2023-2024學(xué)年廣東省肇慶市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省肇慶市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選：B2.已知某獨(dú)立性檢驗(yàn)中，由計(jì)算出，若將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)分別變成，計(jì)算出的，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋怨蔬x：B3.求整數(shù)的正整數(shù)因數(shù)時(shí)可將其改寫成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，例如的正整數(shù)因數(shù)只需分別從中各選一個(gè)元素相乘即可，則500的正整數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.12 B.15 C.16 D.18〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，由題意可知：500的正整數(shù)因數(shù)只需分別從中各選一個(gè)元素相乘即可，所以500的正整數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：A.4.已知函數(shù)，若，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，所以，?故選：B.5.已知隨機(jī)變量，若方差，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，解得或，所以.故選：D6.直線與曲線相切于點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，依題意，解得，，解得，所以.故選：C7.若，則（）A.4048 B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗的展開式的通項(xiàng)公式為，結(jié)合，知均為負(fù)值，，令，得，故，故選：D.8.已知函數(shù)，且，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋裕驗(yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)、，所以有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令，則的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)?，設(shè)過原點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線方程為，則，所以，即，所以切線斜率，當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于一元線性回歸的敘述正確的有（）A.若相關(guān)系數(shù)，則與的相關(guān)程度很強(qiáng)B.殘差圖中的殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用模型比較合適C.決定系數(shù)越大，模型的擬合效果越差D.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過所有樣本點(diǎn)〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，A正確；對(duì)于B，殘差圖中的殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，擬合效果較好，選用模型比較合適，B正確；對(duì)于C，決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，樣本點(diǎn)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線附近，D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知是互不相等的正數(shù)，隨機(jī)變量的分布列如下表所示，若既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，的期望和方差分別為和，則（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，則有，將①代入②中，化簡整理得，，則有，回代入①，可得，由分布列可知，故得，.依題意，，,故，故A正確，B錯(cuò)誤；，而可得，，則得,故D正確，C錯(cuò)誤.故選：AD.11.微分方程（由導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)）是微積分的重要分支，例如根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，逆用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得（為常數(shù)）．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的有（）A.B.若，則（為常數(shù)）C.是函數(shù)的極值點(diǎn)D.函數(shù)在上單調(diào)遞減〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由，當(dāng)時(shí)，，而，則，A正確；對(duì)于B，，且（為常數(shù)），B正確；對(duì)于CD，由選項(xiàng)B知，，又，則，，求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，且，則，且，所以.故〖答案〗為：.13.用模型擬合一組數(shù)據(jù)，令，將模型轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋瑑蛇吶∽匀粚?duì)數(shù)可得，令，可得，又，所以，，所以，所以.故〖答案〗為：14.拋擲一校質(zhì)地均勻的正四面體骰子（四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4），底面的點(diǎn)數(shù)為1記為事件，拋擲次后事件發(fā)生奇數(shù)次的概率記為，則______，______.