核心考點(diǎn)02一元二次方程

核心考點(diǎn)02一元二次方程目錄考點(diǎn)一：一元二次方程的定義考點(diǎn)二：一元二次方程的一般形式考點(diǎn)三：一元二次方程的解考點(diǎn)四：解一元二次方程直接開平方法考點(diǎn)五：解一元二次方程配方法考點(diǎn)六：解一元二次方程公式法考點(diǎn)七：解一元二次方程因式分解法考點(diǎn)八：換元法解一元二次方程考點(diǎn)九：根的判別式考點(diǎn)十：根與系數(shù)的關(guān)系考點(diǎn)十一：由實(shí)際問題抽象出一元二次方程考點(diǎn)十二：一元二次方程的應(yīng)用考點(diǎn)十三：配方法的應(yīng)用考點(diǎn)十四：高次方程考點(diǎn)十五：無理方程考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng)．一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a＝0時，方程中就沒有二次項(xiàng)了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式．三．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因?yàn)橹缓幸粋€未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實(shí)數(shù)解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．a(chǎn)x12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．四．解一元二次方程直接開平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負(fù)數(shù)．②降次的實(shí)質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．五．解一元二次方程配方法（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．六．解一元二次方程公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步驟為：①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程無實(shí)數(shù)根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．七．解一元二次方程因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．八．換元法解一元二次方程1、解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．九．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．十．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝，x1x2＝，反過來也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．十一．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程在解決實(shí)際問題時，要全面、系統(tǒng)地審清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程．十二．一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)和作答．2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：（1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a．（2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長百分率）2＝后來數(shù)．（3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．（4）運(yùn)動點(diǎn)問題：物體運(yùn)動將會沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．5．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題．6．答：寫出答案．十三．配方法的應(yīng)用1、用配方法解一元二次方程．配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．2、利用配方法求二次三項(xiàng)式是一個完全平方式時所含字母系數(shù)的值．關(guān)鍵是：二次三項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．3、配方法的綜合應(yīng)用．十四．高次方程（1）高次方程的定義：整式方程未知數(shù)次數(shù)最高項(xiàng)次數(shù)高于2次的方程，稱為高次方程．（2）高次方程的解法思想：通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．對于5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數(shù)解法和求根公式（即通過各項(xiàng)系數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和乘方和開方運(yùn)算無法求解），這稱為阿貝爾定理．換句話說，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．十五．無理方程（1）定義：方程中含有根式，且開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無理方程．（2）有理方程和根式方程（無理方程）合稱為代數(shù)方程．（3）解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號，將其轉(zhuǎn)化為整式方程．解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等．（4）注意：用乘方法（即將方程兩邊各自乘同次方來消去方程中的根號）來解無理方程，往往會產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．一元二次方程的定義（共1小題）1．（2022春?寧波期末）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B．x2﹣2x+1＝0 C．x2﹣2y+4＝0 D．x2+3＝【分析】直接根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：選項(xiàng)A，方程中含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)B，方程中只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程，是一元二次方程．該選項(xiàng)符合題意．選項(xiàng)C，方程中含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)D，方程不是整式方程，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程是一元二次方程．二．一元二次方程的一般形式（共2小題）2．（2022春?嘉興期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正確的是（）A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0【分析】先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再移項(xiàng)，最后得出選項(xiàng)即可．