第01講 數(shù)列的基本知識與概念（六大題型）（講義）（含答案解析）

第01講數(shù)列的基本知識與概念目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識導(dǎo)圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：數(shù)列的概念 4知識點2：數(shù)列的分類 4知識點3：數(shù)列的兩種常用的表示方法 5解題方法總結(jié) 6題型一：數(shù)列的周期性 6題型二：數(shù)列的單調(diào)性 9題型三：數(shù)列的最大（?。╉?13題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題 17題型五：數(shù)列的恒成立問題 21題型六：遞推數(shù)列問題 2404真題練習(xí)·命題洞見 2705課本典例·高考素材 3506易錯分析·答題模板 38易錯點：對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn) 38答題模板：數(shù)列單調(diào)性的判斷與應(yīng)用 39考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）數(shù)列的概念（2）數(shù)列的分類（3）數(shù)列的性質(zhì)2023年北京卷第10題，4分2022年乙卷（理）第4題，5分2021年北京卷第10題，4分2020年浙江卷第11題，4分高考對數(shù)列概念的考查相對較少，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是數(shù)列與函數(shù)結(jié)合考查單調(diào)性、周期性、最值性.復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式).（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．知識點1：數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．【診斷自測】下列說法中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)列可表示為集合B．?dāng)?shù)列與數(shù)列是相同的數(shù)列C．?dāng)?shù)列的第項為D．?dāng)?shù)列可記為【答案】C【解析】對于A，由數(shù)列的定義易知A錯誤；對于B，兩個數(shù)列排列次序不同，是不同的數(shù)列，故B錯誤；對于C，數(shù)列的第項為，故C正確；對于D，因為，所以，這與數(shù)列的定義不相符，故D錯誤.故選：C.知識點2：數(shù)列的分類（1）按照項數(shù)分：有限和無限（2）按單調(diào)性來分：【診斷自測】已知函數(shù)，設(shè)，則下列說法中錯誤的是（

）A．是無窮數(shù)列 B．是遞增數(shù)列C．不是常數(shù)列 D．中有最大項【答案】D【解析】對于A，顯然是無窮數(shù)列，故A正確；對于B，因為，即，即是遞增數(shù)列，故B正確；對于C，因為，，，故不是常數(shù)列，故C正確；對于D，由B知，是遞增數(shù)列，當(dāng)趨近于無窮大時，也趨近于無窮大，所以中無最大項，故D錯誤.故選：D知識點3：數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．（2）遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．【診斷自測】，數(shù)列1，，7，，31，的一個通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于選項A：因為，故A錯誤；對于選項B：因為，故B錯誤；對于選項C：因為，故C錯誤；對于選項D：檢驗可知對均成立，故D正確；故選：D.解題方法總結(jié)（1）若數(shù)列的前項和為，通項公式為，則注意：根據(jù)求時，不要忽視對的驗證．（2）在數(shù)列中，若最大，則若最小，則題型一：數(shù)列的周期性【典例1-1】在數(shù)列中，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為且，所以，，，，，，所以是以為周期的周期數(shù)列，所以.故選：C【典例1-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，若對，則（

）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】由與相減得：，即，又，故，所以.故選：A.【方法技巧】解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．【變式1-1】（2024·陜西榆林·三模）現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學(xué)進(jìn)行循環(huán)報數(shù)游戲，從甲開始依次進(jìn)行，當(dāng)甲報出1，乙報出2后，之后每個人報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報數(shù)的乘積的個位數(shù)字，則第2024個被報出的數(shù)應(yīng)該為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】報出的數(shù)字依次是，除了首項以外是個周期為6的周期數(shù)列.去掉首項后的新數(shù)列第一項為2，因為，所以原數(shù)列第2024個被報出的數(shù)應(yīng)該為2.故選：A.【變式1-2】（2024·山東濟寧·三模）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，得，，，，，，則是以6為周期的周期數(shù)列，所以.故選：C【變式1-3】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）數(shù)列中，，，，則的值為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】因為，，，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，所以.故選：A.【變式1-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，數(shù)列的首項為1，且滿足．若，則數(shù)列的前2023項和為（

）A．0 B．1 C．675 D．2023【答案】B【解析】因為函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù)．，，，，，即，數(shù)列的前2023項和為．故選：B．題型二：數(shù)列的單調(diào)性【典例2-1】（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列，定義（），則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】為遞增數(shù)列時，有，不能得到為遞增數(shù)列，充分性不成立；為遞增數(shù)列時，不一定有，即不能得到為遞增數(shù)列，必要性不成立.所以“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D.【典例2-2】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則“”是是遞增數(shù)列的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng)時，則，所以，即，所以是遞增數(shù)列，故充分性成立；當(dāng)時，則，所以是遞增數(shù)列，所以當(dāng)數(shù)列是遞增數(shù)列，可以大于，所以必要性不成立，所以“”是是遞增數(shù)列的充分不必要條件.故選：B【方法技巧】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的3種方法作差比較法根據(jù)的符號判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列作商比較法根據(jù)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷數(shù)形結(jié)合法結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷【變式2-1】（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)b的取值范圍為（

