2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)檢測十七平面與平面平行含解析新人教B版必修第四冊

PAGE十七平面與平面平行(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對得4分,選對但不全對得2分,有選錯的得0分)1.(多選題)下列命題中不正確的是 ()A.一個平面內(nèi)兩條直線都平行于另一平面,那么這兩個平面平行B.假如一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行C.平行于同始終線的兩個平面肯定相互平行D.假如一個平面內(nèi)的多數(shù)條直線都平行于另一平面,那么這兩個平面平行【解析】選ACD.假如一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面,即兩個平面沒有公共點(diǎn),則兩平面平行,所以B正確.2.設(shè)平面α,β,直線a,b,a?α,b?α,則“a∥β,b∥β”是“α∥β”的________條件. ()

A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【解析】選B.由平面與平面平行的判定定理可知,若直線a,b是平面α內(nèi)兩條相交直線,且a∥β,b∥β,則α∥β;當(dāng)α∥β,若a?α,b?α,則a∥β,b∥β,因此“a∥β,b∥β”是“α∥β”的必要不充分條件.3.在正方體EFGH-E1F1G1H1中,下列四對平面彼此平行的一對是 ()A.平面E1FG1與平面EGH1B.平面FHG與平面F1H1GC.平面F1H1H與平面FHE1D.平面E1HG1與平面EH1G【解析】選A.如圖,因?yàn)镋FGH-E1F1G1H1是正方體,所以E1EGG1,所以四邊形EE1G1G為平行四邊形,所以EG∥E1G1,又因?yàn)镋G?平面E1FG1,E1G1?平面E1FG1,所以EG∥平面E1FG1.同理可證H1E∥平面E1FG1,又因?yàn)镠1E?平面H1EG,EG?平面H1EG,且H1E∩EG=E,所以平面E1FG1∥平面EGH1.4.(多選)下列命題中正確的是 ()A.兩個平面α∥β,一條直線a平行于平面α,則a肯定平行于平面βB.平面α∥平面β,則α內(nèi)的隨意一條直線都平行于平面βC.一個三角形有兩條邊所在的直線平行于一個平面,那么三角形所在平面與這個平面平行D.分別在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線只能是平行直線或者是異面直線【解析】選BCD.選項A中直線a可能與β平行,也可能在β內(nèi),故選項A不正確;三角形兩邊必相交,這兩條相交直線平行于一個平面,那么三角形所在的平面與這個平面平行,故選項C正確;由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知,故選項B,D正確.5.平面α∥平面β,平面γ∥平面δ,且α∩γ=a,α∩δ=b,β∩γ=c,β∩δ=d,則交線a,b,c,d的位置關(guān)系是 ()A.相互平行 B.交于一點(diǎn)C.相互異面 D.不能確定【解析】選A.由平面與平面平行的性質(zhì)定理知,a∥b,a∥c,b∥d,c∥d,所以a∥b∥c∥d.6.已知m,n是兩條直線,α,β是兩個平面.有以下命題:①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,則α∥β;②若m∥α,m∥β,則α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,則α∥β.其中正確命題的個數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.把符號語言轉(zhuǎn)換為文字語言或圖形語言.可知①是面面平行的判定定理;②③中平面α,β還有可能相交,所以選B.【補(bǔ)償訓(xùn)練】給出下列說法:①α內(nèi)隨意一條直線都與β平行;②直線a∥α,a∥β;③直線a?α,直線b?β,且a∥β,b∥α;④平面α內(nèi)的三點(diǎn)A,B,C到平面β的距離相等.其中能得出平面α與平面β平行的是 ()A.①②④ B.①C.①② D.①③④【解析】選B.依據(jù)平面與平面平行的定義及判定定理可知,只有①正確.二、填空題(每小題4分,共8分)7.若夾在兩個平面間的三條平行線段相等,那么這兩個平面的位置關(guān)系為________.

【解析】三條平行線段共面時,兩平面可能平行也可能相交,當(dāng)三條平行線段不共面時,兩平面可能平行也可能相交.答案:平行或相交8.如圖是正方體的平面綻開圖,在這個正方體中:①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.以上四個命題中,正確命題的序號是________.

