第九章-曲線積分與曲面積分習題解答(詳細講解)

曲線積分與曲面積分習題詳解

習題9-1

1計算以下對弧長的曲線積分：

(1)/泡，其中C是拋物線y=f上點0(0,0)到A(l,l)之間的一段弧;

解：由于C由方程

y=x2(0<x<l)

給出，因此

/=L4由=￡+(x2)"dx=￡x>/l+4x2dx

=—(1+4X2)3/2=-(5^-1).

⑵1='cXdS,其中。是圓/+y2=1中A(0,1)至之間的一段劣弧;

解：C=A8的參數(shù)方程為：

x=cos。,y=sin0(一?<0<^),于是

/=|cos0y](-sin0)2+cos2Odd

=「cose〃e=i+3.

⑶Rcr+y+l)由，其中C是頂點為0(0,0),A(l,0)及3(0,1)的三角形的邊界;

解：L是分段光滑的閉曲線，如圖9-2所示，根據(jù)積分的可加性,

那么有

外(1+y+1)辦

由于。4：y=0,0<x<l,于是

ds=./(—)2+(—)2dx=Vl2+02dx=dx,

Vdxdx

故I)\(X+>+')ds=J。(x+0+V)dx=,

而AB:y=\-x,0<x<l,于是

ds=J(—)2+(—)2dx=Jl2+(-l)2dx=gdx.

\dxdx

故

h(x+y+l)ds=J。[x+(1-x)+Y\\[2dx=2拒,

同理可知3O:x=0(0<y<1),ds=/(—)2+(—)2rfy=Vo2+12Jy=dy,那么

\dydy

Ja。a+)'+1)"'=J。1°+)‘+1"=2,

綜上所述心(x-y+1)/-=|+2五+|=3+2后.

22

(4)j)csjx+yds,其中C為圓周/+尸=》；

r

解直接化為定積分.q的參數(shù)方程為

x=—+—cos0,y=—sin0[0<^<2^),

222

且

2

杰=+[y'(0)]do=^d0.

于是

外Jx?+y2ds=『cosg=

2.

(5)J「fyzds,其中「為折線段ABC。，這里A,3,C,。的坐標依次為(0,0,0),

(0,0,2),(1,0,2),(1,2,3);

解如下圖，

^x2yzds=j_x2yzt&+j?x2jztfc+j__x2yz4&.

僅°°1力(1,2,3)

線段M的參數(shù)方程為x=0,y=0,z=2t(0<t<l),那么C(l,0,2)1

小橙)、令+令

1A(0.0.0)

=Vo2+O2+2v/r=2Jr,

故

[—x2yzds=f0-0?2r-2dt=0

JABJ()

線段BC的參數(shù)方程為x=/,y=O,z=2(()4。W1),那么

ds=Vl2+O2+O2t/r=dt,

故

j0-2-dt=0,

線段而的參數(shù)方程為x=l,y=2f,z=2+f(OW，<1),那么

ds=VO2+22+12JZ=y/5dt,

故

\_jcyzds=.〃.&+/)?y[5dt=2石j；(2t+12)dt=g6

所以

^x2yzds=^^x2yzds+J_.x2yzds+=-\[5.

(6)[y2ds,其中「為空間曲線卜+V+z2="2'(a>o).

J「[x+z=〃，

解：「在x,y平面的投影為：x2+y2+(a-x)2=a2,即2月+尸以=o,從而

利用橢圓的參數(shù)方程得「的參數(shù)方程為

x=—a+—acos0,

22

r-Ay=-^=sin仇O<0<2TF.

V2

11萬

Z=4——4COS”,

22

由于

222

ds=^x4-y+zdO=%2g6+#高嗚入療63爰3

那么

[y2ds=fa2sin2

Jr，Jo2de=

2設一段曲線y=lnx上任一點處的線密度的大小等于該點橫坐標的

平方，求其質(zhì)量.

解依題意曲線的線密度為夕=Y,故所求質(zhì)量為M=J(.V/，其中

C:y=\nx(fi<a<x<b),那么C的參數(shù)方程為

x=x

(0<<7<x<Z?),

y=\nx

故

所以

M=j'—>/l+xvZr=(>+x2Vt=#(1+/)書_(l+〃)力.