【解答】解：（x+1）（x﹣1）＝3x，x2﹣1﹣3x＝0，即x2﹣3x﹣1＝0，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程一般形式的特點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）．3．（2022秋?靈寶市期中）方程2x2＝3（x﹣6）化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（）A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6【分析】要確定一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，首先要把方程化成一般形式．【解答】解：方程2x2＝3（x﹣6），去括號，得2x2＝3x﹣18，整理，得2x2﹣3x+18＝0，所以，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是2，﹣3，18，故選：B．【點(diǎn)評】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．三．一元二次方程的解（共2小題）4．（2022春?溫州期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一個根是x＝2，則m的值為（）A．﹣10 B．﹣2 C．2 D．10【分析】把x＝2代入求值即可．【解答】解：把x＝2代入可得22+3×2﹣m＝0，解得m＝10，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查對一元二次方程的解，解一元二次方程等知識點(diǎn)的理解和掌握，能得到方程22+3×2﹣m＝0是解此題的關(guān)鍵．5．（2022春?洞頭區(qū)期中）《周髀算經(jīng)》中有一種幾何方法可以用來解形如x（x+5）＝24的方程的正數(shù)解，方法為：如圖，將四個長為x+5，寬為x的長方形紙片（面積均為24）拼成一個大正方形，于是大正方形的面積為：24×4+25＝121，邊長為11，故得x（x+5）＝24的正數(shù)解為x＝＝3．小明按此方法解關(guān)于x的方程x2+mx﹣n＝0時，構(gòu)造出同樣的圖形．已知大正方形的面積為12，小正方形的面積為4，則方程的正數(shù)解為（）A．﹣1 B．+1 C． D．﹣1【分析】把方程變形得到x（x+m）＝n，設(shè)圖中長方形的長為（x+m），寬為x，則圖中小正方形的邊長為x+m﹣x＝m＝2，大正方形的邊長為x+m+x＝2x+m＝，解得x＝2，然后計(jì)算x（x+2）即可．【解答】解：∵x2+mx﹣n＝0，∴x（x+m）＝n，∴圖中長方形的長為（x+m），寬為x，∴圖中小正方形的邊長為x+m﹣x＝m＝＝2，大正方形的邊長為x+m+x＝2x+m＝，∴x＝＝﹣1，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．四．解一元二次方程直接開平方法（共2小題）6．（2022春?西湖區(qū)期末）一元二次方程x2＝4的解是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±【分析】利用直接開平方法，將方程兩邊直接開平方即可．【解答】解；x2＝4，兩邊直接開平方得：x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2，故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解”．7．（2022春?嘉善縣校級月考）若a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，則a（x﹣h+3）2+k＝0的解是x1＝﹣5，x2＝﹣2．【分析】把方程a（x﹣h+3）2+k＝0看作關(guān)于x+3的一元二次方程，根據(jù)題意得到x+3＝﹣2或x+3＝1，然后解一次方程即可．【解答】解：把方程a（x﹣h+3）2+k＝0看作關(guān)于x+3的一元二次方程，∵（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，∴x+3＝﹣2或x+3＝1，解得x1＝﹣5，x2＝﹣2，即a（x﹣h+3）2+k＝0的解是x1＝﹣5，x2＝﹣2．故答案為：x1＝﹣5，x2＝﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，運(yùn)用換元法的思想是解決問題的關(guān)鍵．五．解一元二次方程配方法（共4小題）8．（2022春?臨平區(qū)月考）解方程：（1）（x+1）（x﹣1）＝1；（2）2x2﹣4x+1＝0．【分析】（1）方程整理后，利用直接開平方法求出解即可；（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣1＝1，即x2＝2，開方得：x1＝，x2＝﹣；（2）方程整理得：x2﹣2x＝﹣，配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，開方得：x﹣1＝±，解得：x1＝，x2＝．【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，以及配方法，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．9．（2022春?溫州期中）解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）【分析】方程變形后，利用配方法求出解即可．【解答】解：方程變形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，變形得：（x﹣2）2＝9，開方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．10．（2022春?舟山期末）在用配方法解一元二次方程4x2﹣12x﹣1＝0時，李明同學(xué)的解題過程如下：解：方程4x2﹣12x﹣1＝0可化成（2x）2﹣6×2x﹣1＝0，移項(xiàng)，得（2x）2﹣6×2x＝1．配方，得（2x）2﹣6×2x+9＝1+9，即（2x﹣3）2＝10．由此可得2x﹣3＝±∴x1＝，x2＝．曉強(qiáng)同學(xué)認(rèn)為李明同學(xué)的解題過程是錯誤的，因?yàn)橛门浞椒ń庖辉畏匠虝r，首先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后再配方，你同意曉強(qiáng)同學(xué)的想法嗎？你從中受到了什么啟示？【分析】曉強(qiáng)認(rèn)為李明的解題過程錯誤，我不同意他的想法，說明理由即可．【解答】解：不同意曉強(qiáng)的想法，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時，有時也可以把系數(shù)的算術(shù)平方根與字母看成整體，再配方．【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．11．（2022春?定海區(qū)期末）用配方法解一元二次方程：2x2+3x+1＝0．小明同學(xué)的解題過程如下：解：x2+＝0x+x1＝﹣．小明的解題過程是否正確？若正確，請回答“對”；若錯誤，請寫出你的解題過程．【分析】根據(jù)解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：小明的解題過程不正確，正確的解題過程如下：2x2+3x+1＝0，x2+x+＝0，x2+x＝﹣，x2+x+（）2＝﹣+（）2，（x+）2＝，x+＝±，x+＝或x+＝﹣，x1＝﹣，x2＝﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關(guān)鍵．六．解一元二次方程公式法（共2小題）12．（2022春?