【解析】以ABCD為下底面還原正方體,如圖,則易判定四個命題都是正確的.答案:①②③④三、解答題(每小題14分,共28分)9.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是A1C1的中點(diǎn),平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求證:N為AC的中點(diǎn).【證明】因?yàn)槠矫鍭B1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM,又AC∥A1C1,所以四邊形ANC1M為平行四邊形,所以AN∥C1M且AN=C1M,又C1M=QUOTEA1C1,A1C1=AC,所以AN=QUOTEAC,所以N為AC的中點(diǎn).10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)N在BD上,點(diǎn)M在B1C上,且CM=DN.求證:MN∥平面AA1B1B.【證明】如圖,作MP∥BB1交BC于點(diǎn)P,連接NP,因?yàn)镸P∥BB1,所以QUOTE=QUOTE.因?yàn)锽D=B1C,DN=CM,所以B1M=BN,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以NP∥CD∥AB.因?yàn)镹P?平面AA1B1B,AB?平面AA1B1B,所以NP∥平面AA1B1B.因?yàn)镸P∥BB1,MP?平面AA1B1B,BB1?平面AA1B1B.所以MP∥平面AA1B1B.又因?yàn)镸P?平面MNP,NP?平面MNP,MP∩NP=P,所以平面MNP∥平面AA1B1B.因?yàn)镸N?平面MNP,所以MN∥平面AA1B1B.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分,多選題全部選對得4分,選對但不全對得2分,有選錯的得0分)1.(多選題)已知α,β是兩個不重合的平面,下列選項中,不能得出平面α與平面β平行的是 ()A.α內(nèi)有無窮多條直線與β平行B.直線a∥α,a∥βC.直線a,b滿意:b∥a,a∥α,b∥βD.異面直線a,b滿意:a?α,b?β,且a∥β,b∥α【解析】選ABC.對于選項A,當(dāng)α內(nèi)有無窮多條直線與β平行時,平面α與平面β可能平行,也可能相交;對于選項B,若直線a∥α,a∥β,則平面α與平面β可能平行,也可能相交;對于選項C,若b∥a,a∥α,b∥β,則平面α與平面β可能平行,也可能相交;對于選項D,當(dāng)a?α,b?β,且a∥β,b∥α?xí)r,可在a上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線b′∥b,由線面平行的判定定理,得b′∥β,再由面面平行的判定定理,得α∥β.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知α,β是兩個不重合的平面,下列選項中,肯定能得出平面α與平面β平行的是 ()A.平面α內(nèi)有一條直線與平面β平行B.平面α內(nèi)有兩條直線與平面β平行C.平面α內(nèi)有一條直線與平面β內(nèi)的一條直線平行D.平面α與平面β不相交【解析】選D.選項A,C不正確,因?yàn)閮蓚€平面可能相交;選項B不正確,因?yàn)槠矫姒羶?nèi)的這兩條直線必需相交才能得到平面α與平面β平行;選項D正確,因?yàn)閮蓚€平面的位置關(guān)系只有相交與平行兩種.2.已知a,b,c,d是四條直線,α,β是兩個不重合的平面,若a∥b∥c∥d,a?α,b?α,c?β,d?β,則α與β的位置關(guān)系是 ()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.以上都不對【解析】選C.依據(jù)圖1和圖2可知α與β平行或相交.3.a是平面α外的一條直線,過a作平面β,使β∥α,這樣的β ()A.只能作一個 B.至少可以作一個C.不存在 D.至多可以作一個【解析】選D.因?yàn)閍是平面α外的一條直線,所以a∥α或a與α相交,當(dāng)a∥α?xí)r,β只有一個;當(dāng)a與α相交時,β不存在.4.如圖,在下列四個正方體中,P,R,Q,M,N,G,H為所在棱的中點(diǎn),則在這四個正方體中,陰影平面與PRQ所在平面平行的是 ()【解析】選A.A中,因?yàn)镻Q∥AC∥A1C1,所以可得PQ∥平面A1BC1,又RQ∥A1B,可得RQ∥平面A1BC1,從而平面PQR∥平面A1BC1.B中,作截面可得平面PQR∩平面A1BN=HN(H為C1D1中點(diǎn)),如圖:C中,作截面可得平面PQR∩平面HGN=HN(H為C1D1中點(diǎn)),如圖:D中,作截面可得QN,C1M為兩相交直線,因此平面PQR與平面A1MC1不平行,如圖:二、填空題(每小題4分,共16分)5.若平面α∥平面β,a?α,下列說法正確的是________.

①a與β內(nèi)任始終線平行;②a與β內(nèi)多數(shù)條直線平行;③a與β內(nèi)任始終線不垂直;④a與β無公共點(diǎn).【解析】因?yàn)閍?α,α∥β,所以a∥β,所以a與β無公共點(diǎn),④正確;如圖,在正方體中,令線段B1C1所在的直線為a,明顯a與β內(nèi)多數(shù)條直線平行,故②正確;又AB⊥B1C1,故在β內(nèi)存在直線與a垂直,故①③錯誤.答案:②④【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)α,β是兩個不重合的平面,a,b是兩條不同的直線,給出下列條件:①α,β都平行于直線a,b;②a,b是α內(nèi)兩條直線,且a∥β,b∥β;③若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β.其中可判定α∥β的條件的序號為__________.