）.A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得恒成立，即，即，又，，故.故選：A.【變式2-2】（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）等差數(shù)列中，其前n項和為，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，所以，即，所以為遞減數(shù)列，所以“”是“為遞減數(shù)列”的充分條件，若為遞減數(shù)列，則，所以，所以，所以“”是“為遞減數(shù)列”的必要條件，所以“”是“為遞減數(shù)列”的充分必要條件，故選：C.【變式2-3】數(shù)列中前項和滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，則，兩式相減得，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，，所以，解得.綜上.故選：B.【變式2-4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的通項公式為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】二次函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸是直線，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增；因為中的自變量為正整數(shù)，且，則，解得，顯然是的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【變式2-5】已知數(shù)列滿足：，（，），數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的可能取值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】因為，，且為遞增數(shù)列，所以，即，解得，結(jié)合選項可知符合題意，故選：C.【變式2-6】（2024·浙江寧波·二模）已知數(shù)列滿足，對任意都有，且對任意都有，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為對任意都有，所以數(shù)列在上是遞減數(shù)列，因為對任意都有，所以數(shù)列在上是遞增數(shù)列，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式2-7】（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，由于，即，可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，因為數(shù)列是遞增數(shù)列，可得，即對任意的正整數(shù)都成立．當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞減，可得，則；當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，由于數(shù)列單調(diào)遞增，可得，則；綜上可得的取值范圍是．故選：B．題型三：數(shù)列的最大（?。╉棥镜淅?-1】已知，則數(shù)列的偶數(shù)項中最大項為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】數(shù)列中，，則，令，解得，則當(dāng)時，，即，同理當(dāng)時，，即，而當(dāng)時，，所以數(shù)列的偶數(shù)項中最大項為.故選：D【典例3-2】（2024·上?！つM預(yù)測）數(shù)列的最小項的值為.【答案】【解析】令，得，令，得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最小值，即數(shù)列的最小項的值為.故答案為：.【方法技巧】求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)當(dāng)x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)f（x）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大（?。╉棧?）通過通項公式研究數(shù)列的單調(diào)性，利用確定最大項，利用確定最小項．（3）比較法：若有或時，則，則數(shù)列是遞增數(shù)列，所以數(shù)列的最小項為；若有或時，則，則數(shù)列是遞減數(shù)列，所以數(shù)列的最大項為．【變式3-1】（2024·北京西城·一模）在數(shù)列中，.數(shù)列滿足.若是公差為1的等差數(shù)列，則的通項公式為，的最小值為.【答案】【解析】由題意，又等差數(shù)列的公差為1，所以；故，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，顯然的最小值是.又，所以，即的最小值是.故答案為：，【變式3-2】（2024·廣東梅州·二模）已知數(shù)列的通項公式（），則的最小值為．【答案】/【解析】由于當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，要求的最小值，只需要考慮出現(xiàn)奇數(shù)個奇數(shù)項時即可，又，且當(dāng)時，，因此時，，當(dāng)，，當(dāng)，，綜上，最小值為.故答案為：【變式3-3】數(shù)列的通項，則數(shù)列中的最大項的值為.【答案】【解析】因為，則，則，令，即，因為，解得，所以，令，解得，所以，故數(shù)列中的最大項為，其值為.故答案為：.【變式3-4】設(shè)是的展開式中x項的系數(shù)（），若，則的最大值是.【答案】【解析】，因為在是減函數(shù)，在是增函數(shù)，且，時，，所以時，，所以，所以的最小值是.故答案為：【變式3-5】已知，則數(shù)列的最小值為.【答案】【解析】，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)時遞減，時遞增，當(dāng)時，有最小值，最小值為.故答案為：【變式3-6】在數(shù)列中，，，則數(shù)列的最大項的值是．【答案】4【解析】根據(jù)以及，可知，所以①，則②，由②①得，即，因為，所以與同號，又因為，且，所以，所以數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，所以因此數(shù)列的最大項是，其值是4．故答案為：4.題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題【典例4-1】（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（TowerofHanoi），是一個源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所示，有三根相鄰的標(biāo)號分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著個不同大小的圓盤，要把所有盤子一個一個移動到柱子B上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子的上方，請問至少需要移動多少次？記至少移動次數(shù)為，例如：，，則下列說法正確的是（

