2025屆廣西壯族自治區(qū)柳州市新高三摸底考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，集合，所以．故選：C．2.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，，則（）A. B.5 C. D.8〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，且，所以，所以．故選：A．3.在等差數(shù)列中，若，則（）A.7 B.12 C.16 D.24〖答案〗B〖解析〗在等差數(shù)列中，若，則，所以，所以．故選：B．4.雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由雙曲線的方程知兩頂點(diǎn)，，漸近線方程為，由對(duì)稱(chēng)性，不妨求到直線的距離，．故選：C．5.已知向量與的夾角為，且，，則（）A. B. C.4 D.2〖答案〗D〖解析〗由得，，又，則．故選：D.6.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為（）A.70 B.56 C.28 D.8〖答案〗C〖解析〗的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：C．7.有4名醫(yī)學(xué)畢業(yè)生到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘校醫(yī)工作，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為（）A.40種 B.60種 C.80種 D.120種〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，分2種情況討論：①四人中有3人被錄取，有種不同的錄用情況；②四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學(xué)校，有種不同的錄用情況；所以共有種不同的錄用情況．故選：B．8.已知三棱錐的體積是，A，B，C是球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，，則球O的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以由正弦定理得，的外接圓半徑為，在中，由余弦定理可得，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?，由球中的截面性質(zhì)及勾股定理，可知球的半徑，所以球O的表面積為：．故選：C．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，，下列說(shuō)法正確的是（）．A.若，則A，B相互獨(dú)立 B.若A，B互斥，則A，B不相互獨(dú)立C.若，則 D.若，則〖答案〗ABC〖解析〗A：因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，，所以A，B相互獨(dú)立，故A正確；B：因?yàn)锳，B互斥，則，故A，B不可能相互獨(dú)立，故B正確；C：∵，∴，故C正確；D：∵，∴，∴，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，令，則下列說(shuō)法正確的有（）．A.的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心B.對(duì)稱(chēng)軸方程為C.在上的值域?yàn)镈.的單調(diào)遞減區(qū)間為〖答案〗BCD〖解析〗由題圖可得，，解得．又，可得，解得．因?yàn)椋?，所以．所以．?duì)于A，當(dāng)，，所以不是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，可得，故的對(duì)稱(chēng)軸方程為，故B正確；對(duì)于C，時(shí)，，所以，故在上的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，若，則（）．A. B.C.為減函數(shù) D.為奇函數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗，時(shí)，，，而，∴，，時(shí)，，∴，∴，故B正確；令，，，令，，故A正確；，是奇函數(shù)，故D正確．令，則，為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則在點(diǎn)處的切線斜率是__________．〖答案〗2〖解析〗∵，∴，∴時(shí)，，則在點(diǎn)處的切線斜率是2．13.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理可得，可得，在三角形中，，且，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以?4.記實(shí)數(shù)最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象，而的圖象即是圖中勾勒出的實(shí)紅線部分，要求的函數(shù)的最大值即圖中最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).由聯(lián)立解得，，故所求函數(shù)最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，，，所以，，，，，．因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面．?）解：設(shè)平面的法向量為，則，取，則，．所以，是平面的一個(gè)法向量，又因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．16.某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8％，且在每年年底賣(mài)出100頭牛．設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，，，…．（1）寫(xiě)出一個(gè)遞推公式，表示與之間的關(guān)系；（2）求的值．（其中，，）解：（1）由題意，得，并且．（2）將化成．比較①②的系數(shù)，可得．解這個(gè)方程組，得．