3求八分之一球面f+y2+z2=i(x20,yN0,zN0)的邊界曲線的重心，設曲線的密

度夕=1O

解設曲線在xOy,yOz,zOx坐標平面的弧段分別為乙、L?、4,曲線的重心坐標為

(x,y5),那么曲線的質(zhì)量為M=Jds=3\tds=3x—=—.由對稱性可得重心坐標

L1+Li+L3'42

———1f

x-y-z--。xds

115(""+"

=—[[xds+0+(x6fc)=—fxds

2Pxdx_2_4

一瓦一瓦一彳

故所求重心坐標為(色,A,a].

13n3TI3TI)

4.計算半徑為R、中心角為2a的圓弧C對于它的對稱軸的轉動慣量/(設線密度

/?=!).

解：如右圖建立坐標系，那么

/=]>4.

為了便于計算，利用C的參數(shù)方程

C:x=Rcost,y=Rsint(-a<t<a).

于是

/=Jcy2^=J：R?sin2z7(-^sinr)2+(/?cosr)2dr

23

=R3rsintdt=/?(cr-sinezcosez).

J-a

習題9-2

1設L為x0y面一直線y=b(b為常數(shù)),證明

(Q(x,y)6=o。

證明：設L是直線y=b上從點(％,與到點(外力)的一段，其參數(shù)方程可視為

y=y(x)-b,[a[<x<a2],

于是

［。(了》)辦=「。(乂。)?0?去=0。

JLJa}

2計算以下對坐標的曲線積分：

(1)「)'&+工24'，其中C為上半橢圓x=acost,y=bsint,其方向為順時針方向;

解［丁也+fdy=J［b2sin"?(—asinZ)+a2cos21-Ocos

=-ab1[sin3tdt+a2bf°cos3tdt=—ab2.

JnJTC3

(2)^xydx,其中L為拋物線V=x上從點A(1,-1)到點8(1,1)的一段弧。

解將曲線L的方程y2=x視為以y為參數(shù)的參數(shù)方程x=V，其中參數(shù)>從_i變到1。

因此

￡xydx=J：y2y(y2)'dy=2,y4dy=|?

⑶^(x2+y2)dx+(x2-y2)dy,其中L是曲線y=1-|1-x|從對應于％=0時的點到

x=2時的點的一段??；

解

L的方程為y=x(0<x<l),那么有

J(x2+y2)dx-^-(x2-=J2x2dx=^.

G的方程為y=2-x(lWxK2),那么

f(x2+y2心+(x2-y2)dy

JG

=J：［Y+(2-x)2］公+J：［d-(2-x)2］?(-1)公

f2*2>2

=JI2(2-x)dx=-.

所以J12+/)公+(》2-y2)6=g.

(4)^ydx+xdy,L是從點A(-a,O)沿上半圓周f+丁=/到點父區(qū)。)的一段瓠;

解

y八

4-"，0)0B(?,0)X

利用曲線的參數(shù)方程計算.￡的參數(shù)方程為：x=acos0,y=asinO,在起點A(-〃,0)處

參數(shù)值取萬，在終點3(〃,0)處參數(shù)值相應取0,故。從乃到0.那么

￡ydx+xdy=Jasin0d(acos+acosf)d(asin0)=^2Jcos20dO=0.

(5)^x^dy-^ydx,其中L沿右半圓V+丁=/以點4?々)為起點，經(jīng)過點c(4,0)

到終點2(0,-。)的路徑；

解利用曲線的參數(shù)方程計算.L的參數(shù)方程為：x=acose,y=asin。，在起點A(0,a)處

參數(shù)值取在終點8(0,-。)處參數(shù)值相應取那么

Jxy2dy-x2ydx=J^^f/cos^^asin^^Casin0)-(acos0)2asin3d(acon0)

2

斤

=2/f/sin20cos26d0=--a

JI4

16)［(x+y+z)dr,其中「是螺旋線：x=cosf,y=sinf,z=，從f=0到f=兀上的一

段；

解「(x+y+z)dx=￡(cosf+sinf+r)(-sint)dt=一巧兀.

