2023-2024學年遼寧省沈陽市五校協(xié)作體高二下學期期末考試數(shù)學試題(解析版)_第1頁
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高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題第Ⅰ卷(選擇題,共58分)一、單項選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,集合中至少有2個元素,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為集合中至少有2個元素,所以,解得,故選:D2.已知命題,,則的一個充分不必要條件是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗命題,,等價于恒成立;又在單調遞減,在單調遞增,,故在上的最大值為;故恒成立,即,也即命題的充要條件為;結合選項,的一個充分不必要條件是.故選:B.3.此時此刻你正在做這道選擇題,假設你會做的概率是,當你會做的時候,又能選對正確〖答案〗的概率為100%,而當你不會做這道題時,你選對正確〖答案〗的概率是0.25,那么這一刻,你答對題目的概率為()A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0〖答案〗A〖解析〗設“考生答對題目”為事件,“考生知道正確〖答案〗”為事件,則,所以,故選:A.4.已知數(shù)列{an}的通項公式為,則此數(shù)列的最大項為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一:-=·,當時,,即;當時,,即;當時,,即,所以,所以數(shù)列有最大項,為第8項和第9項,且.方法二:設數(shù)列的第n項最大,則,即,解得,又,則或,故數(shù)列{an}有最大項,為第8項和第9項,且.故選:D5.函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象大致為A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗∵f(﹣x)f(x),∴f(x)是偶函數(shù),故f(x)圖形關于y軸對稱,排除C,D;又x=1時,<0,∴排除B,故選A.6.已知是數(shù)列的前項和,,,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗數(shù)列的前項和,由,,得,解得,因此數(shù)列是首項為1,公比為4的等比數(shù)列,,所以.故選:A7.已知,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式,即,設,則,,令,則,當時,,單調遞減,當時,,單調遞增.故只需,所以,即.設,則在上單調遞增,又,所以,設,則,所以在上單調遞增,所以值域為,即的取值范圍為.故選:C8.設,函數(shù),若函數(shù)恰有5個零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設,當時,,此時,由得,即,解得或,所以在上有2個零點;時,若,對稱軸為,函數(shù)的大致圖象如圖:此時,即,則,所以無解,則無零點,無零點,綜上,此時只有兩個零點,不符合題意,若,此時的大致圖象如下:令,解得(舍去),顯然在上存在唯一負解,所以要使恰有5個零點,需,即,解得,所以.故選:D二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分.9.下列命題正確的是()A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2,則數(shù)據(jù)的方差為7B.若,則.C.在一組樣本數(shù)據(jù),(,,不全相等)的散點圖中,若所有樣本點都在直線上,則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時,為了求出經(jīng)驗回歸方程,設,求得線性回歸方程為,則值分別是和4〖答案〗BD〖解析〗對于選項A:若樣本數(shù)據(jù)的方差為2,則數(shù)據(jù)的方差為,故A不正確;對于選項B:若,則,故B正確;對于選項C:在一組樣本數(shù)據(jù),(,,不全相等)的散點圖中,若所有樣本點都在直線上,其中是線性回歸方程的一次項系數(shù),不是相關系數(shù),相關系數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)線性相關程度一個量,范圍是[?1,1],當相關系數(shù)為正時呈正相關關系,為負時呈負相關關系,故C不正確;對于選項D:以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時,為了求出經(jīng)驗回歸方程,設,則,由題線性回歸方程為,則,故的值分別是和4,故D正確.故選:BD.10.數(shù)列滿足,下列說法正確的是()A.可能為常數(shù)列 B.數(shù)列可能為公差不為0的等差數(shù)列C.若,則 D.若,則的最大項為〖答案〗AD〖解析〗對于A,令,由,可得,解得,A正確;對于B,若數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列,由,得,則不會是非零常數(shù),B錯誤;對于C,,因此數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,則,C錯誤;對于D,,則,即,當時,;當時,,且數(shù)列遞減,因此數(shù)列的最大項為,D正確.