高中數(shù)學(xué)必修二教案全集（66份） 人教課標(biāo)版

空間幾何體的表面積與體積

柱體、錐體、臺體的表面積與體積

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

本節(jié)一開始的“思考”從學(xué)生熟悉的正方體和長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的

關(guān)系，目的有兩個(gè)：其一，復(fù)習(xí)表面積的概念，即表面積是各個(gè)面的面積的和；其二，介紹

求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的

表面積.

接著，教科書安排了一個(gè)“探究”，要求學(xué)生類比正方體、長方體的表面積，討論棱柱、棱錐、

棱臺的表面積問題，并通過例進(jìn)一步加深學(xué)生的認(rèn)識.教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生討論得出：棱柱

的展開圖是由平行四邊形組成的平面圖形，棱錐的展開圖是由三角形組成的平面圖形，棱臺

的展形圖是由梯形組成的平面圖形.這樣，求它們的表面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、

三角形和梯形的面積問題.

教科書通過“思考”提出"如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？”的問題.

教學(xué)中可引導(dǎo)學(xué)生回憶圓柱、圓錐的形成過程及其幾何特征，在此基礎(chǔ)上得出圓柱的側(cè)面可

以展開成為一個(gè)矩形，圓錐的側(cè)面可以展開成為一個(gè)扇形的結(jié)論，隨后的有關(guān)圓臺表面積問

題的“探究”，也可以按照這樣的思路進(jìn)行教學(xué).值得注意的是，圓柱、圓錐、圓臺都有統(tǒng)一

的表面積公式，得出這些公式的關(guān)鍵是要分析清楚它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展

開圖中的邊長之間的關(guān)系，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析，在分別學(xué)習(xí)了圓柱、圓錐、圓臺

的表面積公式后，可以引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動、變化的觀點(diǎn)分析它們之間的關(guān)系.由于圓柱可看成

上下兩底面全等的圓臺；圓錐可看成上底面半徑為零的圓臺，因此圓柱、圓錐就可以看成圓

臺的特例.這樣，圓柱、圓錐的表面積公式就可以統(tǒng)一在圓臺的表面積公式之下.

關(guān)于體積的教學(xué).我們知道，幾何體占有空間部分的大小，叫做幾何體的體積.這里的“大小”

沒有比較大小的含義，而是要用具體的“數(shù)”來定量的表示幾何體占據(jù)了多大的空間，因此就

產(chǎn)生了度量體積的問題.度量體積時(shí)應(yīng)知道：①完全相同的幾何體，它的體積相等；

個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積的和.體積相等的兩個(gè)幾何體叫做等積體.相同的兩個(gè)

幾何體一定是等積體，但兩個(gè)等積體不一定相同.體積公式的推導(dǎo)是建立在等體積概念之上

的.

柱體和錐體的體積計(jì)算，是經(jīng)常要解決的問題.雖然有關(guān)公式學(xué)生已有所了解，但進(jìn)一步了

解這些公式的推導(dǎo)，有助于學(xué)生理解和掌握這些公式，為此，教科書安排了一個(gè)“探究”，要

求學(xué)生思考一下棱錐與等底等高的棱柱體積之間的關(guān)系.教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生類比圓柱與

圓錐之間的體積關(guān)系來得出結(jié)論.

與討論表面積公式之間的關(guān)系類似，教科書在得出柱體、錐體、臺體的體積公式后，安排了

一個(gè)“思考”，目的是引導(dǎo)學(xué)生思考這些公式之間的關(guān)系，建立它們之間的聯(lián)系.實(shí)際上，這

幾個(gè)公式之間的關(guān)系，是由柱體、錐體和臺體之間的關(guān)系決定的.這樣，在臺體的體積公式

中，令'，得柱體的體積公式；令'，得錐體的體積公式.

值得注意的是在教學(xué)過程中，要重視發(fā)揮思考和探究等欄目的作用，培養(yǎng)學(xué)生的類比思維能

力，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些公式之間的關(guān)系，建立它們的聯(lián)系.本節(jié)的重點(diǎn)應(yīng)放在公式的應(yīng)用上,

防止出現(xiàn)：教師在公式推導(dǎo)過程中“糾纏不止”，要留出"空白”，讓學(xué)生自己去思考和解決問

題.如果有條件，可以借助于信息技術(shù)來展示幾何體的展開圖.對于空間想象能力較差的學(xué)生，

可以通過制作實(shí)物模型，經(jīng)過操作確認(rèn)來增強(qiáng)空間想象能力.