所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1.08為公比的等比數(shù)列，則．所以（頭）．17.如圖，在一條無(wú)限長(zhǎng)的軌道上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，設(shè)移動(dòng)次后質(zhì)點(diǎn)位于位置．（1）求；（2）求；（3）指出質(zhì)點(diǎn)最有可能位于哪個(gè)位置，并說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)為Y，顯然每移動(dòng)一次的概率為，則，所以．（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)為Y，顯然每移動(dòng)一次的概率為，則，且，而，所以.（3）設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)為Y，顯然每移動(dòng)一次的概率為，則，所以，若n為偶數(shù)，中間的一項(xiàng)取得最大值，即概率最大，此時(shí)，所以質(zhì)點(diǎn)最有可能位于位置0，若n為奇數(shù)，中間的兩項(xiàng)，取得最大值，即或概率最大，此時(shí)或，所以質(zhì)點(diǎn)最有可能位于位置1或．18.一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程，并說(shuō)明E是什么曲線；（2）若點(diǎn)P是曲線E上異于左右頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為曲線E的中心，過(guò)E的左焦點(diǎn)F且平行于的直線與曲線E交于點(diǎn)M，N，求證：為一個(gè)定值．解：（1）設(shè)動(dòng)圓的圓心，動(dòng)圓半徑為r，因?yàn)榛癁闃?biāo)準(zhǔn)方程，故圓心，，因?yàn)榛癁闃?biāo)準(zhǔn)方程，故圓心，，依題意得，，所以，故點(diǎn)Q是以、為焦點(diǎn)的橢圓，所以，，故，所以曲線，曲線E是焦點(diǎn)在x軸上，對(duì)稱(chēng)中心在原點(diǎn)，以、為焦點(diǎn)的橢圓.（2）由（1）得，當(dāng)弦的斜率不存在時(shí)，此時(shí)弦為橢圓的短半軸，此時(shí)，此時(shí)直線為橢圓的通徑，滿足，從而，當(dāng)弦斜率存在時(shí)，設(shè)為k，設(shè)直線的方程為，代入曲線E得，從而，設(shè)直線，代入曲線E得，設(shè)，，則，，又因?yàn)?，所以，所?綜上所述，為一個(gè)定值.19.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）．已知在處的階帕德近似為．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）比較與的大小；（3）若有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）由，，知，，，，由題意，，所以，所以，．（2）由（1）知，，令，則，所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，∴時(shí)，；時(shí)，，所以時(shí)，；時(shí)，．（3）由（1）知，，注意到，則除1外還有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，，，令，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，則，所以在上單調(diào)遞減，不滿足，舍去，當(dāng)時(shí)，除1外還有2個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，，則不單調(diào)，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)，∴，解得，當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為s，，則，，∴，當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，則單調(diào)遞增，又，不妨設(shè)，，而，且，，且，所以存在，，滿足，即有3個(gè)零點(diǎn)，1，，綜上所述，m的取值范圍為．廣西壯族自治區(qū)柳州市2025屆新高三摸底考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，集合，所以．故選：C．2.設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，，則（）A. B.5 C. D.8〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)，且，所以，所以．故選：A．3.在等差數(shù)列中，若，則（）A.7 B.12 C.16 D.24〖答案〗B〖解析〗在等差數(shù)列中，若，則，所以，所以．故選：B．4.雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B.4 C. D.〖答案〗C〖解析〗由雙曲線的方程知兩頂點(diǎn)，，漸近線方程為，由對(duì)稱(chēng)性，不妨求到直線的距離，．故選：C．5.已知向量與的夾角為，且，，則（）A. B. C.4 D.2〖答案〗D〖解析〗由得，，又，則．故選：D.6.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為（）A.70 B.56 C.28 D.8〖答案〗C〖解析〗的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：C．7.有4名醫(yī)學(xué)畢業(yè)生到甲、乙、丙三所學(xué)校去應(yīng)聘校醫(yī)工作，若每人至多被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為（）A.40種 B.60種 C.80種 D.120種〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，分2種情況討論：①四人中有3人被錄取，有種不同的錄用情況；②四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學(xué)校，有種不同的錄用情況；所以共有種不同的錄用情況．