鄞州區(qū)期中）解方程：（1）x2﹣4x+1＝0（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0【分析】（1）根據(jù)配方法即可求出答案；（2）根據(jù)因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x＝﹣1，∴x2﹣4x+4＝3，∴（x﹣2）2＝3，∴x＝2±，∴x1＝2+，x2＝2﹣（2）∵（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣3+2x＝0，∴x1＝3，x2＝1；【點(diǎn)評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．13．（2022春?拱墅區(qū)校級月考）解下列方程：（1）x2﹣7x+1＝0；（2）2（2x﹣1）＝3（1﹣2x）．【分析】（1）先計(jì)算根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（2）先移項(xiàng)合并得到﹣5（1﹣2x）＝0，然后解方程即可．【解答】解：（1）Δ＝（﹣7）2﹣4×1×1＝45＞0，x＝＝，所以x1＝，x2＝；（2）2（2x﹣1）﹣3（1﹣2x）＝0，﹣5（1﹣2x）＝0，解得x＝．【點(diǎn)評】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：熟練掌握用公式法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．也考查了解一元一次方程．七．解一元二次方程因式分解法（共2小題）14．（2022春?東陽市校級月考）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2﹣2x＝0；（2）2x2﹣3x﹣1＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣2＝0，∴x1＝0，x2＝2；（2）∵x2+3x+1＝0，∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17，∴x＝，∴x1＝，x2＝．【點(diǎn)評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．15．（2022春?吳興區(qū)校級期中）解下列方程：（1）2x2﹣7x+3＝0；（2）（7x+3）2＝2（7x+3）．【分析】（1）根據(jù)因式分解法可以解答此方程；（2）先移項(xiàng)，然后根據(jù)因式分解法即可解答此方程．【解答】解：（1）2x2﹣7x+3＝0，（2x﹣1）（x﹣3）＝0，∴2x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝，x2＝3；（2）（7x+3）2＝2（7x+3），（7x+3）2﹣2（7x+3）＝0，（7x+3）（7x+3﹣2）＝0，∴7x+3＝0或7x+3﹣2＝0，解得x1＝﹣，x2＝﹣．【點(diǎn)評】本題考查解一元二次方程—因式分解法，解答本題的關(guān)鍵是會用因式分解法解一元二次方程．八．換元法解一元二次方程（共2小題）16．（2022春?紹興期中）解方程：（1）x2﹣8x﹣1＝0（2）（x﹣2）2﹣6（x﹣2）+8＝0【分析】（1）移項(xiàng)，把方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，然后方程左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，則左邊的完全平方式，右邊是常數(shù)，即可開方求解；（2）把x﹣2看作整體，因而可以用因式分解法求解，也可以設(shè)x﹣2＝a，利用換元法解方程即可．【解答】解：（1）x2﹣8x＝1，x2﹣8x+16＝17，（x﹣4）2＝17，，∴，．（2）解法一：將方程變形為：（x﹣2﹣2）（x﹣2﹣4）＝0，∴x1＝6，x2＝4．解法二：設(shè)x﹣2＝a，則原方程變?yōu)椋篴2﹣6a+8＝0，（a﹣2）（a﹣4）＝0，a1＝2，a2＝4，∴x1＝4，x2＝6．【點(diǎn)評】本題綜合考查了解一元二次方程的多種方法，配方法、因式分解法，換元法，需同學(xué)們熟練掌握．17．（2022春?南湖區(qū)校級期中）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的過程如下框：小敏：兩邊同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，則x＝6．小霞：移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．則x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝0．你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯誤請?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【分析】小敏：沒有考慮x﹣3＝0的情況；小霞：提取公因式時出現(xiàn)了錯誤．利用因式分解法解方程即可．【解答】解：小敏：×；小霞：×．正確的解答方法：移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．則x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，解得x1＝3，x2＝6．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程時可以采取公式法，因式分解法，配方法以及換元法等，至于選擇哪一解題方法，需要根據(jù)方程的特點(diǎn)進(jìn)行選擇．九．根的判別式（共3小題）18．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）A． B．k＞1 C．k＜1 D．【分析】先整理，再利用一元二次方程根的判別式，即可求解．【解答】解：原方程整理得：x2﹣4x+1﹣2k＝0，∵一元二次方程x2﹣4x+1＝2k有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＞0，即（﹣4）2﹣4（1﹣2k）＞0，解得：，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2﹣4ac＜0時，方程沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．19．（2022春?寧波期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．（1）判斷方程的根的情況；（2）若△ABC為等腰三角形，AB＝5cm，另外兩條邊長是該方程的根，求△ABC的周長．【分析】（1）先計(jì)算根的判別式的值得到△＝4＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義判斷方程根的情況；（2）先利用求根公式解方程得到x1＝m+1，x2＝m﹣1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)討論：當(dāng)m+1＝5時，解得m＝4，此時等腰三角形三邊分別為5，5，3；當(dāng)m﹣1＝5時，解得m＝6，此時等腰三角形三邊分別為5，5，7，然后分別計(jì)算對應(yīng)的三角形的周長．【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）x＝＝m±1，∴x1＝m+1，x2＝m﹣1，當(dāng)m+1＝5時，解得m＝4，此時等腰三角形三邊分別為5，5，3，△ABC的周長為5+5+3＝13；當(dāng)m﹣1＝5時，解得m＝6，此時等腰三角形三邊分別為5，5，7，△ABC的周長為5+5+7＝17；綜上所述，△ABC的周長為13或17．【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)．20．（2022春?余杭區(qū)期中）已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：無論實(shí)數(shù)m取何值時，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個根的平方等于4，求m的值．