數(shù)學(xué)同步練習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精高手支招6體驗(yàn)成功基礎(chǔ)鞏固1。函數(shù)f(x）=1+x-sinx在（0，2π）上是()A.增函數(shù)B。減函數(shù)C.在(0，π）上遞增，在（π,2π)上遞減D。在（0，π）上遞減,在(π,2π)上遞增答案：A思路分析:f′(x)=1—cosx＞0恒成立,所以f(x)在(0,2π)上為增函數(shù)。2.（2005北京海淀高三第一學(xué)期期末檢測(cè))函數(shù)y=xsinx+cosx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（)A.(,)B。(π，2π)C.（，）D.(2π,3π)答案：C思路分析:y′=（xsinx+cosx)′=sinx+xcosx—sinx=xcosx,當(dāng)x∈（,）時(shí),恒有xcosx＞0.此時(shí)，函數(shù)y=xsinx+cosx為增函數(shù)。3。設(shè)f(x）在（a,b)內(nèi)有導(dǎo)函數(shù)f′(x)，則f′（x)＜0是f(x)在(a，b）內(nèi)單調(diào)遞減的（）A。充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：A思路分析：由f′（x）＜0能夠推出f(x）在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減，但由f（x)在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞減不能推出f′（x)＜0,如f(x)=x3，f′（x）=3x2≥0，不滿足f′（x）＞0.故為充分不必要條件。4.函數(shù)y=x4-2x2+5的單調(diào)減區(qū)間為（）A.（-∞，—1]和［0,1］B。［-1,0］和［1,+∞］C.［—1，1］D。（—∞，-1)和［1，+∞）答案:A思路分析:y′=4x3—4x≤0x(x2—1)≤0x≤-1或0≤x≤1.5.y=xlnx在(0，5)上是（）A.單調(diào)增函數(shù)B.單調(diào)減函數(shù)C.在（0,)上單調(diào)遞減，在(,5)上是遞增函數(shù)D。在(0,）上是遞增函數(shù),在(，5）上是遞減函數(shù)答案：C思路分析：y′=lnx+x·=1+lnx;令y′＞0,∴x＞,∴y=xlnx在（，5)上為增函數(shù)。同理可求在(0,)上為減函數(shù)。6.若函數(shù)f（x）=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù)，則m的取值范圍是__________。答案:m≥思路分析：因?yàn)閒(x）=x3+x2+mx+1,所以f′(x）=3x2+2x+m，由題意可知f（x)在R上只能遞增，所以Δ=4-12m≤0,∴m≥。綜合應(yīng)用7.已知f（x）=ax3+bx2+cx+d(a＞0)為增函數(shù),則（）A.b2-4ac＞0B.b＞0,c＞0C.b=0,c＞0D.b2-3ac＜0答案：D思路分析:f′（x）=3ax2+2bx+c＞0恒成立.因?yàn)閍＞0,則Δ=4b2-4·3ac＜0,即b2-3ac＜0.8.已知函數(shù)f(x)、g(x）均為［a，b]上的可導(dǎo)函數(shù)，且f′(x）＞g′(x)，f(a）=g(a),則當(dāng)x∈（a,b)時(shí)有()A.f（x）＞g(x)B。f（x)＜g（x)C.f（x)=g（x）D。大小關(guān)系不能確定答案：A思路分析：令F(x）=f(x)-g（x），∴F′(x)=f′（x）—g′（x）＞0?！郌（x）在［a,b］上為增函數(shù)。又F（a)=f(a）—g（a)=0，∴在x∈（a,b)時(shí)，F(xiàn)(x）＞F（a)，∴f(x)＞g(x）.9。已知函數(shù)f(x）=x3+3ax-1，g(x）=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。對(duì)滿足—1≤a≤1的一切a的值,都有g(shù)(x）＜0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.解:由題意g（x)=3x2-ax+3a—5,令φ（a)=(3-x）a+3x2—5，—1≤a≤1.對(duì)-1≤a≤1,恒有g(shù)(x）＜0，即φ(a）＜0，∴解得＜x＜1。故x∈（,1）時(shí),對(duì)滿足—1≤a≤1的一切a的值,都有g(shù)（x）＜0。10。(2006陜西高考,理22）已知函數(shù)f（x）=x3—x2++，且存在x0∈(0，)，使f(x0）=x0。(1）證明:f(x）是R上的單調(diào)增函數(shù);(2)設(shè)x1=0,xn+1=f(xn）；y1=，yn+1=f(yn)，其中n=1,2，…。證明:xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn；(3)證明:。解:（1)∵f′（x）=3x2-2x+=3(x-）2+＞0,∴f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)。（2）∵0＜x0＜，即x1＜x0＜y1.又f（x)是增函數(shù)，∴f(x1)＜f（x0）＜f(y1）。即x2＜x0＜y2。又x2=f(x1)=f(0）=＞0=x1，y2=f(y1)=f()=＜=y1，綜上,x1＜x2＜x0＜y2＜y1。用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:(1)當(dāng)n=1時(shí),上面已證明成立。(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk。當(dāng)n=k+1時(shí)，由f（x）是單調(diào)增函數(shù)，有f（xk)＜f（xk+1)＜f（x0）＜f（yk+1）＜f(yk)，∴xk+1＜xk+2＜x0＜yk+2＜yk+1.由（1)(2