四川省南充市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理含解析

PAGE19-四川省南充市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理（含解析）總分：150分考試時間：120分鐘第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：1.若集合，集合，則表示（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，進一步得到，再按交集的定義運算即可.【詳解】由，得或，所以或，，所以.故選：A【點睛】本題主要考查集合間的基本運算，涉及到交集、補集運算以及解一元二次不等式，是一道簡單題.2.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點位于（）．A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由乘法法則化復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，然后可得其對應(yīng)點坐標，得所在象限．【詳解】，對應(yīng)點為，在其次象限．故選：B．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，解題關(guān)鍵是駕馭復(fù)數(shù)的乘法法則．本題屬于基礎(chǔ)題．3.已知角終邊上一點的坐標為，則（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義求出、，再利用二倍角的正弦公式即可求解.【詳解】角終邊上一點的坐標為，則，，所以.故選：D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義、二倍角的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)為等差數(shù)列，公差，，則（）A.8 B.10 C.12 D.14【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算即可.【詳解】由已知，得，即，解得．故選：B【點睛】本題考查等差數(shù)列的定義及性質(zhì)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算實力，是一道簡單題.5.設(shè),則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】由肯定可得出；但反過來，由不肯定得出，如，故選A.【考點定位】本小題主要考查充分必要條件、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，嫻熟駕馭這兩部分的基礎(chǔ)學(xué)問是解答好本類題目的關(guān)鍵.6.設(shè)，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的單調(diào)性及與中間值“1”的大小關(guān)系，即可得到本題答案.【詳解】由在區(qū)間是單調(diào)增函數(shù)，得，又因為，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)比較大小的問題，利用函數(shù)的單調(diào)性及中間值“1”是解決此題的關(guān)鍵.7.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般味道，獐牛同嚼又是一般味道，一共有幾般改變，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混合后的味道都不一樣，則混合后可以組成的全部不同的味道種數(shù)為（）A.20 B.24 C.25 D.26【答案】D【解析】【分析】利用組合的意義可得混合后全部不同的味道種數(shù)為，再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的全部不同的味道種數(shù)為（種），故選：D.【點睛】本題考查組合的應(yīng)用，此類問題留意實際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于簡單題.8.已知實數(shù)、滿意約束條件，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標函數(shù)對應(yīng)的直線，結(jié)合圖象知當(dāng)直線過點時，取得最大值.【詳解】解：作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部，如下圖表示：當(dāng)目標函數(shù)經(jīng)過點時，取得最大值，最大值為.故選：C.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)學(xué)問；考查運算求解實力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識,屬于中檔題.9.若過點的直線與曲線有公共點，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線方程為，即，直線與曲線有公共點，圓心到直線的距離小于等于半徑，得，選擇C另外，數(shù)形結(jié)合畫出圖形也可以推斷C正確．10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，只需將的圖象A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位【答案】B【解析】試題分析：由圖象知，，，，，得，所以，為了得到的圖象，所以只需將的圖象向右平移個長度單位即可，故選D．考點：三角函數(shù)圖象.11.已知中心在原點的橢圓和雙曲線有共同的左、右焦點、，兩曲線在第一象限的交點為，是以為底邊的等腰三角形，若，橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，焦距為，則，利用雙曲線的定義和三角形三邊關(guān)系求得，然后利用【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，焦距為，則，由橢圓和雙曲線的定義可得，解得，又因為，即，解得，即，所以，故選：B．【點睛】本題主要考查橢圓和雙曲線離心率倒數(shù)和取值范圍的計算，依據(jù)題意得出半焦距的取值范圍是解題的關(guān)鍵，考查計算實力，屬于中等題.12.已知奇函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，有成立，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合題意求導(dǎo)分析可得函數(shù)在上為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得函數(shù)為奇函數(shù)，進而將不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的定義域、單調(diào)性和奇偶性可得的取值范圍，即可得答案.【詳解】依據(jù)題意，設(shè)，其導(dǎo)數(shù)為，

又由時，有，則有，

則函數(shù)在上為減函數(shù)，

又由為定義域為的奇函數(shù)，

則，則函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，

，

所以，

即不等式的解集為.