【分析】（1）先根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根列出關(guān)于m的一元二次方程，求出m的值即可；（2）根據(jù)題意得到x＝±2是原方程的根，將其代入列出關(guān)于m的新方程，通過解新方程求得m的值．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，∴無論實(shí)數(shù)m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：∵方程有一個根的平方等于4，∴x＝±2是原方程的根，當(dāng)x＝2時，4﹣2（m+3）+m+2＝0．解得m＝0；當(dāng)x＝﹣2時，4+2（m+3）+m+2＝0，解得m＝﹣4．綜上所述，m的值為0或﹣4．【點(diǎn)評】本題考查的是根的判別式及一元二次方程的解的定義，在解答（2）時要分類討論，這是此題的易錯點(diǎn)．一十．根與系數(shù)的關(guān)系（共3小題）21．（2022秋?海曙區(qū)校級期末）一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的兩實(shí)數(shù)根之和等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出所求即可．【解答】解：∵設(shè)一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，∴x1+x2＝2．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．22．（2023?海曙區(qū)開學(xué)）若關(guān)于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則m的取值范圍是3＜m≤4．【分析】根據(jù)原方程可知x﹣2＝0，和x2﹣4x+m＝0，因?yàn)殛P(guān)于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三個根，所以x2﹣4x+m＝0的根的判別式Δ＞0，然后再由三角形的三邊關(guān)系來確定m的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的方程（x﹣2）（x2﹣4x+m）＝0有三個根，∴①x﹣2＝0，解得x1＝2；②x2﹣4x+m＝0，∴Δ＝16﹣4m≥0，即m≤4，∴x2＝2+，x3＝2﹣，又∵這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，且最長邊為x2，∴x1+x3＞x2；解得3＜m≤4，∴m的取值范圍是3＜m≤4．故答案為：3＜m≤4．【點(diǎn)評】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式及三角形的三邊關(guān)系．解答此題時，需注意，三角形任意兩邊和大于第三邊．23．（2022春?上虞區(qū)期末）解答下列各題：（1）用配方法解方程：x2﹣12x＝﹣9．（2）設(shè)x1，x2是一元二次方程5x2﹣7x﹣3＝0的兩根，求的值．【分析】（1）利用配方法得到（x﹣6）2＝27，然后利用直接開平方法解方程；（2）先利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，再利用完全平方公式得到＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：（1）x2﹣12x＝﹣9．x2﹣12x+62＝﹣9+62．（x﹣6）2＝27，x﹣6＝±3，所以x1＝6+3，x2＝6﹣3；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝，x1x2＝﹣，∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（﹣）＝．【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了配方法解方程．一十一．由實(shí)際問題抽象出一元二次方程（共2小題）24．（2022春?鹿城區(qū)校級期中）如圖，在長為30m，寬20m的矩形田地中開辟兩條寬度相等的道路，已知剩余田地的面積為551m2，求道路的寬度．設(shè)道路的寬度為xm，則可列方程（）A．（20+x）（30+x）＝551 B．（20﹣x）（30﹣x）＝551 C．20×30﹣20x﹣30x＝551 D．20×30﹣20x﹣30x﹣x2＝551【分析】由道路的寬度為xm，可得出剩余田地部分可合成長為（30﹣x）m，寬為（20﹣x）m的矩形，根據(jù)剩余田地的面積為551m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵道路的寬度為xm，∴剩余田地部分可合成長為（30﹣x）m，寬為（20﹣x）m的矩形．依題意得：（20﹣x）（30﹣x）＝551．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．25．（2022春?西湖區(qū)期中）如圖，面積為50m2的矩形試驗(yàn)田一面靠墻（墻的長度不限），另外三面用22m長的籬笆圍成，平行于墻的一邊開有一扇1m寬的門（門的材料另計(jì)）．設(shè)試驗(yàn)田垂直于墻的一邊AB的長為x（m），則所列方程正確的是（）A．（22+1﹣x）x＝50 B．（22﹣1﹣x）x＝50 C．（22+1﹣2x）x＝50 D．（22﹣1﹣2x）x＝50【分析】根據(jù)籬笆的總長及AB的長度，可得出BC＝（22+1﹣2x）m，利用矩形的面積計(jì)算公式，結(jié)合矩形試驗(yàn)田的面積為50m2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：∵籬笆的總長為20m，且AB＝xm，平行于墻的一邊開有一扇1m寬的門，∴BC＝（22+1﹣2x）m．依題意得：（22+1﹣2x）x＝50．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．一十二．一元二次方程的應(yīng)用（共2小題）26．（2022春?蕭山區(qū)期中）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個，測算在市場中，當(dāng)售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎(chǔ)上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為多少元/個？【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)月銷售利潤＝每個頭盔的利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，依題意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價為y元，依題意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，答：該品牌頭盔的實(shí)際售價應(yīng)定為50元．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．27．（2022春?濱江區(qū)期末）某小區(qū)計(jì)劃用40米的籬笆圍一個矩形花壇，其中一邊靠墻（墻足夠長，籬笆要全部用完）．（1）如圖1，問AB為多少米時，矩形ABCD的面積為200平方米？（2）如圖2，矩形EMNF的面積比（1）中的矩形ABCD面積減小20平方米，小明認(rèn)為只要此時矩形的長MN比圖①中矩形的長BC少2米就可以了．請你通過計(jì)算，判斷小明的想法是否正確．【分析】（1）設(shè)AB＝x米，則BC＝（40﹣2x）米，根據(jù)矩形ABCD的面積為200平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）代入x＝10可求出BC的長，由MN＝BC﹣2，可求出MN的長，結(jié)合籬笆要全部用完，可求出EM的長，再利用矩形的面積計(jì)算公式，即可求出矩形EMNF的面積，將其與（200﹣20）比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)AB＝x米，則BC＝（40﹣2x）米，依題意得：x（40﹣2x）＝200，整理得：x2﹣20x+100＝0，解得：x1＝x2＝10．