高中數(shù)學(xué)必修一教案

2.1映射

教學(xué)目標(biāo)

1.了解映射的概念，象與原象的概念，和一一映射的概念.

(1)明確映射是特殊的對(duì)應(yīng)即由集合，集合和對(duì)應(yīng)法則F三者構(gòu)成的

一個(gè)整體，知道映射的特殊之處在于必須是多對(duì)一和一對(duì)一的對(duì)應(yīng)；

(2)能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號(hào)表示映射，把握映射與一--映射的區(qū)別；

(3)會(huì)求給定映射的指定元素的象與原象，了解求象與原象的方法.

2.在概念形成過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，比較和歸納的能力.

3.通過(guò)映射概念的學(xué)習(xí)，逐步提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的探究能力.

教學(xué)建議

教材分析

(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)

映射是一一種特殊的對(duì)應(yīng)，一一映射又是一種特殊的映射，而且函數(shù)也是特

殊的映射，它們之間的關(guān)系可以通過(guò)下圖表示出來(lái)，如圖：

由此我們可從集合的包含關(guān)系中幫助我們把握相關(guān)概念間的區(qū)別與聯(lián)系.

(2)重點(diǎn)，難點(diǎn)分析

本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)是映射和一一映射概念的形成與認(rèn)識(shí).

①映射的概念是比較抽象的概念，它是在初中所學(xué)對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上發(fā)展而

來(lái).教學(xué)中應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)集合r中的唯一這點(diǎn)要求的理解；

映射是學(xué)生在初中所學(xué)的對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，對(duì)應(yīng)本身就是由三部分構(gòu)

成的整體，包括集合A和集合B及對(duì)應(yīng)法則f,由于法則的不同，對(duì)應(yīng)可分

為一對(duì)一，多對(duì)一，一對(duì)多和多對(duì)多.其中只有一對(duì)一和多對(duì)一的能構(gòu)成映

射，由此可以看到映射必是“對(duì)B中之唯一”，而只要是對(duì)應(yīng)就必須保證讓A

中之任一與B中元素相對(duì)應(yīng)，所以滿(mǎn)足一對(duì)一和多對(duì)一的對(duì)應(yīng)就能體現(xiàn)出“任

一對(duì)唯一”.

②而一--映射又在映射的基礎(chǔ)上增加新的要求，決定了它在學(xué)習(xí)中是比較

困難的.

教法建議

(1)在映射概念引入時(shí)，可先從學(xué)生熟悉的對(duì)應(yīng)入手，選擇一些具體的

生活例子，然后再舉一些數(shù)學(xué)例子，分為一對(duì)多、多對(duì)一、多對(duì)一、一對(duì)一四

種情況，讓學(xué)生認(rèn)真觀察，比較，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中一對(duì)一和多對(duì)一的對(duì)應(yīng)

是映射，逐步歸納概括出映射的基本特征，讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)

識(shí).

(2)在剛開(kāi)始學(xué)習(xí)映射時(shí)，為了能讓學(xué)生看清映射的構(gòu)成，可以選擇用

圖形表示映射，在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集，法則盡量用

語(yǔ)言描述，這樣的表示方法讓學(xué)生可以比較直觀的認(rèn)識(shí)映射，而后再選擇用抽

象的數(shù)學(xué)符號(hào)表示映射，比如：

這種表示方法比較簡(jiǎn)明，抽象，且能看到三者之間的關(guān)系.除此之外，映

射的一般表示方法為,從這個(gè)符號(hào)中也能看到映射是由三部分構(gòu)成

的整體，這對(duì)后面認(rèn)識(shí)函數(shù)是三件事構(gòu)成的整體是非常有幫助的.

(3)對(duì)于學(xué)生層次較高的學(xué)?？梢栽诮o出定義后讓學(xué)生根據(jù)自己的理解

舉出映射的例子，教師也給出一些映射的例子，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)映射的特點(diǎn)，

并用自己的語(yǔ)言描述出來(lái)，最后教師加以概括，再?gòu)闹幸鲆灰挥成涓拍?；?duì)

于學(xué)生層次較低的學(xué)校，則可以由教師給出一些例子讓學(xué)生觀察，教師引導(dǎo)學(xué)

生發(fā)現(xiàn)映射的特點(diǎn)，一起概括.最后再讓學(xué)生舉例，并逐步增加要求向一一映

射靠攏，引出一-一映射概念.

(4)關(guān)于求象和原象的問(wèn)題，應(yīng)在計(jì)算的過(guò)程中總結(jié)方法，特別是求原

象的方法是解方程或方程組，還可以通過(guò)方程組解的不同情況(有唯一解，無(wú)

解或有無(wú)數(shù)解)加深對(duì)映射的認(rèn)識(shí).

(5)在教學(xué)方法上可以采用啟發(fā)，討論的形式，讓學(xué)生在實(shí)例中去觀察,

比較，啟發(fā)學(xué)生尋找共性，共同討論映射的特點(diǎn)，共同舉例，計(jì)算，最后進(jìn)行

小結(jié)，教師要起到點(diǎn)撥和深化的作用.

教學(xué)設(shè)計(jì)方案

2.1映射

教學(xué)目標(biāo)⑴了解映射的概念，象與原象及一一映射的概念.

(2)在概念形成過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，分析對(duì)比，歸納的能力.

(3)通過(guò)映射概念的學(xué)習(xí)，逐步提高學(xué)生的探究能力.

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：：映射概念的形成與認(rèn)識(shí).

教學(xué)用具：實(shí)物投影儀

教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)討論式

教學(xué)過(guò)程：

一、引入

在初中，我們已經(jīng)初步探討了函數(shù)的定義并研究了幾類(lèi)簡(jiǎn)單的常見(jiàn)函

數(shù).在高中，將利用前面集合有關(guān)知識(shí)，利用映射的觀點(diǎn)給出函數(shù)的定義.那

么映射是什么呢?這就是我們今天要詳細(xì)的概念.

