2023-2024學年山東省青島市西海岸高一下學期期末學業(yè)水平檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市西海岸2023-2024學年高一下學期期末學業(yè)水平檢測數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)z滿足，則的虛部為（）A. B.1 C. D.i〖答案〗A〖解析〗由題，，則，則，故的虛部為.故選：A.2.在空間直角坐標系中，點關(guān)于y軸對稱點的坐標為（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為點橫坐標關(guān)于y軸對稱的橫坐標為，點縱坐標關(guān)于y軸對稱的縱坐標為，點豎坐標關(guān)于y軸對稱的豎坐標為，所以點關(guān)于y軸對稱點的坐標為.故選：C.3.已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的一組條件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若，則，故B正確；對于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯誤；對于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯誤.故選：B.4.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，所以共面，故A錯誤；對于B，，所以共面，故B錯誤；對于C，假設共面，則存在，使得，則共面，這與可構(gòu)成空間的一個基底矛盾，所以不共面，故C正確；對于D，，所以共面，故D錯誤.故選：C.5.如圖，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，一只螞蟻從點P處沿著該圓錐側(cè)面爬行一周后回到點P處，則螞蟻爬行的最短路線長為（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，一只螞蟻從點P出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點P的最短距離為，設，圓錐底面周長為，所以圓弧的長為，所以，在中，由，得.故選：D.6.正四棱臺的上、下底面邊長分別是2和4，高是，則它的側(cè)面積為（）A6 B. C.24 D.44〖答案〗C〖解析〗如圖，過作平面，作，連接，根據(jù)題意得，，所以，所以此正四棱臺的側(cè)面是4個全等的高為2的等腰梯形，所以側(cè)面積為.故選：.7.若△ABC為斜三角形，，則的值為（）A B. C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗由，可知或，又為斜三角形，所以，即，故選：A.8.已知平面，平面，，BD與平面所成的角為30°，，，則點C與點D之間的距離為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗如圖，作，垂足為，連接，因為平面，，平面，所以，所以，則或，易知，若，則，若，則.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.正方體中，點E，F(xiàn)分別為，的中點，則（）A.與為異面直線B.平面C.過點A，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面為三角形D.平面〖答案〗ABD〖解析〗對于A，取中點，連接，則由題意，又，故與不平行，又與無公共點，所以與異面，故A正確；對于B，連接，則由題意可知為的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，連接、，由正方體性質(zhì)，所以由可唯一確定一個平面，因為平面，所以平面是過點A，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，該截面為為平行四邊形，故C錯誤；對于D，由B可知，由正方體性質(zhì)，又平面，所以平面，因為平面，所以，同理平面，因為平面，所以，又因為，平面，所以平面，又由B可知，所以平面，故D正確.故選：ABD.10.已知向量在向量上的投影向量為，向量，則向量可以為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意，所以，對于A，因為，故A正確；對于B，因為，故B錯誤；對于C，因為，故C錯誤；對于D，因為，故D正確.故選：AD.11.已知四面體的所有棱長都等于6，點在側(cè)面內(nèi)運動（包含邊界），且與平面所成角的正切值為，點是棱的中點，則（）A.該四面體的高為B.該四面體的體積為C.點的運動軌跡長度為D.過的平面截該四面體內(nèi)最大球的截面面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，設點在底面上的射影為點，連接，則是線段的靠近點的三等分點，在等邊中，，所以，，在中，，所以該四面體的高為，故A正確；對于B：，所以該四面體的體積為，故B錯誤；對于C：由平面知，就是與平面所成角，即，而，所以，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其軌跡長度為，故C正確；對于D：設該四面體內(nèi)切球的半徑為，球心為，在截面中，取的中點，連接，則在線段上，因為，所以，因為，所以，而過的平面截該四面體內(nèi)最大球的截面就是其內(nèi)切球的大圓，所以該截面的面積為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．