2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元綜合測(cè)試含解析新人教A版選修2-2

PAGEPAGE1單元綜合測(cè)試一(第一章)時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(每小題5分，共60分)1．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(B)A．(cosx)′＝sinxB．(ln2x)′＝eq\f(1,x)C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2ex)′＝2xex解析：(cosx)′＝－sinx，(3x)′＝3xln3，(x2ex)′＝2xex＋x2ex.2．曲線y＝eq\f(1,2)x2－2x在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))處的切線的傾斜角為(D)A．－135° B．45°C．－45° D．135°解析：∵y′＝x－2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))處的切線斜率為－1，∴傾斜角為135°.3．已知函數(shù)y＝f(x)，其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)(C)A．在(－∞，0)上為減函數(shù)B．在x＝0處取微小值C．在(4，＋∞)上為減函數(shù)D．在x＝2處取極大值解析：在(－∞，0)上，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，A錯(cuò)；在x＝0處，導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)，f(x)由增變減，故在x＝0處取極大值，B錯(cuò)；在(4，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，C對(duì)；在x＝2處取微小值，D錯(cuò)．4．曲線y＝3sin(2x－eq\f(π,3))在點(diǎn)(eq\f(π,3)，eq\f(3\r(3),2))處的切線的斜率為(C)A．1B．2C．3D．6解析：由于y＝3sin(2x－eq\f(π,3))，所以y′＝6cos(2x－eq\f(π,3))，于是斜率k＝＝6cos(2×eq\f(π,3)－eq\f(π,3))＝3.5．某汽車啟動(dòng)階段的路程函數(shù)為s(t)＝2t3－5t2＋2，則t＝2秒時(shí)，汽車的加速度是(A)A．14B．4C．10D．6解析：依題意v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，所以a(t)＝v′(t)＝12t－10，故汽車在t＝2秒時(shí)的加速度為a(2)＝24－10＝14.6．若曲線f(x)＝xsinx＋1在x＝eq\f(π,2)處的切線與直線ax＋2y＋1＝0相互垂直，則實(shí)數(shù)a的值為(D)A．－2 B．－1C．1 D．2解析：f′(x)＝xcosx＋sinx，f′(eq\f(π,2))＝1，∴k＝－eq\f(a,2)＝－1，a＝2.7．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1],\f(1,x)，x∈1，e]))，則∫eq\o\al(e,0)f(x)dx等于(A)A.eq\f(4,3)B.eq\f(5,4)C.eq\f(6,5)D.eq\f(7,6)解析：∫eq\o\al(e,0)f(x)dx＝∫eq\o\al(1,0)x2dx＋∫eq\o\al(e,1)eq\f(1,x)dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(1,0)＋lnx|eq\o\al(e,1)＝eq\f(4,3).8．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3，且產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50元，總利潤(rùn)最大時(shí)，產(chǎn)量應(yīng)定為(C)A．15件B．20件C．25件D．30件解析：設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為a元，又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2x＝k，由題知k＝250000，則a2x＝250000，所以a＝eq\f(500,\r(x)).總利潤(rùn)y＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200(x>0)，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2，由y′＝0，得x＝25，當(dāng)x∈(0,25)時(shí)，y′>0，當(dāng)x∈(25，＋∞)時(shí)，y′<0，所以當(dāng)x＝25時(shí)，y取最大值．9．對(duì)隨意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點(diǎn)的充要條件是(A)A．0≤a≤21 B．a(chǎn)＝0或a＝7C．a(chǎn)<0或a>21 D．a(chǎn)＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，當(dāng)Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21時(shí)，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)f(x)不存在極值點(diǎn)．故選A.10．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x，若對(duì)于區(qū)間[－3,2]上隨意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是(D)A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，因?yàn)閒(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在區(qū)間[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以對(duì)于區(qū)間[－3,2]上隨意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，從而t的最小值為20.11．若函數(shù)y＝f(x)滿意xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，則(B)A．a(chǎn)f(b)>bf(a)B．a(chǎn)f(a)>bf(b)C．a(chǎn)f(a)<bf(b)D．a(chǎn)f(b)<bf(a)解析：設(shè)g(x)＝xf(x)，則g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函數(shù)，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．12．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)．當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是(D)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：設(shè)h(x)＝f(x)g(x)，則h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以h(x)是R上的奇函數(shù)，且h(－3)＝h(3)＝0，當(dāng)x<0時(shí)，h′(x)>0，所以h(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，依據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性可知，h(x)在(0，＋∞)上也是增函數(shù)，因此h(x)<0的解集為(－∞，－3)∪(0,3)．第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(每小題5分，共20分)13．假如函數(shù)f(x)＝x3－6bx＋3b在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在與x軸平行的切線，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是{b|0<b<eq\f(1,2)}．解析：存在與x軸平行的切線，即f′(x)＝3x2－6b＝0有解，∵x∈(0,1)，∴b＝eq\f(x2,2)∈(0，eq\f(1,2))．14．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x－sinx，x∈(0，π)，則f(x)的最小值為eq\f(π－3\r(3),6).解析：令f′(x)＝eq\f(1,2)－cosx＝0，得x＝eq\f(π,3).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))時(shí)，f′(x)>0，f(x)在x＝eq\f(π,3)處取得微小值．