二、新課

在前一章集合的初步知識(shí)中，我們學(xué)習(xí)了元素與集合及集合與集合之間的

關(guān)系，而映射是重點(diǎn)研究?jī)蓚€(gè)集合的元素與元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這要先從我

們熟悉的對(duì)應(yīng)說(shuō)起(用投影儀打出一些對(duì)應(yīng)關(guān)系，共6個(gè))

我們今天要研究的是一類(lèi)特殊的對(duì)應(yīng)，特殊在什么地方呢？

提問(wèn)1：在這些對(duì)應(yīng)中有哪些是讓A中元素就對(duì)應(yīng)B中唯■個(gè)元素？

讓學(xué)生仔細(xì)觀察后由學(xué)生回答，對(duì)有爭(zhēng)議的，或漏選，多選的可詳細(xì)說(shuō)明

理由進(jìn)行討論.最后得出（1）,（2）,（5）,（6）是符合條件的（用投影儀將這兒

個(gè)集中在一起）

提問(wèn)2：能用自己的語(yǔ)言描述一下這兒個(gè)對(duì)應(yīng)的共性嗎？

經(jīng)過(guò)師生共同推敲，將映射的定義引出.（主體內(nèi)容由學(xué)生完成，教師做

必要的補(bǔ)充）

（板書(shū)）

一.映射

1.定義:一般地，設(shè)人8兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則了，對(duì)于集

合工中的任何一個(gè)元素，在集合金中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的

對(duì)應(yīng)（包括集合48及j到三的對(duì)應(yīng)法則）叫做集合金到集合三的映射，記

作/:AT3.

定義給出之后，教師應(yīng)及時(shí)強(qiáng)調(diào)映射是特殊的對(duì)應(yīng)，故是三部分構(gòu)成的一

個(gè)整體，從映射的符號(hào)表示中也可看出這一點(diǎn)，它的特殊之處在于元素與元素

之間的對(duì)應(yīng)必須作到“任一對(duì)唯一”，同時(shí)指出具有對(duì)應(yīng)關(guān)系的元素即占中

元素二對(duì)應(yīng)￡中元素則主叫?的象，二叫亍的原象.

（板書(shū)）

2.象與原象

可以用前面的例子具體說(shuō)明誰(shuí)是誰(shuí)的象，誰(shuí)是誰(shuí)的原象.

提問(wèn)3：下面請(qǐng)同學(xué)根據(jù)自己對(duì)映射的理解舉兒個(gè)映射的例子，看對(duì)映射

是否真正認(rèn)識(shí)了.

(開(kāi)始時(shí)只要是映射即可，之后可逐步提高要求，如集合是無(wú)限集，或生

活中的例子等)由學(xué)生自己評(píng)判.之后教師再給出幾個(gè)(主要是補(bǔ)充學(xué)生舉例類(lèi)

型的不足)

“■(彳.L-21/：-—+1/a

(1)(2J,I2J,x,xwKywB.

(2)46,民/二K-?h-2*-LxwAjw&

(3)￡-M，8邛余以3的余數(shù).

(4)S=｛高一1班同學(xué)｝,二=｛入學(xué)是數(shù)學(xué)考試成績(jī)｝,『對(duì)自己的考

試成績(jī).

在學(xué)生作出判斷之后，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)映射的性質(zhì)(教師適當(dāng)提出研究方向

由學(xué)生說(shuō)，再由老師概括)

(板書(shū))3.對(duì)概念的認(rèn)識(shí)

(1)CT'與/:8TA是不同的，即工與三上有序的.

(2)象的集合是集合B的子集.

(3)集合A,B可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其它集合.

在剛才研究的基礎(chǔ)上，教師再提出(2)和(4)有什么共性，能否把它描述出

來(lái)，如果學(xué)生不能找出共性，教師可再給出幾個(gè)例子，(用投影儀打出)

如:

⑴

（2）/?更呂?｛數(shù)軸上的點(diǎn)｝,/實(shí)數(shù)與數(shù)軸上相應(yīng)的點(diǎn)對(duì)應(yīng).

（3）S=｛中國(guó)，日本，韓國(guó)｝,e-（北京，東京，漢城｝,/相應(yīng)國(guó)家

的首都.

引導(dǎo)學(xué)生在元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和元素個(gè)數(shù)上找共性，由學(xué)生提出兩點(diǎn)共

性集合A中不同的元素對(duì)集合B中不同的元素;②B中所有元素都有原象.

那么滿(mǎn)足以上條件的映射又是一種特殊的映射，稱(chēng)之為一一映射.

（板書(shū)）4.----映射

（1）定義:設(shè)A,B是兩個(gè)集合，廣ATB是集合A到集合B的映射，

如果在這個(gè)映射下對(duì)于集合A中的不同元素，在集合B中又不同的象，而且

B中每一個(gè)元素都有原象，那么這個(gè)映射叫做A到B上的一一映射.

給出定義后，可再返回到剛才的例子，讓學(xué)生比較它與映射的區(qū)別，從而

進(jìn)一步明確“一一”的含義.然后再安排一個(gè)例題.

例1下列各表表示集合A（元素a）到集合B（元素b）的一個(gè)映射，判斷這

些映射是不是A到B上的一-映射.

其中只有第三個(gè)表可以表示一一映射，由此例點(diǎn)明一一映射的特點(diǎn)

（板書(shū)）（2）特點(diǎn):兩個(gè)集合間元素是一對(duì)一的關(guān)系，不同的對(duì)的也一定是不同的

（元素個(gè)數(shù)相同）；集合B與象集C是相等的集合.

對(duì)于映射我們現(xiàn)在了解了它的定義及特殊的映射一一映射，除此之外對(duì)于

映射還要求能求出指定元素的象與原象.

（板書(shū)）5.求象與原象.

例2⑴從R到**的映射則R中的T在片中的象是

；三」中的4在R中的原象是.

（2）在給定的映射/“川07??筋x-中下，則點(diǎn)CU）在一下的象是

,點(diǎn)。工＞在丁下的原象是.

（3）廣J-8是集合A到集合B的映射，才-2x7,

則A中元素的象是,B中象0的原象是,B中象-6

的原象是.

由學(xué)生先回答第（1）小題，之后讓學(xué)生自己總結(jié)一下，應(yīng)用什么方法求象

和原象，學(xué)生找到方法后，再在方法的指導(dǎo)下求解另外兩題，若出現(xiàn)問(wèn)題，教

師予以點(diǎn)評(píng)，最后小結(jié)求象用代入法，求原象用解方程或解方程組.

注意：所解的方程解的情況可能有多種如有唯一解，也可能無(wú)解，可能有

無(wú)數(shù)解，這與映射的定義也是相吻合的.但如果是一映射，則方程一定有唯

一解.

三、小結(jié)

（三部分枸成的整體

1.映射是特殊的對(duì)應(yīng)〔般任一劑?一

2.一一映射是特殊的映射.

3.掌握求象與原象的方法.

四、作業(yè):略

五、板書(shū)設(shè)計(jì)

一映射舉例例2

1.定義4.------蝴

2.象與原莪(1)定義

舉例例1小結(jié)

②特點(diǎn)

3.對(duì)概念的認(rèn)識(shí)5.求象■與原短作業(yè)

擴(kuò)展資料

逆映射

在本節(jié)中我們介紹了映射與一一映射的概念，并將以此為基礎(chǔ)學(xué)習(xí)函數(shù)的

概念.對(duì)于一一映射還可以進(jìn)一步做一點(diǎn)研究.