故選:AD11.已知函數(shù)的定義域為R,且為偶函數(shù),則()A. B.為偶函數(shù)C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A,因為,令,則,故,則,故A正確;對于B,因為的定義域為,關于原點對稱,令,則,又不恒為0,故,所以奇函數(shù),故B錯誤;對于C,因為為偶函數(shù),所以,令,則,故,令,則,故,又為奇函數(shù),故,所以,即,故C正確;對于D,由選項C可知,所以,故的一個周期為6,因為,所以,對于,令,得,則,令,得,則,令,得,令,得,令,得,所以,又,所以由的周期性可得:,故D正確.故選:ACD.第Ⅱ卷(選擇題共92分)三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.12.若是與的等差中項,2是與的等比中項,則_________.〖答案〗17〖解析〗因為是與的等差中項,所以,因為2是與的等比中項,所以,而.故〖答案〗為:1713.若函數(shù)在上有最小值(、為常數(shù)),則函數(shù)在上最大值為__________.〖答案〗〖解析〗考慮函數(shù),定義域為R,又,所以是奇函數(shù),則,設的最大值為,最小值為,則,又,所以,,所以,則,所以,故〖答案〗為:9.14.已知對任意,且當時,都有,則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由,且,所以.設,,則原問題轉化為在上單調遞減.所以在上恒成立,即,恒成立.因為(當且僅當即時取“”)所以.故〖答案〗為:四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和,數(shù)列滿足,且.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.解:(1)當時,;當時,,,,由題可得,得,是首項為,公比為2的等比數(shù)列,;(2),①,②,①-②得:,.16.已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)若,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)函數(shù)的定義域為,當時,,所以,當時,,在上為減函數(shù),當時,,在上為增函數(shù),綜上所述:在上為減函數(shù),在上為增函數(shù);(2)若,不等式恒成立,則對均成立,所以令,則,令,顯然為上的減函數(shù),又,所以,,則在上為增函數(shù),當時,,則在上為減函數(shù),所以,所以,所以,所以實數(shù)的取值范圍為.17.“英才計劃”最早開始于2013年,由中國科協(xié)、教育部共同組織實施,到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質的優(yōu)秀中學生,為選拔培養(yǎng)對象,某高校在暑假期間從中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、物理、化學學科夏令營活動.(1)若數(shù)學組的7名學員中恰有3人來自A中學,從這7名學員中選取3人,表示選取的人中來自A中學的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;(2)在夏令營開幕式的晚會上,物理組舉行了一次學科知識競答活動,規(guī)則如下:兩人一組,每一輪競答中,每人分別答兩題,若小組答對題數(shù)不小于3,則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學組成一組,甲、乙答對每道題的概率分別為,.假設甲、乙兩人每次答題相互獨立,且互不影響.當時,求甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值.解:(1)由題意知,的可能取值有0,1,2,3,,,,,所以的分布列為:0123P.(2)因為甲、乙兩人每次答題相互獨立,設甲答對題數(shù)為,則,設乙答對題數(shù)為,則,設“甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝”,則由,又,所以,則,又,所以,設,所以,由二次函數(shù)可知當時取最大值,所以甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值為.18.已知,,是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當時,求函數(shù)的極值;(2)若關于的方程有兩個不等實根,求的取值范圍;(3)當時,若滿足,求證:.解:(1)當時,,定義域為,求導可得,令,得,當時,,函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,當時,,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,所以在處取到極小值為0,無極大值.(2)方程,當時,顯然方程不成立,所以,則,方程有兩個不等實根,即與的圖象有2個交點,,當或時,,在區(qū)間和上單調遞減,并且時,,當時,,當時,,在區(qū)間上單調遞增,時,當時,取得最小值,,作出函數(shù)的圖象,如圖所示:因此與有2個交點時,,故的取值范圍為.