24.1.2垂直于弦的直徑講義教師版

24.1圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.2垂直于弦的直徑教學目標：掌握垂直于弦的直徑的性質(zhì)定理及其推論．教學重難點：垂徑定理的綜合應(yīng)用知識點一：圓的軸對稱性圓的基本性質(zhì)：①軸對稱性．②中心對稱性．例題．下列命題中，正確的是（）A．圓只有一條對稱軸B．圓的對稱軸不止一條，但只有有限條C．圓有無數(shù)條對稱軸，每條直徑都是它的對稱軸D．圓有無數(shù)條對稱軸，每條直徑所在的直線都是它的對稱軸【分析】根據(jù)圓的有關(guān)基本概念，結(jié)合圖形，逐一判斷．【解答】解：A，圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，有無數(shù)條，錯誤；B，結(jié)合上一條分析可知，圓的對稱軸有無限條，錯誤；C，對稱軸為直線，直徑只是線段，錯誤；D，結(jié)合上述分析可知，此項正確．故選D．【點評】本題考查了圓的對稱性知識及對稱的概念，正確理解其含義是解題的關(guān)鍵．變式1．下列語句中，不正確的是（）A．圓既是中心對稱圖形，又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形B．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．當圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)89°57′時，不會與原來的圓重合D．圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個【分析】根據(jù)圓是軸對稱圖形的性質(zhì)，以及圓的旋轉(zhuǎn)不變性即可求解．【解答】解：A、因為圓旋轉(zhuǎn)任意一個角度都能夠與自身重合，所以圓不僅是中心對稱圖形，也是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，正確；B、正確；C、根據(jù)A知錯誤；D、任意過圓心的直線都是圓的對稱軸，有無數(shù)條，對稱中心即是圓心，有一個，正確．故選C．【點評】理解圓的對稱性是解題的關(guān)鍵．變式2．下列結(jié)論正確的是（）A．經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸B．直徑是圓的對稱軸C．與圓相交的直線是圓的對稱軸D．與直徑相交的直線是圓的對稱軸【分析】利用直徑所在的直線為圓的對稱軸對各選項進行判斷．【解答】解：A、經(jīng)過圓心的直線是圓的對稱軸，所以A正確；B、直徑所在的直線為圓的對稱軸，所以B錯誤；C、與圓相交的直線不一定是圓的對稱軸，所以C錯誤；D、與直徑相交的圓心的直線是圓的對稱軸，所以D錯誤．故選A．【點評】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．知識點二：垂徑定理（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．例題．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，若⊙O的半徑為5，AB=8，則CD的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)垂徑定理由OC⊥AB得到AD=AB=4，再根據(jù)勾股定理開始出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=×8=4，在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，∴OD==3，∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2．故選A．【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．變式1．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．若AB=8，AE=1，則弦CD的長是（）A． B．2 C．6 D．8【分析】根據(jù)垂徑定理，可得答案．【解答】解：連接OC，由題意，得OE=OB﹣AE=4﹣1=3，CE=ED==，CD=2CE=2，故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理，利用勾股定理，垂徑定理是解題關(guān)鍵．變式2．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，則CD的長為（）A． B．2 C．2 D．8【分析】作OH⊥CD于H，連結(jié)OC，如圖，根據(jù)垂徑定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可計算出半徑OA=4，則OP=OA﹣AP=2，接著在Rt△OPH中根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)計算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理計算出CH=，所以CD=2CH=2．