答：AB為10米時，矩形ABCD的面積為200平方米．（2）由（1）可知：BC＝40﹣2x＝40﹣2×10＝20．∵M(jìn)N＝BC﹣2＝20﹣2＝18（米），∴EM＝＝＝11（米），∴矩形EMNF的面積＝MN?EM＝18×11＝198（平方米），200﹣20＝180≠198，∴小明的想法不正確．【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．一十三．配方法的應(yīng)用（共2小題）28．（2022春?杭州期中）已知a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5，求a+b+c的值．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b、c的值，代入所求代數(shù)式計(jì)算即可．【解答】解：將等式整理配方，得++＝0，則﹣1＝0，﹣2＝0，﹣3＝0，∴a＝2，b＝6，c＝12，∴a+b+c＝20．【點(diǎn)評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：初中階段有三種類型的非負(fù)數(shù)：絕對值、偶次方、二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項(xiàng)都等于0．29．（2022春?上城區(qū)校級期中）請閱讀下列材料：我們可以通過以下方法求代數(shù)式x2+6x+5的最小值．x2+6x+5＝x2+2?x?3+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，∵（x+3）2≥0∴當(dāng)x＝﹣3時，x2+6x+5有最小值﹣4．請根據(jù)上述方法，解答下列問題：（Ⅰ）x2+4x﹣1＝x2+2?x?2+22﹣22﹣1＝（x+a）2+b，則ab的值是﹣10；（Ⅱ）求證：無論x取何值，代數(shù)式x2+2x+7的值都是正數(shù)；（Ⅲ）若代數(shù)式2x2+kx+7的最小值為2，求k的值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)配方的過程求得a、b的值代入求值即可；（Ⅱ）先利用完全平方公式配方，再根據(jù)偶次方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求解；（Ⅲ）先利用完全平方公式配方，再根據(jù)偶次方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求解．【解答】解：（Ⅰ）∵x2+4x﹣1＝x2+2?x?2+22﹣22﹣1＝（x+2）2﹣5＝（x+a）2+b，∴a＝2，b＝﹣5，∴ab＝2×（﹣5）＝﹣10．故答案是：﹣10；（Ⅱ）證明：x2+2x+7＝x2+2x+（）2﹣（）2+7＝（x+）2+1．∵（x+）2≥0，∴x2+2x+7的最小值是1，∴無論x取何值，代數(shù)式x2+2x+7的值都是正數(shù)；（Ⅲ）2x2+kx+7＝（x）2+2?x?k+（k）2﹣（k）2+7＝（x+k）2﹣k2+7．∵（x+k）2≥0，∴（x+k）2﹣k2+7的最小值是﹣k2+7，∴﹣k2+7＝2，解得k＝±2．【點(diǎn)評】考查了配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．一十四．高次方程（共1小題）30．（2022?江北區(qū)開學(xué)）將關(guān)于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0變形為x2＝px﹣q，就可以將x2表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如x3＝x?x2＝x（px﹣q）＝…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，則x3﹣2x2+2x+1的值為（）A． B． C． D．【分析】由題可知x2＝x+1，將所求式子變形為x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1再求解即可．【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴x3﹣2x2+2x+1＝x（x+1）﹣2（x+1）+2x+1＝x2+x﹣2x﹣2+2x+1＝x2+x﹣1＝（x+1）+x﹣1＝2x，∵x2﹣x﹣1＝0的根為x＝或x＝，∵x＞0，∴x＝，∴x3﹣2x2+2x+1＝1+，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查高次方程的解，理解題中所給降次的方法，靈活降次，準(zhǔn)確求一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵．一十五．無理方程（共2小題）31．（2022春?鄞州區(qū)校級期末）兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如，與，+1與﹣1，a+與a﹣等都是互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計(jì)算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．例如：＝＝﹣；（1）＝；＝2﹣；（2）比較﹣與﹣的大小，并說明理由；（3）解方程：+＝5（提示：利用互為有理化因式相關(guān)知識，可設(shè)﹣＝m）．【分析】（1）分子，分母同乘分母的有理化因子化簡．（2）分子有理化后比較大小．（3）利用有理化因子將方程轉(zhuǎn)化為有理方程求解．【解答】解：（1）＝．＝＝2﹣．故答案為：，2﹣．（2）﹣＝＝．﹣＝＝．∵＜，∴﹣＜﹣．（3）∵+＝5＝（+）×（﹣）．∴．解得：．∴x﹣2＝9．x﹣7＝4，∴x＝11．檢驗(yàn)：x＝11時，x﹣2＞0，x﹣7＞0，符合題意．∴原方程的解為：x＝11．【點(diǎn)評】本題考查有理化因子，正確找到有理化因子是求解本題的關(guān)鍵．32．（2022春?柯橋區(qū)月考）小明在解方程﹣＝2時采用了下面的方法：由（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有﹣＝2，可得+＝8，將這兩式相加可得，將＝5兩邊平方可解得x＝﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣1是原方程的解．請你學(xué)習(xí)小明的方法，解下面的方程：（1）方程+＝18的解是x＝±3；（2）解方程+＝4x．【分析】（1）由所給方法，可得＝10，再解方程即可；（2）由所給方法，可得＝2x+1，再解方程即可．【解答】解：（1）（+）（﹣）＝x2+46﹣（x2+10）＝36，∵+＝18，∴﹣＝2，將這兩式相加可得＝10，∴x2+46＝100，解得x＝±3，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝±3是原方程的解，故答案為：x＝±3；（2）（+）（﹣）＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）＝8x，∵+＝4x，∴﹣＝2，將這兩式相加可得＝2x+1，解得x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3是原方程的解．【點(diǎn)評】本題考查無理方程的解，熟練掌握無理方程的解法，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2020秋·浙江金華·八年級?？计谥校┫铝蟹匠讨袑儆谝辉畏匠痰氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】我們從方程的限定詞入手，“一元”的意思是等式中只含有一種未知數(shù)（不限定該未知數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)）；“二次”的意思是未知數(shù)的最高次數(shù)是二．【詳解】解：A、是二元一次方程，故A錯誤；B、是一元一次方程，故B錯誤；C、屬于一元二次方程，故C正確；D、是分式方程，故D錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級單元測試）方程化為一般形式后的一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（