故選：B．8.已知三棱錐的體積是，A，B，C是球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，，，則球O的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，所以由正弦定理得，的外接圓半徑為，在中，由余弦定理可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，∴，由球中的截面性質(zhì)及勾股定理，可知球的半徑，所以球O的表面積為：．故選：C．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，，下列說(shuō)法正確的是（）．A.若，則A，B相互獨(dú)立 B.若A，B互斥，則A，B不相互獨(dú)立C.若，則 D.若，則〖答案〗ABC〖解析〗A：因?yàn)槭录嗀，B相互獨(dú)立，，所以A，B相互獨(dú)立，故A正確；B：因?yàn)锳，B互斥，則，故A，B不可能相互獨(dú)立，故B正確；C：∵，∴，故C正確；D：∵，∴，∴，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，令，則下列說(shuō)法正確的有（）．A.的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心B.對(duì)稱(chēng)軸方程為C.在上的值域?yàn)镈.的單調(diào)遞減區(qū)間為〖答案〗BCD〖解析〗由題圖可得，，解得．又，可得，解得．因?yàn)?，所以，所以．所以．?duì)于A，當(dāng)，，所以不是的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，可得，故的對(duì)稱(chēng)軸方程為，故B正確；對(duì)于C，時(shí)，，所以，故在上的值域?yàn)椋蔆正確；對(duì)于D，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，若，則（）．A. B.C.為減函數(shù) D.為奇函數(shù)〖答案〗ABD〖解析〗，時(shí)，，，而，∴，，時(shí)，，∴，∴，故B正確；令，，，令，，故A正確；，是奇函數(shù)，故D正確．令，則，為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則在點(diǎn)處的切線斜率是__________．〖答案〗2〖解析〗∵，∴，∴時(shí)，，則在點(diǎn)處的切線斜率是2．13.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，則__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理可得，可得，在三角形中，，且，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以?4.記實(shí)數(shù)最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)的圖象，而的圖象即是圖中勾勒出的實(shí)紅線部分，要求的函數(shù)的最大值即圖中最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).由聯(lián)立解得，，故所求函數(shù)最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，，，所以，，，，，．因?yàn)?，所以，又平面，平面，所以平面．?）解：設(shè)平面的法向量為，則，取，則，．所以，是平面的一個(gè)法向量，又因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，即平面與平面的夾角的余弦值為．16.某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為8％，且在每年年底賣(mài)出100頭牛．設(shè)牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為，，，…．（1）寫(xiě)出一個(gè)遞推公式，表示與之間的關(guān)系；（2）求的值．（其中，，）解：（1）由題意，得，并且．（2）將化成．比較①②的系數(shù)，可得．解這個(gè)方程組，得．所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1.08為公比的等比數(shù)列，則．所以（頭）．17.如圖，在一條無(wú)限長(zhǎng)的軌道上，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從位置0出發(fā)，每次等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，設(shè)移動(dòng)次后質(zhì)點(diǎn)位于位置．（1）求；（2）求；（3）指出質(zhì)點(diǎn)最有可能位于哪個(gè)位置，并說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)為Y，顯然每移動(dòng)一次的概率為，則，所以．（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)為Y，顯然每移動(dòng)一次的概率為，則，且，而，所以.（3）設(shè)質(zhì)點(diǎn)n次移動(dòng)中向右移動(dòng)的次數(shù)為Y，顯然每移動(dòng)一次的概率為，則，所以，若n為偶數(shù)，中間的一項(xiàng)取得最大值，即概率最大，此時(shí)，所以質(zhì)點(diǎn)最有可能位于位置0，若n為奇數(shù)，中間的兩項(xiàng)，取得最大值，即或概率最大，此時(shí)或，所以質(zhì)點(diǎn)最有可能位于位置1或．18.一動(dòng)圓與圓外切，同時(shí)與圓內(nèi)切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程，并說(shuō)明E是什么曲線；（2）若點(diǎn)P是曲線E上異于左右頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為曲線E的中心，過(guò)E