故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，并分析其單調(diào)性.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：13.已知菱形的邊長為2，且為60°，則______．【答案】0【解析】分析】利用向量數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】由為菱形，則，所以.故答案為：0【點睛】本題考查了利用向量數(shù)量積定義求向量數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.14.若，則__________．【答案】-32【解析】【分析】通過對原式x賦值1，即可求得答案.【詳解】令可得，故答案為-32.【點睛】本題主要考查二項式定理中賦值法的理解，難度不大.15.《九章算術(shù)》是我國古代聞名的數(shù)學(xué)典籍，其中有一道數(shù)學(xué)問題：“今有勾八步，股十五步．問勾中容圓，徑幾何？”意思是：在兩條直角邊分別為八步和十五步的直角三角形中容納一個圓，請計算該圓直徑的最大值為________步.【答案】6【解析】【分析】依據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出斜邊的長度，設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為步，利用，以及圓的切線性質(zhì)，可以求出，最終求出圓直徑的最大值.【詳解】如圖所示：，設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為步，，由圓的切線性質(zhì)可知：過圓切點的半徑垂直過該切點的切線，所以有，所以該圓直徑的最大值為6步.【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的直徑，利用面積不變構(gòu)造等式是解題的關(guān)鍵.16.如圖，在矩形中，，，為線段上一動點，現(xiàn)將沿折起得到，當(dāng)二面角的平面角為，點在平面上的投影為，當(dāng)從運動到，則點所形成軌跡的長度為______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)折疊關(guān)系找出與有關(guān)的幾何關(guān)系，得出點的軌跡為圓的一部分，再考慮在運動過程中掃過的弧長即可求解.【詳解】在折疊后的圖中，作垂足為，連接，依據(jù)三垂線定理，，所以就是二面角的平面角為，，依據(jù)折疊關(guān)系，與全等，對應(yīng)邊上的高位置相同，即在線段上，且是線段的中點，取的中點，連接，則，所以點的軌跡為以為直徑的圓的一部分，當(dāng)從運動到，點在圓周上從點運動到，這段弧所對圓心角為，這段弧長為.故答案為：【點睛】此題考查折疊問題與二面角和投影的軌跡問題，關(guān)鍵在于通過幾何關(guān)系進行轉(zhuǎn)化得出動點的軌跡.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第第17-21題為必做題，每個試題考生都必需作答．第第22、23題為選做題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）；（2）極大值為；微小值為.【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得斜率，由斜截式寫出直線方程；（2）求出的解，列表表示的正負，的單調(diào)性，得極值．【詳解】（1），，從而，，因此，函數(shù)點處的切線方程為：．（2）令得或則當(dāng)改變時，與的改變狀況如下表300遞增遞減遞增∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，取得極大值，極大值為；當(dāng)時，取得微小值，微小值為．【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，駕馭導(dǎo)數(shù)的幾何意義和極值的定義是解題關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．18.某學(xué)校高三年級有400名學(xué)生參與某項體育測試，依據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，運用分層抽樣的方法從中抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，整理得到如下頻率分布直方圖：（1）若該樣本中男生有55人，試估計該學(xué)校高三年級女生總?cè)藬?shù)；（2）若規(guī)定小于60分為“不及格”，從該學(xué)校高三年級學(xué)生中隨機抽取一人，估計該學(xué)生不及格的概率；（3）若規(guī)定分數(shù)在為“良好”,為“優(yōu)秀”.用頻率估計概率,從該校高三年級隨機抽取三人,記該項測試分數(shù)為“良好”或“優(yōu)秀”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）人（2）（3）詳見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)樣本總?cè)藬?shù)100人,中男生有55人,則可算出女生45人.再依據(jù)總?cè)藬?shù)是400人,按樣本中的女生人數(shù)與樣本總?cè)藬?shù)的比例即可估算出的估計總體中女生人數(shù).