(7)^j^dx+^dy-^ydz,其中L為從點A(3,2,1)到點8(0,0,0)的直線段AB；

解直線A3的方程為

y_￡

3-2-7

化成參數(shù)方程得

x=3t9y=2t9z=t、/從1變到0。

所以

222

J/3辦+3zy2⑥一％2ydz=j°[(3r).3+3z(2z).2-(3z).2t]dt

屋2+2=i

(8)/=(p(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dztL為橢圓周《’且從z軸

JL[x-y+z=2,

正方向看去，L取順時針方向。

解心的參數(shù)方程為

x=cost,y=sinr,z=2-cos^+sinr,才從24變到0,

I=(z-y)dx4-(x-z)dy+(x-y)dz

r027

=(3cos，一sirrZ-2sin，-2cos。力=一24。

J2“

3設z軸與重力的方向一致，求質(zhì)量為加的質(zhì)點從位置(x「x，zj沿直線移到

(x2,y2,z2)時重力所作的功。

解因為力

F=(0,(),mg)

所以

W=\mgdz—mg(z-z.)

J42o

4.設「為曲線元=r,y=『，z=/上相應于，從o變到i的一段有向弧，把第二型曲線積

分￡Pdx+Qdy+Rdz化成第一型曲線積分.

解(Lx=dt,dy=2tdt,dz=3rdt,故&?=Jx」+y"+z"df=+4/+%4df,于是

dx11

———~=—―,

dsJl+4產(chǎn)+9-也+4x2+9/

dy2t2x

————=——

ds71+47+9？51+4/+9/

dz_3產(chǎn)3y

dsJ1+4J+9f*Jl+4f+9y2

所示

fPdx+Qdy+Rdz=\fP—+(?—+?—

"J「＜dsdsds)

習題9-3

1當E為xOy面的一個閉區(qū)域時，曲面積分。/(x,)，,z)dS與二重積分有什么關系？

答當Z為X0y面的一個閉區(qū)域。時，Z在X0y面上的投影就是。，于是有

JJf(x,y,z)dS="/(x,y,0心dy。

ZD

2.設光滑物質(zhì)曲面5的面密度為夕(x,y,z),試用第一型曲面積分表示這個曲面對于三

個坐標軸的轉動慣量。，/,和人.

解在曲面S上點(x,y,z)處取一微小面積(面積元素)dS,它可看作是面密度為

0(x,y,z)的質(zhì)點，其質(zhì)量為dm=/?(x,y,z)dS,它對于x軸的轉動慣量為

22

d/v=(>2+z)dm=p(x,y,z)(V+z)dS.

于是整個曲面S對x軸的轉動慣量為

1,=JJp{x,y,z)，+z2)dS.

s

同理可知曲面S對y軸和z軸的轉動慣量分別為

2222

ly=JJ0(X,j,z)(z+x)d5,I:=jjp(x,y,z)(x+y)dS.

5S

3計算曲面積分”(爐+y2MS,其中Z是

(1)錐面Z=jf+y2及平面Z=1所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面;

解錐面2=戶"與平面Z=1的交線為犬+丁=1,即錐面在面上的投影區(qū)

域為圓域￡>?={(x,y)\x2+/<1}o而

&_xdz__y

小J/+y2QyJ.2+.2

\X2y2

1+-1—r+——2夜,

因此

jj(x2+y1)dS=jjV2(x2+y2)dxdy+jjl?(x2+y2)dxdy

￡%%

=(V2+1)jj(x2+y2)dxdy=(V2+1)￡dj'/rdr

=1(V2+1)^?

