高中數(shù)學(xué)中的“隱形圓”問題（原卷版）

高中數(shù)學(xué)中的“隱形圓”問題“隱形圓”問題是高中數(shù)學(xué)中難度較大的一個(gè)跨單元內(nèi)容，它承接于初中的圓，融入了高中的平面向量、解三角形、解析幾何等內(nèi)容，試題的難度以中檔或中高檔為主，注重考查學(xué)生的綜合能力.當(dāng)然，這部分內(nèi)容在教材上也多有涉及，比如阿波羅尼斯圓、圓的參數(shù)方程等.本文將借助幾個(gè)數(shù)學(xué)模型來講解高中數(shù)學(xué)中的“隱形圓”問題.一、“圓的定義”模型例1已知點(diǎn)在動(dòng)直線上的射影點(diǎn)為，若點(diǎn)，那么的最大值為__________.變式1已知點(diǎn)是圓的動(dòng)點(diǎn)，直線上存在兩點(diǎn)，，使得恒成立，則線段長度的最小值是（）A.B.C.D.結(jié)論此類問題往往利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱形圓.，是定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足：①，②，③，④則是以為直徑的圓（①③④需除去，兩點(diǎn)）.二、“三角形對邊對角”模型例2已知，，分別為△的三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，，且，則△面積的最大值為__________.變式2在△ABC中，（1）求；（2）若，求△ABC周長的最大值.結(jié)論此類問題往往已知三角形的對邊對角，結(jié)合正弦定理確定隱形圓.三、“阿波羅尼斯圓”模型例3（教材P97例6改編）已知，，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與的距離的倍，求點(diǎn)的軌跡.思考如果把例3中的“倍”改為“（）倍”，點(diǎn)的軌跡又是什么？變式3滿足條件，的三角形面積的最大值是__________.結(jié)論已知平面上兩定點(diǎn)、，則滿足（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（前262—前190）發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.四、“距離平方和”模型例4在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.變式4在平面直角坐標(biāo)系中，已知，為圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)，且，則線段長的取值范圍為____________.結(jié)論已知平面上兩定點(diǎn)、，則滿足（其中）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.（1）代數(shù)證明設(shè)（）.以中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.則，.又設(shè)，則由得.化簡得，整理有.所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.（需要特別說明的是，由于坐標(biāo)系的不同，故該圓圓心的坐標(biāo)表示不唯一.）（2）幾何證明設(shè)為中點(diǎn)，故，.所以.所以，即.所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以（中點(diǎn)）為圓心，為半徑的圓.五、“向量數(shù)量積”模型例5（多選）已知點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A.B.C.D.變式5已知點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，若滿足等式的點(diǎn)有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.結(jié)論已知平面上兩定點(diǎn)、，則滿足（其中）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓.（1）代數(shù)證明設(shè)（）.以中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.則，.又設(shè)，則由得，整理有.所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.（需要特別說明的是，由于坐標(biāo)系的不同，故該圓圓心的坐標(biāo)表示不唯一）（2）幾何證明設(shè)為中點(diǎn)，故，.所以，故.所以.所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以（中點(diǎn)）為圓心，為半徑的圓.六、“圓的參數(shù)方程”模型例6（教材P89第10題改編）在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，其中為參數(shù)，則點(diǎn)的軌跡方程為____________.變式6已知，則的最小值是____________.結(jié)論（其中為參數(shù)）為圓的參數(shù)方程，表示圓心為，半徑為的圓.課后鞏固1.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.B.C.D.2.已知點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，則的最大值為（）A.B.C.D.3.已知，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A.B.C.D.4.已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是____________.5.若對任意，直線與圓均無公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________.6.已知點(diǎn)到的