【解答】解：作OH⊥CD于H，連結(jié)OC，如圖，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，∴OP=OA﹣AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=30°，∴OH=OP=1，在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴CH==，∴CD=2CH=2．故選C．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性質(zhì)．變式3．如圖．⊙O的直徑AB垂直弦CD于E點，∠A=22.5°，OC=4，CD的長為（）A．4 B．8 C．2 D．4【分析】根據(jù)等邊對等角可得∠OAC=∠OCA=22.5°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠COE=45°，然后利用三角函數(shù)可得CE的長，再根據(jù)垂徑定理可得答案．【解答】解：∵CO=AO，∴∠OAC=∠OCA=22.5°，∴∠COE=45°，∵CD⊥AB，∴∠CEO=90°，CD=2CE，∴CE=EO，∴CE=CO?sin45°=4×=2，∴CD=4，故選：D．【點評】此題主要考查了垂徑定理，關(guān)鍵是掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。兪?．如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB，垂足為H，CD=2，BD=，則AB的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】連接OD，利用吹徑定理求得HD的長，在直角△BDH中，利用勾股定理求得BH的長，然后設(shè)半徑是r，在直角△OHD中利用勾股定理列方程求得半徑，則直徑即可求得．【解答】解：連接OD．∵CD⊥AB，∴DH=CD=×2=．∴在直角△BDH中，BH==1，則OH=OB﹣BH=r﹣1，在△ODH中，OD2=HD2+OH2，則r2=（）2+（r﹣1）2，解得：r=，則AB=3．故選B．【點評】本題考查了吹徑定理的應(yīng)用和勾股定理，正確根據(jù)勾股定理列方程是關(guān)鍵．變式5．如圖，已知⊙O的半徑為5，點A到圓心O的距離為3，則過點A的所有弦中，最短弦的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】最短弦是過A點垂直于OA的弦．根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解．【解答】解：由垂徑定理得，該弦應(yīng)該是以O(shè)A為中垂線的弦BC．連接OB．已知OB=5，OA=3，由勾股定理得AB=4．所以弦BC=8．故選C．【點評】此題主要考查了學生對垂徑定理及勾股定理的理解運用．變式6．A是半徑為5的⊙O內(nèi)的一點，且OA=3，則過點A且長小于10的整數(shù)弦的條數(shù)是（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【分析】連接OA，作弦CD⊥OA，則CD是過點A的最短的弦．運用垂徑定理和勾股定理求解．【解答】解：連接OA，作弦CD⊥OA，則CD是過點A的最短的弦．連接OC，運用垂徑定理和勾股定理求得弦長是8．∴8≤弦＜10，即過點A的最短整數(shù)弦有8、9（2條對稱的）共三條．所以過點A且長小于10的弦有3條．故選C．【點評】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識，正確作出過圓內(nèi)一點的最短的弦，結(jié)合勾股定理和垂徑定理進行計算．變式7．如圖，∠PAC=30°，在射線AC上順次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB為直徑作⊙O交射線AP于E、F兩點，則線段EF的長是6cm．【分析】過O點作OH⊥EF于H，連OF，根據(jù)垂徑定理得EH=FH，在Rt△AOH中，AO=AD+OD=3+5=8，∠A=30°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得到OH=OA=4，再利用勾股定理計算出HF，由EF=2HF得到答案．【解答】解：過O點作OH⊥EF于H，連OF，如圖則EH=FH，在Rt△AOH中，AO=AD+OD=3+5=8，∠A=30°，則OH=OA=4，在Rt△OHF中，OH=4，OF=5，則HF==3，則EF=2HF=6cm．故答案為6．【點評】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的?。部疾榱撕?0度的直角三角形三邊的關(guān)系以及勾股定理．

