江蘇省南京秦淮外國語學校2024-2025學年八年級數學上學期月考卷

秦外八上月考卷一．選擇題（共6小題）1．圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是A． B． C． D．2．如圖，在中，邊上的垂直平分線分別交邊于點，交邊于點，若長為，長為，則的長為A． B． C． D．3．如圖，，，，，，則的度數等于A． B． C． D．4．如圖，每個小方格的邊長為1，，兩點都在小方格的頂點上，點也是圖中小方格的頂點，并且是等腰三角形，那么點的個數為A．1 B．2 C．3 D．45．如圖，已知△和△都是等腰三角形，，，交于點，連接，下列結論：①；②；③平分；④，其中正確結論的個數有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．如圖，，點在上，且，點到射線的距離為，點在射線上，，若的形狀，大小是唯一確定的，則的取值范圍是A．或 B． C． D．或二．填空題（共12小題）7．如圖，，請你添加一個條件：，使（只添一個即可）．8．將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放．若，則．的點在角的平分線上.10．如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑作弧交于點，交于點．再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點．作直線，若直線經過點，則的度數為．11．如圖，已知，，，、、在同一直線上，則的度數為．12．如圖，在中，，，延長到，使得，連接，過點作，且．連接，與的延長線交于點，則的長為．13．如圖，已知長方形的邊長，，點在邊上，，如果點從點出發(fā)在線段上向點運動，同時，點在線段上從點向點運動，已知點的運動速度是．則經過，與全等．14．如圖，是外一點，，分別平分的外角，，若，則．（用含的代數式表示）15．如圖，等腰三角形的底邊長為10，面積是125，腰的垂直平分線分別交，邊于，點．若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值為．16．如圖，在邊長為10的正方形中，點是邊的中點，、分別是和邊上的點，則四邊形周長的最小值為．17．如圖，，，是內的一條射線，且，為上一動點，則的最大值是．18．一個三角形有一內角為，如果經過其一個頂點作直線能把其分成兩個等腰三角形，那么它的最大內角可能是．三．解答題（共8小題）19．定理證明：三角形的三條角平分線相交于一點．20．如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．21．代數推理：對于有理數請比較的大小.22．尺規(guī)作圖：（1）已知點為內部一點，過點用直尺和圓規(guī)作直線,直線交、于點，使得．（兩種方法）（2）已知點為內部一點，過點用直尺和圓規(guī)作直線,直線交、于點，使得為等邊三角形.23．閱讀理解和問題解決（1）如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接．此時構造出一對全等的三角形為：，全等的依據為，于是可推得，，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊關系即可判斷中線的取值范圍是；（2）如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，請你參考問題（1）的解答思路求證：．24．如圖，已知等腰中，，平分交于點．點、在斜邊上，于點，交于點，且滿足，過點作垂直的延長線于點．（1）求證：是等腰三角形；（2）試探究與的數量關系，并說明理由．25．如圖，在中，，，是中點，連接．點在線段上（不與點，重合），連接，點在的延長線上且，連接．（1）比較與的大小，并證明；（2）用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．26．已知中，，，為邊的中點，，將繞點旋轉，它的兩邊分別交，（或它們的延長線）于，．（1）當繞點旋轉到于時，如圖①所示，試證明．（2）當繞點旋轉到和不垂直時，如圖②圖③所示，上述結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，試說明，與之間的數量關系，并證明．

