2023-2024學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市豐臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，在數(shù)軸上表示出集合，如圖所示，則.故選：D.2.在一般情況下，下列各組的兩個(gè)變量呈正相關(guān)的是（）A.某商品的銷(xiāo)售價(jià)格與銷(xiāo)售量 B.汽車(chē)勻速行駛時(shí)的路程與時(shí)間C.氣溫與冷飲的銷(xiāo)售量 D.人的年齡與視力〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，某商品的銷(xiāo)售價(jià)格與銷(xiāo)售量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，汽車(chē)勻速行駛時(shí)的路程與時(shí)間是函數(shù)關(guān)系，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，氣溫與冷飲的銷(xiāo)售量呈正相關(guān)，故正確；對(duì)于D，人的年齡與視力呈負(fù)相關(guān)，故錯(cuò)誤.故選：C.3.已知命題：，，則是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗方法一：使用命題取否定的通法：將命題的特稱(chēng)量詞改為全稱(chēng)量詞，論域不變，結(jié)論改為其否定的結(jié)論.得到命題的否定是：，.方法二：命題的含義是，存在一個(gè)上的實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.那么要使該結(jié)論不成立，正是要讓每個(gè)上的實(shí)數(shù)都不滿(mǎn)足.也就是對(duì)任意的上的實(shí)數(shù)，都有.所以的否定是：，.故選：B.4.已知復(fù)數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，∴，故選：B．5.下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗A，，正確；B，，B錯(cuò)；C，，C正確；D，，D正確．故選：B．6.已知復(fù)數(shù)（，），則“”是“復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，充分性成立，當(dāng)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，一定有，必要性成立，“”是“復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上”的充分必要條件．故選：C．7.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，又，令，則，所以（）在定義域上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又，所?故選：D8.若，，且，則的最小值為（）A.1 B.3 C.9 D.10〖答案〗C〖解析〗∵，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：C．9.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則（）A.函數(shù)的最大值為1B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)的最大值為1D.函數(shù)的最小值為1〖答案〗C〖解析〗AB選項(xiàng)，由題意可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實(shí)線部分為，故恒成立，故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯(cuò)誤，對(duì)于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C10.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次（無(wú)并列情況）．甲、乙、丙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)．老師對(duì)甲說(shuō)：“你不是最差的．”對(duì)乙說(shuō)：“很遺憾，你和甲都沒(méi)有得到冠軍．”對(duì)丙說(shuō)：“你不是第2名．”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（）A.44 B.46 C.52 D.54〖答案〗B〖解析〗由題意得：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲，有可能是第二、三、四名3種情況；再排乙，也有3種情況；余下3人有種排法，故共有種不同的情況，假如丙是第2名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況，由間接法得：滿(mǎn)足題意的，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為種，故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______．〖答案〗〖解析〗展開(kāi)式通項(xiàng)為：；令，解得：，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：.12.已知線性相關(guān)的兩個(gè)變量和的取值如下表，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則______．01342.24.34.86.7〖答案〗2.6〖解析〗由已知可得，，∴，∴.故〖答案〗為：2.6.13.某校舉辦“品味‘蔬’香，‘勤’滿(mǎn)校園”蔬菜種植活動(dòng)．某小組種植的番茄出芽率（出芽的種子數(shù)占總種子數(shù)的百分比）為80%，出苗率（出苗的種子數(shù)占總種子數(shù)的百分比）為70%．若該小組種植的其中一顆種子已經(jīng)出芽，則它出苗的概率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由條件概率可得所求概率為.故〖答案〗為：.14.能夠說(shuō)明“設(shè)，，是任意實(shí)數(shù)．