湖北省沙市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期階段性測(cè)試試題

PAGEPAGE6湖北省沙市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期階段性測(cè)試試題一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知直線l的斜率的肯定值等于eq\r(3)，則直線l的傾斜角為()A．60° B．30°C．60°或120° D．30°或150°C[由題意知|tanα|＝eq\r(3)，即tanα＝eq\r(3)或tanα＝－eq\r(3)，∴直線l的傾斜角為60°或120°.]2．若三點(diǎn)A(－1，－2)，B(4，8)，C(5，x)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)x的值為()A．10 B．－10C．5 D．－5A[依題意，kAB＝kAC，即eq\f(－2－8,－1－4)＝eq\f(－2－x,－1－5)，解得x＝10.選A.]3．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，m)和Q(m，4)的直線平行于斜率等于1的直線，則m的值是()A．4B．1C．1或3D．1或4B[由題意，知eq\f(4－m,m－（－2）)＝1，解得m＝1.]4．若直線l1的斜率k1＝eq\f(3,4)，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1 B．3C．0或1 D．1或3D[∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即eq\f(3,4)×eq\f(a2＋1－（－2）,0－3a)＝－1，解得a＝1或a＝3.]5．直線eq\f(x,3)－eq\f(y,4)＝1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為()A．1 B．－1C．7 D．－7B[直線在x軸上截距為3，在y軸上截距為－4，因此截距之和為－1.]6．以兩點(diǎn)A(－3，－1)和B(5，5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝25D[圓心坐標(biāo)為(1，2)，半徑r＝eq\r(（5－1）2＋（5－2）2)＝5，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.]7．已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個(gè)不同平面，給出下列命題：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥n))?n∥α；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥β,n⊥β))?m∥n；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m⊥β))?α∥β；④eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?α,n?β,α∥β))?m∥n.其中正確命題的序號(hào)是()A．②③B．③④C．①②D．①②③④A[①中n，α可能平行或n在平面α內(nèi)；②③正確；④兩直線m，n平行或異面，故選A.]8．若三條直線2x＋3y＋8＝0,x－y－1＝0,x＋ky＝0相交于一點(diǎn)，則k的值為()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D．eq\f(1,2)B[易求直線2x＋3y＋8＝0與x－y－1＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－2),代入x＋ky＝0,得k＝－eq\f(1,2).]9．點(diǎn)P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|的最小值是()A．eq\r(7)B．eq\r(6)C．2eq\r(2)D．eq\r(5)C[|OP|最小即OP⊥l，∴|OP|min＝eq\f(|0＋0－4|,\r(2))＝2eq\r(2).]10．若點(diǎn)(4a－1，3a＋2)不在圓(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，則a的取值范圍是()A．|a|<eq\f(\r(5),5) B．|a|<1C．|a|≤eq\f(\r(5),5) D．|a|≤1D[由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25，∴a2≤1，∴|a|≤1.]11．圓的方程為(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，則圓心坐標(biāo)為()A．(1，－1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))C．(－1，2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))D[圓的方程(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0可化為x2＋y2＋x＋2y－10＝0，∴圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).]12．設(shè)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線且|PA|＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程是()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2xD．y2＝－2xB[由題意知，圓心(1，0)到P點(diǎn)的距離為eq\r(2)，所以點(diǎn)P在以(1，0)為圓心，以eq\r(2)為半徑的圓上，所以點(diǎn)P的軌跡方程是(x－1)2＋y2＝2，故選B.]二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．若直線l1：ax＋(1－a)y＝3與l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2相互垂直，則實(shí)數(shù)a＝________．1或－3[因?yàn)閮芍本€垂直，所以a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2＋2a－3＝0，解得a＝1，或a＝－3.]14．已知直線l的斜率是直線2x－3y＋12＝0的斜率的eq\f(1,2)，l在y軸上的截距是直線2x－3y＋12＝0在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為_(kāi)_______．x－3y＋24＝0[由2x－3y＋12＝0知，斜率為eq\f(2,3)，在y軸上截距為4.依據(jù)題意，直線l的斜率為eq\f(1,3)，在y軸上截距為8，所以直線l的方程為x－3y＋24＝0.]15．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．eq\f(3,2)[設(shè)球O的半徑為R，∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，∴圓柱O1O2的高為2R，底面半徑為R.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).]16．關(guān)于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圓，下列敘述中：①圓心在直線y＝－x上；②其圓心在x軸上；③過(guò)原點(diǎn)；④半徑為eq\r(2)a.其中敘述正確的是________．(要求寫出全部正確命題的序號(hào))①③[將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可知圓心為(－a，a)，半徑為eq\r(2)|a|，故①③正確．]三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．(本小題滿分10分)求傾斜角是直線y＝－eq\r(3)x＋1的傾斜角的eq\f(1,4)，且分別滿意下列條件的直線方程．(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\r(3)，－1)；(2)在y軸上的截距是－5.[解]∵直線y＝－eq\r(3)x＋1的斜率k＝－eq\r(3)，∴其傾斜角α＝120°，由題意，得所求直線的傾斜角α1＝eq\f(1,4)α＝30°，故所求直線的斜率k1＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).(1)∵所求直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(eq\r(3)，－1)，斜率為eq\f(\r(3),3)，∴所求直線方程是y＋1＝eq\f(\r(3),3)(x－eq\r(3))．(2)∵所求直線的斜率是eq\f(\r(3),3)，在y軸上的截距為－5，∴所求直線的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x－5.18．(本小題滿分12分)已知直線l與圓C相交于點(diǎn)P(1，0)和點(diǎn)Q(0，1)．(1)求圓心所在的直線方程；(2)若圓C的半徑為1，求圓C的方程．[解](1)PQ的方程為x＋y－1＝0，PQ中點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，kPQ＝－1，所以圓心所在的直線方程為y＝x.(2)由條件設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝1.由圓過(guò)P，Q點(diǎn)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）2＋b2＝1，,a2＋（1－b）2＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))所以圓C方程為：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.19．(本小題滿分12分)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，邊AB所在的直線方程為2x－y－2＝0，點(diǎn)C(2，0)．(1)求直線CD的方程；(2)求AB邊上的高CE所在的直線方程．[解](1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AB∥CD，設(shè)直線CD的方程為2x－y＋m＝0，將點(diǎn)C(2，0)代入上式得m＝－4，所以直線CD的方程為2x－y－4＝0.(2)設(shè)直線CE的方程為x＋2y＋n＝0，將點(diǎn)C(2，0)代入上式得n＝－2.所以直線CE的方程為x＋2y－2＝0.20．(本小題滿分12分)如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的度數(shù)；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)．[解](1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°，即AO與A′C′所成角的度數(shù)為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.∵平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，∴OC⊥平面AOB.又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)為90°.21．(本小題滿分12分)已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在其次象限，半徑長(zhǎng)為eq\r(2)，求圓的一般方程．[解]圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∵圓心在直線x＋y－1＝0上，∴－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2. ①又∵半徑長(zhǎng)r＝eq\f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq\r(2)，∴D2＋E2＝20. ②由①②可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又∵圓心在其次象限，∴－eq\f(D,2)＜0，即D＞0.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4.))故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.22．(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE.[證明](1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以CC