2024-2025學年新教材高中數(shù)學模塊綜合測評訓(xùn)練含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE1模塊綜合測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024江西景德鎮(zhèn)期末)直線kx-y-1=0與直線x+2y-2=0的交點在第四象限,則實數(shù)k的取值范圍為()A.-12,12 B.-12C.12,+∞ D.-∞,-12答案A解析由題意可得kx-y-1=0,x+2∴41+2k>0且∴-12<k<2.(2024浙江湖州期末)在空間直角坐標系中,若直線l的方向向量為a=(1,-2,1),平面α的法向量為n=(2,3,4),則()A.l∥α B.l⊥αC.l?α或l∥α D.l與α相交但不垂直答案C解析由a·n=2×1+(-2)×3+1×4=0,可知a⊥n.∴l(xiāng)∥α或l?α.3.已知圓C1:x2+(y+m)2=2與圓C2:(x-m)2+y2=8恰有兩條公切線,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(1,3) B.(-1,1)C.(3,+∞) D.(-3,-1)∪(1,3)答案D解析∵圓C1:x2+(y+m)2=2與圓C2:(x-m)2+y2=8恰有兩條公切線,∴兩圓相交.由圓心C1(0,-m),半徑R=2,圓心C2(m,0),半徑r=22,則|C1C2|=2|m|,若兩圓相交,則滿足r-R<|C1C2|<R+r,即2<2|m|<3所以1<|m|<3,解得-3<m<-1或1<m<3.4.2位男生和3位女生共5位同學站成一排,若3位女生中有且只有2位女生相鄰,則不同排法的種數(shù)是()A.36 B.24 C.72 D.144答案C解析依據(jù)題意,分3步進行分析:①把3位女生分為2組,有C32=3種②將2位男生全排列,有A22=2種③2位男生全排列后形成的3個空位,在其中任選2個,支配2個女生組,須要考慮2個女生組內(nèi)兩人之間的依次,有A32A22故有3×2×12=72種不同排法,故選C.5.橢圓x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦點為F1,F2,上頂點為A,若∠F1AFA.1 B.2 C.3 D答案C解析設(shè)原點為O,由題意可得c=m2+1-m又因為∠F1AF2=π3,可得∠F1AO=π可得tan∠F1AO=1m=336.過雙曲線C:x2a2-y2b2=1的右頂點作x軸的垂線與C的一條漸近線相交于A,若以雙曲線C的右焦點F為圓心、半徑為2的圓經(jīng)過A,O兩點(OA.3 B.2 C.5 D答案B解析因為雙曲線的漸近線方程y=±bax所以A(a,b)或A(a,-b),因此|AF|=c=2,即(2-a)2+b2=2,整理可得因為a2+b2=c2=4,解得a=1,所以雙曲線的離心率為e=ca=27.(2024江蘇如皋期末)埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎,它的奇妙遠遠超過了人類的想象.在埃及金字塔內(nèi)有一組奇妙的數(shù)字142857,因為142857×2=285714,142857×3=428571,142857×4=571428,…,所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”.該組數(shù)字還有如下發(fā)覺:142+857=999,428+571=999,285+714=999,…,從這組奇妙數(shù)字中任選3個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)x,剩下的三個數(shù)字構(gòu)成另一個三位數(shù)y,若x+y=999,則全部可能的有序?qū)崝?shù)組(x,y)的個數(shù)為()A.48 B.60 C.96 D.120答案A解析依據(jù)題意,數(shù)字142857中,兩個數(shù)字之和為9的組合有1+8=9,2+7=9,4+5=9,共3組,若x+y=999,對于x,其百位數(shù)字可以為6個數(shù)字中隨意1個,假設(shè)為1,則y的百位數(shù)字必需為8,則x,y的百位數(shù)字有C61種選法,x的十位數(shù)字可以為剩下4個數(shù)字中隨意1個,假設(shè)為2,則y的十位數(shù)字必需為7,則x,y的十位數(shù)字有C41種選法,x的個位數(shù)字可以為剩下2個數(shù)字中隨意1個,y的個位數(shù)字為最終1個,則x,y的個位數(shù)字有C21種選法,則全部可能的有序?qū)崝?shù)組(x,y)的個數(shù)為8.某市為弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化,組織全市10萬中小學生參與網(wǎng)絡(luò)古詩詞學問答題競賽,總分100分,經(jīng)過分析競賽成果,發(fā)覺成果X聽從正態(tài)分布N(82,16),請估計競賽成果不小于90分的學生人數(shù)約為()參考數(shù)據(jù):P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974A.2280 B.3170 C.3415 D.460答案A解析由正態(tài)分布N(82,16),可得μ=82,σ=4,則P(74<X<90)=P(82-2×4<X<82+2×4)≈0.9544.