若，則”是假命題的一組實(shí)數(shù)，，的值依次為_(kāi)_____．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗從不等式的性質(zhì)可知中只要有一個(gè)非負(fù)，則一定成立，因此當(dāng)均為負(fù)數(shù)時(shí)不等式可能不成立，如，或等，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）．15.已知函數(shù)（）．給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，若的圖象與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是；②若在處取得極小值，則的取值范圍是；③，曲線總存在兩條互相垂直的切線；④若存在最小值，則的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．〖答案〗②④〖解析〗對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，由，解得，則當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有兩個(gè)公共點(diǎn)，而，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，，，在處取得極小值，符合題意，因此在處取得極小值時(shí)，的取值范圍是，②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，假定曲線存在兩條互相垂直的切線，設(shè)兩條切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為，切線斜率分別為，于是與矛盾，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，，即在上單調(diào)遞減，此時(shí)，而函數(shù)在的取值集合為，則在上無(wú)最小值，當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，而當(dāng)時(shí)，，則恒成立，因此在處取得最小值，于是存在最小值時(shí)，的取值范圍是，所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是②④.故〖答案〗為：②④三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.2024年春節(jié)期間，全國(guó)各大影院熱映《第二十條》、《飛馳人生2》、《熱辣滾燙》、《熊出沒(méi)．逆轉(zhuǎn)時(shí)空》4部?jī)?yōu)秀的影片．現(xiàn)有4名同學(xué)，每人選擇這4部影片中的1部觀看．（1）如果這4名同學(xué)選擇觀看的影片均不相同，那么共有多少種不同的選擇方法？（2）如果這4名同學(xué)中的甲、乙2名同學(xué)分別選擇觀看影片《第二十條》、《飛馳人生2》，那么共有多少種不同的選擇方法？（3）如果這4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)選擇觀看同一部影片，那么共有多少種不同的選擇方法？解：（1）因?yàn)?名同學(xué)觀看的影片均不相同，所以不同的選擇方法共有種．（2）因?yàn)榧?、?名同學(xué)選擇觀看的影片已確定，所以不同的選擇方法共有種．（3）因?yàn)榍∮?名同學(xué)選擇觀看同一部影片，所以不同的選擇方法共有種．17.在上個(gè)賽季的所有比賽中，某支籃球隊(duì)的勝負(fù)情況及該球隊(duì)甲球員的上場(chǎng)情況如下表：勝負(fù)情況甲球員上場(chǎng)情況獲勝未獲勝上場(chǎng)40場(chǎng)5場(chǎng)未上場(chǎng)2場(chǎng)3場(chǎng)（1）求甲球員上場(chǎng)時(shí)，該球隊(duì)獲勝概率；（2）從表中該球隊(duì)未獲勝的所有場(chǎng)次中隨機(jī)選取3場(chǎng)，記為甲球員未上場(chǎng)的場(chǎng)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件“甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，該球隊(duì)獲勝”，則．（2）表中該球隊(duì)未獲勝的場(chǎng)次共有場(chǎng)，其中甲球員上場(chǎng)的場(chǎng)次有5場(chǎng)，未上場(chǎng)的場(chǎng)次有3場(chǎng)，則的可能取值為0，1，2，3．，，．所以的分布列如下：0123所以．18.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的極值．解：（1）由已知得，所以．因?yàn)椋郧悬c(diǎn)為，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由（1）知，，．令，得，令，得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．所以有極小值為，極大值為．19.隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)在人類(lèi)生產(chǎn)生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．為了解用戶(hù)對(duì)，兩款人機(jī)交互軟件（以下簡(jiǎn)稱(chēng)軟件）的滿(mǎn)意度，某平臺(tái)隨機(jī)選取了僅使用款軟件的用戶(hù)和僅使用款軟件的用戶(hù)各人，采用打分方式進(jìn)行調(diào)查，情況如下圖：根據(jù)分?jǐn)?shù)把用戶(hù)的滿(mǎn)意度分為三個(gè)等級(jí)，如下表：分?jǐn)?shù)滿(mǎn)意度非常滿(mǎn)意滿(mǎn)意不滿(mǎn)意假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有用戶(hù)的打分情況相互獨(dú)立．