3.5探索與表達規(guī)律（練習）

第三章整式及其加減第五節(jié)探索與表達規(guī)律精選練習基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2021·江蘇吳中區(qū)·西安交大蘇州附中七年級開學考試）如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第20個這樣的圖案需要黑色棋子的個數(shù)為（）A．448 B．452 C．544 D．602【答案】C【分析】觀察各圖可知，第一個圖案需要黑色棋子的個數(shù)為(1+2+3)×2（個），第二個圖案需要的個數(shù)為[(1+2+3+4)×2+2×1]（個），第三個圖案需要的個數(shù)為[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（個），第四個圖案需要的個數(shù)為[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（個）…由此可以推出第n個圖案需要的個數(shù)為（個），所以第20個圖案需要的個數(shù)只需將n=20代入即可．【詳解】解：由圖知第一個圖案需要黑色棋子的個數(shù)為(1+2+3)×2（個）；第二個圖案需要的個數(shù)為[(1+2+3+4)×2+2×1]（個）；第三個圖案需要的個數(shù)為[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（個）；第四個圖案需要的個數(shù)為[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（個）；…第n個圖案需要的個數(shù)為（個）∴第20個圖案需要的個數(shù)為(1+2+3+…+22)×2+2×19=544（個）故選C．【點睛】本題考查了圖形的變化．解題的關(guān)鍵是觀察各個圖形找到它們之間的規(guī)律．2．（2021·山東濱城區(qū)·七年級期末）已知一列數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，…將這列數(shù)排成下列形式：第1行1第2行23第3行456第4行78910第5行1112131415……按照上述規(guī)律排下去，那么第100行從左邊數(shù)第4個數(shù)是（）A．4954 B．4954 C．4953 D．4953【答案】A【分析】分析可得：第n行有n個數(shù)，此行最后一個數(shù)的絕對值為；且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負；先求出99行最后一個數(shù)，然后可求出100行從左邊數(shù)第4個數(shù)．【詳解】解：第1行有1個數(shù)，最后一個數(shù)的絕對值是：1；第2行有2個數(shù)，最后一個數(shù)的絕對值是：3=1+2=；第3行有3個數(shù)，最后一個數(shù)的絕對值是：6=1+2+3=；第4行有4個數(shù)，最后一個數(shù)的絕對值是：10=1+2+3+4=；第5行有5個數(shù)，最后一個數(shù)的絕對值是：15=1+2+3+4+5=；……；∴第n行有n個數(shù)，最后一個數(shù)的絕對值是：；∴第99行有99個數(shù)，此行最后一個數(shù)的絕對值為：；∴第100行從左邊數(shù)第4個數(shù)的絕對值為4954，∵奇數(shù)為正，偶數(shù)為負，∴第100行從左邊數(shù)第4個數(shù)為4954，故選：A．【點睛】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類以及學生分析數(shù)據(jù)，總結(jié)、歸納數(shù)據(jù)規(guī)律的能力，關(guān)鍵是找出規(guī)律，要求學生要有一定的解題技巧．本題的關(guān)鍵是得到規(guī)律：第n行有n個數(shù)，此行最后一個數(shù)的絕對值為；且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負．3．（2021·重慶市徐悲鴻中學校七年級開學考試）按圖示的方式擺放餐桌和椅子，圖1中共有6把椅子，圖2中共有10把椅子，…，按此規(guī)律，則圖7中椅子把數(shù)是（）A．28 B．30 C．36 D．42【答案】B【分析】觀察圖形變化，得出n張餐桌時，椅子數(shù)為4n+2把（n為正整數(shù)），代入n＝7即可得出結(jié)論．【詳解】解：1張桌子可以擺放的椅子數(shù)為：2+1×4＝6，2張桌子可以擺放的椅子數(shù)為：2+2×4＝10，3張桌子可以擺放的椅子數(shù)為：2+3×4＝14，…，n張桌子可以擺放的椅子數(shù)為：2+4n，令n＝7，可得2+4×7＝30（把）．故選：B．【點睛】此題考查圖形類規(guī)律探究，列式計算,根據(jù)圖形的排列總結(jié)規(guī)律并運用解決問題是解題的關(guān)鍵．4．（2021·全國九年級專題練習）觀察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算53+63+73+83+93+103的結(jié)果是()A．2925 B．2025 C．3225 D．2625【答案】A【分析】根據(jù)題意找到規(guī)律：即可求解．【詳解】解：∵13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，∴，53+63+73+83+93+103()()．故選：A．【點睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律．5．（2020·高州市新垌第一中學）觀察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，由以上等式可推知3＋32＋33＋34＋…＋32021的結(jié)果的末位數(shù)字是()A．0 B．9 C．3 D．2【答案】C【分析】觀察所給等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律末位數(shù)字為：3，9，7，1，3，9，7，…，每4個數(shù)一組循環(huán)，進而可得算式：3+32+33+34+…+32021結(jié)果的末位數(shù)字．【詳解】解：觀察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：末位數(shù)字為：3，9，7，1，3，9，7，…，每4個數(shù)一組循環(huán)，所以2021÷4＝505……1，而3+9+7+1＝20，20×505+3＝10103．所以算式：3+32+33+34+…+32021結(jié)果的末位數(shù)字是3．故選：C．【點睛】本題考查了規(guī)律型數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律．6．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶南開中學八年級月考）如圖，由等圓組成的一組圖中，第①個圖由1個圓組成，第②個圖由5個圓組成，第③個圖由11個圓組成，…，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第⑧個圖由（）個圓組成A．71 B．72C．73 D．74【答案】A【分析】先觀察前幾個圖形，找到規(guī)律，用含有n的代數(shù)式將規(guī)律表示出來，然后算第⑧個．【詳解】解：可以將整個圖形分成三部分看，上面部分整體和中間一行以及下面部分整體，上部分和下部分都是一樣的規(guī)律，第n個圖形有個圓，所以上部分加上下部分一共有個圓，中間一行，第n個圖形有個圓，所以第n個整個圖形中有個圓，令，解得第⑧個圖形中有71個圓．故選：A．【點睛】本題考查找規(guī)律，解題的關(guān)鍵是能夠用含有n的代數(shù)式將圖形的規(guī)律表示出來．7．（2020·廣東外語外貿(mào)大學實驗中學）如圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行一個點，第二行兩個點……第n行有n個點……，已知前m行的點數(shù)和為210，則m的值為（）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】根據(jù)題意得出這個點陣中前n行的點數(shù)和等于1+2+3+4+……+n，再計算即可．【詳解】根據(jù)題意知，1+2+3+4+……+n