12.如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為60°．已知禮物重量為2kg，每根繩子的拉力大小相同.則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為______N．（重力加速度g?。即鸢浮健冀馕觥皆O水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，因為，所以在上的投影向量為，所以8根繩子拉力的合力為，又因為降落傘勻速下落，所以，所以，，所以.故〖答案〗為：.13.已知直三棱柱的所有頂點都在表面積為的球的表面上，，，則此直棱柱的體積為______．〖答案〗〖解析〗設，如圖所示，在中，，設底面的外接圓的半徑為，由余弦定理得，所以，由正弦定理可得，所以，設的外心為，的外心為，則外接球的球心為的中點，所以外接球半徑，所以外接球表面積為，所以，解得，所以此直棱柱的體積為.故〖答案〗為：.14.在四面體中，面與面所成的二面角為，頂點在面上的射影是，的重心是，若，，則______．〖答案〗〖解析〗如圖，取中點，連接，，，，且，又，且，平面，平面，平面，所以，面與面所成的二面角為，且在上，，又，，根據(jù)余弦定理可得．故〖答案〗為：．四、解答題：共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，圓臺上下底面半徑分別為1，2，，為其兩條母線，且母線長為2．（1）證明：四邊形為等腰梯形；（2）若在圓臺內(nèi)部挖去一個以O為頂點，圓為底面的圓錐，求剩余部分的體積．解：（1）因為，為圓臺兩條母線，所以，且它們都在同一個平面內(nèi)，又由于圓臺的上下底面都是圓，由圓的同心性和圓臺的形成可知，，故四邊形為等腰梯形.（2）如圖所示：連接，過點作于點，則，所以由勾股定理得高，，，故剩余部分的體積.16.如圖，在三棱柱中，，，，平面底面，分別是的中點，P是與的交點．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）連接，因為分別是的中點，P是與的交點，所以為的中位線，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，又因為，所以平面平面.（2）因為，，所以是等邊三角形，取的中點為，連接，則，，又因為平面底面且交線為，所以底面，因為，，，所以，所以，所以，所以取的三分之一等分點，，連接，則，以為坐標原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，則，設平面的法向量為，平面的法向量為，，令，則，所以，同理可得，，令，則，所以，所以，所以，所以平面與平面夾角的余弦值.17.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為，且．（1）求B；（2）若B的角平分線交AC于點D，，點E在線段AC上，，求的面積．解：（1）由正弦定理得，故，因為，所以.（2）由正弦定理得，解得，因為，所以，因為B的角平分線交AC于點D，所以，由得：，即，在中，由余弦定理得，故，即，聯(lián)立與，解得，負值舍去，故，解得，由三線合一可得⊥，且，，故，.18.如圖1，直角梯形中，，，，，以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)后得到幾何體W，如圖2，其中，分別為上下底面直徑，點P，Q分別在圓弧，上，直線平面.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值等于，求P到平面的距離；（3）若平面與平面夾角的余弦值，求．解：（1）設平面交上底面于，在圓弧上，因為上下底面平行，故，又因平面，平面，平面平面，所以，所以，由題意可知，又，平面，所以平面，所以平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知平面，連接，所以是直線與平面所成角，所以由題意，又由題意，，所以，所以，即在圓弧的中點上，所以由知點P在圓弧中點上，故，所以，因為平面，所以點P到平面的距離即為F到平面的距離，又圓柱結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，平面，平面，所以平面，所以F到平面的距離即為C到平面的距離，設該距離為，因為，，又，所以，即點P到平面的距離為.（3）過作垂直于底面，則由上知，所以可建立如圖所示的分別以為軸的空間直角坐標系，則，設，且，所以，設平面的法向量為，則，所以即，取可求得，設平面的法向量為，則，所以即，取可求得，設平面與平面的夾角為，則，且，整理得，所以，即，即，所以，所以，所以.19.如圖所示，用一個不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面.得到的幾何體稱之為“斜截圓柱”．AB是底面圓O的直徑，，橢圓面過點B且垂直于平面ABC，且與底面所成二面角為45°，橢圓上的點在底面上的投影分別為，且均在直徑AB同一側(cè)．（1）當時，求的長度；（2）當時，若下圖中，點，，，…，將半圓平均分成7等分，求；（3）證明：．