天津市河西區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

PAGE15-天津市河西區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）第I卷（選擇題）一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意首先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得z的值，然后求解其共軛復(fù)數(shù)的值即可.【詳解】，則，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念與計(jì)算等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.2.設(shè)全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出全集后可得.【詳解】，所以，選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)留意集合中元素的屬性.3.函數(shù)的最小周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用正切函數(shù)的最小正周期公式即可求得函數(shù)的最小正周期.【詳解】由最小正周期公式可得函數(shù)最小正周期為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.4.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A.-3 B.-2C2 D.3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量三角形法則求出t，再求出向量的數(shù)量積.【詳解】由，，得，則，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為平面對(duì)量的數(shù)量積，側(cè)重基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)和基本技能，難度不大．5.對(duì)于函數(shù),“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“=是奇函數(shù)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【詳解】由奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義,簡(jiǎn)單得選項(xiàng)B正確.6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和為15，且，則（）A.16 B.8 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出關(guān)于的方程組，求出，再利用通項(xiàng)公式即可求得的值．【詳解】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為，則，解得，，故選C．【點(diǎn)睛】本題利用方程思想求解數(shù)列的基本量，嫻熟應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵。7.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，若，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，由f（﹣x）＝f（x）可得f（x）為偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）在（0，+∞）上遞減，進(jìn)而又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，分析可得答案．【詳解】解：依據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）滿意f（﹣x）＝f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，又由函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（﹣∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增，則f（x）在（0，+∞）上遞減，a＝f（3）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（）＝f（2﹣1），又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，則b＞c＞a，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，留意分析函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．8.若實(shí)數(shù)滿意，則的最小值為（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為，故選C.考點(diǎn)：基本不等式【名師點(diǎn)睛】基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍．假如條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可以干脆利用基本不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過(guò)解不等式進(jìn)行求解．【此處有視頻，請(qǐng)去附件查看】9.已知函數(shù)，若集合含有4個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)f（x）的解析式，作出f（x）的函數(shù)圖象，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出直線y=﹣1與y=f（x）在（0，+∞）上的交點(diǎn)坐標(biāo)，則π介于第4和第5個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間．【詳解】f（x）=2sin（ωx﹣），作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，∴x=+，或x=+，k∈Z，設(shè)直線y=﹣1與y=f（x）在（0，+∞）上從左到右的第4個(gè)交點(diǎn)為A，第5個(gè)交點(diǎn)為B，則xA=，xB=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四個(gè)實(shí)數(shù)根，∴xA＜π≤xB，即＜π≤，解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，多空題對(duì)一空得3分，共30分）10.命題“”的否定是_______.【答案】【解析】【分析】利用特稱命題的否定方法對(duì)所給的命題進(jìn)行否定即可.【詳解】分別否定量詞和結(jié)論可得命題“”的否定是：.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.11.在中，若則三個(gè)內(nèi)角中最大角的余弦值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由題意首先利用比例關(guān)系設(shè)出邊長(zhǎng)，然后利用余弦定理求解最大角的余弦值即可.【詳解】由題意不妨設(shè)：，利用大邊對(duì)大角可知∠A為△ABC中最大的角，由余弦定理可得：.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理及其應(yīng)用，大邊對(duì)大角結(jié)論的應(yīng)用等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.12.設(shè)函數(shù)若，則__________．【答案】3【解析】由函數(shù)解析式，可得即，則即答案為3.13.在梯形中，，，，，，若，則的值為_(kāi)______．【答案】7【解析】【分析】用表示出各向量，依據(jù)3，計(jì)算，再計(jì)算的值．【詳解】∵AB∥CD，AB＝4，CD＝2，∴，∵，∴，∴，∴（）?（）3，即93，∴4．又，∴?（）9﹣2＝7．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量的基本定理的應(yīng)用，考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．14.已知實(shí)數(shù)，，且，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題干得到，則，再依據(jù)均值不等式得到最值即可.【詳解】依據(jù)題意得到，變形為，則因?yàn)椋实玫疆?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了在利用基本不等式求最值時(shí)，要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿意基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必需為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.15.已知函數(shù)，若函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】由題意首先探討函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合得到關(guān)于a的不等式，求解不等式即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，很明顯，且存在唯一的實(shí)數(shù)滿意，當(dāng)時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，考查函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，即方程有6個(gè)根，也就是有6個(gè)根，即與有6個(gè)不同交點(diǎn)，留意到函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，繪制函數(shù)的圖像如圖所示，視察可得：，即.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.三、解答題（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再依據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：由，及，得.由，及余弦定理，得.（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得.由（Ⅰ）知，A為鈍角，所以.于是，，故.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問(wèn)題是高考高頻考點(diǎn)，常常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.17.已知函數(shù)最小正周期為.（1）求的值及函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)首先將函數(shù)的解析式整理為的形式，然后利用最小正周期公式求得的值，最終由函數(shù)的解析式求解其對(duì)稱軸方程即可；(2)結(jié)合(1)中的解析式首先求得函數(shù)的解析式，然后求解其單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】（1），∵函數(shù)的最小正周期為，∴，，對(duì)稱軸方程，（2），單調(diào)遞增區(qū)間：解得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)對(duì)稱軸的求解三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.18.已知函數(shù)=.（1）若不等式的解集為，求不等式的解集；（2）若對(duì)于隨意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知，若方程在有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)由題意首先求得a的值，然后求解二次不等式即可得到不等式的解集；(2)首先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問(wèn)題，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)首先整理所給的方程，分別參數(shù)得到關(guān)于的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的值域即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）由的解集是，可得有2個(gè)不等的實(shí)根1和2，由韋達(dá)定理，可得此時(shí)等價(jià)于，即，解得或所以不等式的解集是或；（2）對(duì)于隨意的，不等式恒成立，也即對(duì)隨意的恒成立，因?yàn)槎魏瘮?shù)開(kāi)口向上，最大值在或處取得，所以只需滿意，解得：，據(jù)此可得；綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：.（3）若方程在有解，可得到在有實(shí)數(shù)根.參數(shù)分別得，則，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得，所以，也即.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：.【點(diǎn)睛】二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，親密聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開(kāi)口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析．19.在公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】(1)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列的首項(xiàng)即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由題意首先確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得；(3)由題意結(jié)合(1)中的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)求和即可求得的值.【詳解】（1）由成等比數(shù)列，可得，解得或(舍).（2），利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得：；（3）,所以.即.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，裂項(xiàng)求和的方法等學(xué)問(wèn)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化實(shí)力和計(jì)算求解實(shí)力.20.已知函數(shù).（1）若曲線存在斜率為-1的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，在上存在微小值.【答案】(1).(2)答案見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在大于的實(shí)數(shù)根，依據(jù)在時(shí)遞增，求出的范圍即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)探討的范圍，推斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）求出函數(shù)，依據(jù)，得到存在，滿意，從而讓得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的微小值，證處結(jié)論即可.試題解析：（1）由得.由已知曲線存在斜率為-1的切線，所以存在大于零的實(shí)數(shù)根，即存在大于零的實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.（2）由可得當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，若，，若，，所以此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（3）由及題設(shè)得，由可得，由（2）可知函數(shù)在上遞增，所以，取，明顯，，所以存在滿意，即存在滿意，所以，在區(qū)間（1，+∞）上的狀況如下：－0+↘微小