=n（n+1）

=．∴，解得：（負值已舍去）；故選B．【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，結(jié)合圖形，找出數(shù)字的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．8．（2020·福建寧化縣·七年級期中）如圖，在紙面所在的平面內(nèi)，一只電子螞蟻從數(shù)軸上表示原點的位置O點出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位，其移動路線如圖所示，第1次移動到A1，第2次移動到A2，第3次移動到A3，……，第n次移動到An，則△OA2A2019的面積是（）A．504 B． C． D．1009【答案】B【分析】觀察圖形可知：，由，推出，由此即可解決問題．【詳解】觀察圖形可知：點在數(shù)軸上，，，，點在數(shù)軸上，，故選B．【點睛】本題考查三角形的面積，數(shù)軸等知識，解題的關(guān)鍵是學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題9．（2020·浙江杭州市·）由一些正整數(shù)組成的數(shù)表如下（表中下一行中數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍）：第1行2第2行46第3行8101214若規(guī)定坐標號表示第m行從左向右第n個數(shù)，則所表示的數(shù)是________；數(shù)2022對應的坐標號是________．【答案】【分析】根據(jù)每行的第一個數(shù)分別為：…故第行的第一個數(shù)為：，第個數(shù)為；進而得出每一行的數(shù)字即可分別求出對應數(shù)字，再利用每行數(shù)字個數(shù)，得出2022所在位置．【詳解】解：根據(jù)每行的第一個數(shù)分別為：…第行的第一個數(shù)為：第5行的第一個數(shù)為：，第6個數(shù)為：，所表示的數(shù)是；每一行的數(shù)字個數(shù)為：第行為：，，數(shù)2022在第10行，從右向左數(shù)第12個數(shù)，得出，故數(shù)2022對應的坐標號是，故答案為：；．【點睛】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，利用每行中數(shù)字的個數(shù)以及每行第一個數(shù)字變化規(guī)律得出是解題的關(guān)鍵．10．（2021·遼寧錦州市·）觀察下列式子：；；；；…，按此規(guī)律，計算______．【答案】【分析】觀察已知式子可得規(guī)律，進而進行計算即可．【詳解】解：觀察下列式子可知：