解：（1）如圖，取CD中點，過作與該斜截圓柱的底面圓平行且全等的圓面，交于點，與交于點，過點B作底面圓的垂線交平行圓面于點，由橢圓面過點B且與底面所成二面角為45°，則，因為所以，過作GH的垂線，交圓于J、K兩點，過作交JK于點，又由圓M，因為圓M，則，又因，平面，故平面，因平面，故，所以為橢圓面與圓所在平面的夾角，也即橢圓面與底面所成角，所以，則為等腰直角三角形，，設，如圖作圓所在平面的俯視圖，則，由，所以，則有，所以，即，當時，.（2）當時，，由（1）可得：所以，…，則.（3）由（1）知，也即是關(guān)于的函數(shù)，也即將斜截圓柱的側(cè)面沿著展開，其橢圓面的輪廓線即為函數(shù)的圖象，如圖，將繪制于函數(shù)圖象上，并以，（）為邊作矩形，則矩形面積即為，所以即為這些矩形的面積之和，而函數(shù)的圖象與軸圍成的面積即為該斜截圓柱的半個側(cè)面積，我們把兩個該斜截圓柱可拼成一個底面半徑為1，高為2的圓柱，因此該斜截圓柱的半個側(cè)面積為，所以函數(shù)與坐標軸圍成的面積為，又因為無論點是否均勻分布在半圓弧AB上，這些矩形的面積之和都小于函數(shù)與坐標軸圍成的面積，所以，即問題得證.山東省青島市西海岸2023-2024學年高一下學期期末學業(yè)水平檢測數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)z滿足，則的虛部為（）A. B.1 C. D.i〖答案〗A〖解析〗由題，，則，則，故的虛部為.故選：A.2.在空間直角坐標系中，點關(guān)于y軸對稱點的坐標為（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為點橫坐標關(guān)于y軸對稱的橫坐標為，點縱坐標關(guān)于y軸對稱的縱坐標為，點豎坐標關(guān)于y軸對稱的豎坐標為，所以點關(guān)于y軸對稱點的坐標為.故選：C.3.已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的一組條件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若，則，故B正確；對于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯誤；對于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯誤.故選：B.4.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，所以共面，故A錯誤；對于B，，所以共面，故B錯誤；對于C，假設共面，則存在，使得，則共面，這與可構(gòu)成空間的一個基底矛盾，所以不共面，故C正確；對于D，，所以共面，故D錯誤.故選：C.5.如圖，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，一只螞蟻從點P處沿著該圓錐側(cè)面爬行一周后回到點P處，則螞蟻爬行的最短路線長為（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗已知圓錐的側(cè)面展開圖為半徑是3的扇形，如圖，一只螞蟻從點P出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點P的最短距離為，設，圓錐底面周長為，所以圓弧的長為，所以，在中，由，得.故選：D.6.正四棱臺的上、下底面邊長分別是2和4，高是，則它的側(cè)面積為（）A6 B. C.24 D.44〖答案〗C〖解析〗如圖，過作平面，作，連接，根據(jù)題意得，，所以，所以此正四棱臺的側(cè)面是4個全等的高為2的等腰梯形，所以側(cè)面積為.故選：.7.若△ABC為斜三角形，，則的值為（）A B. C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗由，可知或，又為斜三角形，所以，即，故選：A.8.已知平面，平面，，BD與平面所成的角為30°，，，則點C與點D之間的距離為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗如圖，作，垂足為，連接，因為平面，，平面，所以，所以，則或，易知，若，則，若，則.故選：C.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.正方體中，點E，F(xiàn)分別為，的中點，則（）A.與為異面直線B.平面C.過點A，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面為三角形D.平面〖答案〗ABD〖解析〗對于A，取中點，連接，則由題意，又，故與不平行，又與無公共點，所以與異面，故A正確；對于B，連接，則由題意可知為的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，連接、，由正方體性質(zhì)，所以由可唯一確定一個平面，因為平面，所以平面是過點A，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，該截面為為平行四邊形，故C錯誤；對于D，由B可知，由正方體性質(zhì)，又平面，所以平面，因為平面，所以，同理平面，因為平面，所以，又因為，平面，所以平面，又由B可知，所以平面，故D正確.故選：ABD.10.