湖南省長沙市鐵路第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

湖南省長沙市鐵路第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中，補(bǔ)充定義新運(yùn)算“”如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，已知函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.2．當(dāng)生物死后，它體內(nèi)的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半.2010年考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料草裹泥）上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前（）（參考數(shù)據(jù)：，)A.年 B.年C.年 D.年3．若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于函數(shù)，下列說法不正確的是（）A.在上單調(diào)遞減 B.有2個(gè)零點(diǎn)，分別為1和3C.在上單調(diào)遞增 D.最小值是4．若函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，，則（）A.的最大值為 B.在區(qū)間上只有個(gè)零點(diǎn)C.的最小正周期為 D.為圖象的一條對(duì)稱軸6．設(shè)全集，集合，則（）A. B.C. D.7．將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程是A. B.C. D.8．的外接圓的圓心為O，半徑為1，若，且，則的面積為（）A. B.C. D.19．若不等式的解集為，那么不等式的解集為（）A. B.或C. D.或10．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢.B.且C.且D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是____.12．若“”是真命題，則實(shí)數(shù)的最小值為_____________.13．命題“，使”是真命題，則的取值范圍是________14．若在上恒成立，則k的取值范圍是______.15．已知且，函數(shù)的圖象恒經(jīng)過定點(diǎn)，正數(shù)、滿足，則的最小值為____________.16．①函數(shù)y=sin2x的單調(diào)增區(qū)間是[]，（k∈Z）；②函數(shù)y=tanx在它的定義域內(nèi)是增函數(shù)；③函數(shù)y=|cos2x|的周期是π；④函數(shù)y=sin（）是偶函數(shù)；其中正確的是____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角的對(duì)邊分別為,的面積為,已知,,（1）求值；（2）判斷的形狀并求△的面積18．已知函數(shù).（1）請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在上的圖象（先列表，再畫圖）；（2）求在上的值域；（3）求使取得最值時(shí)的取值集合，并求出最值19．筒車是我國古代發(fā)哪的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖1是一個(gè)半徑為R（單位：米），有24個(gè)盛水筒的筒車，按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周需要120秒，為了研究某個(gè)盛水筒P離水面高度h（單位，米）與時(shí)間t（單位：秒）的變化關(guān)系，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy．已知時(shí)P的初始位置為點(diǎn)（此時(shí)P裝滿水）.（1）P從出發(fā)到開始倒水入槽需要用時(shí)40秒，求此刻P距離水面的高度（結(jié)果精確到0.1）；（2）記與P相鄰的下一個(gè)盛水筒為Q，在簡車旋轉(zhuǎn)一周的過程中，求P與Q距離水面高度差的最大值（結(jié)果精確到0.1）參考數(shù)據(jù)：，，，20．已知函數(shù)（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）求在區(qū)間上的值域21．某班級(jí)欲在半徑為1米的圓形展板上做班級(jí)宣傳，設(shè)計(jì)方案如下：用四根不計(jì)寬度的銅條將圓形展板分成如圖所示的形狀，其中正方形ABCD的中心在展板圓心，正方形內(nèi)部用宣傳畫裝飾，若銅條價(jià)格為10元/米，宣傳畫價(jià)格為20元/平方米，展板所需總費(fèi)用為銅條的費(fèi)用與宣傳畫的費(fèi)用之和（1）設(shè)，將展板所需總費(fèi)用表示成的函數(shù)；（2）若班級(jí)預(yù)算為100元，試問上述設(shè)計(jì)方案是否會(huì)超出班級(jí)預(yù)算？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，易知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以得：，解得，故選C點(diǎn)睛：新定義的題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)條件，得到，通過單調(diào)性分析，得到在上單調(diào)遞增，解不等式，要符合定義域和單調(diào)性的雙重要求，則，解得答案2、B【解析】根據(jù)碳14的半衰期為5730年，即每5730年含量減少一半，設(shè)原來的量為，經(jīng)過年后變成了，即可列出等式求出的值，即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)原來的量為，經(jīng)過年后變成了，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得：，即，，，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前年.故選：B.3、C【解析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】方程的兩個(gè)根是1和3，則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程是，是開口向上的拋物線，A正確；C錯(cuò)誤；函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是1和3，因此B正確；又，，，即，為最小值，D正確故選：C.4、A【解析】令，則，根據(jù)解析式，先求出函數(shù)定義域，結(jié)合二次函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，由真數(shù)得，∵拋物線的開口向下，對(duì)稱軸，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又∵在定義域上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得：的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：A.5、D【解析】首先利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：函數(shù)，可得的最大值為2，最小正周期為，故A、C錯(cuò)誤；由可得，即，可知在區(qū)間上的零點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；由，可知為圖象的一條對(duì)稱軸，故D正確故選：D6、A【解析】根據(jù)補(bǔ)集定義計(jì)算．【詳解】因?yàn)榧?，又因?yàn)槿?，所以?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集運(yùn)算，屬于簡單題．