小值為 ()A.2 B.3 C.QUOTE D.2QUOTE+QUOTE【解析】選B.由f′(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE=0,得x=1,且x∈(0,1)時,f′(x)<0;x∈(1,5]時,f′(x)>0,所以x=1時,f(x)最小,最小值為f(1)=3.3.若函數(shù)y=x3+QUOTEx2+m在[-2,1]上的最大值為QUOTE,則m等于 ()A.0 B.1 C.2 D.QUOTE【解題指南】先求出函數(shù)y=x3+QUOTEx2+m在[-2,1]上的最大值,再依據(jù)題設(shè)條件可得到關(guān)于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】選C.y′=QUOTE′=3x2+3x=3x(x+1).由y′=0,得x=0或x=-1.因為f(0)=m,f(-1)=m+QUOTE.f(1)=m+QUOTE,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+QUOTE最大.所以m+QUOTE=QUOTE.所以m=2.4.函數(shù)f(x)=2x+sinx在區(qū)間[0,π]上的 ()A.最小值為0,最大值為π+1B.最小值為0,最大值為2πC.最小值為π+1,最大值為2πD.最小值為0,最大值為2【解析】選B.f′(x)=2+cosx>0,所以f(x)在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞增,因此f(x)的最小值為f(0)=0,最大值為f(π)=2π.5.設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若對于隨意的x∈(0,1],都有f(x)≥0成立,則實數(shù)a的取值范圍為 ()A.a>4 B.a≥4 C.a<4 D.a≤【解析】選B.因為x∈(0,1],所以f(x)≥0,可化為a≥QUOTE-QUOTE,設(shè)g(x)=QUOTE-QUOTE,則g′(x)=QUOTE.令g′(x)=0,得x=QUOTE.當(dāng)0<x<QUOTE時,g′(x)>0;當(dāng)QUOTE<x≤1時,g′(x)<0.所以g(x)在(0,1]上有極大值gQUOTE=4,它也是最大值,故a≥4.6.已知函數(shù)f(x)=QUOTE(b∈R),若存在x∈QUOTE,使得f(x)>-xf′(x),則實數(shù)b的取值范圍是 ()A.(-∞,QUOTE) B.QUOTEC.QUOTE D.(-∞,3)【解析】選C.由f(x)>-xf′(x),得(xf(x))′>0,所以若存在x∈QUOTE,使得f(x)>-xf′(x),則QUOTE+2(x-b)>0在x∈QUOTE上有解,即b<QUOTE+x在x∈QUOTE上有解.令g(x)=QUOTE+x,則原不等式等價于x∈QUOTE,b<g(x)max,而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值,可得g(x)max=QUOTE+2=QUOTE,故b<QUOTE.二、填空題(每小題5分,共10分)7.函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,1]上的最大值為________.

【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)令f′(x)=0得x=0或x=2(舍),當(dāng)-1<x<0時,f′(x)>0;當(dāng)0<x<1時,f′(x)<0,所以當(dāng)x=0時,函數(shù)取得極大值即最大值.所以f(x)的最大值為2.答案:28.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x+1,x∈[-2,2]的最大值為M,最小值為m,則M+m=________.

【解析】由f(x)=x3-3x+1,得f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),當(dāng)x∈(-2,-1)∪(1,2)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈(-1,1)時,f′(x)<0,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,-1),(1,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),所以當(dāng)x=-1時,f(x)有極大值3,當(dāng)x=1時,f(x)有微小值-1.又f(-2)=-1,f(2)=3,則M+m=3-1=2.答案:2三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=QUOTE+lnx,求f(x)在QUOTE上的最大值和最小值.【解析】f′(x)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.由f′(x)=0,得x=1.所以在QUOTE上,當(dāng)x改變時,f′(x),f(x)的改變狀況如表:x1(1,2)2f′(x)-0+f(x)1-ln2↘微小值0↗-QUOTE+ln2因為fQUOTE-f(2)=QUOTE-2ln2=QUOTE(lne3-ln16),而e3>16,所以fQUOTE>f(2)>0.所以f(x)在QUOTE上的最大值為fQUOTE=1-ln2,最小值為0.10.已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)=x2(x-a).(1)若f′(1)=3,求a的值及曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值.【解析】(1)f′(x)=3x2-2ax.因為f′(1)=3-2a=3,所以a=0.又當(dāng)a=0時,f(1)=1,f′(1)=3,所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為3x-y-2=0.(2)令f′(x)=0,解得x1=0,x2=QUOTE.當(dāng)QUOTE≤0,即a≤0時,f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,從而f(x)max=f(2)=8-4a.當(dāng)QUOTE≥2,即a≥3時,f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,從而f(x)max=f(0)=0.當(dāng)0<QUOTE<2,即0<a<3時,f(x)在QUOTE上單調(diào)遞減,在QUOTE上單調(diào)遞增,從而f(x)max=QUOTE綜上所述,f(x)max=QUOTE(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.設(shè)動直線x=m與函數(shù)f(x)=x3,g(x)=lnx的圖像分別交于點M,N,則|MN|的最小值為 ()A.QUOTE(1+ln3) B.QUOTEln3C.1+ln3 D.ln3-1【解析】選A.由題意知,|MN|=|x3-lnx|.設(shè)h(x)=x3-lnx,h′(x)=3x2-QUOTE,令h′(x)=0,得x=QUOTE,易知,當(dāng)x=QUOTE時,h(x)取得最小值,h(x)min=QUOTE-QUOTElnQUOTE=QUOTE>0,故|MN|min=QUOTE=QUOTE(1+ln3).2.函數(shù)f(x)=x3-3x-1,若對于區(qū)間[-3,2]上的隨意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,則實數(shù)t的最小值是 ()A.20 B.18 C.3 【解析】選A.因為f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=±1,所以-1,1為函數(shù)的極值點.又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在區(qū)間[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.又由題設(shè)知在區(qū)間[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,從而t≥20,所以t的最小值是20.3.已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,2)時,f(x)=lnx-axQUOTE,當(dāng)x∈(-2,0)時,f(x)的最小值為1,則a的值等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選D.因為f(x)是奇函數(shù),所以f(x)在(0,2)上的最大值為-1.當(dāng)x∈(0,2)時,f′(x)=QUOTE-a,令f′(x)=0得x=QUOTE,又a>QUOTE,所以0<QUOTE<2.當(dāng)0<x<QUOTE時,f′(x)>0,f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增;當(dāng)2>x>QUOTE時,f′(x)<0,f(x)在QUOTE上單調(diào)遞減,所以f(x)max=fQUOTE=lnQUOTE-a·QUOTE=-1,解得a=1.4.已知函數(shù)f(x),g(x)均為[a,b]上的可導(dǎo)函數(shù),在[a,b]上連續(xù)且f′(x)<g′(x),則f(x)-g(x)的最大值為 ()A.f(a)-g(a) B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b) D.f(b)-g(a)【解析】選A.令u(x)=f(x)-g(x),則u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(x)在[a,b]上為減函數(shù),所以u(x)的最大值為u(a)=f(a)-g(a).二、填空題(每小題5分,共20分)5.函數(shù)f(x)=x3-3ax-a在(0,1)內(nèi)有最小值,則a的取值范圍為________.