拓展點一：垂徑定理及其推論的簡單應(yīng)用例題．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，CD⊥AB于E，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠AOC=∠AOD B．BE=OE C．CE=DE D．AC=AD【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠COB=∠DOB，根據(jù)鄰補角即可求出∠AOC=∠AOD，根據(jù)垂徑定理即可求出CE=DE，根據(jù)線段垂直平分線即可求出AC=AD．【解答】解：A、∵AB⊥CD，OC=OD，∴∠COB=∠DOB，∴∠AOC+∠COB=180°，∠AOD+∠DOB=180°，∴∠AOC=∠AOD，故本選項錯誤；B、根據(jù)已知不能推出BE=OE，故本選項正確；C、∵AB⊥CD，AB為直徑，∴CE=DE，故本選項錯誤；D、∵AB⊥CD，AB過O，∴CE=DE，∴AC=AD，故本選項錯誤；故選B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．變式1．已知：如圖，弦AB的垂直平分線交⊙O于點C、D，則下列說法中不正確的是（）A．弦CD一定是⊙O的直徑 B．點O到AC、BC的距離相等C．∠A與∠ABD互余 D．∠A與∠CBD互補【分析】根據(jù)垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)對各個選項進行判斷即可．【解答】解：∵CD是弦AB的垂直平分線，∴弦CD一定是⊙O的直徑，A正確；點O到AC、BC的距離相等，B正確；∵CD是⊙O的直徑，∴∠CBD=90°，即∠ABC+∠ABD=90°，又∠ABC=∠A，∴∠A與∠ABD互余，C正確；∵A、C、B、D四點共圓，∴∠CAD與∠CBD互補，D錯誤，故選：D．【點評】本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理、靈活運用定理是解題的關(guān)鍵．變式2．如圖，⊙O的半徑為5，弦AB=8，CD=6，AB∥CD且在圓心的同側(cè)，則兩條平行弦之間的距離為（）A．2 B．3或4 C．1 D．1或7【分析】連接OC、OA，作直線EF⊥AB于E，交CD于F，則EF⊥CD，根據(jù)垂徑定理求出CF，AE，根據(jù)勾股定理求出OE、OF，即可得出答案．【解答】解：如圖所示，連接OA，OC．作直線EF⊥AB于E，交CD于F，則EF⊥CD，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE=AB=4，CF=CD=3，根據(jù)勾股定理，得OE===3，OF===4，所以當AB和CD在圓心的同側(cè)時，則EF=OF﹣OE=1，故選C．【點評】本題考查了垂徑定理的知識，此題綜合運用了垂徑定理和勾股定理，特別注意有時要考慮兩種情況．變式3．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，則下列結(jié)論正確的是（）A．OE=BE B．=C．△BOC是等邊三角形 D．四邊形ODBC是菱形【分析】根據(jù)垂徑定理判斷即可．【解答】解：∵AB⊥CD，AB過O，∴DE=CE，=，根據(jù)已知不能推出OE=BE，△BOC是等邊三角形，四邊形ODBC是菱形．故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，主要考查學生的推理能力和辨析能力．變式4．如圖，EM經(jīng)過圓心O，EM⊥CD于M，若CD=4，EM=6，則弧CED所在圓的半徑為（）A． B． C．3 D．4【分析】連接OC，設(shè)弧CED所在圓的半徑為R，則OC=R，OM=6﹣R，根據(jù)垂徑定理求出CM，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可．【解答】解：連接OC，設(shè)弧CED所在圓的半徑為R，則OC=R，OM=6﹣R，∵EM經(jīng)過圓心O，EM⊥CD于M，CD=4，∴CM=DM=2，在Rt△OMC中，由勾股定理得：OC2=OM2+CM2，R2=（6﹣R）2+22，R=，故選A．【點評】本題考查了勾股定理，垂徑定理的應(yīng)用，用了方程思想，題目比較典型，難度適中．變式5．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，∠BCD=30°，下列結(jié)論：①AE=BE；②OE=DE；③AB=BC；④BE=DE．其中正確的是（）A．① B．①②③ C．①③ D．①②③④【分析】根據(jù)垂徑定理以及等邊三角形的性質(zhì)和判定定理即可作出判斷．【解答】解：∵CD是⊙O的直徑，AB⊥CD，∴AE=BE，故①正確；∵∠BCD=30°，∴∠BOD=60°，又∵OB=OD，∴△OBD是等邊三角形，∵AB⊥CD，∴OE=DE，BE=DE，故②④正確；連接AC，∵∠ACB=2∠BCD=60°，又∵AC=BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，故③正確．故選D．【點評】此題考查了垂徑定理．此題難度不大，注意掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。兪?．如圖，在⊙O中，C為弦AB上一點，AC=2，BC=6，⊙O的半徑為5，則OC=（）A． B．4 C．3 D．【分析】根據(jù)相交弦定理列方程求解．【解答】解：設(shè)OC=x，利用圓內(nèi)相交弦定理可得：2×6=（5﹣x）（5+x）解得x=．故選A．【點評】圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的乘積相等．變式6．如圖，過⊙O內(nèi)一點M的最長弦長為12cm，最短弦長為8cm，那么OM長為（）A．6cm B．cm C．cm D．9cm【分析】過M的最長弦應(yīng)該是⊙O的直徑，最短弦應(yīng)該是和OM垂直的弦（設(shè)此弦為CD）；可連接OM、OC，根據(jù)垂徑定理可得出CM的長，再根據(jù)勾股定理即可求出OM的值．