如圖：

圖⑴圖(2)

容易看出，圖中⑴表示的映射是在了作用下，，三到■?上的一一映射，

圖(2)所示的映射是在M的作用下集合V到集合V上的一一映射，在映射

了.AT6的作用下的象與原象，分別是在映射g：8TA的作用下的原象與

象，由此引出一個(gè)新概念稱(chēng)為逆映射.

定義:設(shè)/是集合3到集合■?上的一一映射，如果對(duì)于￡中每一

個(gè)元素％,使社在工中的原象彳和它對(duì)應(yīng)，這樣得到的映射稱(chēng)為映射

的逆映射，記作/'ATA.

由定義不難看出只有一一映射才有逆映射，若/YT3是一一映射，則

也是一一映射，剛才圖中⑴⑵，人就是的逆

映射.

對(duì)于逆映射，它對(duì)于我們后面所學(xué)的反函數(shù)概念的理解有很大的幫助，也

可以幫助我們認(rèn)清反函數(shù)與原來(lái)函數(shù)之間的關(guān)系.

探究活動(dòng)

(1)A―｛整數(shù)｝,3-｛偶數(shù)｝,，試問(wèn)人與三中的元素個(gè)數(shù)哪個(gè)多？

為什么?如果我們建立一個(gè)由占到三的映射對(duì)應(yīng)法則/乘以2,那么這個(gè)映

射是一一映射嗎？

答案：兩個(gè)集合中的元素一樣多，它們之間可以形成一一映射.

(2)設(shè)，闔，3?卜2),問(wèn)最多可以建立多少種集合三到集合M的

不同映射?若將集合三改為8?｛UZ3)呢?結(jié)論是什么？如果將集合金改為

結(jié)論怎樣?若集合三改為4土改為結(jié)論

怎樣？

從以上問(wèn)題中，你能歸納出什么結(jié)論嗎?依此結(jié)論，若集合A中含有理個(gè)

元素，集合B中含有，個(gè)元素，那么最多可以建立多少種集合三到集合￡的

不同映射？

答案：若集合A含有m個(gè)元素，集合B含有n個(gè)元素，則不同的映射

/-4T8有一個(gè).

習(xí)題精選

(1)設(shè)集合A?圖區(qū)?附。,2),從』到三的對(duì)應(yīng)法則

了不是映射的是().

"-八*￥

（2）已知映射/：/T8,其中集合■■{-3.-2-1,12,3,4）,且對(duì)任意

awA,在三中和它對(duì)應(yīng)的元素是“，則集合r中元素的個(gè)數(shù)最少是

（3）設(shè)集合”?麗d},甘■“an）.下列四個(gè)圖象中,表

示從M到卸的映射的是（）.

(C)(D)

（4）已知從三到s的映射則內(nèi)⑨的原象是

（5）已知從三至!J3的映射是“T2x+1,從三到。的映射是2

其中A.B.CCR,則從上到C?的映射是.

⑹已知集合4?{ia閨，6?％z”<p*切

且。.上WMKWJL/W氤/XT，-3*+1是由上到E的一一映射，求*七的

值.

答案：⑴工；(2)4；⑶￡；(4)0?或(*5；(5)2；

(6)?"2A-5

典型例題

例1下列集合三到集合三的對(duì)應(yīng)中，判斷哪些是三到三的映射？判斷

哪些是三到$的一一映射？

(1)A-y.fl-Z,對(duì)應(yīng)法則/xf，--X,KWA,7wA.

(2)A-肥,X*,/xeA,.

⑶/?{a|O，u],5-{x|0ixil)對(duì)應(yīng)法則f取正弦.

(4)4?必，2"°一},對(duì)應(yīng)法則,除以2得的余數(shù).

(5)4-{-4,TJ,4),2T-{-2.-1.1,2),對(duì)應(yīng)法則了

XT,.|41.xeA,ye.8

(6)X-怦面內(nèi)邊長(zhǎng)不同的等邊三角甥，B-{平面內(nèi)半徑不同的/],

對(duì)應(yīng)法則/作等邊三角形的內(nèi)切圓.

分析：解決的起點(diǎn)是讀懂各對(duì)應(yīng)中的法則含義，判斷的依據(jù)是映射和一?

映射的概念，要求對(duì)“任一對(duì)唯一”有準(zhǔn)確的理解，對(duì)問(wèn)題考慮要細(xì)致，周全.

解：(1)是映射，不是一一映射，因?yàn)榧螮中有些元素(正整數(shù))沒(méi)有原

象.

(2)是映射，是一一映射.不同的正實(shí)數(shù)有不同的唯一的倒數(shù)仍是正實(shí)數(shù),

任何一個(gè)正數(shù)都存在倒數(shù).

(3)是映射，是一一映射，因?yàn)榧鲜轮械慕堑恼抑蹈鞑幌嗤壹?/p>

三中每一個(gè)值都可以是集合二中角的正弦值.

（4）是映射，不是一一映射，因?yàn)榧鲜轮胁煌貙?duì)應(yīng)集合三中相同的

元素.

（5）不是映射，因?yàn)榧稀曛械脑兀ㄈ?）對(duì)應(yīng)集合E中兩個(gè)元素（2和

-2）.

（6）是映射，是一一映射，因?yàn)槿魏我粋€(gè)等邊三角形都存在唯一的內(nèi)切圓,

而任何一個(gè)圓都可以是一個(gè)等邊三角形的內(nèi)切圓.邊長(zhǎng)不同，圓的半徑也不同.

說(shuō)明：此題的主要目的在于明確映射構(gòu)成的三要素的要求，特別是對(duì)于集

合工，集合三及對(duì)應(yīng)法則『有哪些具體要求，包括對(duì)法則『是數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言

給出時(shí)的理解.

例2給出下列關(guān)于從集合工到集合=的映射的論述，其中正確的有

（1）石中任何一個(gè)元素在工中必有原

象；

（2）上中不同元素在三中的象也不同；

（3）￡中任何一個(gè)元素在m中的象是唯一的；

（4）君中任何一個(gè)元素在手中可以有不同的象；

（5）3中某一元素在工中的原象可能不止一個(gè)；

（6）集合N與三一定是數(shù)集；

⑺記號(hào)/：/TB與/:3T/的含義是一樣的.