三維目標(biāo)

.了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計(jì)算公式（不要求記憶），提高學(xué)生的空間想象能力

和幾何直觀能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

.掌握簡單幾何體的體積與表面積的求法，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、化歸以及

類比的能力.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計(jì)算公式及其應(yīng)用.

教學(xué)難點(diǎn)：表面積和體積計(jì)算公式的應(yīng)用.

課時(shí)安排

課時(shí)

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路.在過去的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何

體可以求出表面積和體積？(引導(dǎo)學(xué)生回憶，互相交流，教師歸類)幾何體的表面積等于它

的展開圖的面積，那么，柱體、錐體、臺體的側(cè)面展開圖是怎樣的？你能否計(jì)算？

思路.被譽(yù)為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的

漫長歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中

古時(shí)代，埃及人是怎樣采集、搬運(yùn)數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大

金字塔，真是一個(gè)十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個(gè)正四棱錐外形的建筑，塔底邊長米，

塔高米，你能計(jì)算建此金字塔用了多少石塊嗎？

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

①在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長方體的表面積，以及它們的展開圖(圖)，你知

道上述幾何體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？

正方體及其展開圖()長方體及其展開圖()

圖

②棱柱、棱錐、棱臺也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它

們的表面積？

③如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？

④聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，你能想象圓臺側(cè)面展開圖的形狀，并且畫出它嗎？如果圓

臺的上、下底面半徑分別是'，母線長為，你能計(jì)算出它的表面積嗎？

⑤圓柱、圓錐和圓臺的表面積之間有什么關(guān)系？

活動：①學(xué)生討論和回顧長方體和正方體的表面積公式.

②學(xué)生思考幾何體的表面積的含義，教師提示就是求各個(gè)面的面積的和.

③讓學(xué)生思考圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖的形狀.

④學(xué)生思考圓臺的側(cè)面展開圖的形狀.

⑤提示學(xué)生用動態(tài)的觀點(diǎn)看待這個(gè)問題.

討論結(jié)果：①正方體、長方體是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的表面積就是各個(gè)面的

面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形

的表面積.

②棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個(gè)面的面積的和；棱錐的側(cè)

面展開圖是由多個(gè)三角形拼接成的，其表面積等于圍成棱錐的各個(gè)面的面積的和；棱臺的側(cè)

面展開圖是由多個(gè)梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺的各個(gè)面的面積的和.

③它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和，利用它們的側(cè)面展開圖來求得它們的側(cè)面積，由

于底面是圓面，其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，圓

錐的側(cè)面展開圖是扇形.

我們知道，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形（圖）.如果圓柱的底面半徑為，母線長為，那么圓

柱的底面面積為",側(cè)面面積為口.因此，圓柱的表面積n口口（）.

圖圖

圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形（圖）.如果圓錐的底面半徑為，母線長為，那么它的表面積

nJtJT（）.

點(diǎn)評：將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.

④圓臺的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)（圖），它的表面積等于上、下兩個(gè)底面的面積和加上側(cè)面

的面積,即

⑤圓柱、圓錐、圓臺側(cè)面積的關(guān)系：

圓柱和圓錐都可以看作是圓臺退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺，圓

錐可看作是上底面退化成一點(diǎn)的圓臺，觀察它們的側(cè)面積，不難發(fā)現(xiàn)：

從上面可以很清楚地看出圓柱和圓錐的側(cè)面積公式都可以看作由圓臺側(cè)面積公式演變而來.

提出問題

①回顧長方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比

出柱體的體積公式？

②比較柱體、錐體、臺體的體積公式：

掛體（為底面積，為柱體的高）；

掰*'ST;（為底面積，為錐體的高）；

3

臺*（5+網(wǎng)+5'）（，分別為上、下底面積，為臺體的高）.

你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺體？其體積公式是否可以

看作臺體體積公式的“特殊，，形式？

活動：①讓學(xué)生思考和討論交流長方體、正方體和圓柱的體積公式.

②讓學(xué)生類比圓柱、圓錐和圓臺的表面積的關(guān)系？

討論結(jié)果：

①棱長為的正方體的體積；

長方體的長、寬和高分別為，其體積為0；

底面半徑為高為的圓柱的體積是n,

可以類比，一般的柱體的體積也是，其中是底面面積，為柱體的高.