又f(x)在(0，π)上只有一個(gè)極值點(diǎn)，易知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(π－3\r(3),6)即為f(x)的最小值．15．已知函數(shù)f(x)＝xex＋c有兩個(gè)零點(diǎn)，則c的取值范圍是(0，eq\f(1,e))．解析：∵f′(x)＝ex(x＋1)，∴易知f(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù)，在(－1，＋∞)上是增函數(shù)，且f(x)min＝f(－1)＝c－e－1，由題意得c－e－1<0，得c<e－1.∵c≤0時(shí)，x∈(－∞，－1)時(shí)，f(x)＝xex＋c<0恒成立，不存在零點(diǎn)，∴c>0.綜上0<c<eq\f(1,e).16．已知函數(shù)f(x)＝2lnx＋eq\f(a,x2)(a>0)．若當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)≥2恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[e，＋∞)．解析：f(x)≥2即a≥2x2－2x2lnx.令g(x)＝2x2－2x2lnx，則g′(x)＝2x(1－2lnx)．由g′(x)＝0得x＝eeq\s\up15(eq\f(1,2))，或x＝0(舍去)，且0<x<eeq\s\up15(eq\f(1,2))時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)x>eeq\s\up15(eq\f(1,2))時(shí)，g′(x)<0，∴當(dāng)x＝eeq\s\up15(eq\f(1,2))時(shí)g(x)取最大值g(eeq\s\up15(eq\f(1,2)))＝e，∴a≥e.三、解答題(寫出必要的計(jì)算步驟，只寫最終結(jié)果不得分，共70分)17．(10分)求滿意下列條件的函數(shù)f(x)．(1)f(x)是三次函數(shù)，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f(x)是二次函數(shù)，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.解：(1)由題意設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，則f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝d＝3，,f′0＝c＝0，,f′1＝3a＋2b＋c＝－3，,f′2＝12a＋4b＋c＝0，))解得a＝1，b＝－3，c＝0，d＝3，故f(x)＝x3－3x2＋3.(2)由題意設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b.所以x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，化簡(jiǎn)得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，此式對(duì)隨意x都成立，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b，,b＝2c，,c＝1，))解得a＝2，b＝2，c＝1，即f(x)＝2x2＋2x＋1.18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)＝eq\f(7,6)，求：(1)f(x)的表達(dá)式；(2)曲線y＝f(x)在x＝a處的切線方程．解：(1)f′(x)＝x2＋3f′(a)，于是有f′(a)＝a2＋3f′(a)?f′(a)＝－eq\f(a2,2)，∴f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3a2,2)x，又f(a)＝eq\f(7,6)，即eq\f(1,3)a3－eq\f(3,2)a3＝eq\f(7,6)?a＝－1，f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(3,2)x；(2)由(1)知切點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(7,6)))，切線的斜率f′(a)＝－eq\f(1,2)，∴切線方程為y－eq\f(7,6)＝－eq\f(1,2)(x＋1)，即3x＋6y－4＝0.19．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x＋b)(a，b∈Z)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(3，f(3))處的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍三角形的面積．解：(1)f′(x)＝a－eq\f(1,x＋b2)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(1,2＋b)＝3，,a－\f(1,2＋b2)＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,4)，,b＝－\f(8,3).))因?yàn)閍，b∈Z，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))即f(x)＝x＋eq\f(1,x－1).(2)由(1)知當(dāng)x＝3時(shí)，f(3)＝eq\f(7,2)，f′(x)＝1－eq\f(1,x－12)，f′(3)＝1－eq\f(1,3－12)＝eq\f(3,4)，過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(7,2)))的切線方程為y－eq\f(7,2)＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y＋5＝0.切線與直線x＝1的交點(diǎn)為(1,2)，切線與直線y＝x的交點(diǎn)為(5,5)，直線x＝1與直線y＝x的交點(diǎn)為(1,1)．從而所圍三角形的面積為eq\f(1,2)×|5－1|×|2－1|＝2.20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)探討f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值．解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b－4＝4，所以a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－eq\f(1,2))．令f′(x)＝0，得x＝－ln2或x＝－2.從而當(dāng)x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－2，－ln2)時(shí)，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，－ln2)上單調(diào)遞減．當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(－2)＝4(1－e－2)．21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程．(2)求函數(shù)f(x)的極值．解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1－eq\f(a,x).(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－eq\f(2,x)(x>0)，所以f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)，x>0可知：①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0，解得x＝a；因?yàn)閤∈(0，a)時(shí)，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a處取得微小值，且微小值為f(a)＝a－alna，無(wú)極大值．綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝a處取得微小值a－alna，無(wú)極大值．22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(1,2)ax2－2x.(1)若函數(shù)f(x)在x＝2處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值．(2)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(3)當(dāng)a＝－eq\f(1,2)時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)＝－eq\f(1,2)x＋b在[1,4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解：(1)由題意，得f′(x)＝－eq\f(ax2＋2x－1,x)(x>0)，因?yàn)閤＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極值，所以f′(2)＝0，解得a＝－eq\f(3,4)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．(2)函