（1）分別估計(jì)僅使用款軟件的全體用戶(hù)和僅使用款軟件的全體用戶(hù)對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為“非常滿(mǎn)意”的概率；（2）從僅使用款軟件全體用戶(hù)中隨機(jī)選取人，從僅使用款軟件的全體用戶(hù)中隨機(jī)選取人，估計(jì)這人中恰有人對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為“非常滿(mǎn)意”的概率；（3）從僅使用，兩款軟件的全體用戶(hù)中各隨機(jī)選取人進(jìn)行電話回訪，記為僅使用款軟件的人中對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為“不滿(mǎn)意”的人數(shù)，為僅使用款軟件的人中對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為“不滿(mǎn)意”的人數(shù)，試比較，的方差，的大?。ńY(jié)論不要求證明）解：（1）設(shè)事件“僅使用款軟件的全體用戶(hù)對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為‘非常滿(mǎn)意’”，事件“僅使用款軟件的全體用戶(hù)對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為‘非常滿(mǎn)意’”，則，；（2）設(shè)事件“這3人中恰有1人對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為‘非常滿(mǎn)意’”，則；（3）樣本中使用款軟件不滿(mǎn)意的概率為，使用款軟件不滿(mǎn)意的概率為，且隨機(jī)選取的人進(jìn)行電話回訪，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，即方差為,隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，即方差為,．20.已知函數(shù)（）．（1）若在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求證：．解：（1）由已知得，設(shè)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以時(shí)，恒成立．因?yàn)闀r(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的最大值為，即．當(dāng)時(shí)，符合題意．所以．（2）當(dāng)時(shí)，，，則．設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，所以，使得，即．?dāng)變化時(shí)，，，的變化如下表：＋0－＋0－單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的最大值為．因?yàn)?，所以，，所以，故?1.已知集合（，且）．若集合，同時(shí)滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件，則稱(chēng)集合，具有性質(zhì)．條件（1）：，，且，都至少含有兩個(gè)元素；條件（2）：對(duì)任意不相等的，，都有，對(duì)任意不相等的，，都有．（1）當(dāng)時(shí)，若集合，具有性質(zhì)，且集合中恰有三個(gè)元素，試寫(xiě)出所有的集合；（2）若集合，具有性質(zhì)，且，，求證：；（3）若存在集合，具有性質(zhì)，求的最大值．解：（1）所有的集合為，，；（2）記“對(duì)任意不相等的，，都有”為條件①，記“對(duì)任意不相等的，，都有”為條件②．由條件②得．由，和條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件①得，即．由條件②得，與矛盾，所以，即（3）的最大值為32．證明如下：一方面，當(dāng)時(shí)，可構(gòu)造集合，具有性質(zhì)；另一方面，當(dāng)時(shí)，可證明不存在具有性質(zhì)的集合，．證明如下：由（2）知，，且當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)不存在具有性質(zhì)的集合，．由條件①得2，3不能同時(shí)屬于集合．下面討論2和3一個(gè)屬于集合，一個(gè)屬于集合的情況：（1）當(dāng)，時(shí)，由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即，．因?yàn)?，，，，由條件②得，，即，．由條件①得，，即，．由條件②得，與矛盾，此時(shí)不存在具有性質(zhì)的集合，．（2）當(dāng)，時(shí)，由條件②得4，5不能同時(shí)屬于集合，下面分三種情形：情形一：若，，由條件①得，即．由條件②得，，即，．由條件①得，即．由條件①得，即．由條件②得，與矛盾，此時(shí)不存在具有性質(zhì)的集合，．情形二：若，，由條件①得，，即，．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，與矛盾，此時(shí)不存在具有性質(zhì)集合，．情形三：若，，由條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件①得，即．由條件②得，即．由條件②得，即．由條件①得，與矛盾，此時(shí)不存在具有性質(zhì)的集合，綜上，的最大值為32．北京市豐臺(tái)區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，在數(shù)軸上表示出集合，如圖所示，則.故選：D.2.在一般情況下，下列各組的兩個(gè)變量呈正相關(guān)的是（）A.某商品的銷(xiāo)售價(jià)格與銷(xiāo)售量 B.汽車(chē)勻速行駛時(shí)的路程與時(shí)間C.氣溫與冷飲的銷(xiāo)售量 D.人的年齡與視力〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，某商品的銷(xiāo)售價(jià)格與銷(xiāo)售量呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，汽車(chē)勻速行駛時(shí)的路程與時(shí)間是函數(shù)關(guān)系，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，氣溫與冷飲的銷(xiāo)售量呈正相關(guān)，故正確；對(duì)于D，人的年齡與視力呈負(fù)相關(guān)，故錯(cuò)誤.故選：C.3.已知命題：，，則是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗方法一：使用命題取否定的通法：將命題的特稱(chēng)量詞改為全稱(chēng)量詞，論域不變，結(jié)論改為其否定的結(jié)論.