）．A．， B．，10 C．8， D．10，8【答案】A【分析】先把方程化為一般式為，然后確定一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：方程化為一般式為，所以一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般式：任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）觀察下表，估計(jì)一元二次方程的正數(shù)解在（

）0123441120A．和0之間 B．0和1之間 C．1和2之間 D．2和3之間【答案】C【分析】由表格可發(fā)現(xiàn)的值和4最接近0，再看對應(yīng)的x的值即可得到答案．【詳解】解：由表可以看出，當(dāng)x取1與2之間的某個數(shù)時，，即這個數(shù)是的一個根．的一個解x的取值范圍為1和2之間．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解，正確估算是建立在對二次函數(shù)圖象和一元二次方程關(guān)系正確理解的基礎(chǔ)上的．4．（2022春·浙江杭州·八年級?？茧A段練習(xí)）若為任意實(shí)數(shù)，且，則的最大值為（

）A． B． C．100 D．【答案】C【分析】利用配方法將配方即可解決問題；【詳解】解：，∵，∴，∴，的最大值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用、平方的非負(fù)性，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．5．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）中秋節(jié)當(dāng)天，九年級數(shù)學(xué)組的老師每兩人相互送一個月餅，共送出72個月餅，九年級數(shù)學(xué)組老師的人數(shù)為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】設(shè)老師共有人，則每人需要送出個月餅，根據(jù)共送出72個月餅，即可列出一元二次方程，解方程，得到正整數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)老師共有人，則每人需要送出個月餅，根據(jù)題意得整理得解得（不符合題意，舍去）故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題關(guān)鍵．二、填空題6．（2023春·八年級單元測試）是一元二次方程，則m=___________．【答案】4【分析】根據(jù)只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高指數(shù)為2的整式方程為一元二次方程，則，然后選出合適的值即可．【詳解】解：是一元二次方程，，，或0，，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，結(jié)合一元二次方程的概念求出參數(shù)值是解題關(guān)鍵．7．（2023春·八年級單元測試）已知是關(guān)于的方程的一個根，則______．【答案】2023【分析】先利用一元二次方程根的定義得到，然后利用整體代入的方法得到的值．【詳解】∵是關(guān)于的方程的一個根，∴，∴，∴，故答案為：2023【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）為了加快發(fā)展新能源和清潔能源，助力實(shí)現(xiàn)“雙碳”目標(biāo)，大力發(fā)展高效光伏發(fā)電關(guān)鍵零部件制造．青島某工廠今年第一季度生產(chǎn)某種零件的成本是20萬元，由于技術(shù)升級改進(jìn)，生產(chǎn)成本逐季度下降，第三季度的生產(chǎn)成本為萬元，設(shè)該公司每個季度的下降率都相同．則該公司每個季度的下降率是__________．【答案】【分析】設(shè)該公司每個季度的下降率是x，根據(jù)該公司第一季度及第三季度的生產(chǎn)成本，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解∶設(shè)該公司每個季度的下降率是x，依題意，得∶，解得∶，（不符合題意，舍去）．即該公司每個季度的下降率是，故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．9．（2023春·八年級課時練習(xí)）《念奴嬌?赤壁懷古》，在蘇軾筆下，周瑜年少有為，文采風(fēng)流，雄姿英發(fā)，談笑間，檣櫓灰飛煙滅，然天妒英才，英年早逝，欣賞下面改編的詩歌，“大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物．而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)．十位恰小個位三，個位平方與壽符．”若設(shè)這位風(fēng)流人物去世的年齡十位數(shù)字為x，則可列方程為____．【答案】【分析】根據(jù)“十位恰小個位三，個位平方與壽符”以及十位數(shù)字+各位數(shù)字=個位數(shù)字的平方，據(jù)此列方程可得答案．【詳解】解：設(shè)這位風(fēng)流人物去世的年齡十位數(shù)字為x，則根據(jù)題意：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·浙江寧波·八年級?？计谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，．若，滿足，則______．【答案】####【分析】由一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，．可得，，，則，同號，再分兩種情況討論即可．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，．∴，，，∴，同號，當(dāng)，都為負(fù)數(shù)時，∴，解得：，∴，整理得：，∴，方程無解；當(dāng)，都為正數(shù)時，此時，∴，解得：，∴，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：不符合題意，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解法，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．11．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）對于實(shí)數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：，例如：4*2，因?yàn)?，所以，若、是一元二次方程的兩個根，則的值是______．【答案】或【分析】求出一元二次方程的解，代入新定義對應(yīng)的表達(dá)式即可求解．【詳解】∵，∴，∴，或，∴，，或，，當(dāng)，時根據(jù)，∴，當(dāng)，時根據(jù)，∴，故答案為：或【點(diǎn)睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，對新定義的正確理解是解題的關(guān)鍵．三、解答題12．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠蹋?1)(2)（用配方法）(3)(4)（用公式法）【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用直接開平方法求解；（2）利用配方法求解；（3）利用因式分解法求解；（4）利用公式法求解．【詳解】（1）；（2）（3）或∴；（4）∵

∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．13．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程(1)若方程的一個根為，求a的值和另一個根；(2)當(dāng)時，①若代數(shù)式，則___________；②若代數(shù)式的值為正整數(shù)，且x為整數(shù)，求x的值；(3)當(dāng)時，方程的一個正根為；當(dāng)時，方程的一個正根為；若，試比較與的大?。敬鸢浮?1)，另一根為；(2)①；②0或1(3)【分析】（1）把代入方程求得a的值，再把a(bǔ)的值代入方程，解一元二次方程便可求得方程的另一根；（2）①把代入方程，根據(jù)多項(xiàng)式恒等原理列出p、q的方程求得P、q，進(jìn)而求得代數(shù)式的值；②求出原式，由原式的值為正整數(shù)，得代數(shù)式的值為1，2，算出和的解即可；（3）根據(jù)已知條件用m、n分別表示，，再得出，根據(jù)差的正負(fù)判斷，的大小．【詳解】（1）解：把代入原方程，得，解得，把代入原方程，得，，解得，，，∴方程的另一根為；（2）①把代入，得，即，∴，解得：，∴，故答案為：；②原式，∵不論x為何值，∴原式∵代數(shù)式的值為正整數(shù)，∴代數(shù)式的值為1，2，當(dāng)時，這時x的值不是整數(shù)，不符合題意，舍去；當(dāng)時，或1，故x的值是0或1；（3）解：當(dāng)時，得，∴，當(dāng)時，得，∴，∴∵，，，∴，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程，一元二次方程的解的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程的方法，靈活應(yīng)用配方法和差值法解題．14．（2021春·浙江杭州·八年級?？计谥校┮阎P(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：這個一元二次方程一定有兩個實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)該一元二次方程的兩根為a、b，且2、a、b分別是一個直角三角形的三邊長，求m的值．【答案】(1)見解析(2)或【分析】（1）利用根的判別式求出關(guān)于的代數(shù)式，整理成非負(fù)數(shù)的形式即可判定；（2）把原方程因式分解，求出方程的兩個根，分別探討不同的數(shù)值為斜邊，利用勾股定理解決問題．【詳解】（1）解：；又，，原方程有兩個實(shí)數(shù)根；（2）原方程可變?yōu)?，則方程的兩根為，，直角三角形三邊為2，3，；，①若為直角三角形的斜邊時，則：，；②若3為直角三角形的斜邊時，則：．綜上，或．【點(diǎn)睛】此題考查利用根的判別式探討根的情況，以及用因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知識點(diǎn)；注意分類討論思想的滲透．15．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）對于代數(shù)式，若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時，代數(shù)式的值也等于，則稱為這個代數(shù)式的不變值．例如：對于代數(shù)式，當(dāng)時，代數(shù)式等于0；當(dāng)時，代數(shù)式等于1，我們就稱0和1都是這個代數(shù)式的不變值．在代數(shù)式存在不變值時，該代數(shù)式的最大不變值與最小不變值的差記作．特別地，當(dāng)代數(shù)式只有一個不變值時，則．(1)代數(shù)式的不變值是______，______．(2)說明：代數(shù)式?jīng)]有不變值；(3)已知代數(shù)式，若，求的值．【答案】(1)和4，7(2)見解析(3)1【分析】（1）根據(jù)不變值的定義可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可求出的值，再做差后可求出的值；（2）由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出方程沒有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出代數(shù)式?jīng)]有不變值；（3）由可得出方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：依題意，得：，即解得：，，，故答案為：和4，7；（2）解：依題意，得：即，，沒有實(shí)數(shù)根，代數(shù)式?jīng)]有不變值；（3）解：依題意，得：即有兩個相等的實(shí)數(shù)根，，整理得：，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，根據(jù)不變值的定義，求出一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）解方程，可以將看成一個整體，設(shè)，則原方程可化①，解得，，當(dāng)時，即，解得，，當(dāng)時，即，解得，所以原方程的解為，，，．解答問題：(1)上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中利用____法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(2)請利用上述這種方法解方程：．(3)應(yīng)用求值：已知實(shí)數(shù)，滿足，則_____．【答案】(1)換元(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)題目解題的過程，設(shè)，將二次換元為一次，由此即可求解；（2）設(shè)，則原方程可化，因式分解法解一元二次方程即可求解；（3）設(shè)，則原方程可化，因式分解法解一元二次方程即可求解；【詳解】（1）解：上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，故答案為：換元．（2）解：設(shè)，則原方程可化，即∴，，當(dāng)時，，方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)時，，解方程得，，，∴原方程的解為：，．（3）解：設(shè)，則原方程可化，則，∴，，當(dāng)時，，不符合題意，舍去；當(dāng)時，，∴的值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解高次方程，掌握換元思想，進(jìn)行降次方法解高次方程是解題的關(guān)鍵．17．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）請你先認(rèn)真閱讀下列材料，再參照例子解答問題：已知，求的值；解：設(shè)，則原方程可變形為．即∴得，∴或已知，求的值．【答案】6【分析】設(shè)，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則原方程可變形為，即∴，解得：；又∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．理解并掌握題目給出的解方程的方法，是解題的關(guān)鍵．注意：．18．（2023春·八年級單元測試）如圖，有一段長為20米的籬笆，利用一面墻，圍成一個長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米（其中．(1)請你用含x的代數(shù)式表示BC的長．(2)若此時花圃的面積剛好為，求此時花圃的寬AB的長度．【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)題意，求解即可；（2）根據(jù)題意，列出一元二次方程，求解即可．【詳解】（1）解：∵籬笆的全長為20米，花圃的寬AB為x米，的長為米；（2）解：根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，，不符合題意，舍去．