7、C【解析】將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位得到，令，當(dāng)時(shí)得對(duì)稱軸為考點(diǎn)：三角函數(shù)性質(zhì)8、B【解析】由，利用向量加法的幾何意義得出△ABC是以A為直角的直角三角形，又|，從而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面積公式即可得解【詳解】由于，由向量加法的幾何意義，O為邊BC中點(diǎn)，∵△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，∴三角形應(yīng)該是以BC邊為斜邊的直角三角形，∠BAC＝，斜邊BC=2，又∵∴|AC|=1，|AB|=，∴S△ABC=,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量及應(yīng)用，三角形面積的求法，屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】根據(jù)題意，直接求解即可.【詳解】根據(jù)題意，由，得，因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以由，知，解得，故不等式的解集?故選：C.10、C【解析】根據(jù)給定函數(shù)有意義直接列出不等式組，解不等式組作答.【詳解】依題意，，解得且，所以的定義域?yàn)榍?故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】設(shè)函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理求解.【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：12、1【解析】若“”是真命題，則大于或等于函數(shù)在的最大值因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上的最大值為1，所以，，即實(shí)數(shù)的最小值為1.所以答案應(yīng)填:1.考點(diǎn)：1、命題；2、正切函數(shù)的性質(zhì).13、【解析】可根據(jù)題意得出“，恒成立”，然后根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}“，使”是真命題，所以，恒成立，即恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，的取值范圍是，故答案為：.14、【解析】首先參變分離得到在上恒成立，接著分段求出函數(shù)的最小值，最后給出k的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以在上恒成立，?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以；綜上：k的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題是含參數(shù)的不等式恒成立問題，此類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x)＜a恒成立?a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立?a＜f(x)min.15、9【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)的圖象恒經(jīng)過定點(diǎn)，進(jìn)而可得，然后利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象恒經(jīng)過定點(diǎn)，所以，又、為正數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為9.故答案為：9.16、①④【解析】①由，解得．可得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；②函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性；③由，即可得出函數(shù)的最小正周期；④利用誘導(dǎo)公式可得函數(shù)，即可得出奇偶性【詳解】解：①由，解得．可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，，，故①正確；②函數(shù)在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，故②不正確；③，因此函數(shù)的最小正周期是，故③不正確；④函數(shù)是偶函數(shù)，故④正確其中正確的是①④故答案為：①④【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）;（2）是等腰三角形，其面積為【解析】（1）由結(jié)合正弦面積公式及余弦定理得到，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）由結(jié)合內(nèi)角和定理可得分兩類討論即可.試題解析：（1），由余弦定理得，（2）即或（ⅰ）當(dāng)時(shí)，由第（1）問知，是等腰三角形，（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由第（1）問知，又，矛盾，舍.綜上是等腰三角形，其面積為點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.18、（1）答案見解析（2）（3）答案見解析【解析】（1）取五個(gè)值，列表描點(diǎn)連線即可得出答案；（2）根據(jù)圖象求出的范圍，即可得出答案；（3）根據(jù)正弦函數(shù)最值即可得出答案.【小問1詳解】列表如下：10-10020-20在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)連線，如圖所示：【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以.所以在上的值域?yàn)椤拘?詳解】當(dāng)時(shí)，取最大值2令，則當(dāng)時(shí)，取最小值－2令，則所以使取得最大值時(shí)的取值集合為，且最大值為2取得最小值時(shí)的取值集合為，且最大值為－2.19、（1）m（2）m【解析】（1）根據(jù)題意P從出發(fā)到開始倒水入槽用時(shí)40秒，可知線段OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了，由，可求圓的半徑，由題意可知以O(shè)A為終邊的角為，由此即可求出P距離水面的高度；（2）由題意可知P轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為rad/s，易知P開始轉(zhuǎn)動(dòng)t秒后距離水面的高度的解析式，設(shè)P，Q兩個(gè)盛水筒分別用點(diǎn)B，C表示，易知，點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)B始終落后rad，求出Q距離水面的高度，可得則P，Q距離水面的高度差，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】解：由于筒車轉(zhuǎn)一周需要120秒，所以P從出發(fā)到開始倒水入槽的40秒，線段OA按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了，因?yàn)锳點(diǎn)坐標(biāo)為，得，以O(shè)A為終邊的角為，所以P距離水面的高度m【小問2詳解】解：由于筒車轉(zhuǎn)一周需要120秒，可知P轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為rad/s，又以O(shè)A為終邊的角為，則P開始轉(zhuǎn)動(dòng)t秒后距離水面的高度，如圖，P，Q兩個(gè)盛水筒分別用點(diǎn)B，C表示，則，點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)B始終落后rad，此時(shí)Q距離水面的高度則P，Q距離水面的高度差，利用，可得當(dāng)或，即或時(shí)，最大值為所以，筒車旋轉(zhuǎn)一周的過程中，P與Q距離水面高度差的最大值約為m20、（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析（2）【解析】（1）利用定義法，設(shè)出，通過做差比較的大小，即可證明；（2）根據(jù)第（1）問得到在區(qū)間上的單調(diào)性，在區(qū)間直接賦值即可求解值域.【小問1詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：，且，有因?yàn)?，且，所以，于是，即故在區(qū)間上單調(diào)遞增【小問2詳解】由第（1