圓錐的體積公式是（為底面面積，為高），它是同底等高的圓柱的體積的L

33

棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的工,即棱錐的體積（為底面面積，為高）.

33

由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似,

都是底面面積乘高的

3

由于圓臺（棱臺）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差，得到圓臺（棱

臺）的體積公式gcAM）,

其中‘，分別為上、下底面面積，為圓臺（棱臺）高.

注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶.

②柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺體.因

此柱體、錐體可以看作“特殊’’的臺體.當(dāng)'時(shí)，臺體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當(dāng)‘時(shí)，臺

體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺體體積公式的

“特殊”形式.

柱體和錐體可以看作由臺體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看

作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系,如圖：

匕件=^力6+廓+S'）

S.\5=0

Vt（?=Sh%*=會力

圖

應(yīng)用示例

思路

例已知棱長為，各面均為等邊三角形的四面體一（圖），求它的表面積.

活動：回顧幾何體的表面積含義和求法.

分析：由于四面體一的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)

面面積的倍.

解：先求△的面積，過點(diǎn)作_L,交于點(diǎn).

因?yàn)轱wSB?-BD?

所以A—,

22

因此，四面體一的表面積><△_/=&2

4

點(diǎn)評：本題主要考查多面體的表面積的求法.

變式訓(xùn)練

.已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為，圓柱側(cè)面積為，求圓錐

的側(cè)面積.

解：設(shè)圓錐的母線長為，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為，圓柱的底面半徑為，即既枝加根據(jù)圓柱的側(cè)

面積公式可得：圓柱的母線（高）長為一，由題意得圓錐的高為一，又圓錐的底面半

2加2〃

徑為，根據(jù)勾股定理，圓錐的母線長Jr+（二）2,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式得

V2m

園推側(cè)口工?

.兩個(gè)平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積

的比是（）

分析：因?yàn)閳A錐的高被分成的三部分相等，所以兩個(gè)截面的半徑與原圓錐底面半徑之比

為：：，于是自上而下三個(gè)圓錐的體積之比為（生/"）：[生（2尸）2.]：[￡（3r）2.]：：,

333

所以圓錐被分成的三部分的體積之比為：（一）：（一）：：.

答案：

.三棱錐一的中截面是4,則三棱錐一與三棱錐一的體積之比是（）

分析：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為：，將三棱

錐一轉(zhuǎn)化為三棱錐一，這樣三棱錐一與三棱錐一的高相等，底面積之比為：，于是其體積之

比為：.

答案：

例如圖，一個(gè)圓臺形花盆盆口直徑為，盆底直徑為，底部滲水圓孔直徑為，盆壁長為.

為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用毫升油漆，涂個(gè)這樣的花盆需要多少毫

升油漆？（加取，結(jié)果精確到毫升，可用計(jì)算器）

活動：學(xué)生思考和討論如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.只要求出每個(gè)花盆外壁的表面積，就可以求出

油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面積加上底面積，再減去底面圓孔的面積.

解：如圖，由圓臺的表面積公式得一個(gè)花盆外壁的表面積”L（y）2+yX15+yX15]

涂個(gè)這樣的花盆需油漆：XX（毫升）.

答：涂個(gè)這樣的花盆需要毫升油漆.

點(diǎn)評：本題主要考查幾何體的表面積公式及其應(yīng)用.

變式訓(xùn)練

.有位油漆工用一把長度為，橫截面半徑為的圓柱形刷子給一塊面積為的木板涂油漆，且圓

柱形刷子以每秒周的速度在木板上勻速滾動前進(jìn)，則油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間是多少?（精

確到秒）

解：圓柱形刷子滾動一周涂過的面積就等于圓柱的側(cè)面積，

?.,圓柱的側(cè)面積為俯nnn,

又?..圓柱形刷子以每秒周勻速滾動，

圓柱形刷子每秒滾過的面積為n,

因此油漆工完成任務(wù)所需的時(shí)間1°",=—=秒.