(2))，0z面上的直線段z=)'(04z41)繞z軸旋轉一周所得到的旋轉曲面。

［尤=0

解旋轉曲面為z=Jx?+y(04z41),故

dS=J1+(舁尸+(//小dy=+J+(JJdxdy=^Idxdy,

所以

JJ(x2+y2)dS=jjV2(x2+y2)dxdy,

z/

其中R,.={(x,y)|f+V41}是X在xOy坐標面上的投影區(qū)域，利用極坐標計算此二重積分,

于是

U，+/)dS=&J：d或r2-rdr=與。

4計算以下曲面積分：

(1)JJdS,其中S是左半球面f+_/+z?=〃2,丁wo；

5

解jjd5=—x4na2=2na2.

s2

(2)JJ(孫+yz+〃)dS,其中S是錐面z=&77被柱面f+V=2依所截得的有限

s

局部；

解被截得的曲面在％Oy面上的投影區(qū)域D孫,是圓心在點(4,0)直徑為2a的圓域，即

2:04T2acos。，.由曲面S的方程z=歷了得g=X

舊+V

22

JJ(孫+yz+zr)dS=JJ[孫+yjf+丁+Xyjx+y^.V2dxdy

sDJ

=V2[rsin6cose+r2cos6+r2sin6^rdr

2

=8垃a[jcos*dJ=a4o

Jt

24

(注：這里要用到被積函數(shù)的奇偶性：|n(cos0+l)cos0sin0d0=Oo)

22

(3)JJdS,其中2是拋物面在尤0y面上方的局部：z=2-(x+y)tz>0；

z

解拋物面2=2-。2+>2)在工。>面上方的局部在xOy面上的投影為圓域

x2+y2<2,-=-2x,—=-2y,^

dxdy

["=股+(-2x)2+(~2y)2dxdy=||y]\+4(x2+y2)dxdy

z%%

=[Vl+4r2?xlr=-^.

JoJo3

(4)Jj(x+y+z)dS,其中2是上半球面V+V+z?=〃，zNO；

E

222

解上半球面z=yla-x-y在xOy面上的投影Dxy為圓域f+丁(/,

dz_-xdz_-y

&yja2-X2-y2^yy]a2-x2-y2'

dS=Jl+仔y+(與dxdy

})dxdy

JJ(x+y+z)dS

2

=￡rcos0+rsin0+>j\-r2^-^-f_/xlr.

=a『呵:廣ose+sine)

=〃]：(cos8+sin夕)ddr+〃「dg「rdr

一產(chǎn)JoJo

=0+7U73=7uz3.

⑸|j(X+2+￡)W,其中￡為平面2+2+三=1在第一卦限的局部;

JJ22234

解將曲面的方程改寫為E:z=4(l—e-2),那么

23

8zC3z4,,--

-2,—=—，從而

dxdy3

圖9-12

3

工在工。￥上的投影區(qū)域為￡>、、.={(須丫)|04了42,04丫43-5'},故

/="。+與+$dS=JJ[x+1y+2(1-]-殍dxdy

T%

二普[可-%*叱嚕.

(6)1J、dS,其中Z是柱面x2+y2=R2被平面z=0、z="所截得的局部.

x+y

解將曲面Z分成丙個曲面：與：X=QR2-丫?和弓：一二一"^-^，2'三在)侖

面上的投影區(qū)域都為={(y,z)卜R<y<R,0<z<H],先算gJydS.由于

dx-ydx

—=/,一=0,

^^R2-y2dz

從而

dS=l+(—)2+(—)2dydz=11+(/二)’=y+02dMz

VQydz'ylR2-y2

R

7^7dydz,

!與士&=!卓晨/摩=正晨7M2卷

同理可求得

所以

^+口as二辿

x+y~Px+/R

5求拋物面殼z<1)的質(zhì)量，此殼的密度為p=z。

解在拋物面殼z<1)上取一小塊微小曲面dS,其質(zhì)量d/〃=zdS整

面上的投影2為圓域小+丁42,包=%包=了,

個拋物面殼的質(zhì)量為m=JJzdS.￡在xOyV

￡dx8y

故

m=jjzdS=jj—(x2+y2)>/l+(x2+y2)dxdy

=gJ：d6J；"Jl+r2/dr=-^(6>/3+1).

習題9-4

1當2為無0y面的一個閉區(qū)域時，曲面積分“R(x,y,z)〃xdv與二重積分有什么關系?

￡

答當X為xOy面的一個閉區(qū)域時，E的方程為z=o。假設E在xOy面上的投影區(qū)域

為%,那么

JJR(x,