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齊次方程第三節(jié)一、齊次方程*二、可化為齊次方程一、齊次方程形如的方程叫做齊次方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:例1.解微分方程解:代入原方程得分離變量?jī)蛇叿e分得故原方程的通解為(

當(dāng)C=0

時(shí),

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))例2.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說(shuō)明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數(shù))求解過(guò)程中丟失了.可得OMA=OAM=

例3.在制造探照燈反射鏡面時(shí),解:設(shè)光源在坐標(biāo)原點(diǎn),則反射鏡面由曲線繞

x

軸旋轉(zhuǎn)而成.過(guò)曲線上任意點(diǎn)M(x,y)作切線MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x

軸平行于光線反射方向,從而AO=OM要求點(diǎn)光源的光線反射出去有良好的方向性,試求反射鏡面的形狀.而AO于是得微分方程:利用曲線的對(duì)稱性,不妨設(shè)

y>0,積分得故有得

(拋物線)故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程)

(h,k

為待*二、可化為齊次方程的方程作變換原方程化為令,解出h,k

(齊次方程)定常數(shù)),求出其解后,即得原方程的解.原方程可化為令(可分離變量方程)注:

上述方法可適用于下述更一般的方程例4.

求解解:令得再令Y＝X

u,得令積分得代回原變量,得原方程的通解:作業(yè)

P30

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