2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽市五校協(xié)作體高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項(xiàng)選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合中至少有2個元素，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榧现兄辽儆?個元素，所以，解得，故選：D2.已知命題，，則的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗命題，，等價于恒成立；又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，故在上的最大值為；故恒成立，即，也即命題的充要條件為；結(jié)合選項(xiàng)，的一個充分不必要條件是.故選：B.3.此時此刻你正在做這道選擇題，假設(shè)你會做的概率是，當(dāng)你會做的時候，又能選對正確〖答案〗的概率為100%，而當(dāng)你不會做這道題時，你選對正確〖答案〗的概率是0.25，那么這一刻，你答對題目的概率為（）A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0〖答案〗A〖解析〗設(shè)“考生答對題目”為事件，“考生知道正確〖答案〗”為事件，則，所以，故選：A.4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則此數(shù)列的最大項(xiàng)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一：－＝·，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，所以，所以數(shù)列有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且.方法二：設(shè)數(shù)列的第n項(xiàng)最大，則，即，解得，又，則或，故數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且.故選：D5.函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗∵f（﹣x）f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，故f（x）圖形關(guān)于y軸對稱，排除C，D；又x=1時，<0，∴排除B，故選A．6.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗數(shù)列的前項(xiàng)和，由，，得，解得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，，所以.故選：A7.已知，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式，即，設(shè)，則，，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故只需，所以，即.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，又，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以值域?yàn)?，即的取值范圍?故選：C8.設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，當(dāng)時，，此時，由得，即，解得或，所以在上有2個零點(diǎn)；時，若，對稱軸為，函數(shù)的大致圖象如圖：此時，即，則，所以無解，則無零點(diǎn)，無零點(diǎn)，綜上，此時只有兩個零點(diǎn)，不符合題意，若，此時的大致圖象如下：令，解得（舍去），顯然在上存在唯一負(fù)解，所以要使恰有5個零點(diǎn)，需，即，解得，所以．故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題正確的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為7B.若，則．C.在一組樣本數(shù)據(jù)，（，，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則值分別是和4〖答案〗BD〖解析〗對于選項(xiàng)A：若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故A不正確；對于選項(xiàng)B：若，則，故B正確；對于選項(xiàng)C：在一組樣本數(shù)據(jù)，（，，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，其中是線性回歸方程的一次項(xiàng)系數(shù)，不是相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度一個量，范圍是[?1，1]，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正時呈正相關(guān)關(guān)系，為負(fù)時呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故C不正確；對于選項(xiàng)D：以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，則，由題線性回歸方程為，則，故的值分別是和4，故D正確.故選：BD.10.數(shù)列滿足，下列說法正確的是（）A.可能為常數(shù)列 B.數(shù)列可能為公差不為0的等差數(shù)列C.若，則 D.若，則的最大項(xiàng)為〖答案〗AD〖解析〗對于A，令，由，可得，解得，A正確；對于B，若數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，由，得，則不會是非零常數(shù)，B錯誤；對于C，，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，則，C錯誤；對于D，，則，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，，且數(shù)列遞減，因此數(shù)列的最大項(xiàng)為，D正確.故選：AD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因?yàn)?，令，則，故，則，故A正確；對于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，令，則，又不恒為0，故，所以奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數(shù)，故，所以，即，故C正確；對于D，由選項(xiàng)C可知，所以，故的一個周期為6，因?yàn)?，所以，對于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.若是與的等差中項(xiàng)，2是與的等比中項(xiàng)，則_________．〖答案〗17〖解析〗因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，因?yàn)?是與的等比中項(xiàng)，所以，而.故〖答案〗為：1713.若函數(shù)在上有最小值（、為常數(shù)），則函數(shù)在上最大值為__________.〖答案〗〖解析〗考慮函數(shù)，定義域?yàn)镽，又，所以是奇函數(shù)，則，設(shè)的最大值為，最小值為，則，又，所以，，所以，則，所以，故〖答案〗為：9.14.已知對任意，且當(dāng)時，都有，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，且，所以.設(shè)，，則原問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞減.所以在上恒成立，即，恒成立.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)即時取“”）所以.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，由題可得，得，是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，；（2），①，②，①-②得：，.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，，所以，當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，綜上所述：在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；（2）若，不等式恒成立，則對均成立，所以令，則，令，顯然為上的減函數(shù)，又，所以，，則在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，則在上為減函數(shù)，所以，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.“英才計(jì)劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動.（1）若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來自A中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自A中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響.當(dāng)時，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.解：（1）由題意知，的可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123P.（2）因?yàn)榧?、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，設(shè)甲答對題數(shù)為，則，設(shè)乙答對題數(shù)為，則，設(shè)“甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝”,則由，又，所以，則，又，所以，設(shè)，所以，由二次函數(shù)可知當(dāng)時取最大值，所以甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值為.18.已知，，是自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）若關(guān)于的方程有兩個不等實(shí)根，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，若滿足，求證：.解：（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)?，求?dǎo)可得，令，得，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在處取到極小值為0，無極大值.（2）方程，當(dāng)時，顯然方程不成立，所以，則，方程有兩個不等實(shí)根，即與的圖象有2個交點(diǎn)，，當(dāng)或時，，在區(qū)間和上單調(diào)遞減，并且時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，當(dāng)時，取得最小值，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因此與有2個交點(diǎn)時，，故的取值范圍為.（3），由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由題意，且，則，.