(3),由,得,當時,,當時,,所以函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增.由題意,且,則,.要證,只需證,而,且函數(shù)在上單調遞減,故只需證,又,所以只需證,即證,令,即,,由均值不等式可得,當且僅當,即時,等號成立.所以函數(shù)在上單調遞增.由,可得,即,所以,又函數(shù)在上單調遞減,所以,即得證.19.定義:如果數(shù)列從第三項開始,每一項都介于前兩項之間,那么稱數(shù)列為“跳動數(shù)列".(1)若數(shù)列的前項和滿足,且,求的通項公式,并判斷是否為“跳動數(shù)列”(直接寫出判斷結果,不必寫出過程);(2)若公比為的等比數(shù)列是“跳動數(shù)列”,求的取值范圍;(3)若“跳動數(shù)列”滿足,證明:或.解:(1)因為且,當時,解得,當時,所以,即,所以,又,所以是以為首項,為公比的等比數(shù)列,所以,因為,所以位于與之間,所以是“跳動數(shù)列”;(2)由“跳動數(shù)列”的定義可知:是“跳動數(shù)列”,若公比為的等比數(shù)列是“跳動數(shù)列”,則,即,所以,即,解得,即的取值范圍為.(3)由,可得,所以,則,由是“跳動數(shù)列”,可得,即,即,即,所以,又,所以,即,解得或,故命題成立.遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題第Ⅰ卷(選擇題,共58分)一、單項選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,集合中至少有2個元素,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為集合中至少有2個元素,所以,解得,故選:D2.已知命題,,則的一個充分不必要條件是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗命題,,等價于恒成立;又在單調遞減,在單調遞增,,故在上的最大值為;故恒成立,即,也即命題的充要條件為;結合選項,的一個充分不必要條件是.故選:B.3.此時此刻你正在做這道選擇題,假設你會做的概率是,當你會做的時候,又能選對正確〖答案〗的概率為100%,而當你不會做這道題時,你選對正確〖答案〗的概率是0.25,那么這一刻,你答對題目的概率為()A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0〖答案〗A〖解析〗設“考生答對題目”為事件,“考生知道正確〖答案〗”為事件,則,所以,故選:A.4.已知數(shù)列{an}的通項公式為,則此數(shù)列的最大項為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一:-=·,當時,,即;當時,,即;當時,,即,所以,所以數(shù)列有最大項,為第8項和第9項,且.方法二:設數(shù)列的第n項最大,則,即,解得,又,則或,故數(shù)列{an}有最大項,為第8項和第9項,且.故選:D5.函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象大致為A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗∵f(﹣x)f(x),∴f(x)是偶函數(shù),故f(x)圖形關于y軸對稱,排除C,D;又x=1時,<0,∴排除B,故選A.6.已知是數(shù)列的前項和,,,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗數(shù)列的前項和,由,,得,解得,因此數(shù)列是首項為1,公比為4的等比數(shù)列,,所以.故選:A7.已知,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式,即,設,則,,令,則,當時,,單調遞減,當時,,單調遞增.故只需,所以,即.設,則在上單調遞增,又,所以,設,則,所以在上單調遞增,所以值域為,即的取值范圍為.故選:C8.設,函數(shù),若函數(shù)恰有5個零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設,當時,,此時,由得,即,解得或,所以在上有2個零點;時,若,對稱軸為,函數(shù)的大致圖象如圖:此時,即,則,所以無解,則無零點,無零點,綜上,此時只有兩個零點,不符合題意,若,此時的大致圖象如下:令,解得(舍去),顯然在上存在唯一負解,所以要使恰有5個零點,需,即,解得,所以.故選:D二、多項選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對得6分,選對但不全的得部分分,有選錯的得0分.9.下列命題正確的是()A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2,則數(shù)據(jù)的方差為7B.若,則.C.