重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期階段性測(cè)試試題含解析

PAGE19-重慶市西南高校附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期階段性測(cè)試試題（含解析）（全卷共150分，考試時(shí)間為120分鐘）留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上；2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效；3．考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷自己保管好，以備評(píng)講）．一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.的共軛復(fù)數(shù)是()A. B. C.1i D.1＋i【答案】B【解析】由題意，復(fù)數(shù)，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故選B．2.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為，則實(shí)數(shù)m＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由隨機(jī)變量ξ的分布列的性質(zhì)得：，由此能求出實(shí)數(shù)m．【詳解】∵隨機(jī)變量ξ的分布列為解得實(shí)數(shù)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．3.隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，若，則的值（）A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2【答案】C【解析】分析：由隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，可得正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，依據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，得到，從而可得結(jié)果.詳解：隨機(jī)變量聽(tīng)從正態(tài)分布，，得對(duì)稱軸是，，，，所以，故選C.點(diǎn)睛：本題考查了正態(tài)分布的有關(guān)概念與運(yùn)算，重點(diǎn)考查了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)以及如何利用正態(tài)密度曲線求概率，意在考查學(xué)生對(duì)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解及基本的運(yùn)算實(shí)力.4.假如函數(shù)的圖象如圖，那么導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)原函數(shù)的增減性確定導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù).【詳解】由函數(shù)的圖象可知，在上先增后減，所以在上先正后負(fù)，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù).故答案選：A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象之間的關(guān)系，比較簡(jiǎn)潔.一般地，依據(jù)原函數(shù)圖象確定導(dǎo)函數(shù)圖象時(shí)，只須要依據(jù)原函數(shù)圖象的增減性確定導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)分布即可.5.二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A.﹣2024 B.672 C.﹣144 D.144【答案】B【解析】【分析】在二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)．【詳解】二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,令，求得r＝6，故綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為T7?23＝672，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．6.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒(méi)有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種3粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為（）A.100 B.200 C.300 D.400【答案】C【解析】【分析】種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，則不發(fā)芽的概率是，現(xiàn)播種了1000粒，不發(fā)芽的種子數(shù)，由題意又有，由二項(xiàng)分布的期望公式可計(jì)算出期望．【詳解】每粒種子發(fā)芽概率是0.9，則不發(fā)芽概率是，由題意，播種了1000粒種子，沒(méi)有發(fā)芽的種子數(shù)聽(tīng)從二項(xiàng)分布，即，不發(fā)芽每粒補(bǔ)種3粒，則補(bǔ)種的種子數(shù)，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的期望，考查隨機(jī)變量的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7.甲、乙等人排一排照相，要求甲、乙人相鄰但不排在兩端，那么不同的排法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】依據(jù)題意，甲、乙看做一個(gè)元素支配中間位置，共有種排法，其余人排其它個(gè)位置，共有種排法，利用乘法原理，可得不同的排法有種．故選．點(diǎn)睛：本題考查的是排列組合問(wèn)題.（1）解排列組合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．詳細(xì)地說(shuō)，解排列組合問(wèn)題常以元素(或位置)為主體，即先滿意特別元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的安排問(wèn)題，往往是先分組再安排．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不勻稱分組；②勻稱分組；③部分勻稱分組．留意各種分組類型中，不同分組方法的求解．8.已知函數(shù)，若是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：將記為橫坐標(biāo)，將記為縱坐標(biāo)，可知總共有9個(gè)的結(jié)果，而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件為其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，，滿意題中條件為，即，所以滿意條件的基本領(lǐng)件有共6個(gè)基本領(lǐng)件，所以所求的概率為，故選D．考點(diǎn)：古典概型．9.直線與曲線相切于點(diǎn),則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直線與曲線相切于點(diǎn),可得求得的導(dǎo)數(shù),可得,即可求得答案.【詳解】直線與曲線相切于點(diǎn)將代入可得:解得:由,解得:.