2025屆山東省七校高三數(shù)學上學期9月聯(lián)考試卷附答案解析

屆山東省七校高三數(shù)學上學期9月聯(lián)考試卷

滿分150分，考試用時120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．如圖，已知矩形U表示全集，A、B是U的兩個子集，則陰影部分可表示為（

）A．B．C．D．2．中國南宋大數(shù)學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形三邊長求三角形面積的公式：設三角形的三條邊長分別為，，，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫-秦九韶公式.現(xiàn)有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為（

）A． B． C． D．3．已知點是拋物線上一點，若到拋物線焦點的距離為5，且到軸的距離為4，則（

）A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或84．圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長為4．已知P為該圓臺某條母線的中點，若一質點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側面運動一圈后又回到點P，則該質點運動的最短路徑長為（

）A． B．6 C． D．5．將數(shù)字隨機填入的正方形格子中，則每一橫行?每一豎列以及兩條斜對角線上的三個數(shù)字之和都相等的概率為（

）A． B． C． D．6．定義：已知數(shù)列的首項，前項和為.設與是常數(shù)，若對一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項公式（

）A． B． C． D．7．在的展開式中，含的項的系數(shù)是7，則（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單調遞減，若，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．歐拉公式（i為虛數(shù)單位，）是由數(shù)學家歐拉創(chuàng)立的，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關聯(lián)，被譽為“數(shù)學中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復數(shù)為10．對于隨機事件A，B，若，，，則（

）A． B． C． D．11．如圖，正方體的棱長為1，動點在對角線上，過作垂直于的平面，記平面與正方體的截面多邊形（含三角形）的周長為，面積為，，下面關于函數(shù)和的描述正確的是（

）A．最大值為；B．在時取得極大值；C．在上單調遞增，在上單調遞減；D．在上單調遞增，在上單調遞減三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．《易經(jīng)》是中華民族智慧的結晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦，易經(jīng)包含了深刻的哲理.如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)八卦圖抽象得到的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則.

13．已知數(shù)列滿足，，，且，則.14．已知函數(shù)，若存在實數(shù)且，使得，則的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．已知銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．(1)證明：；(2)若，求的取值范圍．16．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.17．如圖，四邊形為菱形，平面．

(1)證明：平面平面；(2)若，二面角的大小為120°，求PC與BD所成角的余弦值．18．已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率為，點為上一點，周長為，其中為坐標原點．(1)求的方程；(2)直線與交于兩點，（i）求面積的最大值；（ii）設，試證明點在定直線上，并求出定直線方程．19．已知函數(shù).(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若函數(shù)存在正零點，（i）求的取值范圍；（ii）記為的極值點，證明：.1．D【分析】在陰影部分區(qū)域內任取一個元素x，分析元素x與各集合的關系，即可得出合適的選項.【詳解】解：在陰影部分區(qū)域內任取一個元素x，則且，即且，所以，陰影部分可表示為.故選：D.2．B【分析】根據(jù)題意，將題中的數(shù)據(jù)代入公式，再結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意可知，三角形的周長為12，則，，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以的最大值為16，所以三角形面積的最大值.故選：B3．C【分析】由題意得到，，結合得到方程，求出的值.【詳解】由題意得，，其中，故，解得或8，故選：C4．A【分析】利用側面展開結合圖形求解最短距離.【詳解】P為圓臺母線AB的中點，分別為上下底面的圓心，把圓臺擴成圓錐，如圖所示，則，，，由，有，，，圓錐底面半徑，底面圓的周長為，母線長，所以側面展開圖的扇形的圓心角為，即，如圖所示，質點從點P出發(fā)，繞著該圓臺的側面運動一圈后又回到點P，則運動的最短路徑為展開圖弦，，，有.故選：A5．A【分析】用列舉法寫出符合題意的填寫方法，然后根據(jù)概率公式計算．【詳解】符合題意的填寫方法有如下8種：而9個數(shù)填入9個格子有種方法所以所求概率為，故選：A．6．B【分析】由題可知，根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，最后根據(jù)，即可求出數(shù)列an的通項公式.【詳解】因為數(shù)列是“”數(shù)列，則，所以，而，，，，，，，，.故選：B7．D【分析】利用多項式乘法法則對式子展開，合并同類項即可得到系數(shù)的值.【詳解】由題意可知展開式中含的項：∴,故選：D.8．D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性、對數(shù)運算等知識列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，是偶函數(shù)，且在區(qū)間單調遞減，由得，所以，所以或，所以或，所以的取值范圍是.故選：D9．ABD【分析】根據(jù)題意，由歐拉公式，利用復數(shù)的基本概念，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，其虛部為，所以A正確；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，則，所以C錯誤；對于D中，由，故的共軛復數(shù)為，所以D正確．故選：ABD．10．BCD【分析】根據(jù)條件概率的計算公式，可判斷AB的真假，根據(jù)和事件概率計算公式，可判斷C的真假，結合全概率公式和條件概率計算公式，可判斷D的真假.【詳解】對A：因為，故A錯誤；對B：由，故B正確；對C：因為，故C正確；對D：，所以：.所以.故D正確.故選：BCD11．AD【分析】分情況作出截面，求截面的周長和面積，進行判斷.【詳解】當時，截面為等邊三角形，如圖：因為，所以，所以：，，.此時，在上單調遞增，且，.當時截面為六邊形，如圖：設，則所以六邊形的周長為：為定值；做平面于，平面于.設平面與平面所成的角為，則易求.所以，所以，在上遞增，在上遞減，所以截面面積的最大值為，此時，即.所以在上遞增，在上遞減.時，最大，為.當時，易得：，此時，在上單調遞減，，.綜上可知：AD是正確的，BC錯誤.故選：AD【點睛】關鍵點點睛：當時，如果堅持用表示截面的周長和面積，感覺比較麻煩，設，用表示截面的周長和面積就省勁多了.12．##【分析】連接，則，根據(jù)給定條件及正八邊形的特征，利用數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】在正八邊形中，連接，則，