【解析】①中,只有當(dāng)a與b相交或異面時,才能判定α∥β;②中,只有a,b相交時才能判定α∥β;③中,由于a,b相交,設(shè)a,b確定平面γ,則γ∥α,γ∥β,所以α∥β.答案:③6.如圖所示,平面α∥平面β,△ABC,△A1B1C1分別在平面α,β內(nèi),線段AA1,BB1,CC1相交于點(diǎn)O,點(diǎn)O在α,β之間,若AB=2,AC=1,OA∶OA1=3∶2,且BA⊥AC,則△A1B1C1的面積為________.

【解析】因?yàn)橄嘟恢本€AA1,BB1所在的平面和兩平行平面α,β分別交于AB,A1B1,所以AB∥A1B1.同理可得AC∥A1C1,BC∥B1C1,所以△ABC和△A1B1C1的三個內(nèi)角相等,所以△ABC∽△A1B1C1,且QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTES△ABC=QUOTE×QUOTE×2×1=QUOTE.答案:QUOTE7.a,b,c為三條不重合的直線,α,β,γ為三個不重合平面,現(xiàn)給出六個命題.①Q(mào)UOTE?a∥b;②QUOTE?a∥b;③QUOTE?α∥β;④QUOTE?α∥β;⑤QUOTE?a∥α;⑥QUOTE?a∥α,其中正確的命題是________.(填序號)

【解析】①是平行線的傳遞性,正確;②中a,b還可能異面或相交;③中α,β還可能相交;④是平面平行的傳遞性,正確;⑤還有可能a?α;⑥也是忽視了a?α的情形.答案:①④【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知下列說法:①若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a∥b;②若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a與b是異面直線;③若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a與b肯定不相交;④若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a與b平行或異面;⑤若兩個平面α∩β=b,a?α,則a與β肯定相交.其中正確的是________(將你認(rèn)為正確的序號都填上).

【解析】①錯.a與b也可能異面;②錯.a與b也可能平行;③對.因?yàn)棣痢桅?所以α與β無公共點(diǎn).又因?yàn)閍?α,b?β,所以a與b無公共點(diǎn);④對.由已知及③知:a與b無公共點(diǎn),那么a∥b或a與b異面;⑤錯.a與β也可能平行.答案:③④8.在如圖所示的幾何體中,三個側(cè)面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四邊形,則平面ABC與平面A1B1C1平行嗎?________(填“是”或“否”).

【解析】因?yàn)閭?cè)面AA1B1B是平行四邊形,所以AB∥A1B1,因?yàn)锳B?平面A1B1C1,A1B1?平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1,同理可證:BC∥平面A1B1C1.又因?yàn)锳B∩BC=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以平面ABC∥平面A1B1C1.答案:是三、解答題(共38分)9.(12分)如圖所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD.E,F,G分別為線段PC,PD,BC的中點(diǎn),現(xiàn)將△PDC折起,使點(diǎn)P?平面ABCD.求證:平面PAB∥平面EFG.【證明】因?yàn)镻E=EC,PF=FD,所以EF∥CD,又因?yàn)镃D∥AB,所以EF∥AB,又EF?平面PAB,AB?平面PAB,所以EF∥平面PAB,同理可證EG∥平面PAB.又因?yàn)镋F?平面EFG,EG?平面EFG且EF∩EG=E,所以平面PAB∥平面EFG.10.(12分)如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,E分別是BC與B1C1的中點(diǎn).求證:平面A1EB∥平面ADC1.【證明】由棱柱性質(zhì)知,B1C1∥BC,B1C1=BC,又D,E分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以C1EDB,則四邊形C1DBE為平行四邊形,因此EB∥C1D,又C1D?平面ADC1,EB?平面ADC1,所以EB∥平面ADC1.連接DE,同理,EB1BD,所以四邊形EDBB1為平行四邊形,則EDB1B.因?yàn)锽1BA1A(棱柱的性質(zhì)),所以EDA1A,則四邊形EDAA1為平行四邊形,所以A1E∥AD,又A1E?平面ADC1,AD?平面ADC1,所以A1E∥平面ADC1.因?yàn)锳1E?平面A1EB,EB?平面A1EB且A1E∩EB=E,所以平面A1EB∥平面ADC1.11.(14分)如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長為2