已知向量在向量上的投影向量為，向量，則向量可以為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意，所以，對于A，因為，故A正確；對于B，因為，故B錯誤；對于C，因為，故C錯誤；對于D，因為，故D正確.故選：AD.11.已知四面體的所有棱長都等于6，點在側(cè)面內(nèi)運動（包含邊界），且與平面所成角的正切值為，點是棱的中點，則（）A.該四面體的高為B.該四面體的體積為C.點的運動軌跡長度為D.過的平面截該四面體內(nèi)最大球的截面面積為〖答案〗ACD〖解析〗對于A，設點在底面上的射影為點，連接，則是線段的靠近點的三等分點，在等邊中，，所以，，在中，，所以該四面體的高為，故A正確；對于B：，所以該四面體的體積為，故B錯誤；對于C：由平面知，就是與平面所成角，即，而，所以，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其軌跡長度為，故C正確；對于D：設該四面體內(nèi)切球的半徑為，球心為，在截面中，取的中點，連接，則在線段上，因為，所以，因為，所以，而過的平面截該四面體內(nèi)最大球的截面就是其內(nèi)切球的大圓，所以該截面的面積為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．12.如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為60°．已知禮物重量為2kg，每根繩子的拉力大小相同.則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為______N．（重力加速度g取）〖答案〗〖解析〗設水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，因為，所以在上的投影向量為，所以8根繩子拉力的合力為，又因為降落傘勻速下落，所以，所以，，所以.故〖答案〗為：.13.已知直三棱柱的所有頂點都在表面積為的球的表面上，，，則此直棱柱的體積為______．〖答案〗〖解析〗設，如圖所示，在中，，設底面的外接圓的半徑為，由余弦定理得，所以，由正弦定理可得，所以，設的外心為，的外心為，則外接球的球心為的中點，所以外接球半徑，所以外接球表面積為，所以，解得，所以此直棱柱的體積為.故〖答案〗為：.14.在四面體中，面與面所成的二面角為，頂點在面上的射影是，的重心是，若，，則______．〖答案〗〖解析〗如圖，取中點，連接，，，，且，又，且，平面，平面，平面，所以，面與面所成的二面角為，且在上，，又，，根據(jù)余弦定理可得．故〖答案〗為：．四、解答題：共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，圓臺上下底面半徑分別為1，2，，為其兩條母線，且母線長為2．（1）證明：四邊形為等腰梯形；（2）若在圓臺內(nèi)部挖去一個以O為頂點，圓為底面的圓錐，求剩余部分的體積．解：（1）因為，為圓臺兩條母線，所以，且它們都在同一個平面內(nèi)，又由于圓臺的上下底面都是圓，由圓的同心性和圓臺的形成可知，，故四邊形為等腰梯形.（2）如圖所示：連接，過點作于點，則，所以由勾股定理得高，，，故剩余部分的體積.16.如圖，在三棱柱中，，，，平面底面，分別是的中點，P是與的交點．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）連接，因為分別是的中點，P是與的交點，所以為的中位線，所以，又因為平面，平面，所以平面，又因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，又因為，所以平面平面.（2）因為，，所以是等邊三角形，取的中點為，連接，則，，又因為平面底面且交線為，所以底面，因為，，，所以，所以，所以，所以取的三分之一等分點，，連接，則，以為坐標原點，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，則，設平面的法向量為，平面的法向量為，，令，則，所以，同理可得，，令，則，所以，所以，所以，所以平面與平面夾角的余弦值.17.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為，且．（1）求B；（2）若B的角平分線交AC于點D，，點E在線段AC上，，求的面積．解：（1）由正弦定理得，故，因為，所以.（2）由正弦定理得，解得，因為，所以，因為B的角平分線交AC于點D，所以，由得：，即，在中，由余弦定理得，故，即，聯(lián)立與，解得，負值舍去，故，解得，由三線合一可得⊥，且，，故，.18.如圖1，直角梯形中，，，，，以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)后得到幾何體W，如圖2，其中，分別為上下底面直徑，點P，Q分別在圓弧，上，直線平面.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值等于，求P到平面的距離；（3）若平面與平面夾角的余弦值，求．解：（1）設平面交上底面于，在圓弧上，因為上下底面平行，故，又因平面，平面，平面平面，所以，所以，由題意可知，又，平面，所以平面，所以平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知平面，連接，所以是直線與平面所成角，所以由題意，又由題意，，所以，所以，即在圓弧的中點上，所