∴P(X≥90)≈12×(1-0.9544)=0估計競賽成果不小于90分的學生人數(shù)約為100000×0.0228=2280.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分.9.已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點,假如AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).下列結(jié)論正確的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCDD.答案ABC解析對于A,AB·AP=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴AP⊥AB,即AP對于B,AP·AD=(-1)×4+2×2+(-1)×0=0,∴AP⊥AD,即AP對于C,由AP⊥AB,且AP⊥AD,得出AP是平面ABCD對于D,由AP是平面ABCD的法向量,得出AP⊥BD,則D10.(2024山東煙臺模擬)已知ax2+1xn(a>0)的綻開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等,且綻開式的各項系數(shù)之和為1024,則下列說法正確的是()A.綻開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為256B.綻開式中第6項的系數(shù)最大C.綻開式中存在常數(shù)項D.綻開式中含x15項的系數(shù)為45答案BCD解析∵ax2+1xn(a>0)的綻開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等,∴Cn4=C∵綻開式的各項系數(shù)之和為1024,∴(a+1)10=1024.∵a>0,∴a=1.原二項式為x2+1x10,其綻開式的通項公式為Tr+1=C10r·(x2)10-r·1xr=C綻開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為12×1024=512,故A因為本題中二項式系數(shù)和項的系數(shù)一樣,且綻開式有11項,故綻開式中第6項的系數(shù)最大,B對;令20-52r=0?r=8,即綻開式中存在常數(shù)項,C對令20-52r=15?r=2,C102=11.在一個袋中裝有質(zhì)地大小一樣的6個黑球,4個白球,現(xiàn)從中任取4個小球,設(shè)取出的4個小球中白球的個數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是()A.P(X=2)=3B.隨機變量X聽從二項分布C.隨機變量X聽從超幾何分布D.E(X)=8答案ACD解析由題意知隨機變量X聽從超幾何分布,故B錯誤,C正確;隨機變量X的全部可能為0,1,2,3,4,P(X=0)=C6P(X=1)=C4P(X=2)=C4P(X=3)=C4P(X=4)=C4故E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×12.(2024江蘇海安檢測)雙紐線像數(shù)字“8”,不僅體現(xiàn)了數(shù)學的對稱、和諧、簡潔、統(tǒng)一的美,同時也具有特別的有價值的藝術(shù)美,是形成其他一些常見的美麗圖案的基石,也是很多設(shè)計者設(shè)計作品的重要幾何元素.曲線C:(x2+y2)2=4(x2-y2)是雙紐線,如圖,則下列結(jié)論正確的是()A.曲線C經(jīng)過5個整點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)B.曲線C上隨意一點到坐標原點O的距離都不超過2C.曲線C關(guān)于直線y=x對稱的曲線方程為(x2+y2)2=4(y2-x2)D.若直線y=kx與曲線C只有一個交點,則實數(shù)k的取值范圍為(-∞,-1]∪[1,+∞)答案BCD解析y=0時,x4=4x2,x=0或2或-2,三個整點(0,0),(2,0),(-2,0),結(jié)合圖象可知,-2≤x≤2,令x=±1,得y2=23-3<1,此時無整點解.∴曲線C經(jīng)過橫、縱坐標均為整數(shù)的點,共有3個整點,A錯誤;x2+y2=4(x2-y2)x2+y2≤4,曲線C曲線C上任取一點M關(guān)于y=x的對稱點為N,設(shè)N(x,y),則M(y,x),M在曲線C上,∴(x2+y2)2=4(y2-x2),C正確.y=kx與曲線C肯定有公共點(0,0),∵y=kx與曲線C只有一個公共點,則x4(1+k2)2=4x2(1-k2),∴1-k2≤0,∴k≥1或k≤-1,D正確.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.某校一次高三數(shù)學成果統(tǒng)計中,經(jīng)過抽樣分析,成果X近似聽從正態(tài)分布N(110,σ2),且P(90≤X≤110)=0.3,該校有1000人參與此次統(tǒng)考,估計該校數(shù)學成果不低于130分的人數(shù)為.