可得,依據(jù)在上,解得:故故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)切點(diǎn)求參數(shù)問(wèn)題,解題關(guān)鍵是駕馭函數(shù)切線的定義和導(dǎo)數(shù)的求法,考查了分析實(shí)力和計(jì)算實(shí)力,屬于中檔題.10.西大附中為了增加學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)文化的繼承和發(fā)揚(yáng)，組織了一場(chǎng)類似《詩(shī)詞大會(huì)》的賽，、兩隊(duì)各由名選手組成，每局兩隊(duì)各派一名選手，除第三局勝者得格外，其余各勝者均得分，每局的負(fù)者得分．假設(shè)每局競(jìng)賽隊(duì)選手獲勝的概率均為，且各局競(jìng)賽結(jié)果相互獨(dú)立，競(jìng)賽結(jié)束時(shí)隊(duì)的得分高于隊(duì)的得分的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】競(jìng)賽結(jié)束時(shí)隊(duì)的得分高于隊(duì)的得分的狀況有種：全勝；三勝一負(fù)、第三局勝，另外三局一勝兩負(fù).利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】競(jìng)賽結(jié)束時(shí)隊(duì)的得分高于隊(duì)的得分的狀況有種：全勝；三勝一負(fù)、第三局勝，另外三局一勝兩負(fù).所以，競(jìng)賽結(jié)束時(shí)隊(duì)的得分高于隊(duì)的得分的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求解，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的求解，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.11.函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿意，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可得到結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，∵，即，∴，所以，∴在上單調(diào)遞減，又∵，因?yàn)槎x域?yàn)檎龑?shí)數(shù)，∴，即，∴，∴，∴，解之得：，∴不等式的解集為.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性解不等式，解題關(guān)鍵是正確構(gòu)造新函數(shù)，從而將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)而求解，考查邏輯思維實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于?？碱}.12.已知函數(shù)，，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A B. C. D.【答案】A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+2）+4ea﹣x，令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是減函數(shù)，（﹣1，+∞）上是增函數(shù)，故當(dāng)x=﹣1時(shí)，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（當(dāng)且僅當(dāng)ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln2時(shí)，等號(hào)成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立時(shí)，等號(hào)成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故選A．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卷中的橫線上．13.（i為虛數(shù)單位）的模是________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)模的定義計(jì)算．【詳解】．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求復(fù)數(shù)的模，屬于簡(jiǎn)潔題．14.袋中有6個(gè)黃色、4個(gè)白色的乒乓球，做不放回抽樣，每次任取1個(gè)球，取2次，則事務(wù)“第一次取得白球的狀況下，其次次恰好取得黃球”的概率為_(kāi)____．【答案】【解析】分析：依據(jù)條件概率進(jìn)行求解即可．詳解：設(shè)“第一次取得白球”為事務(wù)A，“其次次恰好取得黃球”為事務(wù)B．由題意得，∴．點(diǎn)睛：解決概率問(wèn)題時(shí)，若條件中含有“在……發(fā)生的條件下，求……發(fā)生的概率”的字樣，則一般為條件概率類型．求解時(shí)可依據(jù)條件概率的定義進(jìn)行，即進(jìn)行求解．15.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】由于函數(shù)在上遞減，利用導(dǎo)函數(shù)恒小于或等于零，由此求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】依題意，在上恒成立，則需恒成立，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查除法的導(dǎo)數(shù)，考查一元二次不等式恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.16.若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】先采納參變分別將等價(jià)轉(zhuǎn)化為，結(jié)合題意應(yīng)當(dāng)是m小于等于右邊函數(shù)的最大值，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可.【詳解】因?yàn)樗缘葍r(jià)于，記，由題意知，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，而，，又，所以，所以所以實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的能成立問(wèn)題，區(qū)間能成立或恒成立問(wèn)題常常采納參變分別法轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，困難函數(shù)最值可利用導(dǎo)數(shù)求解，屬于難題.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）求在點(diǎn)處的切線；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間為；極大值是，微小值是【解析】【分析】（1）利用解析式求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，依據(jù)直線點(diǎn)斜式方程寫出切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)得到原函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)極值定義可知極值點(diǎn)，代入求得極值.【詳解】（1），則則，故切線為，即（2），列表如下：極大值微小值所以函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間為極大值是，微小值是.【點(diǎn)睛】本題考查求解函數(shù)的切線方程、單調(diào)區(qū)間和極值的問(wèn)題，能夠明確導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.18.