（2）由表可用減去及格人數(shù)的概率得到不及格人數(shù)的概率.（3）設(shè)“樣本中“良好”或“優(yōu)秀””為事務(wù)B,則,依據(jù)二項分布列出頻率分布列,計算數(shù)學(xué)期望【詳解】解：（1）∵樣本中男生有55人,則女生45人∴估計總體中女生人數(shù)人（2）設(shè)“不及格”為事務(wù)A,則“及格”為事務(wù)∴（3）設(shè)“樣本中“良好”或“優(yōu)秀””為事務(wù)B,則依題意可知：,所以,X的分布列為X0123P0.3430.4410.1890027【點睛】本題考查頻率分布直方圖的概率問題,概率分布問題留意一些常用的概率分布,如二項分布,超幾何分布等,會計算概率,正確列出分布列,正確計算數(shù)學(xué)期望及方差.19.在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，平面，且．（1）求證：平面；（2）求鈍二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）150°.【解析】【分析】（1）以，，的方向為軸，軸，軸的正向建立如圖空間直角坐標系，寫出各點坐標，由與平面的法向量垂直（數(shù)量積為0）可得線面平行；（2）求出平面和平面的法向量，由法向量夾角得二面角．【詳解】（1）證明：由題意得，以點為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正向建立如圖空間直角坐標系，則，，，，，，依題意易得是平面的一個法向量，又，∴，∴，又∵直線平面，∴平面；（2）∵，，，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令可得，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令可得，∴，，又二面角為鈍二面角．∴二面角的大小為150°．【點睛】本題考查用空間向量法證明線面平行，用向量法求二面角，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，求出平面法向量，直線的方向向量．20.已知橢圓：的離心率為，短半軸長為．（1）求橢圓的方程；（2）過作直線與交于，兩點，求三角形面積的最大值（是坐標原點）．【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）依據(jù)已知列出的方程組，解得得標準方程；（2）設(shè)，，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達定理得，留意得的取值范圍，由弦長公式計算弦長，求出到直線的距離，然后計算出三角形面積，可換元后應(yīng)用基本不等式得到最大值．【詳解】（1）據(jù)題意，得，解得，，所以橢圓的標準方程為．（2）設(shè)，，明顯直線斜率存在，設(shè)其方程為，代入，整理得，則，即，，，，到的距離，所以三角形面積，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，即時取等號，所以面積的最大值為．【點睛】本題考查求橢圓標準方程，考查直線與橢圓相交中的三角形面積最值問題．解題方法是“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交點，，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達定理得，用表示出三角形面積，從而把面積表示為參數(shù)的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求得最值．21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出訪解析式有意義的自變量的取值范圍即可；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，令，對再求導(dǎo)，確定在上的單調(diào)性，從而確定在上的正負，證明的單調(diào)性；（3）利用（2）的單調(diào)性得當(dāng)時，，即，這樣有不等關(guān)系：當(dāng)時，，則，即，應(yīng)用累加法可證得結(jié)論．【詳解】（1）由題意得：，解得或，的定義域為．（2），令，則，時，．即在上單調(diào)遞減．由于，則在上．因為，所以上，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．（3）由（2）可知，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，則，即，所以整理得：，即，，不等式得證．【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題關(guān)鍵是確定如何利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，本題是利用函數(shù)的單調(diào)性進行放縮，結(jié)合數(shù)列的特征，用累加法證明出結(jié)論．（二）選考題：請在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一分題記分．22.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若.（1）求角.（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）依據(jù)正弦定理，可得，再依據(jù)三角形的性質(zhì)，可知，進而求出結(jié)果；（2）依據(jù)余弦定理，可得，求出，進而求出三角形的面積.【詳