八年級數學練習參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．圍棋起源于中國，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：，，選項中的圖案都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；選項中的圖案能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：．2．如圖，在中，邊上的垂直平分線分別交邊于點，交邊于點，若長為，長為，則的長為A． B． C． D．【分析】根據線段垂直平分線的性質解決此題．【解答】解：是的垂直平分線，．．故選：．3．如圖，，，，，，則的度數等于A． B． C． D．【分析】在中，利用外角的知識求出的度數，再根據，得出，這樣即可得出答案．【解答】解：由題意得：，，又（三角形外角的性質），，又，．故選：．4．如圖，每個小方格的邊長為1，，兩點都在小方格的頂點上，點也是圖中小方格的頂點，并且是等腰三角形，那么點的個數為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據“兩圓一線”畫圖找點即可．【解答】解：如圖，點與、、重合時，均滿足是等腰三角形，故選：．5．如圖，已知△和△都是等腰三角形，，，交于點，連接，下列結論：①；②；③平分；④，其中正確結論的個數有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①證明△△，再利用全等三角形的性質即可判斷；②由△△可得，再由、證得即可判定；③分別過作、，根據全等三角形面積相等和，證得，即平分，即可判定；④由平分結合即可判定．【解答】解：，，即，在△和△中，，△△，．故①正確；△△，，、，，，故②正確；分別過作、垂足分別為、，△△，，，，，平分，無法證明平分．故③錯誤；平分，，，故④正確．故選：．6．如圖，，點在上，且，點到射線的距離為，點在射線上，，若的形狀，大小是唯一確定的，則的取值范圍是A．或 B． C． D．或【分析】分情況討論，結合圖形，即可得到答案．【解答】解：當時，，是直角三角形，的形狀，大小是唯一確定的；當時，如圖，有兩種情況； 當時，的形狀，大小是唯一確定的．或．故選：．二．填空題（共12小題）7．如圖，，請你添加一個條件：答案不唯一，如，使（只添一個即可）．【分析】此題是一道開放型的題目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．【解答】解：添加的條件是，理由是：，在和中，，，故答案為：答案不唯一，如．8．將一副直角三角板按如圖所示的位置擺放．若，則105．【分析】根據平行線的性質得到，根據三角形內角和定理即可得出結論．【解答】解：，，，．故答案為：105．9．的點在角的平分線上．【解答】解：如果角內部一個點到角兩邊的距離相等，那么這個點在這個角的角平分線上，故答案為：角的內部到角兩邊距離相等10．如圖，在中，，以點為圓心，長為半徑作弧交于點，交于點．再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于，兩點．作直線，若直線經過點，則的度數為126．【分析】連接、，如圖，設，利用基本作圖得到，則，所以，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和得到，接著利用得到，則根據求出，然后利用三角形外角性質計算的度數．【解答】解：連接、，如圖，設，由作法得垂直平分，，，，，，，，，，解得，．故答案為126．11．如圖，已知，，，、、在同一直線上，則的度數為．【分析】由“”可證，可得，即可求解．【解答】解：，，在和中，，，，，，，故答案為：．12．如圖，在中，，，延長到，使得，連接，過點作，且．連接，與的延長線交于點，則的長為．【分析】作，交的延長線于點，可證明，得，，因為，，所以，，求得，再證明，得，則，于是得到問題的答案．【解答】解：作，交的延長線于點，，，，，在和中，，，，，，，，，，在和中，，，，，故答案為：．13．如圖，已知長方形的邊長，，點在邊上，，如果點從點出發(fā)在線段上向點運動，同時，點在線段上從點向點運動，已知點的運動速度是．則經過1或4，與全等．【分析】設運動的時間為，由條件分兩種情況，當時，則有，由條件可得到關于的方程，當，則有，同樣可得出的方程，可求出的值．【解答】解：分兩種情況：①當，時，，，，，，，，點從點出發(fā)在線段上以的速度向點運動，；②當，時，，由題意得：，解得：，故答案為：1或4．14．如圖，是外一點，，分別平分的外角，，若，則．（用含的代數式表示）【分析】依據三角形內角和定理以及平角的定義，即可得到，再根據角平分線的定義，即可得到，，最后依據三角形內角和定理進行計算，即可得到的表達式．