分析：此題是對(duì)抽象的映射概念的認(rèn)識(shí)，理論性較強(qiáng)，要求較高，判斷時(shí)

可以讓學(xué)生借助具體的例子來(lái)幫助.

解：（1）不對(duì)（2）不對(duì)（3）對(duì)（4）不對(duì)（5）對(duì)（6）不

對(duì)（7）不對(duì)

說(shuō)明：對(duì)此題的判斷可以將映射中隱含的特點(diǎn)都描述出來(lái)，對(duì)映射的認(rèn)識(shí)

更加全面，準(zhǔn)確.

「IT_2X-1

例3(1)A-if,B-R,'X,xcA,7cB.在，的

n

作用下，百的原象是多少？14的象是多少？

(2)設(shè)集合■■川?》.｛偶數(shù)｝,映射/.AT5把集合A中的元素u映射

到集合B中的元素a1則在映射了下，象20的原象是多少？

(3)是從.三到M的映射，其中4■衣，3?｛(*,*卜力€犬)，

廣工->3*1/+。，則正中元素點(diǎn)的象是多少？三中元素QZ的原象是

多少？

分析：通過(guò)此題讓學(xué)生不僅會(huì)求指定元素象與原象，而且明確求象與原象

的方法.

2x-1_1111

解：⑴由-B,解得X-6,故F的原象是6;

2xM-l_2727

又2x14*1-29,故14的象是29.

(2)由/-a-20解得a-5或。-T,又故a-5即20的原象

是5.

jx+1-2

⑶質(zhì)的象是(虎+場(chǎng),由I尸.l.解得“：，故⑵2)的原象是1.

說(shuō)明：此題主要作用在于明確利用代入法求指定元素的象，而求原象則需

解方程或方程組.在本題中第⑵小題和第⑶小題在求象時(shí)，對(duì)q和x的制

約條件都是兩條，應(yīng)解方程組，且還可以對(duì)方程組解的情況進(jìn)行討論(無(wú)解，

有唯一解，無(wú)數(shù)解).其中第⑶小題集合三’中的元素應(yīng)是二元數(shù)(有序數(shù)對(duì))，

計(jì)算出的象必須寫(xiě)成有序數(shù)對(duì)的形式，所以求原象時(shí)必須先認(rèn)清集合的特征.

2.2函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

1.理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的三種表示法，會(huì)求函數(shù)的定義域.

(1)了解函數(shù)是特殊的映射，是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射.能理

解函數(shù)是由定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則三要素構(gòu)成的整體.

(2)能正確認(rèn)識(shí)和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖象法.了

解每種方法的優(yōu)點(diǎn).

(3)能正確使用“區(qū)間”及相關(guān)符號(hào)，能正確求解各類(lèi)函數(shù)的定義域.

2.通過(guò)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在符號(hào)表示，運(yùn)算等方面的能力有所提

高.

(1)對(duì)函數(shù)記號(hào)尸有正確的理解，準(zhǔn)確把握其含義，了解/W(H

為常數(shù))與/(X)的區(qū)別與聯(lián)系；

(2)在求函數(shù)定義域中注意運(yùn)算的合理性與簡(jiǎn)潔性.

3.通過(guò)函數(shù)定義由變量觀點(diǎn)向映射觀點(diǎn)的過(guò)渡，是學(xué)生能從發(fā)展的角度

看待數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).

教學(xué)建議

1.教材分析

(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)

|映射—單調(diào)性|丁|一指數(shù)由4t—I

C寺偶性—''—對(duì)致函數(shù)—'

|一一映射|—?反睇教卜

(2)重點(diǎn)難點(diǎn)分析

本小節(jié)的重點(diǎn)是在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念.，主要包括對(duì)函數(shù)的定

義，表示法，三要素的作用的理解與認(rèn)識(shí).教學(xué)難點(diǎn)是函數(shù)的定義和函數(shù)符號(hào)

的認(rèn)識(shí)與使用.

①由于學(xué)生在初中已學(xué)習(xí)了函數(shù)的變量觀點(diǎn)下的定義,并具體研究了幾類(lèi)

最簡(jiǎn)單的函數(shù)，對(duì)函數(shù)并不陌生，所以在高中重新定義函數(shù)時(shí)，重要的是讓學(xué)

生認(rèn)識(shí)到它的優(yōu)越性，它從根本上揭示了函數(shù)的本質(zhì)，由定義域，值域，對(duì)應(yīng)

法則三要素構(gòu)成的整體，讓學(xué)生能主動(dòng)將函數(shù)與函數(shù)解析式區(qū)分開(kāi)來(lái).對(duì)這一

點(diǎn)的認(rèn)識(shí)對(duì)于后面函數(shù)的性質(zhì)的研究都有很大的幫助.

②在本節(jié)中首次引入了抽象的函數(shù)符號(hào)/W,學(xué)生往往只接受具體的函

數(shù)解析式，而不能接受/co,所以應(yīng)讓學(xué)生從符號(hào)的含義認(rèn)識(shí)開(kāi)始，在符號(hào)

中，工在法則不下對(duì)應(yīng)，?),不是『與r的乘積，符號(hào)本身就是三要素的

體現(xiàn).由于:所代表的對(duì)應(yīng)法則不一定能用解析式表示，故函數(shù)表示的方法

除了解析法以外，還有列表法和圖象法.此外,小)本身還指明了誰(shuí)是誰(shuí)的函

數(shù)，有利于我們分清函數(shù)解析式中的常量與變量.如八R?勿產(chǎn)3^0),它

應(yīng)表示以工為自變量的二次函數(shù)，而如果寫(xiě)成則我們就不能準(zhǔn)確

了解誰(shuí)是變量，誰(shuí)是常量，當(dāng);為變量時(shí)，它就不代表二次函數(shù).

2.教法建議

(1)高中對(duì)函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是初中函數(shù)內(nèi)容的深化和延伸.深化首先體

現(xiàn)在函數(shù)的定義更具一般性.故教學(xué)中可以讓學(xué)生舉出自己熟悉的函數(shù)例子，

并用變量觀點(diǎn)加以解釋?zhuān)處熢俳o出如：是不是函數(shù)的問(wèn)題，用變量定

義解釋顯得很勉強(qiáng)，而如果從集合與映射的觀點(diǎn)來(lái)解釋就十分自然，所以有重

新認(rèn)識(shí)函數(shù)的必要.

(2)對(duì)函數(shù)是三要素構(gòu)成的整體的認(rèn)識(shí)，一方面可以通過(guò)對(duì)符號(hào)的

了解與使用來(lái)強(qiáng)化，另一方面也可通過(guò)判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同來(lái)配合.在這類(lèi)

題目中，可以進(jìn)一步體現(xiàn)出三要素整體的作用.