答案200解析因為X近似聽從正態(tài)分布N(110,σ2),且P(90≤X≤110)=0.3,所以P(90≤X<130)=2P(90≤X≤110)=0.6,所以P(X≥130)=12[1-P(90≤X<130)]=12×(1-0.6)=1000×0.2=200(人),所以估計該校數(shù)學成果不低于130分的人數(shù)為200.14.(2024浙江杭州月考)某種型號的機器運用總時間X(單位:年)(其中X≥4,X∈N+)與所需支出的修理總費用Y(單位:萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:X681012Y2356依據(jù)表中數(shù)據(jù)可得Y與X之間的線性回來方程為Y=0.7X+a^,若該設(shè)備修理總費用超過12萬元就報廢,據(jù)此模型預(yù)料該設(shè)備最多可運用年(填整數(shù)).答案20解析x=14×(6+8+10+12)=9,y=14×(2+3+5+6)=4,樣本中心為(9,4),代入線性回來方程求得a^=-2.3,故線性回來方程為Y=0.7X-2.3,當Y=0.7X-2.3≤1215.(2024浙江麗水期末)四棱錐S-ABCD的底面是平行四邊形,SE=2EC,若BE=xAB+yAD+zAS,則x+y+z=.

答案2解析因為SE=2EC,所以CE=13CS,因為四棱錐S-ABCD的底面是平行四邊形,則AD+AB=AC,所以BE=BC+CE=AD+13CS=AD+13(AS-AC)=16.已知拋物線的頂點為坐標原點,焦點為F(1,0),過拋物線上的一點A(頂點除外)作切線l,且切線l與x軸交于點B,則拋物線的標準方程為;若|FA||FB|=k,答案y2=4x1解析拋物線的頂點為坐標原點,焦點為F(1,0),可得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x,因為拋物線關(guān)于x軸對稱,所以只探討y=2x的狀況,設(shè)A(m,2m),易知過點A的切線方程為y-2m=1m(x-m),所以B(-m,0),由兩點間距離公式可知|FA|=(m-1)2+(2m)2=1+m,四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)(2024安徽黃山期末)圓心為C的圓經(jīng)過點A(-4,1),B(-3,2),且圓心C在直線l:x-y-2=0上.(1)求圓C的標準方程;(2)過點P(3,-1)作直線m交圓C于點M,N且|MN|=8,求直線m的方程.解(1)由已知得kAB=1,線段AB的中點坐標為-72,3∴AB的垂直平分線方程為x+y+2=0.則由x+y+2=0,x-y因此半徑r=|AC|=5,所以圓C的標準方程為x2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圓心C到直線m的距離d=52-∴當直線m斜率不存在時,其方程為x=3,當直線m斜率存在時,設(shè)其方程為y+1=k(x-3),則d=|-3k+1|k2+1=3,解得k=-43,此時m的方程為4x+3y-9=0,所以直線m的方程為x=3或18.(12分)(2024湖北宜昌期末)某校實行高一年級組織“學問競答”活動.每位參賽者第一關(guān)需回答三個問題,第一個問題回答正確得10分,回答錯誤得0分;其次個問題回答正確得20分,回答錯誤得-10分;第三個問題回答正確得30分,回答錯誤得-20分.規(guī)定,每位參賽者回答這三個問題的總得分不低于30分就算闖關(guān)勝利.若某位參賽者回答前兩個問題正確的概率都是23,回答第三個問題正確的概率是12,(1)求這位參賽者僅回答正確兩個問題的概率;(2)求這位參賽者回答這三個問題的總得分ξ的分布列和期望;(3)求這位參賽者闖關(guān)勝利的概率.