得到命題的否定是：，.方法二：命題的含義是，存在一個(gè)上的實(shí)數(shù)滿(mǎn)足.那么要使該結(jié)論不成立，正是要讓每個(gè)上的實(shí)數(shù)都不滿(mǎn)足.也就是對(duì)任意的上的實(shí)數(shù)，都有.所以的否定是：，.故選：B.4.已知復(fù)數(shù)，則它的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，∴，故選：B．5.下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗A，，正確；B，，B錯(cuò)；C，，C正確；D，，D正確．故選：B．6.已知復(fù)數(shù)（，），則“”是“復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上，充分性成立，當(dāng)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，一定有，必要性成立，“”是“復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上”的充分必要條件．故選：C．7.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，又，令，則，所以（）在定義域上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又，所?故選：D8.若，，且，則的最小值為（）A.1 B.3 C.9 D.10〖答案〗C〖解析〗∵，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：C．9.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則（）A.函數(shù)的最大值為1B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)的最大值為1D.函數(shù)的最小值為1〖答案〗C〖解析〗AB選項(xiàng)，由題意可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實(shí)線部分為，故恒成立，故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯(cuò)誤，對(duì)于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C10.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次（無(wú)并列情況）．甲、乙、丙去詢(xún)問(wèn)成績(jī)．老師對(duì)甲說(shuō)：“你不是最差的．”對(duì)乙說(shuō)：“很遺憾，你和甲都沒(méi)有得到冠軍．”對(duì)丙說(shuō)：“你不是第2名．”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（）A.44 B.46 C.52 D.54〖答案〗B〖解析〗由題意得：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名．甲的限制最多，故先排甲，有可能是第二、三、四名3種情況；再排乙，也有3種情況；余下3人有種排法，故共有種不同的情況，假如丙是第2名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況，由間接法得：滿(mǎn)足題意的，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為種，故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______．〖答案〗〖解析〗展開(kāi)式通項(xiàng)為：；令，解得：，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：.12.已知線性相關(guān)的兩個(gè)變量和的取值如下表，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則______．01342.24.34.86.7〖答案〗2.6〖解析〗由已知可得，，∴，∴.故〖答案〗為：2.6.13.某校舉辦“品味‘蔬’香，‘勤’滿(mǎn)校園”蔬菜種植活動(dòng)．某小組種植的番茄出芽率（出芽的種子數(shù)占總種子數(shù)的百分比）為80%，出苗率（出苗的種子數(shù)占總種子數(shù)的百分比）為70%．若該小組種植的其中一顆種子已經(jīng)出芽，則它出苗的概率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗由條件概率可得所求概率為.故〖答案〗為：.14.能夠說(shuō)明“設(shè)，，是任意實(shí)數(shù)．若，則”是假命題的一組實(shí)數(shù)，，的值依次為_(kāi)_____．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗從不等式的性質(zhì)可知中只要有一個(gè)非負(fù)，則一定成立，因此當(dāng)均為負(fù)數(shù)時(shí)不等式可能不成立，如，或等，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）．15.已知函數(shù)（）．給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，若的圖象與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是；②若在處取得極小值，則的取值范圍是；③，曲線總存在兩條互相垂直的切線；④若存在最小值，則的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．