(3)關(guān)于對(duì)分段函數(shù)的認(rèn)識(shí)，首先它的出現(xiàn)是一種需要，可以給出一些

實(shí)際的例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)，對(duì)自變量不同取值，用不同的解析式表示同一個(gè)函

數(shù)關(guān)系，所以是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)，其次還可以舉一些數(shù)學(xué)的例子如

xx>0

（'*八0,這就

是一個(gè)分段函數(shù)，從這個(gè)題中也可以看出分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù).

教學(xué)設(shè)計(jì)方案

2.2函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)三要素.

2.通過(guò)對(duì)函數(shù)抽象符號(hào)的認(rèn)識(shí)與使用，使學(xué)生在符號(hào)表示方面的能力得

以提高.

3.通過(guò)函數(shù)定義由變量觀點(diǎn)向映射觀點(diǎn)得過(guò)渡，使學(xué)生能從發(fā)展與聯(lián)系

的角度看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)是在映射的基礎(chǔ)上理解函數(shù)的概念；

難點(diǎn)是對(duì)函數(shù)抽象符號(hào)的認(rèn)識(shí)與使用.

教學(xué)用具：投影儀

教學(xué)方法：自學(xué)研究與啟發(fā)討論式.

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)與引入

今天我們研究的內(nèi)容是函數(shù)的概念.函數(shù)并不象前面學(xué)習(xí)的集合，映射?

樣我們一無(wú)所知，而是比較熟悉，所以我先找同學(xué)說(shuō)說(shuō)對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，如函數(shù)

是什么？學(xué)過(guò)什么函數(shù)？

（要求學(xué)生盡量用自己的話(huà)描述初中函數(shù)的定義，并試舉出各類(lèi)學(xué)過(guò)的函

數(shù)例子）

學(xué)生舉出如,‘工等，待學(xué)生說(shuō)完定義后教師打出投

影片，給出定義之后教師也舉一個(gè)例子，問(wèn)學(xué)生.

提問(wèn)Lh?3是函數(shù)嗎？

（由學(xué)生討論，發(fā)表各自的意見(jiàn)，有的認(rèn)為它不是函數(shù)，理由是沒(méi)有兩個(gè)

變量，也有的認(rèn)為是函數(shù)，理由是可以可做，.帖.3.）

教師由此指出我們爭(zhēng)論的焦點(diǎn)，其實(shí)就是函數(shù)定義的不完善的地方，這也

正是我們今天研究函數(shù)定義的必要性，新的定義將在與原定義不相違背的基礎(chǔ)

上從更高的觀點(diǎn)，將它完善與深化.

二、新課

現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)書(shū)翻到第50頁(yè)，從這開(kāi)始閱讀有關(guān)的內(nèi)容，再回答我

的問(wèn)題.（約2-3分鐘或開(kāi)始提問(wèn)）

提問(wèn)2.新的函數(shù)的定義是什么？能否用最簡(jiǎn)單的語(yǔ)言來(lái)概括一下.

學(xué)生的回答往往是把書(shū)上的定義念一遍，教師可以板書(shū)的形式寫(xiě)出定義，

但還要引導(dǎo)形式發(fā)現(xiàn)定義的本質(zhì).

（板書(shū)）2.2函數(shù)

一、函數(shù)的概念

1.定義：如果A,B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射＜73就叫

做A到B的函數(shù)，記作，?/㈤.其中原象集合A稱(chēng)為定義域，象集C9U仍

稱(chēng)為值域.

問(wèn)題3：映射與函數(shù)有何關(guān)系？（函數(shù)一定是映射嗎?映射一定是函數(shù)嗎?）

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是特殊的映射，特殊在集合A,B必是非空的數(shù)集.

2.本質(zhì)：函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射.（板書(shū)）

然后讓學(xué)生試回答剛才關(guān)于尸?3是不是函數(shù)的問(wèn)題，要求從映射的角度

解釋.

此時(shí)學(xué)生可以清楚的看到/■長(zhǎng)津?｛克/.B滿(mǎn)足映

射觀點(diǎn)下的函數(shù)定義，故是一個(gè)函數(shù)，這樣解釋就很自然.

教師繼續(xù)把問(wèn)題引向深入，提出在映射的觀點(diǎn)下如何解釋-2*+3

是個(gè)函數(shù)？

從映射角度看可以是A=民'=凡/0T>=--2**3.xeA.yeB.其

中定義域是F,值域是C-b?22）.

從剛才的分析可以看出，映射觀點(diǎn)下的函數(shù)定義更具一般性，更能揭示函

數(shù)的本質(zhì).這也是我們后面要對(duì)函數(shù)進(jìn)行理論研究的一種需要.所以我們著重

從映射角度再來(lái)認(rèn)識(shí)函數(shù).

3.函數(shù)的三要素及其作用（板書(shū)）

函數(shù)是映射，自然是由三件事構(gòu)成的一個(gè)整體，分別稱(chēng)為定義域.值域和

對(duì)應(yīng)法則.當(dāng)我們認(rèn)識(shí)一個(gè)函數(shù)時(shí)，應(yīng)從這三方面去了解認(rèn)識(shí)它.

例1以下關(guān)系式表示函數(shù)嗎?為什么？

/㈤

(2)/W-42-*+

討-220

解：（1）由/（”）有意義得解得由于定義域是空集,

故它不能表示函數(shù).

2-jfkO

⑵由/W有意義得3-220,解得x?2.定義域?yàn)椋?）,值域?yàn)楹?

由以上兩題可以看出三要素的作用

（1）判斷一個(gè)函數(shù)關(guān)系是否存在.（板書(shū)）

例2下列各函數(shù)中，哪一個(gè)函數(shù)與是同一個(gè)函數(shù).

_4產(chǎn)T

（1）y'2x+1；（2）（3）a-2v-1；（4）

了■依x-D’.

解：先認(rèn)清2?7,它是，,席（定義域）到，?K（值域）的映射，其

中

fy"2x-KxeA,yeB

再看（1）定義域?yàn)?且*是不同的；（2）定義域?yàn)閤〉0,

是不同的；

rr-----r1-2xx<-

⑷八收*-1）2,法則是不同的；

而⑶定義域是上，值域是正，法則是乘2減1,與/?2能-1完全相同.

求解后要求學(xué)生明確判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同應(yīng)看定義域和對(duì)應(yīng)法則完全

一致，這時(shí)三要素的又一作用.