〖答案〗①②〖解析〗拋擲1次后事件A發(fā)生奇數(shù)次，只能是發(fā)生1次，；拋擲n次后事件A發(fā)生，拋擲n次后事件A發(fā)生奇數(shù)次的概率記為當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，構(gòu)造二項(xiàng)式，令，，令，，兩式做差得，可得，因?yàn)?，所?故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)時(shí)，則，可知的定義域?yàn)?，且，令，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的極大值為，無極小值.（2）由題意可知：的定義域?yàn)椋?，若，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；綜上所述：若，在內(nèi)單調(diào)遞減；若，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.16.小華同學(xué)設(shè)置手機(jī)密碼的六位數(shù)字時(shí)，準(zhǔn)備將的前6位數(shù)字（1，1，3，4，5，9）按照一定的順序進(jìn)行設(shè)置．（1）記事件：相同的數(shù)字相鄰，求事件發(fā)生的概率；（2）記事件：相同的數(shù)字不相鄰，求事件發(fā)生的概率；（3）記事件：相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間只有一個(gè)數(shù)字，求在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率．解：（1）依題意，在事件中，要求兩個(gè)1需相鄰，故只需要將其看成一個(gè)元素與另外四個(gè)數(shù)字全排即可，有種方法，由古典概型概率公式可得：（2）在事件中，要求兩個(gè)1不能相鄰，故只需先將這兩個(gè)1對(duì)另外4個(gè)數(shù)字產(chǎn)生5個(gè)空中進(jìn)行插空，再對(duì)這四個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排即可，有種方法，由古典概型概率公式可得：；（3）在事件中，要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間只有一個(gè)數(shù)字，故只需先在3，4，5，9中選出1個(gè)數(shù)字放在兩個(gè)1之間，再看成1個(gè)元素，與另外3個(gè)元素共4個(gè)元素全排即可，有種方法，由古典概型概率公式可得：,由條件概率公式可得，.17.如圖，在正方體的頂點(diǎn)處各掛一盞燈籠，每秒有且只有一個(gè)頂點(diǎn)處的燈籠被點(diǎn)亮，下一秒被點(diǎn)亮的燈籠必須與上一個(gè)頂點(diǎn)相鄰（在同一條棱上），且每個(gè)相鄰頂點(diǎn)的燈籠被點(diǎn)亮的概率相同，下一盞燈籠被點(diǎn)亮上一盞自動(dòng)熄滅．若初始亮燈點(diǎn)位于點(diǎn)處，第秒亮燈點(diǎn)在底面上的概率為．（1）求和的值；（2）推測與的關(guān)系，并求出的表達(dá)式．解：（1）依題意第一秒燈點(diǎn)等可能的在頂點(diǎn)、、處，其中在底面上的頂點(diǎn)為、，所以，第一秒燈點(diǎn)在頂點(diǎn)為、處（概率為），第二秒燈點(diǎn)在底面上的概率為；第一秒燈點(diǎn)在頂點(diǎn)為處（概率為），第二秒燈點(diǎn)在底面上的概率為；所以第二秒燈點(diǎn)在底面上的概率；（2）第秒亮燈點(diǎn)在底面上的概率為，在底面上的概率為，所以，所以，所以是以，公比為的等比數(shù)列，所以，則.18.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）設(shè)直線為曲線的切線，記直線的斜率的最大值為，求的最大值；（2）已知,設(shè)求證：．解：（1）由題意可知：的定義域?yàn)?，且，令，則的定義域?yàn)?，且，因?yàn)?，令，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則的最大值為，可知，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的最大值為.（2）由已知，則，由（1）可知：在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知；又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，且，可知；且，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即，所以.19.某省高考自2024年起數(shù)學(xué)考試多選題（題號(hào)9~11）的計(jì)分標(biāo)準(zhǔn)是：每道題滿分6分，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分（若某道題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得3分；若某道題正確選項(xiàng)為三個(gè)，漏選一個(gè)正確選項(xiàng)得4分，漏選兩個(gè)正確選項(xiàng)得2分），錯(cuò)選或不選得0分．每道多選題共4個(gè)選項(xiàng)，正確〖答案〗是選兩項(xiàng)或選三項(xiàng)．統(tǒng)計(jì)規(guī)律顯示：多選題正確〖答案〗是“選兩項(xiàng)”的概率是，沒有同學(xué)選四項(xiàng)．甲、乙兩個(gè)同學(xué)參加了考前模擬測試，已知兩同學(xué)第9題選的全對(duì)，第10~11題還不確定對(duì)錯(cuò)．（1）假設(shè)甲同學(xué)第10題隨機(jī)選了兩個(gè)選項(xiàng)，第11題隨機(jī)選了一個(gè)選項(xiàng)，求甲同學(xué)這三道多選題（滿分18分）所有可能總得分的中位數(shù)；（2）假設(shè)第10題正確〖答案〗是“選兩項(xiàng)”，若乙同學(xué)不知道是“選兩項(xiàng)”，隨機(jī)選該題的選項(xiàng)（既沒空選也沒選四項(xiàng)，所有選法等可能），求乙第10題得0分的概率；（3）第11題甲同學(xué)采用“隨機(jī)猜一個(gè)選項(xiàng)”的答題策略，乙同學(xué)采用“隨機(jī)猜兩個(gè)選項(xiàng)”的答題策略，記甲同學(xué)該題的得分為X，乙同學(xué)該題的得分為Y，試比較兩同學(xué)得分的平均值的大?。