高新區(qū)某中學(xué)德育處為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“一帶一路”的關(guān)注狀況,在全校組織了“一帶一路知多少”的學(xué)問(wèn)問(wèn)卷測(cè)試,并從中隨機(jī)抽取了12份問(wèn)卷,得到其測(cè)試成果(百分制)的莖葉圖如下：（1）寫出該樣本的中位數(shù),若該校共有3000名學(xué)生,試估計(jì)該校測(cè)試成果在70分以上的人數(shù)；（2）從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人，記表示測(cè)試成果在80分以上的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）200；（2）見(jiàn)解析【解析】分析：（1）依據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)可得中位數(shù)，然后依據(jù)樣本中70分以上的成果所占的比例可得總體中70分以上的人數(shù)．（2）依據(jù)題意得到的可能取值，分別求出對(duì)應(yīng)的概率得到分布列，然后可得期望．詳解：（1）由莖葉圖可得中位數(shù)為76，樣本中70分以上的所占比例為，故可估計(jì)該校測(cè)試成果在70分以上的約為3000×2000人．（2由題意可得的可能取值為0，1，2，3，4．,,,.∴分別列為：01234∴.點(diǎn)睛：本題考查莖葉圖的應(yīng)用以及用樣本估計(jì)總體，同時(shí)考查分布列、期望的求法，主要考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬中等題．19.2024年，在《我是演說(shuō)家》第四季這檔節(jié)目中，英國(guó)華威高校留學(xué)生游斯彬的“數(shù)學(xué)之美”的演講視頻在微信摯友圈不斷被轉(zhuǎn)發(fā)，他的視角獨(dú)特，語(yǔ)言幽默，給觀眾留下了深刻的印象．某機(jī)構(gòu)為了了解觀眾對(duì)該演講的寵愛(ài)程度，隨機(jī)調(diào)查了觀看了該演講的140名觀眾，得到如下的列聯(lián)表：（單位：名）男女總計(jì)寵愛(ài)4060100不寵愛(ài)202040總計(jì)6080140（1）依據(jù)以上列聯(lián)表，問(wèn)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為觀眾性別與寵愛(ài)該演講有關(guān)．（精確到0．001）（2）從這60名男觀眾中按對(duì)該演講是否寵愛(ài)實(shí)行分層抽樣，抽取一個(gè)容量為6的樣本，然后隨機(jī)選取兩名作跟蹤調(diào)查，求選到的兩名觀眾都寵愛(ài)該演講的概率．附：臨界值表0.100.050.0250.0100.0052.7053.8415.0246.6357.879參考公式：，．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）0.4【解析】【分析】(1)依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)求出，即得不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為觀眾性別與寵愛(ài)該演講有關(guān)．（2）利用古典概型求選到的兩名觀眾都寵愛(ài)該演講的概率．【詳解】（1）假設(shè)：觀眾性別與寵愛(ài)該演講無(wú)關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得，∴不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為觀眾性別與寵愛(ài)該演講有關(guān)．（2）抽樣比為，樣本中寵愛(ài)的觀眾有40×=4名，不寵愛(ài)的觀眾有6﹣4=2名．記寵愛(ài)該演講的4名男性觀眾為a，b，c，d，不寵愛(ài)該演講的2名男性觀眾為1，2，則基本領(lǐng)件分別為：（a，b），（a，c），（a，d），（a，1），（a，2），（b，c），（b，d），（b，1），（b，2），（c，d），（c，1），（c，2），（d，1），（d，2），（1，2）．其中選到的兩名觀眾都寵愛(ài)該演講的事務(wù)有6個(gè)，故其概率為P（A）=【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和古典概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解實(shí)力，駕馭水平和應(yīng)用實(shí)力.20.2024年1月底因新型冠狀病毒感染的肺炎疫情形勢(shì)嚴(yán)峻，避開(kāi)外出是削減相互交叉感染最有效的方式．在家中適當(dāng)熬煉，合理休息，能夠提高自身免疫力，反抗該種病毒．某小區(qū)為了調(diào)查“宅”家居民的運(yùn)動(dòng)狀況，從該小區(qū)隨機(jī)抽取了100位成年人，記錄了他們某天的熬煉時(shí)間，其頻率分布直方圖如下：（1）求a的值，并估計(jì)這100位居民熬煉時(shí)間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（2）小張是該小區(qū)的一位居民，他記錄了自己“宅”家7天的熬煉時(shí)長(zhǎng)：序號(hào)n1234567熬煉時(shí)長(zhǎng)m（單位：分鐘）10151220302535（Ⅰ）依據(jù)數(shù)據(jù)求m關(guān)于n的線性回來(lái)方程；（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），則當(dāng)天被稱為“有效運(yùn)動(dòng)日”．估計(jì)小張“宅”家第8天是否是“有效運(yùn)動(dòng)日”？附；在線性回來(lái)方程中，，．【答案】（1），30.2；（2）（Ⅰ），（Ⅱ）估計(jì)小張“宅”家第8天是“有效運(yùn)動(dòng)日”．【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖的特征，各小矩形面積之和為1，即可求出a的值，再依據(jù)平均值等于各小矩形的面積乘以其底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和，即可求出；（2）（Ⅰ）依據(jù)最小二乘法，分別計(jì)算出和，即可求出m關(guān)于n的線性回來(lái)方程；（Ⅱ）依據(jù)線性回來(lái)方程，令，求出預(yù)料值，再驗(yàn)證是否滿意，即可推斷．【詳解】（1），．（分鐘）．（2）（Ⅰ），，，，，關(guān)于n的線性回來(lái)方程為．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．，估計(jì)小張“宅”家第8天是“有效運(yùn)動(dòng)日”．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率分布直方圖估計(jì)總體的數(shù)字特征，利用最小二乘法求線性回來(lái)方程，以及利用線性回來(lái)方程進(jìn)行預(yù)料，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和數(shù)據(jù)分析實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．21.已知函數(shù)，（），（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線，求a,b的值（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（-∞，-1]上的最大值．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】【詳解】（1），∵曲線與曲線在它們的交點(diǎn)（1，c）處具有公共切線∴，∴（2）令，當(dāng)時(shí)，令，得時(shí)，的狀況如下：x+0-0+所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在