【解析】因為f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0得x2=a.又因為f(x)在(0,1)內(nèi)有最小值,所以0<QUOTE<1,即0<a<1.答案:(0,1)6.當(dāng)x∈[-1,1]時,函數(shù)f(x)=QUOTE的值域是________.

【解析】由f′(x)=QUOTE=QUOTE=0,得x=0或2(應(yīng)舍去),f(-1)=e,f(0)=0,f(1)=QUOTE,所以f(x)的值域為[0,e].答案:[0,e]7.若關(guān)于x的不等式lnx≤ax+1恒成立,則a的最小值是______.

【解析】由于x>0,則原不等式可化為QUOTE≤a,設(shè)fQUOTE=QUOTE,則f′QUOTE=QUOTE=QUOTE,當(dāng)x∈QUOTE時,f′QUOTE>0,fQUOTE遞增;當(dāng)x∈QUOTE時,f′QUOTE<0,fQUOTE遞減,可得fQUOTE在x=e2處取得極大值,且為最大值QUOTE.所以a≥QUOTE,則a的最小值為QUOTE.答案:QUOTE8.若函數(shù)f(x)=axsinx-QUOTE(a∈R),且在區(qū)間QUOTE上的最大值為QUOTE,則實數(shù)a的值為________.

【解析】由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),對于隨意的x∈QUOTE,有sinx+xcosx>0,當(dāng)a=0時,f(x)=-QUOTE,不符合題意,當(dāng)a<0時,在QUOTE上,f′(x)<0,從而f(x)在QUOTE上單調(diào)遞減,所以f(x)在QUOTE上的最大值為f(0)=-QUOTE,不符合題意,當(dāng)a>0時,在QUOTE上,f′(x)>0,從而f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增,所以f(x)在QUOTE上的最大值為fQUOTE=QUOTEa-QUOTE=QUOTE,解得a=1.答案:1三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值為3,最小值為-29,求a,b的值.【解析】由題設(shè)知a≠0,否則f(x)=b為常函數(shù),與題設(shè)沖突.求導(dǎo)得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).(1)當(dāng)a>0,且x改變時f′(x),f(x)的改變狀況如表:x-1(-1,0)0(0,2)2f′(x)+0-f(x)-7a+b↗b↘-16a+b由表可知,當(dāng)x=0時,f(x)取得極大值b,也就是函數(shù)在[-1,2]上的最大值,所以f(0)=b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),所以f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.(2)當(dāng)a<0時,同理可得,當(dāng)x=0時,f(x)取得微小值b,也就是函數(shù)在[-1,2]上的最小值,所以f(0)=b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),所以f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.綜上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.10.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+bx+c(a,b,c∈R),(1)若函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,試求a,b的值;(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-2,6]時,f(x)<2|c|恒成立,求c的取值范圍.【解析】(1)f′(x)=3x2-2ax+b.因為函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,所以-1,3是方程3x2-2ax+b=0的兩根.所以QUOTE所以QUOTE(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,f′(x)=3x2-6x-9.當(dāng)x改變時,f′(x),f(x)的改變狀況如表:x-2(-2,-1)-1(-1,3)3(3,6)6f′(x)+0-0+f(x)c-2↗極大值c+5