0.5勿"-7t

點(diǎn)評：本題雖然是實(shí)際問題，但是通過仔細(xì)分析后，還是歸為圓柱的側(cè)面積問題.解決此題

的關(guān)鍵是注意到圓柱形刷子滾動一周所經(jīng)過的面積就相當(dāng)于把圓柱的側(cè)面展開的面積，即滾

動一周所經(jīng)過的面積等于圓柱的側(cè)面積.從而使問題迎刃而解.

.（山東濱州一模，文）已知?:棱錐一中，、、兩兩垂直，，，且，則三棱錐體積的最大值是.

分析：由題意得三棱錐的體積是，*,町=_1%（4—幻=一,（）2,由于〉，則當(dāng)時(shí)，三棱

32663

2

錐的體積取最大值

3

一2

答案：一

3

例有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是）六角螺帽（圖）共重，已知底面是正六邊形，邊

長為，內(nèi)孔直徑為，高為，問這堆螺帽大約有多少個(gè)？（“?。?/p>

圖

活動：讓學(xué)生討論和交流如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.六角帽表示的幾何體是一個(gè)組合體，在一個(gè)

六棱柱中間挖去一個(gè)圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.

解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即，XXXX（?）XH（）（）.

所以螺帽的個(gè)數(shù)為x+（x）u（個(gè)）.

答：這堆螺帽大約有個(gè).

點(diǎn)評：本題主要考查幾何體的體積公式及其應(yīng)用.

變式訓(xùn)練

如圖，有個(gè)水平放置圓臺形容器，上、下底面半徑分別為分米，分米，高為分米，現(xiàn)以每

秒立方分米的速度往容器里面注水，當(dāng)水面的高度為分米時(shí)，求所用的時(shí)間.（精確到秒）

解：如圖，設(shè)水面的半徑為，則分米，分米，

在△中，：〃,

—=----.—分米.

525

.??當(dāng)水面的高度為分米時(shí)，容器中水的體積為

876萬

，所用的時(shí)間為金9s一=2927rU秒.

325

答：所用的時(shí)間為秒.

例（山東煙臺高三期末統(tǒng)考，理）如圖所示，一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖

為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為，那么這個(gè)幾何體的體積為（）

236

活動：讓學(xué)生將三視圖還原為實(shí)物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

分析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱，，±,

L則該三棱錐的高是，底面三角形是直角三角形，所以這個(gè)幾何體的體積為

TS1MBePA=—X—xl--

j52,o

答案：

點(diǎn)評：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面

積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得.此類題目成為新課標(biāo)高

考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視.

變式訓(xùn)練

.（山東泰安高三期末統(tǒng)考，理）若一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個(gè)正三棱柱的表

面積為（）

2

-2j3-

側(cè)視圖

圖

.1873.15A/3.24+873.24+16V3

分析：該正三棱柱的直觀圖如圖所示，且底面等邊三角形的高為2后，正三棱柱的高為,

則底面等邊三角形的邊長為，所以該正三棱柱的表面積為

XXX—XX2A/38A/3.

2

圖

答案：

.（山東濰坊高三期末統(tǒng)考，文）如果一個(gè)空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為全等的等邊三

角形，俯視圖為一個(gè)半徑為的圓及其圓心，那么這個(gè)幾何體的體積為（）

后兀2百乃/T7t

------.---------兀.一

333

分析：由三視圖知該幾何體是圓錐，且軸截面是等邊三角形，其邊長等于底面直徑，則圓錐

Ih

的高是軸截面等邊三角形的高為V3，所以這個(gè)幾何體的體積為—x兀=U

33

答案：

.(廣東高考，文)已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一

個(gè)底邊長為、高為的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長為、高為的等腰三角

形.

()求該幾何體的體積；

()求該幾何體的側(cè)面積.

解：由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面邊長分別為、的矩形，高為的四棱錐.設(shè)底面矩形為.

如圖所示，，，高.

()-X(x)x.

()設(shè)四棱錐側(cè)面、是全等的等腰三角形，側(cè)面、也是全等的等腰三角形,

在△中，邊上的高為/"+(竽2=142+(|)2=4后，

在△中，邊上的高為｛VO?+(B；

所以此兒何體的側(cè)面積2(工X6X4行+,X8X5)24、反.

22

點(diǎn)評：高考試題中對面積和體積的考查有三種方式，一是給出三視圖，求其面積或體積；二

是與的組合體有關(guān)的面積和體積的計(jì)算；三是在解答題中，作為最后一問.