猓海?）因?yàn)榈?題得6分，第10題得分可能是0，4，6分，第11題得分可能是0，2，3分，因此總得分可能有以下情形：6+0+0=6，6+0+2=8，6+0+3=9，6+4+0=10，6+4+2=12，6+6+0=12，6+4+3=13，6+6+2=14，6+6+3=15，故總得分只有：6，8，9，10，12，13，14，15共8個(gè)得分，所以總得分的中位數(shù)是;（2）因?yàn)橐彝瑢W(xué)既沒空選也沒選四項(xiàng)，則選一項(xiàng)且不得分有種選法，選兩項(xiàng)且不得分有種選法，選三項(xiàng)且不得分有種選法，這道題的總選法有：種，所以；（3）若第11題正確〖答案〗是“選兩項(xiàng)”，則的取值為0，3，的取值為0，6，且，，，；若第11題正確〖答案〗是“選三項(xiàng)”，則的取值為0，2，的取值為0，4，且，，，；記“選兩項(xiàng)”和“選三項(xiàng)”時(shí)，與的平均值分別為和，則因?yàn)榈?1題正確〖答案〗是“選兩項(xiàng)”的概率是，所以正確〖答案〗是“選三項(xiàng)”的概率也是，所以，故.廣東省肇慶市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗函數(shù)，求導(dǎo)得，所以.故選：B2.已知某獨(dú)立性檢驗(yàn)中，由計(jì)算出，若將列聯(lián)表中數(shù)據(jù)分別變成，計(jì)算出的，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以故選：B3.求整數(shù)的正整數(shù)因數(shù)時(shí)可將其改寫成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，例如的正整數(shù)因數(shù)只需分別從中各選一個(gè)元素相乘即可，則500的正整數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.12 B.15 C.16 D.18〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，由題意可知：500的正整數(shù)因數(shù)只需分別從中各選一個(gè)元素相乘即可，所以500的正整數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：A.4.已知函數(shù)，若，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，所以，?故選：B.5.已知隨機(jī)變量，若方差，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，解得或，所以.故選：D6.直線與曲線相切于點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，依題意，解得，，解得，所以.故選：C7.若，則（）A.4048 B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗的展開式的通項(xiàng)公式為，結(jié)合，知均為負(fù)值，，令，得，故，故選：D.8.已知函數(shù)，且，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)、，所以有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令，則的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)?，設(shè)過原點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線方程為，則，所以，即，所以切線斜率，當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于一元線性回歸的敘述正確的有（）A.若相關(guān)系數(shù)，則與的相關(guān)程度很強(qiáng)B.殘差圖中的殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用模型比較合適C.決定系數(shù)越大，模型的擬合效果越差D.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過所有樣本點(diǎn)〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，A正確；對(duì)于B，殘差圖中的殘差比較均勻地分布在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，擬合效果較好，選用模型比較合適，B正確；對(duì)于C，決定系數(shù)越大，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，樣本點(diǎn)分布在經(jīng)驗(yàn)回歸直線附近，D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知是互不相等的正數(shù)，隨機(jī)變量的分布列如下表所示，若既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，的期望和方差分別為和，則（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗因既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列，則有，將①代入②中，化簡整理得，，則有，回代入①，可得，由分布列可知，故得，.依題意，，,故，故A正確，B錯(cuò)誤；，而可得，，則得,故D正確，C錯(cuò)誤.故選：AD.11.微分方程（由導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)）是微積分的重要分支，例如根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，逆用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得（為常數(shù)）．