在一組樣本數(shù)據(jù),(,,不全相等)的散點圖中,若所有樣本點都在直線上,則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關系數(shù)為D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時,為了求出經(jīng)驗回歸方程,設,求得線性回歸方程為,則值分別是和4〖答案〗BD〖解析〗對于選項A:若樣本數(shù)據(jù)的方差為2,則數(shù)據(jù)的方差為,故A不正確;對于選項B:若,則,故B正確;對于選項C:在一組樣本數(shù)據(jù),(,,不全相等)的散點圖中,若所有樣本點都在直線上,其中是線性回歸方程的一次項系數(shù),不是相關系數(shù),相關系數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)線性相關程度一個量,范圍是[?1,1],當相關系數(shù)為正時呈正相關關系,為負時呈負相關關系,故C不正確;對于選項D:以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時,為了求出經(jīng)驗回歸方程,設,則,由題線性回歸方程為,則,故的值分別是和4,故D正確.故選:BD.10.數(shù)列滿足,下列說法正確的是()A.可能為常數(shù)列 B.數(shù)列可能為公差不為0的等差數(shù)列C.若,則 D.若,則的最大項為〖答案〗AD〖解析〗對于A,令,由,可得,解得,A正確;對于B,若數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列,由,得,則不會是非零常數(shù),B錯誤;對于C,,因此數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,則,C錯誤;對于D,,則,即,當時,;當時,,且數(shù)列遞減,因此數(shù)列的最大項為,D正確.故選:AD11.已知函數(shù)的定義域為R,且為偶函數(shù),則()A. B.為偶函數(shù)C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A,因為,令,則,故,則,故A正確;對于B,因為的定義域為,關于原點對稱,令,則,又不恒為0,故,所以奇函數(shù),故B錯誤;對于C,因為為偶函數(shù),所以,令,則,故,令,則,故,又為奇函數(shù),故,所以,即,故C正確;對于D,由選項C可知,所以,故的一個周期為6,因為,所以,對于,令,得,則,令,得,則,令,得,令,得,令,得,所以,又,所以由的周期性可得:,故D正確.故選:ACD.第Ⅱ卷(選擇題共92分)三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.12.若是與的等差中項,2是與的等比中項,則_________.〖答案〗17〖解析〗因為是與的等差中項,所以,因為2是與的等比中項,所以,而.故〖答案〗為:1713.若函數(shù)在上有最小值(、為常數(shù)),則函數(shù)在上最大值為__________.〖答案〗〖解析〗考慮函數(shù),定義域為R,又,所以是奇函數(shù),則,設的最大值為,最小值為,則,又,所以,,所以,則,所以,故〖答案〗為:9.14.已知對任意,且當時,都有,則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由,且,所以.設,,則原問題轉化為在上單調遞減.所以在上恒成立,即,恒成立.因為(當且僅當即時取“”)所以.故〖答案〗為:四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和,數(shù)列滿足,且.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.解:(1)當時,;當時,,,,由題可得,得,是首項為,公比為2的等比數(shù)列,;(2),①,②,①-②得:,.16.已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)若,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.解:(1)函數(shù)的定義域為,當時,,所以,當時,,在上為減函數(shù),當時,,在上為增函數(shù),綜上所述:在上為減函數(shù),在上為增函數(shù);(2)若,不等式恒成立,則對均成立,所以令,則,令,顯然為上的減函數(shù),又,所以,,則在上為增函數(shù),當時,,則在上為減函數(shù),所以,所以,所以,所以實數(shù)的取值范圍為.17.“英才計劃”最早開始于2013年,由中國科協(xié)、教育部共同組織實施,到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質的優(yōu)秀中學生,為選拔培養(yǎng)對象,某高校在暑假期間從中學里挑選優(yōu)秀學生參加數(shù)學、物理、化學學科夏令營活動.(1)若數(shù)學組的7名學員中恰有3人來自A中學,從這7名學員中選取3人,表示選取的人中來自A中學的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望;(2)在夏令營開幕式的晚會上,物理組舉行了一次學科知識競答活動,規(guī)則如下:兩人一組,每一輪競答中,每人分別答兩題,若小組答對題數(shù)不小于3,則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學組成一組,甲、乙答對每道題的概率分別為,.假設甲、乙兩人每次答題相互獨立,且互不影響.當時,求甲、乙兩位同學在每輪答題中取勝的概率的最大值.解:(1)由題意知,的可能取值有0,1,2,3,,,,,所以的分布列為:0123P.(2)因為甲、乙兩人每次答題相互獨立,設甲答對題數(shù)為,則,設乙答對題數(shù)為,則,設“甲、乙兩位同

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