答：此時花圃的寬AB的長度是3米．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系，正確列出方程．19．（2023春·八年級單元測試）某超市以每千克40元的價格購進(jìn)菠蘿蜜，計(jì)劃以每千克60元的價格銷售，為了讓顧客得到實(shí)惠，現(xiàn)決定降價銷售，已知這種菠蘿蜜銷售量y（千克）與每千克降價x（元）（）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖所示．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)當(dāng)每千克菠蘿蜜降價4元時，超市獲利多少元？(3)若超市要想獲利2400元，且讓顧客獲得更大實(shí)惠，這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價多少元？【答案】(1)(2)2240元(3)12元【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可．(2)先計(jì)算每千克菠蘿蜜的利潤，乘以銷售量即可．(3)列方程求解，且取較大值．【詳解】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，將，代入，得，解得，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．（2）（元）．答：當(dāng)每千克菠蘿蜜降價4元時，超市獲利2240元．（3）依題意，得，整理，得，解得，．∵要讓顧客獲得更大實(shí)惠，∴．答：這種菠蘿蜜每千克應(yīng)降價12元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的解析式及其應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練掌握待定系數(shù)法，解方程是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，厘米，厘米，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以厘米秒的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以厘米秒的速度移動，如果，分別是從，同時出發(fā)，設(shè)時間為秒．(1)經(jīng)過幾秒時，的面積等于平方厘米？(2)經(jīng)過幾秒時，的面積等于直角三角形面積的？【答案】(1)秒或秒(2)秒或秒【分析】（1）設(shè)經(jīng)過秒時，的面積等于8平方厘米，則厘米，厘米，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合的面積等于8平方厘米，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)經(jīng)過秒時，的面積等于矩形面積的，則厘米，，根據(jù)三角形、矩形的面積公式及的面積等于矩形面積的，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過秒時，的面積等于8平方厘米，則厘米，厘米，根據(jù)題意，得，整理，得

，解得

，．故經(jīng)過2秒或4秒時，的面積等于8平方厘米．（2）設(shè)經(jīng)過秒時，的面積等于矩形面積的，則厘米，厘米，根據(jù)題意，得

，整理，得，解得

，．故經(jīng)過秒或秒時，的面積等于直角三角形面積．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·八年級課時練習(xí)）甲、乙兩工程隊(duì)共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長5000米．甲，乙分別從橋梁兩端向中間施工．計(jì)劃每天各施工5米，因地質(zhì)情況不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬．(1)若工程結(jié)算時，乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米．(2)實(shí)際施工開始后，因地質(zhì)情況及實(shí)際條件比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖米．若最終每天實(shí)際總成本在少于150萬的情況下比計(jì)劃多萬元．求a的值．【答案】(1)甲最多施工2500米(2)a的值為6【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工（5000x）米，由工程結(jié)算時乙總施工成本不低于甲總施工成本的，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)總成本=每米施工成本×每天施工的長度結(jié)合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a萬元時，則每天可多挖米．乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖米，即可得出關(guān)于a的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工（5000x）米，依題意，得：12（5000x）≥×10x，解得：x≤2500，答：甲最多施工2500米．（2）依題意，得：，整理，得：，解得：，，當(dāng)時，總成本為：（萬元），∵，∴不符合題意舍去；當(dāng)時，總成本為：（萬元），∵，∴符合題意；答：a的值為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．22．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）勻變速直線運(yùn)動中，每個時間段內(nèi)的平均速度（初始速度與末速度的算術(shù)平均數(shù)）與路程，時間的關(guān)系為．現(xiàn)有一個小球以的速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止運(yùn)動．(1)小球的滾動速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動約用了多少秒（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：？）【答案】(1)小球的滾動速度平均每秒減少(2)小球滾動約用了秒【分析】（1）根據(jù)以的速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止運(yùn)動列式計(jì)算即可；（2）設(shè)小球滾動約用了秒，由時間速度路程，列出一元二次方程，解方程即可．【詳解】（1）解：小球的滾動速度平均每秒減少，答：小球的滾動速度平均每秒減少．（2）解：設(shè)小球滾動約用了秒，由題意得：，整理得：，解得：或，當(dāng)時，，不符題意，舍去，，答：小球滾動約用了秒．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23．（2019春·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期中）根據(jù)紹興市某風(fēng)景區(qū)的旅游信息：旅游人數(shù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不超過30人人均收費(fèi)80元超過30人每增加1人，人均收費(fèi)降低1元，但人均收費(fèi)不低于55元A公司組織一批員工到該風(fēng)景區(qū)旅游，支付給旅行社2800元．A公司參加這次旅游的員工有多少人？【答案】A公司參加這次旅游的員工有40人．【分析】設(shè)參加這次旅游的員工有人，由可得出，根據(jù)總價單價人數(shù)，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)參加這次旅游的員工有x人，∵30×80=2400<