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的有（）A.B.若，則（為常數(shù)）C.是函數(shù)的極值點(diǎn)D.函數(shù)在上單調(diào)遞減〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，由，當(dāng)時(shí)，，而，則，A正確；對(duì)于B，，且（為常數(shù)），B正確；對(duì)于CD，由選項(xiàng)B知，，又，則，，求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，且，則，且，所以.故〖答案〗為：.13.用模型擬合一組數(shù)據(jù)，令，將模型轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗(yàn)回歸方程，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，兩邊取自然?duì)數(shù)可得，令，可得，又，所以，，所以，所以.故〖答案〗為：14.拋擲一校質(zhì)地均勻的正四面體骰子（四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4），底面的點(diǎn)數(shù)為1記為事件，拋擲次后事件發(fā)生奇數(shù)次的概率記為，則______，______.〖答案〗①②〖解析〗拋擲1次后事件A發(fā)生奇數(shù)次，只能是發(fā)生1次，；拋擲n次后事件A發(fā)生，拋擲n次后事件A發(fā)生奇數(shù)次的概率記為當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，構(gòu)造二項(xiàng)式，令，，令，，兩式做差得，可得，因?yàn)椋?故〖答案〗為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）當(dāng)時(shí)，則，可知的定義域?yàn)?，且，令，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的極大值為，無極小值.（2）由題意可知：的定義域?yàn)?，且，若，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；綜上所述：若，在內(nèi)單調(diào)遞減；若，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.16.小華同學(xué)設(shè)置手機(jī)密碼的六位數(shù)字時(shí)，準(zhǔn)備將的前6位數(shù)字（1，1，3，4，5，9）按照一定的順序進(jìn)行設(shè)置．（1）記事件：相同的數(shù)字相鄰，求事件發(fā)生的概率；（2）記事件：相同的數(shù)字不相鄰，求事件發(fā)生的概率；（3）記事件：相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間只有一個(gè)數(shù)字，求在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率．解：（1）依題意，在事件中，要求兩個(gè)1需相鄰，故只需要將其看成一個(gè)元素與另外四個(gè)數(shù)字全排即可，有種方法，由古典概型概率公式可得：（2）在事件中，要求兩個(gè)1不能相鄰，故只需先將這兩個(gè)1對(duì)另外4個(gè)數(shù)字產(chǎn)生5個(gè)空中進(jìn)行插空，再對(duì)這四個(gè)數(shù)字進(jìn)行全排即可，有種方法，由古典概型概率公式可得：；（3）在事件中，要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間只有一個(gè)數(shù)字，故只需先在3，4，5，9中選出1個(gè)數(shù)字放在兩個(gè)1之間，再看成1個(gè)元素，與另外3個(gè)元素共4個(gè)元素全排即可，有種方法，由古典概型概率公式可得：,由條件概率公式可得，.17.如圖，在正方體的頂點(diǎn)處各掛一盞燈籠，每秒有且只有一個(gè)頂點(diǎn)處的燈籠被點(diǎn)亮，下一秒被點(diǎn)亮的燈籠必須與上一個(gè)頂點(diǎn)相鄰（在同一條棱上），且每個(gè)相鄰頂點(diǎn)的燈籠被點(diǎn)亮的概率相同，下一盞燈籠被點(diǎn)亮上一盞自動(dòng)熄滅．若初始亮燈點(diǎn)位于點(diǎn)處，第秒亮燈點(diǎn)在底面上的概率為．（1）求和的值；（2）推測與的關(guān)系，并求出的表達(dá)式．解：（1）依題意第一秒燈點(diǎn)等可能的在頂點(diǎn)、、處，其中在底面上的頂點(diǎn)為、，所以，第一秒燈點(diǎn)在頂點(diǎn)為、處（概率為），第二秒燈點(diǎn)在底面上的概率為；第一秒燈點(diǎn)在頂點(diǎn)為處（概率為），第二秒燈點(diǎn)在底面上的概率為；所以第二秒燈點(diǎn)在底面上的概率；（2）第秒亮燈點(diǎn)在底面上的概率為，在底面上的概率為，所以，所以，所以是以，公比為的等比數(shù)列，所以，則.18.已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）設(shè)直線為曲線的切線，記直線的斜率的最大值為，求的最大值；（2）已知,設(shè)求證：．解：（1）由題意可知：的定義域?yàn)椋?，令，則的定義域?yàn)?，且，因?yàn)?，令，解得；令，解得；可知在?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則的最大值為，可知，且在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的最大值為.（2）由已知，則，由（1）可知：在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知；又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞減，且，可知；且，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即，所以.19.某省高考自2024年起數(shù)學(xué)考試多選題（題號(hào)9~11