（2）判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同.（板書(shū)）

下面我們研究一下如何表示函數(shù)，以前我們學(xué)習(xí)時(shí)雖然會(huì)表示函數(shù)，但沒(méi)

有相系統(tǒng)研究函數(shù)的表示法，其實(shí)表示法有很多，不過(guò)首先應(yīng)從函數(shù)記號(hào)

說(shuō)起.

4.對(duì)函數(shù)符號(hào)/€?）的理解（板書(shū)）

首先讓學(xué)生知道,■/（”與/（力的含義是一樣的，它們都表示：.是工的

函數(shù)，其中F是自變量，/CO是函數(shù)值，連接的紐帶是法則不，所以這個(gè)

符號(hào)本身也說(shuō)明函數(shù)是三要素構(gòu)成的整體.下面我們舉例說(shuō)明.

例3已知函數(shù)/⑸?玄-2?試求/⑸/⑷（板書(shū)）

分析：首先讓學(xué)生認(rèn)清/6的含義，要求學(xué)生能從變量觀點(diǎn)和映射觀點(diǎn)

解釋?zhuān)龠M(jìn)行計(jì)算.

含義1：當(dāng)自變量出取3時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即

含義2：定義域中原象3的象/⑶，根據(jù)求象的方法知

/（3）-3x3-2-7而應(yīng)表示原象z的象，即

計(jì)算之后，要求學(xué)生了解/?與的區(qū)別，是常量，而丁。）是

變量，JS）只是，口）中一個(gè)特殊值.

最后指出在剛才的題目中是用一個(gè)具體的解析式表示的，而以后研

究的函數(shù)/（*）不一定能用一個(gè)解析式表示,此時(shí)我們需要用其他的方法表示,

具體的方法下節(jié)課再進(jìn)一步研究.

三、小結(jié)

1.函數(shù)的定義

2.對(duì)函數(shù)三要素的認(rèn)識(shí)

3.對(duì)函數(shù)符號(hào)的認(rèn)識(shí)

四、作業(yè)：略

五、板書(shū)設(shè)計(jì)

2.2函數(shù)例1.例

3.

一.函數(shù)的概念

1.定義

2.本質(zhì)例2.小結(jié)：

3.函數(shù)三要素的認(rèn)識(shí)及作用

4.對(duì)函數(shù)符號(hào)的理解

擴(kuò)展資料

關(guān)于復(fù)合函數(shù)

高中數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的研究主要類(lèi)型有常見(jiàn)函數(shù)（七類(lèi)），由上述常見(jiàn)函數(shù)構(gòu)成

的復(fù)合函數(shù)，由常見(jiàn)函數(shù)做四則運(yùn)算而得到的函數(shù)及實(shí)際生產(chǎn)生活中產(chǎn)生的函

數(shù).其中重點(diǎn)是前兩類(lèi).常見(jiàn)函數(shù)在課本中都將系統(tǒng)研究，而復(fù)合函數(shù)在課本

中沒(méi)有給出定義，所以在這里我們對(duì)復(fù)合函數(shù)做點(diǎn)介紹.

一般來(lái)說(shuō)，如果？是"的函數(shù)，而-又是苫的函數(shù)，即,

那么??關(guān)于"的函數(shù)尸叫做丁和5的復(fù)合函數(shù).，其中n叫做中

間變量.

在復(fù)合函數(shù)中，自變量是工，二是中間變量，因變量是丁，

1

了是通過(guò)中間變量與自變量工間接建立起函數(shù)關(guān)系的.如,?霜后就可以

1

看作反比例函數(shù)a與二次函數(shù)“?/*2*復(fù)合而成，如果給出函數(shù)

.2

它們就可以復(fù)合成一個(gè)以工為自變量》為因變量的函數(shù)

?2,6、

y-一3?一一1,一一一1

關(guān)系即XX.在剛才形成這個(gè)復(fù)合函數(shù)的函數(shù)關(guān)系的過(guò)程實(shí)

際上就是一個(gè)換元的過(guò)程，而且處理復(fù)合函數(shù)的很多問(wèn)題都需要用換元法去處

理.有了復(fù)合函數(shù)的概念，下列問(wèn)題我們就都可以解決了.

1.已知函數(shù)/(?)+3*.求/(X*ix/l/wl.

2.已知函數(shù)/㈤的定義域?yàn)椴?|,求/⑨的定義域.

3.已知函數(shù)/Q*-D-ST+2,求/⑺.

擴(kuò)展資料

函數(shù)史話(huà)

設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則于，對(duì)于集合A中任何一個(gè)

元素，在集合B中都有惟一的元素和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)叫做從集合A到集合

B的映射，記作「人->3當(dāng)集合A,B都是非空的數(shù)的集合，且B的每一個(gè)元

素都有原象時(shí)，這樣的映射就叫定義域A到值域B上的函數(shù).

笛卡兒引入變量后，隨之而來(lái)的便是函數(shù)的概念.他指出y和，是變量

（“未知量和未定的量”）的時(shí)候，也注意到y(tǒng)依賴(lài)于而變工.這正是函數(shù)

思想的萌芽.但是他沒(méi)有使用“函數(shù)”這個(gè)詞.

“函數(shù)”這個(gè)詞用作數(shù)學(xué)的術(shù)語(yǔ)，最早是萊布尼茨，但其含義和現(xiàn)在不同，

他指的是關(guān)于曲線上某點(diǎn)的一些線段的長(zhǎng)（如橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、弦、切線、法

線等）.

1718年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰?貝努利給出函數(shù)的一個(gè)定義，同時(shí)第一次使

用了“變量”這個(gè)詞.他寫(xiě)道“變量的函數(shù)就是變量和變量以任何方式組成的

J里SL.”

“函數(shù)”這個(gè)概念隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展而變化.歷史上每個(gè)階段，都有它

相應(yīng)的定義.

18世紀(jì)，歐拉曾經(jīng)前后給出函數(shù)的三種定義：

L將函數(shù)定義為“解析表示式”他寫(xiě)道：“變量的函數(shù)是一?個(gè)解析表達(dá)

式，它是由這個(gè)變量和一些常量以任何方式組成的.”

2.將函數(shù)定義為“由曲線確定的關(guān)系”：“在▽平面上徒手畫(huà)出來(lái)的曲

線所表示的y與r之間的關(guān)系.”

3.將函數(shù)定義為“變量之間的依賴(lài)變化”.他說(shuō)：“如果某些變量，以

這樣一種方式依賴(lài)于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也

隨之而變化，則前面的變量稱(chēng)為后面變量的函數(shù).”

