2025屆云南省玉溪市元江民中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測試題含解析

2025屆云南省玉溪市元江民中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點依次記為，且，則（）A． B． C． D．2．已知冪函數(shù)的圖象過點，且，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．若函數(shù)在時取得最小值，則（）A． B． C． D．4．已知△ABC中，．點P為BC邊上的動點，則的最小值為（）A．2 B． C． D．5．如圖，在△ABC中，點M是邊BC的中點，將△ABM沿著AM翻折成△AB'M，且點B'不在平面AMC內(nèi)，點P是線段B'C上一點.若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，則直線AP經(jīng)過△AB'CA．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心6．過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線，若與軸的交點坐標(biāo)為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線C：（）的左、右焦點分別為，過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點.若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．9．若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的最小正周期為，且滿足，則要得到函數(shù)的圖像，可將函數(shù)的圖像（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度11．已知橢圓+=1(a>b>0)與直線交于A，B兩點，焦點F(0，-c)，其中c為半焦距，若△ABF是直角三角形，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)f（x）＝sin2x+sin2（x），則f（x）的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在矩形中，為邊的中點，，，分別以、為圓心，為半徑作圓弧、（在線段上）.由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積為.14．若函數(shù)（）的圖象與直線相切，則______.15．棱長為的正四面體與正三棱錐的底面重合，若由它們構(gòu)成的多面體的頂點均在一球的球面上，則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為______.16．(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的極值點為，當(dāng)變化時，點構(gòu)成曲線，證明：過原點的任意直線與曲線有且僅有一個公共點.18．（12分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線與曲線交于兩點.(1)求的長；(2)在以為極點，軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，設(shè)點的極坐標(biāo)為，求點到線段中點的距離.20．（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，求四面體的體積.21．（12分）已知數(shù)列中，，前項和為，若對任意的，均有（是常數(shù)，且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項和；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列，使得對任意，成立？如果存在，求出這樣數(shù)列的的所有可能值，如果不存在，請說明理由.22．（10分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

令，求出在的對稱軸，由三角函數(shù)的對稱性可得，將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令，得，即對稱軸為.函數(shù)周期，令，可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，將以上各式相加得：故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.2、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎(chǔ)題.3、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當(dāng)，即時，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

以BC的中點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，運用向量的坐標(biāo)表示，求得點A的軌跡，進而得到關(guān)于a的二次函數(shù)，可得最小值．【詳解】以BC的中點為坐標(biāo)原點，建立如圖的直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，由，可得，即，則，當(dāng)時，的最小值為．故選D．【點睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的值域解法，考查運算能力，屬于中檔題．5、A【解析】

根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P為CB'中點.故選：A.【點睛】本題考查了二面角，等體積法，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.6、A【解析】

直線的方程為，令，得，得到a,b的關(guān)系，結(jié)合選項求解即可【詳解】直線的方程為，令，得.因為，所以，只有選項滿足條件.故選：A【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系以及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運算求解能力.7、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.【詳解】依題意，，故，故，故，故選：D．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的計算，意在考查學(xué)生的計算能力.8、D【解析】

設(shè)，利用余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】設(shè)，由雙曲線的定義可知：因此再由雙曲線的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線的漸近線方程為：.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數(shù)學(xué)運算能力.9、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項C,當(dāng)時,,可判斷C錯誤;對于選項D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【點睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.10、C【解析】

依題意可得，且是的一條對稱軸，即可求出的值，再根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則計算可得；【詳解】解：由已知得，是的一條對稱軸，且使取得最值，則，，，，故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點A，B兩點，利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式，解方程求解即可.【詳解】聯(lián)立方程，解方程可得或，不妨設(shè)A(0，a)，B(-b，0)，由題意可知，·=0，因為，，由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得，，因為，所以a2-c2=ac，兩邊同時除以可得，，解得e=或（舍去），所以該橢圓的離心率為.故選：A【點睛】本題考查橢圓方程及其性質(zhì)、離心率的求解、平面向量垂直的坐標(biāo)表示；考查運算求解能力和知識遷移能力；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示得到關(guān)于的關(guān)系式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、?？碱}型.12、A【解析】

先通過降冪公式和輔助角法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再求最值.【詳解】已知函數(shù)f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因為，所以f（x）的最小值為.故選：A【點睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數(shù)的逆用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，可得所得到的幾何體是由一個圓柱挖去兩個半球而成；其中，圓柱的底面半徑為1，母線長為2；體積為；兩個半球的半徑都為1，則兩個半球的體積為；則所求幾何體的體積為.考點：旋轉(zhuǎn)體的組合體.14、2【解析】

