第二章 函數(shù)與基本初等函數(shù)（測試）（含答案解析）

第二章函數(shù)與基本初等函數(shù)（測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：的單調(diào)遞減區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，又函數(shù)，即函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合圖象，如圖所示，可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和．故選：C．2．二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是大小的特殊的幾何圖形，即441個點.根據(jù)0和1的二進制編碼規(guī)則，一共有種不同的碼，假設(shè)我們1萬年用掉個二維碼，那么所有二維碼大約可以用（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．萬年 B．萬年 C．萬年 D．萬年【答案】A【解析】萬年用掉個二維碼，大約能用萬年，設(shè)，則，即萬年．故選：A．3．已知函數(shù)，存在最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，無最小值，根據(jù)題意，存在最小值，所以，即.故選：A.4．對函數(shù)作的代換，則不改變函數(shù)值域的代換是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】因為函數(shù)的定義域為，且不是周期函數(shù)，當(dāng)時，其：，對于A項，當(dāng)時，，即，這與不符合，故A項不成立；對于B項，當(dāng)時，，即，這與不符合，故B項不成立；對于C項，當(dāng)時，，即，故C成立；對于D項，當(dāng)時，，即，這與不符合，故D項不成立；故選：C．5．已知函數(shù)在上的最大值和最小值分別為，，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】A【解析】令，定義域為，因為在上的最大值和最小值分別為，，所以在上的最大值和最小值分別為，，因為，所以為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于原點對稱，所以的最大值和最小值互為相反數(shù)，即，所以，故選：A.6．直線與函數(shù)分別交于兩點，且，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可知，定義域為，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以，解得，所以.故選：B.7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【解析】依題意，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，由可知，解得，所以.故選：B8．已知函數(shù)方程有兩個不同的根，分別是則（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】由題意得：為R上的增函數(shù)，且當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，方程有兩個不同的根等價于函數(shù)與的圖象有兩個交點，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知與圖象關(guān)于對稱，則兩點關(guān)于對稱，中點在圖象上，由，解得：.所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由題意知，則，當(dāng)時，，，，當(dāng)時，，，，所以的大致圖象不可能為C，而當(dāng)為其他值時，A，B，D均有可能出現(xiàn)，不妨設(shè)，定義域為，此時A選項符合要求；當(dāng)時，定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，所以B選項符合要求，當(dāng)時，定義域為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，所以D選項符合要求.故選：ABD10．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且不是常函數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A．若2為的周期，則為奇函數(shù)B．若為奇函數(shù)，則2為的周期C．若4為的周期，則為偶函數(shù)D．若為偶函數(shù)，則4為的周期【答案】ABD【解析】對于A：若2是的周期，則，由，可得，所以，所以為奇函數(shù)；故A正確；對于B：若為奇函數(shù)，則，由，可得，所以2是的周期，故B正確；若4是的周期，設(shè)，則，該函數(shù)的最小周期為，故為該函數(shù)的周期，當(dāng)該函數(shù)為奇函數(shù)，故C不正確；對于D：若為偶函數(shù)，則，由，可得，所以，所以，所以4是的周期，故D正確.故選：ABD.11．已知函數(shù)其中，且，則（

）A． B．函數(shù)有2個零點C． D．【答案】ACD【解析】，故A正確；作出函數(shù)的圖象如圖所示，觀察可知，，而，故，有3個交點，即函數(shù)有3個零點，故B錯誤；由對稱性，，而，故，故C正確；b，c是方程的根，故，令，則，故，而，均為正數(shù)且在上單調(diào)遞增，故，故D正確，故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若函數(shù)為偶函數(shù)，則.【答案】【解析】因為為偶函數(shù)，所以，即，即，即，所以，故答案為：13．已知函數(shù)，若，則當(dāng)取得最小值時，．【答案】【解析】由得，即，令，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得最小值，此時z也取得最小值．故答案為：.14．已知奇函數(shù)的定義域為，，且，則在上的零點個數(shù)的最小值為.【答案】9【解析】由，可得的圖象關(guān)于點對稱，又是奇函數(shù)，所以，則的周期為3，所以，，而，則.故在上的零點個數(shù)的最小值為9.故答案為：9.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知函數(shù)．(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)求關(guān)于的不等式的解集．【解析】（1）由，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，（5分）畫出函數(shù)的圖象如圖所示．（7分）（2）法一：當(dāng)時，原不等式轉(zhuǎn)化為，得；當(dāng)時，原不等式轉(zhuǎn)化為，得；（9分）當(dāng)時，原不等式轉(zhuǎn)化為，無解．綜上，原不等式的解集為．（13分）法二：當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)時，（12分）即原不等式的解集為．（13分）16．（15分）已知二次函數(shù)的最小值為，且關(guān)于的不等式的解集為(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱，且當(dāng)時，的圖象恒在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為是二次函數(shù)，且關(guān)于的不等式的解集為，所以，所以當(dāng)時，，所以，故函數(shù)的解析式為.（6分）（2）因為函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱，所以，當(dāng)時，的圖象恒在直線的上方，所以，在上恒成立，即，所以，（9分）令，則，因為(當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立)，所以實數(shù)的取值范圍是.（15分）17．（15分）正安縣是中國白茶之鄉(xiāng)．在飲用中發(fā)現(xiàn)，茶水的口感與水的溫度有關(guān)．經(jīng)實驗表明，用100℃的水泡制，待茶水溫度降至60℃時，飲用口感最佳．某實驗小組為探究室溫下剛泡好的茶水達到最佳飲用口感的放置時間，每隔測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)如下表：時間012345水溫℃1009182.978.3772.5367.27設(shè)茶水溫度從100℃經(jīng)過后溫度變?yōu)椤妫F(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③．(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實驗的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的白茶達到最佳飲用口感的放置時間（精確到）；(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，求進行實驗時的室溫約為多少．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由表格數(shù)據(jù)知：函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，則，即，可得，所以且.（5分）（2）令，則.所以泡好的白茶達到最佳飲用口感的放置時間為.（12分）（3）由，即，所以進行實驗時的室溫約為10℃.（15分）18．（17分）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是是奇函數(shù)，給定函數(shù).(1)求函數(shù)圖象的對稱中心；(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性（只寫出結(jié)論即可）；(3)已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且當(dāng)時，.若對任意，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）設(shè)函數(shù)的圖象的對稱中心為，則，即，整理得，可得，解得，所以的對稱中心為.（4分）（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增；證明如下：任取且，則，因為且，可得且，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（8分）（3）由對任意，總存在，使得，可得函數(shù)的值域為值域的子集，由（2）知在上單調(diào)遞增，故的值域為，所以原問題轉(zhuǎn)化為在上的值域，（9分）當(dāng)時，即時，在單調(diào)遞增，又由，即函數(shù)的圖象恒過對稱中心，可知在上亦單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又因為，，故，因為，所以，，解得，當(dāng)時，即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，（11分）因為過對稱中心，故在遞增，在單調(diào)遞減，故此時，欲使，只需且，（13分）解不等式，可得，又因為，此時；當(dāng)時，即時，在遞減，在上亦遞減，由對稱性知在上遞減，所以，因為，所以，解得，綜上可得：實數(shù)的取值范圍是.（17分）19．（17分）設(shè)n次多項式，若其滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式.例如：由可得切比雪夫多項式，由可得切比雪夫多項式.(1)若切比雪夫多項式，求實數(shù)a，b，c，d的值；(2)對于正整數(shù)時，是否有成