用現(xiàn)代的眼光去看，這三種定義都有一定的局限性.第1種、第3種兩種

定義容易理解，所以現(xiàn)在仍然被一些通俗的讀物所采用，缺點(diǎn)在于過(guò)分狹窄，

因?yàn)樵S多函數(shù)是沒(méi)有解析表達(dá)式的，也有些函數(shù)并不隨自變量工的變化而變

化.第2個(gè)定義意義不夠明確且局限于表達(dá)方式.不管怎樣，歐拉定義對(duì)后世

的影響很大.

1837年，德國(guó)數(shù)學(xué)家秋里赫勒進(jìn)一步給出函數(shù)的定義：”對(duì)于在某區(qū)間

上的每一個(gè)確定的，值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做r的函數(shù).”

這已經(jīng)相當(dāng)接近現(xiàn)在許多教科書(shū)所采用的定義.

19世紀(jì)70年代，康托的集合論出現(xiàn)之后，函數(shù)便明確地定義為集合間的

對(duì)應(yīng)關(guān)系.這是目前一般教科書(shū)所用的“集合對(duì)應(yīng)”定義.

采用“集合對(duì)應(yīng)”定義以后，擺脫了“變量”一詞.

“變量”一詞的意義至今尚不清楚.“自變量”這個(gè)提法本身也是有缺點(diǎn)

的，因?yàn)樽兞勘囟ㄒ蕾?lài)于時(shí)間而變，也就是它必定是時(shí)間的函數(shù)，不可能脫離

時(shí)間而“自變量”.對(duì)于函數(shù)采用了“集合對(duì)應(yīng)”定義以后，擺脫了“變量”

與，，自變量”等名詞，定義函數(shù)無(wú)需再依賴(lài)于時(shí)間了.而變量這個(gè)詞.許多學(xué)

者主張廢棄不用，有人主張將“自變量”“因變量”改為“第一值”“第二值”.

我國(guó)“函數(shù)”一詞，是《代微積拾級(jí)》中首先使用的，這本書(shū)把函數(shù)定義

為：“凡此變數(shù)中含彼變數(shù)，則此為彼之函數(shù)."這里“函”是包含的意思.這

定義大致相當(dāng)于歐拉的解析表達(dá)式定義，在一個(gè)式子中“包含”著變量工，

那么這個(gè)式子就是？的函數(shù).

函數(shù)這個(gè)概念已成為數(shù)學(xué)中最重要的兒個(gè)概念之一,而變量這個(gè)詞卻逐漸

被新的詞所代替.

（2）函數(shù)值域的兩種基本求解方法

由函數(shù)值域的定義，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，因此函數(shù)的值域可由

■I

定義域直接推算.例如：的值域?yàn)椋ㄖ?%廠門(mén)中，因?yàn)?/p>

為大于等于1的-切實(shí)數(shù)，所以1K即函數(shù)的值域?yàn)?/p>

另一方面我們可以從方程的角度理解函數(shù)的值域，如果我們將函數(shù)

/看做是關(guān)于自變量工的方程，;在值域中任取一個(gè)值%,“對(duì)應(yīng)的

自變量外一定為方程丹?/（外在定義域中的一個(gè)解，即方程外■/（?在定

義域內(nèi)有解；另一方面若亨取某值外，方程乃一/《*）在定義域內(nèi)有解電，

則》一定為/對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.從方程的角度，函數(shù)的值域即為使關(guān)于工的方

1

程尸在定義域內(nèi)有解的；?的取值范圍，如'*變形得K-I,方程在

定義域｛中'°）內(nèi)有解的條件為￥-0,即為函數(shù)的值域.

基于上述對(duì)函數(shù)值域概念的理解，求函數(shù)值域問(wèn)題可通過(guò)直接推算和方程

討論兩種方法解決.

2x+l

y------------

例1求函數(shù)xT的值域.

分析：此題是關(guān)于工的一次分式函數(shù)，這種題目可通過(guò)求關(guān)于齊的方程

在定義域內(nèi)有解的條件來(lái)求得值域，也可以經(jīng)過(guò)變形（分離常量），觀察得出

結(jié)果.

解法1：把函數(shù)看成是》的方程，變形得（XK3）,進(jìn)

一步整理得0-2）*■力+1

x-2*0

31y+113n>'2

方程在定義域且*~鄉(xiāng)內(nèi)有解的條件即為:

二所求的值域?yàn)椋ㄐ《?/p>

_2x-<?7_7

解法2：將原函數(shù)變形為*-3773

x**3

?.?工x-3?。

.?.”2,即函數(shù)值域?yàn)?/p>

.7T

例2求函數(shù)百的值域.

解：易得函數(shù)的定義域?yàn)镽.

由函數(shù)解析式：

當(dāng)>-1時(shí)，方程Cr-D/-P*D.在定義域R內(nèi)無(wú)解.

當(dāng)時(shí)，有」?1

■山20

???V20,所以當(dāng)且僅當(dāng)下7時(shí)W有實(shí)數(shù)解.

一空22-131

:.y-1

綜上所述，函數(shù)的值域是｛#73中

例3對(duì)于定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的函數(shù)i、l（“為常數(shù)），回答下

列下列問(wèn)題：

(1)若/八(D’■二2則)?；

(2)當(dāng)：取由(1)所確定的值時(shí)，求尸的值域.

，小

f①■?1~■■1f

解：(1)由2得1*12,??.jr=5

.4y-3

(2)當(dāng)a?3時(shí)，所給函數(shù)變?yōu)?.?+1定義域?yàn)镽

由解析式得：城-4M3*3).°

當(dāng)下?°時(shí)，'.彳‘二尸?°屬于函數(shù)的值域.

當(dāng)尸=°時(shí)，若方程有實(shí)數(shù)解，則

A=lS-4y-12jriO

解得：-4iyii(叱0).

故函數(shù),■箝！的值域?yàn)椋?WI).

直接推算的方法要注意對(duì)函數(shù)式的化簡(jiǎn)，方程討論的方法要在定義域內(nèi)進(jìn)

行.

探究活動(dòng)

函數(shù)在數(shù)學(xué)及實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，在我們身邊就存在著很多與函

數(shù)有關(guān)的問(wèn)題如在我們身邊就有不少分段函數(shù)的實(shí)例，下面就是一個(gè)生活中的

分段函數(shù).

