山東省商河縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

PAGEPAGE9山東省商河縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題一、單項選擇題1．已知向量，滿意，則等于（）．A． B． C． D．2．圓的圓心坐標(biāo)為（）．A．B．C．D．3．已知為實數(shù)，直線，，則，則實數(shù)的值（）．A．1 B．2 C．1或2 D．0或4．在長方體中，，，，則與平面所成角的正弦值為（）．A． B． C． D．5．如圖，已知空間四邊形，其對角線為，，，分別是對邊，的中點，點在線段上，設(shè)，現(xiàn)用基向量，，表示向量，設(shè)，則，，的值分別是（）．A．，， B．，，C．，， D．，，6．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓上任一點，點的坐標(biāo)為，則的最大值為（）．A．13 B．14 C．15 D．167．橢圓上的點到直線距離最近的點的坐標(biāo)為（）．A． B． C． D．8．已知點在離心率為的橢圓上，是橢圓的一個焦點，是以為直徑的圓上的動點，是半徑為2的圓上的動點，圓與圓相離且圓心距，若的最小值為1，則橢圓的焦距的取值范圍是（）．A． B． C． D．二、多項選擇題9．給出下列命題，其中真命題有（）．A．空間隨意三個不共面的向量都可以作為一個基底B．已知，則存在向量可以與，構(gòu)成空間的一個基底C．、、、是空間四點，若，，不能構(gòu)成空間的一個基底，那么、、、共面D．已知向量組是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底10．下列說法正確的是（）．A．已知，且三角形的周長是6，則頂點的軌跡方程是B．點關(guān)于直線的對稱點是C．過，兩點的直線方程為D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程是11．已知直線，，，以下結(jié)論正確的是（）．A．不論為何值時，與都相互垂直B．當(dāng)改變時，與分別經(jīng)過定點和C．不論為何值時，與都關(guān)于直線對稱D．假如與交于點，則的最大值是12．已知橢圓的離心率為，三角形的三個頂點都在橢圓上，設(shè)它的三條邊，，的中點分別為，，，且三條邊所在直線的斜率分別，，，且，，均不為0，0為坐標(biāo)原點，則（）．A．B．直線與直線的斜率之積為C．直線與直線的斜率之積為D．若直線，，的斜率之和為1，則的值為三、填空題13．，是橢圓的兩個焦點，和是此橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個點，且，則的面積是______．14．已知直線經(jīng)過，兩點，那么直線的傾斜角的取值范圍是______．15．已知圓的方程為且點是該圓內(nèi)一點，過點的最長弦和最短弦分別為和，則四邊形的面積是______．16．若點和點分別為橢圓的中心點和左焦點，點為橢圓上的隨意一點，則的最小值為______．四、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點坐標(biāo)分別為，，，求：(1)邊所在直線的方程；(2)邊上的高所在直線的方程．18．已知圓經(jīng)過點和點且圓心在直線上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點的直線與圓相交于，兩點，且，求直線的方程．19．如圖，在正四棱柱中，已知，，、分別為、上的點，且．（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離．20．已知橢圓經(jīng)過點，離心率為．(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)直線與橢圓交于，兩點，以為直徑的圓經(jīng)過不在直線上的點，求直線的方程．21．如圖，平面，四邊形是矩形，、分別是、的中點．(1)求證：平面；(2)若二面角為45角，，，求與平面所成角的正弦值．22．已知橢圓，長半軸長與短半軸長的差為，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若在軸上存在點，過點的直線分別與橢圓相交于、兩點，且為定值，求點的坐標(biāo)．

參考答案1．B 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C9．ACD 10．AB 11．ABD12．ACD【解析】因為橢圓的離心率為，由得，故A正確．設(shè)，，，則，且，兩式作差得，即，所以，因為的斜率，的斜率，所以，同理，，故B錯誤，C正確．又，同理可得，，所以，又直線，，的斜率之和為1，即，所以，故D正確．13．16 14． 15． 16．617．解：（1）設(shè)的直線方程為．將，坐標(biāo)代入可得，解方程組可得，則直線方程為，化為一般式．（2）因為為直線的高，所以，故，設(shè)的直線方程為將代入，解得，得的直線方程為，代為一般式為．18．（1）；（2）或．【詳解】（1）設(shè)的中點為，因為點和點，所以，，即，又由，所以的垂直平分線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，聯(lián)立方程組，解得，，即圓心坐標(biāo)，又由，即圓的半徑為，所以圓的方程為．（2）過點，的直線與圓相交于，兩點，且，所以圓心到直線的距離為，①當(dāng)直線的斜率不存在時，此時直線方程為，則圓心到直線的距離為，符合題意：②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，此時直線的方程為，綜上可得，直線的方程為或．19．（1）證明：以為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則、，，，，，．∴，，，．∵，，∴，，且．∴平面．（2）由（1）知，為平面的一個法向量，∴點到平面的距離．故點到平面的距離為．20．解：（Ⅰ）由題意得，解得，，，所以橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)，，聯(lián)立，消并化簡整理得，則有，，，又，由得，，解得或．當(dāng)時，直線過點，與題意不符；當(dāng)時，直線不過點，符合題意，故直線的方程為．21．（1）如下圖所示，取的中點，連接、，在矩形中，且，∵、分別為的中點，∴且，∵為的中點，∴且，∴且，所以，四邊形為平行四邊形，則，∵平面，平面，，∴平面．（2）∵平面，平面，∴，∵四邊形為矩形，則，∵，平面，平面，∴，所以，二面角的平面角為，∴，易知，則為等腰直角三角形，且，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，令，則，，得，．因此，與平面所成角的正弦值為．22．