；

；

；

；

…，

按此規(guī)律，

則．

∴a1+a2+a3+…+a2020=1+++…+=1

=．

故答案為：．【點睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，應用規(guī)律．11．（2021·全國七年級）一動點P從數(shù)軸上的原點出發(fā)，按下列規(guī)則運動：（1）沿數(shù)軸的正方向先前進5個單位，然后后退3個單位，如此反復進行；（2）已知點P每秒只能前進或后退1個單位．設xn表示第n秒點P在數(shù)軸上的位置所對應的數(shù)，則x1998為__．【答案】502【分析】先解出點P每8秒完成一個循環(huán)，解出對應的數(shù)值，再根據(jù)規(guī)律推導出答案．【詳解】解：依題意得，點P每8秒完成一個前進和后退，即前8個對應的數(shù)是1、2、3、4、5、4、3、2；第二組8個數(shù)即9～16是3、4、5、6、7、6、5、4，第三組8個數(shù)即17～24是5、6、7、8、9、8、7、6，，得到規(guī)律：第二組8個數(shù)是：第一組8個數(shù)對應數(shù)位上的數(shù)，如：第10秒，，余數(shù)為2，則第一組對應數(shù)位上的數(shù)即第2個數(shù)為2，∴；第三組8個數(shù)是：第一組8個數(shù)對應數(shù)位上的數(shù)，如：第21秒，，余數(shù)為5，則第一組對應數(shù)位上的數(shù)即第5個數(shù)為5，∴；，∵，余數(shù)為6，則第一組對應數(shù)位上的數(shù)即第6個數(shù)為4，故．故答案為：502．【點睛】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是找出循環(huán)的規(guī)律．12．（2020·豐縣歡口鎮(zhèn)歡口初級中學）如圖，下列圖形是由同樣大小的●和▲按一定規(guī)律組成，其中第1個圖形由3個●和1個▲組成，第2個圖形由6個●和3個▲組成，第3個圖形由9個●和6個▲組成，…，照此規(guī)律，在第45個圖形中，●比▲的個數(shù)少______個．【答案】900【分析】觀察圖形特點，從中找出規(guī)律，單獨找出“●”的規(guī)律為：3n，“▲”的規(guī)律為：，單獨求出時“●”和“▲”的個數(shù)即可．【詳解】∵n＝1時，“●”的個數(shù)是3＝3×1；n＝2時，“●”的個數(shù)是6＝3×2；n＝3時，“●”的個數(shù)是9＝3×3；n＝4時，“●”的個數(shù)是12＝3×4；∴第45個圖形中“●”的個數(shù)是3×45＝135；又∵n＝1時，“▲”的個數(shù)是；n＝2時，“▲”的個數(shù)是；n＝3時，“▲”的個數(shù)是；n＝4時，“▲”的個數(shù)是；∴第45個圖形中“▲”的個數(shù)是；由題意知，在第45個圖形中“●”比“▲”少的個數(shù)為：－135＝900．故答案為：900．【點睛】本題考查的是探究規(guī)律的知識，關(guān)鍵是總結(jié)出圖形變化的規(guī)律．提升篇提升篇三、解答題13．（2021·全國八年級專題練習）觀察下列各式：，，，，…，你有沒有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?請用含的代數(shù)式表示此規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律寫出接下來的式子．【答案】．(≥1且為整數(shù))，【分析】觀察等式的規(guī)律，可分別觀察等式的左邊：第一個的底數(shù)分別為：3=221，8=321，15=421，24=521，第n個式子為（n+1）21，第二個的底數(shù)是4，6，8…連續(xù)的偶數(shù)．右邊的底數(shù)是比左邊的第一個數(shù)大2，得到規(guī)律：[（n+1）21]2+[2（n+1）]2=[（n+1）2+1]2．再根據(jù)規(guī)律即可寫出下一個式子即可【詳解】解：，．(≥1且為整數(shù))【點睛】本題主要考查整式規(guī)律的問題，注意分別觀察等式的左邊和右邊以及左右兩邊的關(guān)系，這需要平時的努力．14．（2021·江西吉水縣·）已知下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，…（1）請仔細觀察前三個式子的規(guī)律，寫出第④個式子：；（2）請你找出規(guī)律，寫出第n個式子．（3）利用（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：1+3+5+7+…+2019+2021．【答案】（1）52﹣42=9；（2）（n+1）2﹣n2=2n+1；（3）10112．【分析】（1）由等式左邊兩數(shù)的底數(shù)可知，兩底數(shù)是相鄰的兩個自然數(shù)，右邊為兩底數(shù)的和，由此得出規(guī)律；（2）等式左邊減數(shù)的底數(shù)與序號相同，由此得出第n個式子；（3）由3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，…，將算式逐一變形，再尋找抵消規(guī)律．【詳解】解：（1）依題意，得第④個算式為：52﹣42=9；故答案為：52﹣42=9；（2）根據(jù)幾個等式的規(guī)律可知，第n個式子為：（n+1）2﹣n2=2n+1；故答案為：（n+1）2﹣n2=2n+1；（3）由（2）的規(guī)律可知，1+3+5+7+…+2021=1+（22﹣12）+（32﹣22）+（42﹣32）+…+（10112﹣10102）=10112．【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題是解決此題的關(guān)鍵．15．（2020·江蘇蘇州市·七年級期中）如圖，在邊長都為的正方形內(nèi)分別排列著一些大小相等的圓．（1）根據(jù)圖中的規(guī)律，第4個正方形內(nèi)圓的個數(shù)是_________，第個正方形內(nèi)圓的個數(shù)是_________（用含的代數(shù)