而，即，于是，在等腰梯形中，，所以.故答案為：13．1【分析】先利用求得的值，再利用遞推公式可求.【詳解】當?shù)?，又得，解?則，所以.故答案為：1.14．【分析】作出函數(shù)y=fx的圖象，根據(jù)圖象分析可知與y=fx有三個交點，可得，，代入可得，令，利用導數(shù)求其最值，即可得結果.【詳解】根據(jù)題意作出函數(shù)y=fx令，解得或，令，解得或或，由題意可知：與y=fx有三個交點，則，此時，且，令，可得，則，令，則，可知在內單調遞增，則的最大值為，所以的最大值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：數(shù)形結合的重點是“以形助數(shù)”，在解題時要注意培養(yǎng)這種思想意識，做到心中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維．使用數(shù)形結合法的前提是題目中的條件有明確的幾何意義，解題時要準確把握條件、結論與幾何圖形的對應關系，準確利用幾何圖形中的相關結論求解．15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理、兩角和差的正弦公式化簡得，進一步即可證明；（2）由題意首先求得的取值范圍，進一步將目標式子轉換為只含有的式子即可求解．【詳解】（1）因為，由正弦定理得，所以，所以，而，則或，即或（舍去），故．（2）因為是銳角三角形，所以，解得，所以的取值范圍是，由正弦定理可得：，則，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以的取值范圍是．16．(1)，(2)，.【分析】（1）利用得出數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得通項公式；（2）由已知求得，得出是等差數(shù)列，求出其前項和，然后根據(jù)絕對值的性質得出數(shù)列與的前項和的關系，從而求得結論．【詳解】（1）由，則當時兩式相減得，所以.將代入得，，所以對于，故an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.（2）.，因為當時，當時，所以當時，，當時，.故.17．(1)證明見詳解.(2).【分析】（1）通過線面垂直得出線線垂直，再證明出線面垂直，得到面面垂直；（2）由二面角定義得到平面角的大小，由菱形和直角三角形的邊角關系得出線段長度，再建立空間直角坐標系，利用空間向量求出線線角的的余弦值【詳解】（1）∵平面且平面∴，在菱形中，，且平面，∴平面又∵平面∴平面平面.（2）∵平面且平面,平面∴，，即二面角是，∴，取與交點為，設，則，∴，∴，以為坐標原點，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，∴.所以所成角的余弦值為.

18．(1)(2)（i）；（ii）證明見解析，．【分析】（1）根據(jù)題意，列出關于的方程組，即可求解；（2）（?。┲本€與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求弦長，并求點到直線的距離，結合三角形的面積公式，以及基本不等式，即可求面積的最大值；（ⅱ）利用韋達定理，結合向量的坐標公式，表示點的坐標，即可求解定直線方程.【詳解】（1）設焦距為，依題意，解得又，所以，所以的方程為．（2）（i）設，因為，所以，，解得，所以，點到直線的距離，的面積當且僅當，即時，面積的最大值為．（ii）設，由，有，即因為，所以，故，于是有，所以點在定直線．【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是利用韋達定理表示弦長，以及坐標.19．(1)單調遞減區(qū)間是，無單調遞增區(qū)間(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）借助導數(shù)的正負即可得函數(shù)的單調性；（2）（i）求導后借助導數(shù)分、及討論函數(shù)的單調性，再結合零點的存在性定理計算即可得；（ii）利用零點定義與極值點定義可得，代入計算可得，再借助時，，即可得，再計算并化簡即可得.【詳解】（1）由已知可得的定義域為，且，因此當時，，從而f′x<0所以的單減區(qū)間是，無單增區(qū)間；（2）（ⅰ）由（1）知，，令，當時，單調遞減．①當時