例圖所示的幾何體是一棱長為的正方體，若在它的各個(gè)面的中心位置上，各打一個(gè)直徑為、

深為的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少？(“取)

圖

活動：因?yàn)檎襟w的棱長為，而孔深只有，所以正方體沒有被打透.這樣一來打孔后所得幾

何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè)面積，這六個(gè)圓

柱的高為，底面圓的半徑為.

解：正方體的表面積為X(),

一個(gè)圓柱的側(cè)面積為"XX(),

則打孔后幾何體的表面積為+X().

答：幾何體的表面積為.

點(diǎn)評：本題主要考查正方體、圓柱的表面積.求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分

成基本的柱、錐、臺，再通過這些基本柱、錐、臺的表面積，進(jìn)行求和或作差，從而獲得幾

何體的表面積.本題中將幾何體的表面積表達(dá)為正方體的表面積與六個(gè)圓柱側(cè)面積的和是非

常有創(chuàng)意的想法，如果忽略正方體沒有被打透這一點(diǎn)，思考就會變得復(fù)雜，當(dāng)然結(jié)果也會是

錯(cuò)誤的.

變式訓(xùn)練

圖所示是由個(gè)邊長為的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積.

分析：從圖中可以看出，個(gè)小正方體一共擺了三層，第一層個(gè)，第二層個(gè)，因?yàn)椋缘谌?/p>

層擺了個(gè).另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的，同樣，前、后，左、右兩個(gè)面的表面積也

是分別相同的.

解：因?yàn)樾≌襟w的棱長是，所以上面的表面積為X(),

前面的表面積為X(),左面的表面積為X(),

則此兒何體的表面積為xxx().

答：此幾何體的表面積為.

知能訓(xùn)練

.正方體的表面積是，則正方體的體積是()

.4876

分析：設(shè)正方體的棱長為，貝U,解得，則正方體的體積是.

答案：

.(山東臨沂高三期末統(tǒng)考，文)如圖所示，圓錐的底面半徑為，高為若，則圓錐的表面積

為()

.?！柏

分析：設(shè)圓錐的母線長為，則U,所以圓錐的表面積為nxx()n.

答案：

.正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為2看，則這個(gè)正三棱錐的體積是（）

2792769百

T'4'4'~T'

分析：可得正三棱錐的高J（2Q）2—（、Q）2,于是gx,x32x3=W.

答案：

.若圓柱的高擴(kuò)大為原來的倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來的倍；若圓柱的高

不變，底面半徑擴(kuò)大為原來的倍，則圓柱的體積擴(kuò)大為原來的倍.

分析：圓柱的體積公式為砒人，底面半徑不變，高擴(kuò)大為原來的倍，其體積也變?yōu)樵瓉淼?/p>

倍；當(dāng)圓柱的高不變，底面半徑擴(kuò)大為原來的倍時(shí)，其體積變?yōu)樵瓉淼谋?

答案：

.圖是一個(gè)正方體，、、分別是棱、、的中點(diǎn).現(xiàn)在沿△所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問鋸掉部

分的體積是原正方體體積的幾分之幾？

分析：因?yàn)殇彽舻氖钦襟w的一個(gè)角，所以與、都垂直，即垂直于立方體的上底面，實(shí)際上

鋸掉的這個(gè)角，是以三角形為底面，為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐.

解：設(shè)正方體的棱長為，則正方體的體積為.

三棱錐的底面是△,即/為。，、又分別為、的中點(diǎn)，所以工。.所以△的面積為

2

_Lx_Lax,a='a2.又因是三棱錐的高，又是的中點(diǎn)，所以.所以鋸掉的部分的體積為

22282

又因J_所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的J_.

484848

.（山東臨沂高三期末考試，理）已知一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為，則圓錐的底

面面積是.

分析：如圖，設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，由題意得《I-解得,所以圓錐的

7d=2萬,

吉―dSS

底面積為北"X—=—

2萬2

.如圖，一個(gè)正三棱柱容器，底面邊長為，高為，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個(gè)側(cè)面作

為底面，如圖，這時(shí)水面恰好為中截面，則圖中容器內(nèi)水面的高度是.

分析：圖中容器內(nèi)水面的高度為，水的體積為，則A.又圖中水組成了一個(gè)直四棱柱，其底面

3342MBe-3

積為‘SMBC，高度為，則2sMsc?，二色----------