【解答】解：，，，又，分別平分的外角，，，，中，，故答案為：．15．如圖，等腰三角形的底邊長為10，面積是125，腰的垂直平分線分別交，邊于，點．若點為邊的中點，點為線段上一動點，則周長的最小值為30．【分析】連接，由于是等腰三角形，點是邊的中點，故，再根據三角形的面積公式求出的長，再再根據是線段的垂直平分線可知，點關于直線的對稱點為點，故的長為的最小值，由此即可得出結論．【解答】解：連接，．是等腰三角形，點是邊的中點，，，解得，是線段的垂直平分線，點關于直線的對稱點為點，，，的長為的最小值，的周長最短．故答案為：30．16．如圖，在邊長為10的正方形中，點是邊的中點，、分別是和邊上的點，則四邊形周長的最小值為30．【分析】作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接，根據兩點之間線段最短即可解決問題．【解答】解：作點關于的對稱點，作點關于的對稱點，連接，，，，，四邊形的周長的最小值，正方形的邊長為10，,,四邊形的周長的最小值為=5+25=30．故答案為：24．17．如圖，，，是內的一條射線，且，為上一動點，則的最大值是5．【分析】作點關于射線的對稱點，連接、．則，，是等邊三角形，在△中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．所以的最大值是5．【解答】解：如圖．作點關于射線的對稱點，連接、．則，，，．，，△是等邊三角形，，在△中，，當、、在同一直線上時，取最大值，即為5．的最大值是5．故答案為：5．18．一個三角形有一內角為，如果經過其一個頂點作直線能把其分成兩個等腰三角形，那么它的最大內角可能是，，，，．【分析】當它為頂角時，根據等腰三角形的性質，可以求得最大角是90度，如圖①所示；當它是側角時，用同樣的方法，可求得最大角有4種情況．【解答】解：如圖①所示，當時，那么它的最大內角是當時，有以下4種情況，故答案為：，，，，三．解答題（共8小題）19．定理證明：三角形的三條角平分線相交于一點．【分析】過作于，于，于，根據角平分線的性質得出，，求出，再得出答案即可．【解答】解：設和交于，過作于，于，于，、分別是角平分線，，，，，，在的平分線上，即的角平分線、、交于一點．所以三角形的三條角平分相交于一點．20．如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．【分析】在直角三角形中，由及的長，利用勾股定理求出的長，再由及的長，利用勾股定理的逆定理得到三角形為直角三角形，根據四邊形的面積直角三角形的面積直角三角形的面積，即可求出四邊形的面積．【解答】解：，為直角三角形，又，，根據勾股定理得：，又，，，，，為直角三角形，，則．故四邊形的面積是36．代數推理：對于有理數請比較的大小.【解答】作差法：①當；②當；③當；22．尺規(guī)作圖：（1）已知點為內部一點，過點用直尺和圓規(guī)作直線,直線交、于點，使得．（兩種方法）（2）已知點為內部一點，過點用直尺和圓規(guī)作直線,直線交、于點，使得為等邊三角形.【解答】23．閱讀理解和問題解決（1）如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使得，再連接．此時構造出一對全等的三角形為：，全等的依據為，于是可推得，，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊關系即可判斷中線的取值范圍是；（2）如圖2，在中，是邊上的中點，，交于點，交于點，連接，請你參考問題（1）的解答思路求證：．【分析】（1）由輔助線作法得，由是的中線得，即可根據全等三角形的判定定理“”證明，得，，而，根據三角形三邊的關系得，所以，于是得到問題的答案；（2）延長到點，使，連接、、，先證明，得，根據三角形的三邊關系得，則，由垂直平分得，所以．【解答】（1）解：如圖1，延長到點，使，連接，是的中線，，在和中，，，，，，且，，，故答案為：，，，，，．（2）證明：如圖2，延長到點，使，連接、、，是邊上的中點，，在和中，，，，，，，，垂直平分，，．24．如圖，已知等腰中，，平分交于點．點、在斜邊上，于點，交于點，且滿足，過點作垂直的延長線于點．（1）求證：是等腰三角形；（2）試探究與的數量關系，并說明理由．【分析】（1）通過計算，求得，從而命題得證；（2）根據角的計算，求得，進而得出，進而證明及，進一步可求得結果．【解答】（1）證明：如圖1，，，，平分，，，，，，，，，，是等腰三角形；（2）解：如圖3，，理由如下：由（1）知：，，，，，，，，，，，，，，，，；25．如圖，在中