〖答案〗②④〖解析〗對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，由，解得，則當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有兩個(gè)公共點(diǎn)，而，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，，，在處取得極小值，符合題意，因此在處取得極小值時(shí)，的取值范圍是，②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，假定曲線存在兩條互相垂直的切線，設(shè)兩條切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)分別為，切線斜率分別為，于是與矛盾，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，，，即在上單調(diào)遞減，此時(shí)，而函數(shù)在的取值集合為，則在上無(wú)最小值，當(dāng)時(shí)，由，得或，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，而當(dāng)時(shí)，，則恒成立，因此在處取得最小值，于是存在最小值時(shí)，的取值范圍是，所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是②④.故〖答案〗為：②④三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．16.2024年春節(jié)期間，全國(guó)各大影院熱映《第二十條》、《飛馳人生2》、《熱辣滾燙》、《熊出沒(méi)．逆轉(zhuǎn)時(shí)空》4部?jī)?yōu)秀的影片．現(xiàn)有4名同學(xué)，每人選擇這4部影片中的1部觀看．（1）如果這4名同學(xué)選擇觀看的影片均不相同，那么共有多少種不同的選擇方法？（2）如果這4名同學(xué)中的甲、乙2名同學(xué)分別選擇觀看影片《第二十條》、《飛馳人生2》，那么共有多少種不同的選擇方法？（3）如果這4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)選擇觀看同一部影片，那么共有多少種不同的選擇方法？解：（1）因?yàn)?名同學(xué)觀看的影片均不相同，所以不同的選擇方法共有種．（2）因?yàn)榧住⒁?名同學(xué)選擇觀看的影片已確定，所以不同的選擇方法共有種．（3）因?yàn)榍∮?名同學(xué)選擇觀看同一部影片，所以不同的選擇方法共有種．17.在上個(gè)賽季的所有比賽中，某支籃球隊(duì)的勝負(fù)情況及該球隊(duì)甲球員的上場(chǎng)情況如下表：勝負(fù)情況甲球員上場(chǎng)情況獲勝未獲勝上場(chǎng)40場(chǎng)5場(chǎng)未上場(chǎng)2場(chǎng)3場(chǎng)（1）求甲球員上場(chǎng)時(shí)，該球隊(duì)獲勝概率；（2）從表中該球隊(duì)未獲勝的所有場(chǎng)次中隨機(jī)選取3場(chǎng)，記為甲球員未上場(chǎng)的場(chǎng)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）設(shè)事件“甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，該球隊(duì)獲勝”，則．（2）表中該球隊(duì)未獲勝的場(chǎng)次共有場(chǎng)，其中甲球員上場(chǎng)的場(chǎng)次有5場(chǎng)，未上場(chǎng)的場(chǎng)次有3場(chǎng)，則的可能取值為0，1，2，3．，，．所以的分布列如下：0123所以．18.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的極值．解：（1）由已知得，所以．因?yàn)?，所以切點(diǎn)為，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）由（1）知，，．令，得，令，得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，．所以有極小值為，極大值為．19.隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)在人類(lèi)生產(chǎn)生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．為了解用戶(hù)對(duì)，兩款人機(jī)交互軟件（以下簡(jiǎn)稱(chēng)軟件）的滿(mǎn)意度，某平臺(tái)隨機(jī)選取了僅使用款軟件的用戶(hù)和僅使用款軟件的用戶(hù)各人，采用打分方式進(jìn)行調(diào)查，情況如下圖：根據(jù)分?jǐn)?shù)把用戶(hù)的滿(mǎn)意度分為三個(gè)等級(jí)，如下表：分?jǐn)?shù)滿(mǎn)意度非常滿(mǎn)意滿(mǎn)意不滿(mǎn)意假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有用戶(hù)的打分情況相互獨(dú)立．（1）分別估計(jì)僅使用款軟件的全體用戶(hù)和僅使用款軟件的全體用戶(hù)對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為“非常滿(mǎn)意”的概率；（2）從僅使用款軟件全體用戶(hù)中隨機(jī)選取人，從僅使用款軟件的全體用戶(hù)中隨機(jī)選取人，估計(jì)這人中恰有人對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為“非常滿(mǎn)意”的概率；（3）從僅使用，兩款軟件的全體用戶(hù)中各隨機(jī)選取人進(jìn)行電話回訪，記為僅使用款軟件的人中對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為“不滿(mǎn)意”的人數(shù)，為僅使用款軟件的人中對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為“不滿(mǎn)意”的人數(shù)，試比較，的方差，的大?。ńY(jié)論不要求證明）解：（1）設(shè)事件“僅使用款軟件的全體用戶(hù)對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為‘非常滿(mǎn)意’”，事件“僅使用款軟件的全體用戶(hù)對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為‘非常滿(mǎn)意’”，則，；（2）設(shè)事件“這3人中恰有1人對(duì)所使用軟件的滿(mǎn)意度為‘非常滿(mǎn)意’”，則；（3）樣本中使用款軟件不滿(mǎn)意的概率為，使用款軟件不滿(mǎn)意的概率為，且隨機(jī)選取的人進(jìn)行電話回訪，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，，即方差為