設(shè)切點由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè)，因為，所以，即，又，.所以，即，.故答案為:.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力,難度較易.15、【解析】

由棱長為的正四面體求出外接球的半徑，進而求出正三棱錐的高及側(cè)棱長，可得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，進而求出體積與表面積，設(shè)內(nèi)切圓的半徑，由等體積，求出內(nèi)切圓的半徑．【詳解】由題意可知：多面體的外接球即正四面體的外接球作面交于，連接，如圖則，且為外接球的直徑，可得，設(shè)三角形的外接圓的半徑為，則，解得，設(shè)外接球的半徑為，則可得，即，解得，設(shè)正三棱錐的高為，因為，所以，所以，而，所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，所以，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，即解得：．故答案為：.【點睛】本題考查多面體與球的內(nèi)切和外接問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意借助幾何體的直觀圖進行分析.16、40【解析】

先求出的展開式的通項，再求出即得解.【詳解】設(shè)的展開式的通項為，令r=3,則，令r=2,則，所以展開式中含x3y3的項為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為：40【點睛】本題主要考查二項式定理求指定項的系數(shù)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）由恒成立，可得恒成立，進而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可判斷出的單調(diào)性，進而可求出的最小值，令即可；（2）由，可知存在唯一的，使得，則，，進而可得，即曲線的方程為，進而只需證明對任意，方程有唯一解，然后構(gòu)造函數(shù)，分、和三種情況，分別證明函數(shù)在上有唯一的零點，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意，可知，由恒成立，可得恒成立.令，則.令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，時，；時，，即時，；時，，時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，時，取最小值，.（2）證明：由，令，由，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的極值點，則，，，曲線的方程為.故只需證明對任意，方程有唯一解.令，則，①當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增.，，，存在滿足時，使得.又單調(diào)遞增，所以為唯一解.②當(dāng)時，二次函數(shù)，滿足，則恒成立，在上單調(diào)遞增.，，存在使得，又在上單調(diào)遞增，為唯一解.③當(dāng)時，二次函數(shù)，滿足，此時有兩個不同的解，不妨設(shè)，，，列表如下：00↗極大值↘極小值↗由表可知，當(dāng)時，的極大值為.，，，，，..下面來證明，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，，時，，，故成立.，存在，使得.又在單調(diào)遞增，為唯一解.所以，對任意，方程有唯一解，即過原點任意的直線與曲線有且僅有一個公共點.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題，考查利用單調(diào)性研究圖象交點問題，考查學(xué)生的計算求解能力與推理論證能力，屬于難題.18、（1）；（2）【解析】

（1）先通過求得，再由得，和條件中的式子作差可得答案；（2）變形可得，通過裂項求和法可得答案.【詳解】（1）①，當(dāng)時，，，當(dāng)時，②，①②得：，，適合，故；（2），.【點睛】本題考查法求數(shù)列的通項公式，考查裂項求和，是基礎(chǔ)題.19、（1）;（2）.【解析】

（1）將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，由點到直線距離公式可求得圓心到直線距離，結(jié)合垂徑定理即可求得的長；（2）將的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，求得直線與圓的兩個交點坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間距離公式即可求得.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，化為直角坐標(biāo)方程為，即直線與曲線交于兩點.則圓心坐標(biāo)為，半徑為1，則由點到直線距離公式可知，所以.（2）點的極坐標(biāo)為，化為直角坐標(biāo)可得，直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，化簡可得，解得，所以兩點坐標(biāo)為，所以，由兩點間距離公式可得.【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，點到直線距離公式應(yīng)用，兩點間距離公式的應(yīng)用，直線與圓交點坐標(biāo)求法，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）取中點，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，利用全等三角形證得，由此證得平面，進而證得平面平面.（2）由（1）知平面，即是四面體的面上的高，結(jié)合錐體體積公式，求得四面體的體積.【詳解】（1）證明:如圖，取中點，連接，由則，則，故故，平面.又平面，故平面平面（2）由（1）知平面，即是四面體的面上的高，且.在中，，由勾股定理易知故四面體的體積【點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查錐體體積計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1）（2）存在，【解析】

由數(shù)列為“數(shù)列”可得,，，兩式相減得，又，利用等比數(shù)列通項公式即可求出,進而求出;由題意得，，，兩式相減得，，據(jù)此可得,當(dāng)時,,進而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進而可得,結(jié)合，得到關(guān)于的不等式,再由時，且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因為