）A． B．為等差數(shù)列C．為等比數(shù)列 D．【答案】C【解析】由題意知若有1個圓盤，則需移動一次：若有2個圓盤，則移動情況為：，需移動3次；若有3個圓盤，則移動情況如下：，共7次，故，A錯誤；由此可知若有n個圓盤，設(shè)至少移動次，則,所以，而，故為等比數(shù)列，故即，該式不是n的一次函數(shù)，則不為等差數(shù)列，B錯誤；又，則，，則為等比數(shù)列，C正確，，D錯誤，故選：C【典例4-2】（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項為（

）A．366 B．422 C．450 D．600【答案】C【解析】由題意，大衍數(shù)列的偶數(shù)項為，可得該數(shù)列的偶數(shù)項的通項公式為，所以此數(shù)列的第30項為.故選：C.【方法技巧】特殊值法、列舉法找規(guī)律【變式4-1】（2024·陜西西安·三模）定義，，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，把排列成如下數(shù)陣：第n行有n個數(shù)對，各個數(shù)對的兩數(shù)和為，每個數(shù)對的第一個數(shù)從左起依次為1，2，3，…，n，則前n行共有個數(shù)對，顯然數(shù)列單調(diào)遞增，而，所以是第64行第一個數(shù)對，即.故選：D【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”與“弦”之間的關(guān)系為（其中）．當(dāng)時，有如下勾股弦數(shù)組序列：，，則在這個序列中，第10個勾股弦數(shù)組中的“弦”等于（

）A．145 B．181 C．221 D．265【答案】C【解析】因為，所以．在給定的勾股弦數(shù)組序列中，，所以．易得勾股弦數(shù)組序列中“勾”的通項公式為，所以，故“弦”的通項公式為．所以第10個勾股弦數(shù)組中的“弦”等于．故選：C．【變式4-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數(shù)是（

）A．12 B．13 C．40 D．121【答案】C【解析】設(shè)題圖②中第行白心圈的個數(shù)為，黑心圈的個數(shù)為，依題意可得，且有，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，①；又，，故有，∴為常數(shù)數(shù)列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數(shù)列，②；由①②相加減得：，；所以．故選：C．【變式4-4】（2024·云南保山·二模）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數(shù)列的第56項為（

）

A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】由題意可知：若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)為1，2，3，4，...，可以看成構(gòu)成一個首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，可得當(dāng)，所有項的個數(shù)和為55，第56項為12，故選：B.題型五：數(shù)列的恒成立問題【典例5-1】已知數(shù)列的前n項和且，若恒成立，則的最小值為．【答案】2【解析】由，，則當(dāng)時，，整理得，即，∴，顯然對于也成立，∴的通項公式，所以，∴又因為恒成立，所以，所以的最小值為.故答案為：.【典例5-2】記分別為數(shù)列前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．若恒成立，則的最小值為．【答案】3【解析】∵，∴，∴，又∵是公差為的等差數(shù)列，∴，所以，即當(dāng)時，，∴，整理得：，即，∴，顯然對于也成立，∴，∴．所以，即的最小值為．故答案為：3.【方法技巧】分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問題．【變式5-1】已知數(shù)列的前項和為，且滿足，若對于任意的正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】根據(jù)，當(dāng)時，;當(dāng)時，，兩式相減可得，數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，則可變?yōu)?，即，令，則，且，，，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式5-2】（2024·高三·重慶·期中）已知數(shù)列{}滿足，若對任意正整數(shù)都有恒成立，則k的取值范圍是.【答案】【解析】由可得，又因為，所以，即數(shù)列是一個以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，對任意正整數(shù)都有，則，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，所以，所以故答案為：.【變式5-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，若對恒成立，則的取值范圍為.【答案】【解析】法一：由，得，兩式相減得，則數(shù)列，都是以2為公差的單調(diào)遞增數(shù)列.要使對恒成立，只需，而，，則，解得.法二：由，得，兩式相減得，又，則，，要使對恒成立，即，即，解得.故答案為：.題型六：遞推數(shù)列問題【典例6-1】（2024·天津·二模）在數(shù)列中，若（），則的值為（

）A．1 B．3 C．9 D．27【答案】D【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以.故選：D.【典例6-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，則（

）A．511 B．677 C．1021 D．2037【答案】B【解析】.故選：B.【方法技巧】列舉法【變式6-1】（2024·貴州遵義·一模）數(shù)列滿足，對任意正整數(shù)p，q都有，則（

）A．4 B． C．6 D．【答案】B【解析】由，得，令，依題意，對任意正整數(shù)p，q都有，令，則，，而，即，因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，即，，所以.故選：B【變式6-2】（2024·廣東汕頭·三模）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.已知一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個，則第30層小球的個數(shù)為（