夏天，大家都喜歡吃西瓜，而西瓜的價(jià)格往往與西瓜的重量相關(guān).某人到

一個(gè)水果店去買(mǎi)西瓜，價(jià)格表上寫(xiě)的是：6斤以下，每斤0.4元.6斤以上9

斤以下，每斤0.5元，9斤以上，每斤0.6元.此人挑了一個(gè)西瓜，稱(chēng)重后

店主說(shuō)5元1角，1角就不要了，給5元吧，可這位聰明的顧客馬上說(shuō)，你不

僅沒(méi)少要，反而多收了我錢(qián)，當(dāng)顧客講出理由，店主只好承認(rèn)了錯(cuò)誤，照實(shí)收

了錢(qián).

同學(xué)們，你知道顧客是怎樣店主坑人了呢?其實(shí)這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題在我們身邊有

很多，只要你注意觀察，積累，并學(xué)以至用，就能成為一個(gè)聰明人，因?yàn)閿?shù)學(xué)

可以使人聰明起來(lái).

答案：

若西瓜重9斤以下則最多應(yīng)付4.5元,若西瓜重9斤以上,則最少也要5.4

元,不可能出現(xiàn)5.1元這樣的價(jià)錢(qián),所以店主坑人了.

習(xí)題精選

(1)在下列四組函數(shù)中，與儀力表示同一函數(shù)的是().

“所卜科陋七二：U

(C)/W-x+lxe-X+1xwZ

(D)/(x)-x,g(jO-(^)a.

⑵設(shè)*?&-2*x42),胡?“0?八2),函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

值域?yàn)榉剑瑒t,口)的圖象可以是().

—

土一

-Jo~~5-

(Q(D)

⑶給定映射廣。曲在映射?」「下象(之5的原象是

(■與，則函數(shù)/(*).8,?辰-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_

(4)求下列函數(shù)的定義域

Qr-iy1

①“C/J+2；②"疝葉

_x+2

③胴--

...f*~5*26

⑸已知*[/(*+2)x<6,則JO.一

(6)求下列函數(shù)的值域：

①，…2；

（2）r-3-2x.xe（-i9];

③，■--2x-Xxe(-u];

(x-10xZ6

④-21x<6

（7）已知函數(shù)/U）滿(mǎn)足/W*，且/0?7,那么

等于（）.

（4）P**（再3.+，

?2p*%

⑻已知函數(shù)/㈤-3+辦3的定義域?yàn)椋恚?’2）.則小6的值

分別為_(kāi)_____.

⑼已知/（*）-卜W”11,且“（岡卜小加二則實(shí)數(shù)冗的值

為.

（10）半徑為三的圓內(nèi)接等腰梯形/笈2，它的下底是。直徑，上底

8的端點(diǎn)在圓周上，寫(xiě)出這個(gè)梯形周長(zhǎng)白和腰長(zhǎng)工之間的函數(shù)式，并求

它的定義域.

答案：

⑴B；⑵B；⑶同同；

⑷①（T」）U（⑵②芝③（-■?』）；（5）2；

⑹①(%彳]②卜”,7|③卜4,0)④H；⑺B；(8)

33x

--,-3--、/(*).--十2x+4K“卜"力

2(9)8；(10)R

典型例題

例1判斷下列各組的兩個(gè)函數(shù)是否相同，并說(shuō)明理由.

(1)虐與r-x-LxeM.

(2)y■-4與jr

(4)>?/與，

f2xCO

(5)葉珈與八卜備x<0

分析：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，應(yīng)著眼于兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則的

比較，而求定義域時(shí)應(yīng)讓原始的解析式有意義，而不能進(jìn)行任何非等價(jià)變換,

對(duì)應(yīng)法則的判斷需判斷它的本質(zhì)是否相同而不是從表面形式上下結(jié)論.

解：(1)不同，因?yàn)樗鼈兌x域不同.

⑵不同，前者的定義域是“22或*4-2,后者的定義域是*22.

(3)相同，定義域均為非零實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)法則都是自變量取倒數(shù)后加1.

(4)不同，定義域是相同的，但對(duì)應(yīng)法則不同.

(4)相同，將,.期利用絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值結(jié)果就是

J“CO

,■卜斯x<0

說(shuō)明：此題的目的在于強(qiáng)化函數(shù)是三要素構(gòu)成的整體，且三要素中值域是

由定義域和對(duì)應(yīng)法則共同確定的，判斷時(shí)可以只考慮定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相

同，同時(shí)提醒學(xué)生，認(rèn)識(shí)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則必須認(rèn)清它的本質(zhì)，而不是從表面上做

判斷.

例2已知集合八1，4?2#+3叱1-21*￡3）

那么集合FCIQ中所含元素個(gè)數(shù)為（）.

㈤0（切1?0或1（01或2

分析：此題是以集合語(yǔ)言表述的問(wèn)題，解決問(wèn)題的第一步在于集合語(yǔ)言的

翻譯與理解，然后結(jié)合函數(shù)概念在運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中進(jìn)行研究，求解時(shí)，可以先

從形的角度，再?gòu)臄?shù)的角度提高認(rèn)識(shí).

解：從函數(shù)觀點(diǎn)看，兩個(gè)集合的交集中所包含的元素的個(gè)數(shù)，從數(shù)的角度

即在y?2尸+勿*1"卜23］中，令，看有幾個(gè)相應(yīng)的一：與之對(duì)應(yīng)；

從形的角度即，-2/.3/1,*式-23］的圖象與直線有幾個(gè)公共點(diǎn)，

由于二是不確定的，

于是當(dāng)上式-23］時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)“。卜23）時(shí)，則沒(méi)有交點(diǎn)，所以

應(yīng)選?.

說(shuō)明：此題目的在于進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)概念本質(zhì)，糾正只注意對(duì)應(yīng)法則而忽

視定義域作用的毛病，而且還應(yīng)從數(shù)和形兩角度認(rèn)識(shí)問(wèn)題，解決問(wèn)題.

例3求下列函數(shù)的定義域，要求把結(jié)果寫(xiě)成區(qū)間形式.

2K。一41

Z-2l<x<2

⑶“；（4）&工22；

⑸/㈤,7（6）/U）-2w,（r為圓的半徑）

分析：求定義域即使的解析式有意義，其中要注意有實(shí)際背景

的問(wèn)題和人為限制因素對(duì)定義域的影響.

解：(1)使/(*)有意義應(yīng)滿(mǎn)足

故函數(shù)的定義域?yàn)長(zhǎng)2J(2J.

(2)使了“)有意義應(yīng)滿(mǎn)足卜?/2°.故函數(shù)定義域?yàn)?/p>

(-M

(3)使/(*)有意義應(yīng)滿(mǎn)足XGR.故函數(shù)定義域?yàn)椴?.2).

⑷分段函數(shù)的定義域?yàn)椋跲,l］U(UXJk+?)-(O,+*?).

(5)由于24742,所以24產(chǎn)-