解(1)設(shè)事務(wù)Ai表示“參賽者回答對第i個問題”,i=1,2,3,則P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3(2)ξ=-30,-20,0,10,20,30,50,60,P(ξ=-30)=P(A1A2AP(ξ=-20)=P(A1A2A3)P(ξ=0)=P(A1A2A3)=P(ξ=10)=P(A1A2A3)=2P(ξ=20)=P(A1A2A3)P(ξ=30)=P(A1A2A3)=1P(ξ=50)=P(A1A2A3)=1P(ξ=60)=P(A1A2A3)=29∴ξ的分布列為:ξ-30-2001020305060P11121112Eξ=-30×118-20×19+0×19+10×29+20×1(3)由(2)得這位參賽者闖關(guān)勝利的概率為P(ξ=30)+P(ξ=50)+P(ξ=60)=419.(12分)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上移動.(1)證明:D1E⊥A1D;(2)當E為AB的中點時,求異面直線AC與D1E所成角的余弦值;(3)AE等于何值時,二面角D1-EC-D的大小為π解以D為坐標原點,直線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,設(shè)AE=x,則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0).(1)∵DA1=(1,0,1),D1E=∴DA1·D1E=1+0-1=0,∴D(2)∵E為AB中點,則E(1,1,0),從而D1E=(1,1,-1),AC=(設(shè)AC與D1E所成的角為θ,則cosθ=|(3)設(shè)平面D1EC的法向量為n=(a,b,c),平面DEC的一個法向量為D∵CE=(1,x-2,0),D1C=(0,2,-1),由n令b=1,從而c=2,a=2-x,∴n=(2-x,1,2),由題意,cosπ∴x=2+3(不合題意,舍去),或x=2-3∴當AE=2-3時,二面角D1-EC-D的大小為π20.(12分)(2024四川瀘州期末)某品牌手機廠商推出新款旗艦機型,并在某地區(qū)跟蹤調(diào)查得到這款手機上市時間(X個月)市場占有率(Y%)的幾組相關(guān)數(shù)據(jù):X12345Y25111418依據(jù)表中的數(shù)據(jù)完成下列問題:(1)用最小二乘法求出Y關(guān)于X的線性回來方程;(2)用變量間的相關(guān)關(guān)系分析該款旗艦機型手機市場占有率的改變趨勢,并預(yù)料自上市起經(jīng)過多少個月,該款旗艦機型手機市場占有率能超過49%(精確到月).附:最小二乘法估計分別為b^=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi解(1)∵x=3,y=故∑i=15(xi-x)(yi-y)=-2×(-8)+(-1)×(-5)+0×1+1×4+2×已知∑i=15(xi-x)2=10,∴b^a^=y-b^x=10-4.∴Y關(guān)于X的線性回來方程為Y=4.1X-2.3;(2)由上面的線性回來方程可知,上市時間與市場占有率正相關(guān),即上市時間每增加1個月,市場占有率都增加4.1個百分點,由Y=4.1X-2.3>49,解得X≥12.5≈13,預(yù)料自上市起經(jīng)過13個月,該款旗艦機型手機市場占有率能超過49%.21.(12分)(2024湖南湘潭月考)某相關(guān)部門推出了環(huán)境執(zhí)法力度的評價與環(huán)境質(zhì)量的評價系統(tǒng),每項評價只有滿足和不滿足兩個選項,市民可以隨意進行評價,某工作人員利用隨機抽樣的方法抽取了200位市民的信息,發(fā)覺對環(huán)境質(zhì)量滿足的占60%,對執(zhí)法力度滿足的占75%,其中對環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法力度都滿足的有80人.(1)是否有99%的把握推斷環(huán)境質(zhì)量與執(zhí)法力度有關(guān)?(2)為了改進工作作風,針對抽取的200位市民,對執(zhí)法力度不滿足的人抽