【解答】解：連接OM交圓O于點B，延長MO交圓于點A，過點M作弦CD⊥AB，連接OC∵過圓O內(nèi)一點M的最長的弦長為12cm，最短的弦長為8cm，∴直徑AB=12cm，CD=8cm．∵CD⊥AB，∴CM=MD=CD=4cm．在Rt△OMC中，OC=AB=6cm；∴OM===2cm．故選B．【點評】本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．拓展點二：垂徑定理在實際生活中的應(yīng)用例題．如圖，在半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為（）A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm【分析】首先構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的長，進而根據(jù)垂徑定理得出答案．【解答】解：如圖，過O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD=8，OD=13，∴OC=5，又∵OB=13，∴Rt△BCO中，BC==12，∴AB=2BC=24．故選：C．【點評】此題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，得出AC的長是解題關(guān)鍵．變式1．如圖，圓弧形橋拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，則拱橋的半徑為（）A．6.5米 B．9米 C．13米 D．15米【分析】根據(jù)垂徑定理的推論，知此圓的圓心在CD所在的直線上，設(shè)圓心是O．連接OA．根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解．【解答】解：根據(jù)垂徑定理的推論，知此圓的圓心在CD所在的直線上，設(shè)圓心是O連接OA．根據(jù)垂徑定理，得AD=6設(shè)圓的半徑是r，根據(jù)勾股定理，得r2=36+（r﹣4）2，解得r=6.5故選：A．【點評】此題綜合運用了勾股定理以及垂徑定理．注意構(gòu)造由半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形進行有關(guān)的計算．變式2．如圖，圓弧形石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為6m，橋拱半徑OC為4m，則水面寬AB為（）A．m B．2m C．4m D．6m【分析】連接OA，根據(jù)橋拱半徑OC為4m，求出OA=4m，根據(jù)CD=6m，求出OD=2m，根據(jù)AD=求出AD，最后根據(jù)AB=2AD即可得出答案．【解答】解：連接OA，∵橋拱半徑OC為4m，∴OA=4m，∵CD=6m，∴OD=6﹣4=2m，∴AD===2m，∴AB=2AD=2×2=4（m）；故選C．【點評】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，用到的知識點是垂徑定理、勾股定理．變式3．在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油，截面如圖，油面寬AB為6cm，如果再注入一些油后，油面上升1m，油面寬度為8m，圓柱形油槽的直徑為（）A．6m B．8m C．10m D．12m【分析】如圖，油面AB上升1分米得到油面CD，依題意得AB=6，CD=8，過O點作AB的垂線，垂足為E，交CD于F點，連接OA，OC，由垂徑定理得AE=AB=3m，CF=CD=4m，設(shè)OE=xm，則OF=（x﹣1）m，在Rt△OAE中和Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理求得OA、OC的長度，然后由OA=OC，列方程求x即可求半徑OA，得出直徑MN．【解答】解：如圖，依題意得AB=6m，CD=8m，過O點作AB的垂線，垂足為E，交CD于F點，連接OA，OC，由垂徑定理，得AE=AB=3m，CF=CD=4m，設(shè)OE=xm，則OF=（x﹣1）m，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，∵OA=OC，∴32+x2=42+（x﹣1）2，解得x=4，∴半徑OA==5（m），∴直徑MN=2OA=10m．故選：C．【點評】本題考查了垂徑定理的運用．關(guān)鍵是利用垂徑定理得出兩個直角三角形，根據(jù)勾股定理表示半徑的平方，根據(jù)半徑相等列方程求解．變式4．“圓材埋壁”是我國古代著名數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何”此問題的實質(zhì)就是解決下面的問題：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE=1，AB=10，求CD的長”．根據(jù)題意可得CD的長為26．【分析】根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解．【解答】解：連接OA，AB⊥CD，由垂徑定理知，點E是AB的中點，AE=AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE，設(shè)半徑為r，由勾股定理得，