）A．464 B．465 C．466 D．467【答案】B【解析】設(shè)三角垛第層小球的個數(shù)為.由題意可知，，，，，所以，當(dāng)時，有.所以，，，，，，兩邊同時相加可得，，所以，.當(dāng)時，，滿足題意.所以，.所以，.故選：B.【變式6-3】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第n代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)與面積的和分別為（

）

A．；n B．；C．；n D．；【答案】D【解析】第一代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為2，第二代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為3，第三代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為4，…第n代“勾股數(shù)”中正方形的個數(shù)為，面積和為，故選：D【變式6-4】某劇場有30排座位，第一排有20個座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個座位．(1)寫出前五排座位數(shù)．(2)第排與第排座位數(shù)有何關(guān)系？(3)第排座位數(shù)與第排座位數(shù)能用等式表示嗎？【解析】（1）由題意可知，后一排都比前一排多2個座位，所以前五排座位分別為：20，22，24，26，28；（2）由題意可知，后一排都比前一排多2個座位，故第排與第排座位數(shù)的關(guān)系為：第排比第排多兩個座位；（3）由（2）可知，能用等式表示第排座位數(shù)與第排座位數(shù)的關(guān)系，即.【變式6-5】觀察下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，回答(1)寫出圖中點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個遞推公式；并根據(jù)這個遞推公式，求出數(shù)列的通項公式；(2)若是數(shù)列的前項和，證明：.【解析】（1）由題可得，，，，可得，，，…，所以數(shù)列的遞推公式為，，；，所以數(shù)列的通項公式為，.（2）由（1）知，，，，，所以.1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A．當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立B．當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立C．當(dāng)時，為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立D．當(dāng)時，為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立【答案】B【解析】法1：因為，故，對于A，若，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時，成立，則，故成立，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為減數(shù)列，注意故，結(jié)合，所以，故，故，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，故恒成立僅對部分成立，故A不成立.對于B，若可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，，，故，故，故為增數(shù)列，若，則恒成立，故B正確.對于C，當(dāng)時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時，成立，則，故成立即由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為減數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若，若存在常數(shù)，使得恒成立，則恒成立，故，的個數(shù)有限，矛盾，故C錯誤.對于D，當(dāng)時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：即，證明：當(dāng)時，，此時不等關(guān)系成立；設(shè)當(dāng)時，成立，則，故成立由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.而，故，故為增數(shù)列，又，結(jié)合可得：，所以，若存在常數(shù)，使得恒成立，則，故，故，這與n的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤.故選：B.法2：因為，令，則，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，即，解得或或，注意到，，所以結(jié)合的單調(diào)性可知在和上，在和上，對于A，因為，則，當(dāng)時，，，則，假設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，綜上：，即，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，故，所以在上單調(diào)遞增，故，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故A錯誤；對于B，因為，當(dāng)時，，，假設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，因為，所以，則，所以，又當(dāng)時，，即，假設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，因為，所以，則，所以，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，此時，取，滿足題意，故B正確；對于C，因為，則，注意到當(dāng)時，，，猜想當(dāng)時，，當(dāng)與時，與滿足，假設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，綜上：，易知，則，故，所以，因為在上，所以，則為遞減數(shù)列，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，記，取，其中，則，故，所以，即，所以，故不恒成立，故C錯誤；對于D，因為，當(dāng)時，，則，假設(shè)當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，綜上：，因為在上，所以，所以為遞增數(shù)列，因為，令，則，因為開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，故，即，假設(shè)存在常數(shù)，使得恒成立，取，其中，且，因為，所以，上式相加得，，則，與恒成立矛盾，故D錯誤.故選：B.2．（2022年新高考浙江數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．3．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類推，其中．則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】[方法一]:常規(guī)解法因為，所以，，得到，同理，可得，又因為，故，；以此類推，可得，，故A錯誤；，故B錯誤；，得，故C錯誤；，得，故D正確.[方法二]：特值法不妨設(shè)則故D正確.4．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①③④【解析】由題意可知，，，當(dāng)時，，可得；當(dāng)時，由可得，兩式作差可得，所以，，則，整理可得，因為，解得，①對；假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則，即，所以，，可得，解得，不合乎題意，故數(shù)列不是等比數(shù)列，②錯；當(dāng)時，，可得，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，③對；假設(shè)對任意的，，則，所以，，與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對.故答案為：①③④.1．根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前5項：（1），；（2），.【解析】（1）因為，，所以，，，，故數(shù)列的前5項分別為1，3，7，15，31.（2）因為，所以，，，，故數(shù)列的前5項分別為3，3，3，3，3.2．已知數(shù)列滿足，，寫出它的前5項，并猜想它的通項公式.【解析】，，，.猜想.3．寫出下列數(shù)列的前項，并繪出它們的圖像：（1）素數(shù)按從小到大的順序排列成的數(shù)列；（2）歐拉函數(shù)的函數(shù)值按自變量從小到大的