要證，只需證，而，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故只需證，又，所以只需證，即證，令，即，，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.由，可得，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即得證.19.定義:如果數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都介于前兩項(xiàng)之間，那么稱數(shù)列為“跳動數(shù)列"．（1）若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，求的通項(xiàng)公式，并判斷是否為“跳動數(shù)列”(直接寫出判斷結(jié)果，不必寫出過程)；（2）若公比為的等比數(shù)列是“跳動數(shù)列”，求的取值范圍；（3）若“跳動數(shù)列”滿足，證明：或．解：（1）因?yàn)榍遥?dāng)時，解得，當(dāng)時，所以，即，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以位于與之間，所以是“跳動數(shù)列”；（2）由“跳動數(shù)列”的定義可知：是“跳動數(shù)列”，若公比為的等比數(shù)列是“跳動數(shù)列”，則，即，所以，即，解得，即的取值范圍為.（3）由，可得，所以，則，由是“跳動數(shù)列”，可得，即，即，即，所以，又，所以，即，解得或，故命題成立.遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項(xiàng)選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合中至少有2個元素，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榧现兄辽儆?個元素，所以，解得，故選：D2.已知命題，，則的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗命題，，等價于恒成立；又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，故在上的最大值為；故恒成立，即，也即命題的充要條件為；結(jié)合選項(xiàng)，的一個充分不必要條件是.故選：B.3.此時此刻你正在做這道選擇題，假設(shè)你會做的概率是，當(dāng)你會做的時候，又能選對正確〖答案〗的概率為100%，而當(dāng)你不會做這道題時，你選對正確〖答案〗的概率是0.25，那么這一刻，你答對題目的概率為（）A.0.625 B.0.75 C.0.5 D.0〖答案〗A〖解析〗設(shè)“考生答對題目”為事件，“考生知道正確〖答案〗”為事件，則，所以，故選：A.4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則此數(shù)列的最大項(xiàng)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗方法一：－＝·，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，所以，所以數(shù)列有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且.方法二：設(shè)數(shù)列的第n項(xiàng)最大，則，即，解得，又，則或，故數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且.故選：D5.函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的圖象大致為A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗∵f（﹣x）f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，故f（x）圖形關(guān)于y軸對稱，排除C，D；又x=1時，<0，∴排除B，故選A．6.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗數(shù)列的前項(xiàng)和，由，，得，解得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，，所以.故選：A7.已知，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式，即，設(shè)，則，，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故只需，所以，即.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，又，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以值域?yàn)椋吹娜≈捣秶鸀?故選：C8.設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，當(dāng)時，，此時，由得，即，解得或，所以在上有2個零點(diǎn)；時，若，對稱軸為，函數(shù)的大致圖象如圖：此時，即，則，所以無解，則無零點(diǎn)，無零點(diǎn)，綜上，此時只有兩個零點(diǎn)，不符合題意，若，此時的大致圖象如下：令，解得（舍去），顯然在上存在唯一負(fù)解，所以要使恰有5個零點(diǎn)，需，即，解得，所以．故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題正確的是（）A.若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為7B.若，則．C.在一組樣本數(shù)據(jù)，（，，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)為D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則值分別是和4〖答案〗BD〖解析〗對于選項(xiàng)A：若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，故A不正確；對于選項(xiàng)B：若，則，故B正確；對于選項(xiàng)C：在一組樣本數(shù)據(jù)，（，，不全相等）的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，其中是線性回歸方程的一次項(xiàng)系數(shù)，不是相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)是刻畫一組數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度一個量，范圍是[?1，1]，當(dāng)相關(guān)系數(shù)為正時呈正相關(guān)關(guān)系，為負(fù)時呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，故C不正確；對于選項(xiàng)D：以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，設(shè)，則，由題線性回歸方程為，則，故的值分別是和4，故D正確.故選：BD.10.數(shù)列滿足，下列說法正確的是（）A.可能為常數(shù)列 B.數(shù)列可能為公差不為0的等差數(shù)列C.若，則 D.若，則的最大項(xiàng)為〖答案〗AD〖解析〗對于A，令，由，可得，解得，A正確；對于B，若數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，由，得，則不會是非零常數(shù)，B錯誤；對于C，，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，則，C錯誤；對于D，，則，即，當(dāng)時，；當(dāng)時，，且數(shù)列遞減，因此數(shù)列的最大項(xiàng)為，D正確.故選：AD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為偶函數(shù)，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因?yàn)?，令，則，故，則，故A正確；對于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，令，則，又不恒為0，故，所以奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，令，則，故，令，則，故，又為奇函數(shù)，故，所以，即，故C正確；對于D，由選項(xiàng)C可知，所以，故的一個周期為6，因?yàn)椋?，對于，令，得，則，令，得，則，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.若是與的等差中項(xiàng)，2是與的等比中項(xiàng)，則_________．〖答案〗17〖解析〗因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，因?yàn)?是與的等比中項(xiàng)，所以，而.故〖答案〗為：1713.若函數(shù)在上有最小值（、為常數(shù)），則函數(shù)在上最大值為__________.〖答案〗〖解析〗考慮函數(shù)，定義域?yàn)镽，又，所以是奇函數(shù)，則，設(shè)的最大值為，最小值為，則，又，所以，，所以，則，所以，故〖答案〗為：9.14.已知對任意，且當(dāng)時，都有，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由，且，所以.設(shè)，，則原問題轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞減.所以在上恒成立，即，恒成立.因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)即時取“”）所以.故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，由題可得，得，是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，；（2），①，②，①-②得：，.16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時，，所以，當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，綜上所述：在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；（2）若，不等式恒成立，則對均成立，所以令，則，令，顯然為上的減函數(shù)，又，所以，，則在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，則在上為減函數(shù)，所以，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.“英才計(jì)劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動.（1）若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來自A中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自A中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響.當(dāng)時，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.解：（1）由題意知，的可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列為：0123P.（2）因?yàn)榧?、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，設(shè)甲答對題數(shù)為，則，設(shè)乙答對題數(shù)為，則，設(shè)“甲、乙兩位同