數(shù)學同步訓練：數(shù)列的遞推公式（選學）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。1.2數(shù)列的遞推公式（選學）5分鐘訓練(預習類訓練,可用于課前)1。判斷下列說法哪個是錯誤的（）A。遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法B.an=an-1（n≥2)是遞推公式C.給出數(shù)列的方法只有圖象、列表、通項公式D.an=2an—1(n≥2）是遞推公式解析：通過圖象、列表、通項公式我們可以確定一個數(shù)列，另外根據(jù)遞推公式，并且知道數(shù)列的第一項，我們也可以確定數(shù)列，它也是給出數(shù)列的一種方法。an=an—1與an=2an—1，這兩個關(guān)系式雖然比較特殊，但都表示的是數(shù)列中的任意項與它的前后項間的關(guān)系,所以都是遞推公式.答案:C2。已知數(shù)列｛an}的第1項是1，第2項是2，以后各項由an=an—1+an—2(n＞2)給出,則該數(shù)列的第5項等于（）A。6B.7C解析：∵a1=1，a2=2，an=an-1+an—2，∴a3=a2+a1=1+2=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8。答案:C3.一個數(shù)列｛an}的首項a1=1，從第二項起每一項等于它的前一項的2倍再加上后一項,請寫出構(gòu)成這個數(shù)列的遞推公式an=__________________。解析：這個數(shù)列給出的方法是不同的，它是由前后項之間的關(guān)系確定的，只需要根據(jù)已知條件就可以直接列出關(guān)系式，要注意n的取值范圍.答案:2an-1+an+1(n≥2）4。在數(shù)列{an｝中，an+1=an+2+an,a1=2,a2=5，則a6的值為_______________。解析：∵an+1=an+2+an，∴an+2=an+1-an，則有a6=a5—a4=（a4-a3)—a4=-a3=-（a2-a1)=a1-a2=2-5=-3。答案：-310分鐘訓練(強化類訓練，可用于課中)1。已知a1=1，an+1=(n∈N＊)，依次寫出｛an}的前5項為__________，歸納出an=_________.解析：題中已給出{an}的第1項即a1=1，根據(jù)遞推公式：an+1=，將n=2，3，4，5代入可得這個數(shù)列的前5項.∴a2=，a3=，a4=，a5=．∴an=答案：1，an=2。數(shù)列｛an}滿足a1=1,an=an-1+n(n≥2）,則a5=_____________.解析：由an=an—1+n（n≥2)，得an—an-1=n,則a2-a1=2,a3-a2=3，a4-a3=4,a5—a4=5，把各式相加得a5-a1=2+3+4+5=14，∴a5=14+a1=14+1=15。答案：153。已知a1=2，an+1=2an,寫出前5項，并猜想an.解:將n=2,3，4，5代入an+1=2an，可得:a1=2，a2=22，a3=23，這樣我們就很容易猜出通項公式an=2n。4.已知數(shù)列{an}：1，5,8,9，4，通過公式bn=an·an+1構(gòu)造一個新的數(shù)列{bn｝，試寫出數(shù)列｛bn｝的前4項.解：將序號1,2,3，4代入公式bn=an·an+1，可得:b1=a1·a2=1×5=5，b2=a2·a3=5×8=40，b3=a3·a4=8×9=72，b4=a4·a5=9×4=36。所以數(shù)列｛bn}的前4項為：5,40,72,36。5.下面是由數(shù)字排列的一個數(shù)列:7,9,16，25，41，66,107,173,寫出其遞推公式。解：通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)這個數(shù)列的一個規(guī)律：每一項都等于其前兩項的和,7+9=16，9+16=25，16+25=41,25+41=66，…所以遞推公式為：a1=7,a2=9,an=an-1+an-2(3≤n≤8)。6.在數(shù)列｛an}中，a1=1，4an+1-anan+1+2an=9（n∈N），寫出它的前4項并歸納出用n表示an的式子.解:∵4an+1-anan+1+2an=9（n∈N），∴an+1（4-an）+2an=9.∴an+1（4—an)=9—2an?！郺n+1=.∴a2==，a3=，a4=。則求出的這個數(shù)列的前4項為：1，，可歸納出通項公式為:an=。30分鐘訓練（鞏固類訓練,可用于課后）1。在數(shù)列｛an}中，an=1，an+1=an2-1（n≥1）,則a1+a2+a3+a4+a5等于（）A。-1B.1C。0解析：由已知an+1=an2—1=（an+1）（an—1），∴a2=0，a3=-1，a4=0，a5=—1.答案：A2。已知數(shù)列｛an｝中，a1=b（b為任意正數(shù)），an+1=（n=1,2,3，…），能使an=b的n的數(shù)值可以是(）A。14B。15C.16解析：∵a1=b，an+1=，∴a2=，a3=,a4=b?！啵鸻n｝為周期為3的數(shù)列.由于a1=a4=b，∴a16=b。答案：C3。若數(shù)列｛an｝滿足:an+1=且a1=2，a2006等于(）A.1B.2C.D.解析:由an+1=以及a1=2得,a2=，a3=1—2=—1，a4=2，…，由此可見,數(shù)列｛an｝的項是以3為周期重復出現(xiàn)的，故a2006=a3×668+2=a2=，故選D．答案:D4。數(shù)列{an}的前9項是1,5，7,17,31,65，127，257,511，請寫出這個數(shù)列所隱含的遞推關(guān)系式an=_____________。解析：1+5=6,5+7=12，7+17=24，等等.12與17差個5，24與31差個7，那么下一項是否差個17呢？17+31+17=65正符合，這樣可以猜想出這個數(shù)列的遞推關(guān)系式.答案:a1=1,a2=5,an=an-1+2an-2(n≥3)5.某網(wǎng)絡公司，2005年的市場占有率為A，根據(jù)市場分析和預測，該公司自1996年起市場占有率逐年增加,其規(guī)律如下圖所示：則該公司2007年的市場占有率為____________；寫出其中的遞推關(guān)系式：____________。解析：2005年的市場占有率為A，2006年的市場占有率為A+,2007年的市場占有率為A+,發(fā)現(xiàn)前一年的占有率與后一年的占有率密切聯(lián)系，可以得到前后兩年的遞推關(guān)系式。答案:遞推關(guān)系式為：6。設二次方程anx2-an+1x+1=0（n∈N）有兩根α和β,且滿足6α-2αβ+6β=3.試用an表示an+1。解：根據(jù)韋達定理，得α+β=,α·β=，由6α-2αβ+6β=3得6·，又在二次方程中an≠0，故an+1=.7.已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1，an+1=αan+β，且a2=3,a4=15，求α,β的值。解：由a2=αa1+β=α+β=3，得β=3-α。故a3=αa2+β=3α+β=2α+3,a4=αa3+β=α（2α+3)+3—α=2α2+2α+3=15。化簡得α2+α-6=0.解得α=—3或α=2,代入β=3—α得β=6或β=1.故代入檢驗皆成立。8。平面內(nèi)有n(n≥2)條直線，其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點，用an表示交點的個數(shù),試寫出an與an—1的關(guān)系式。解:要想弄清an與an—1的關(guān)系，需要先研究n=1，2，3，…，具體的關(guān)系。當n=2時,兩條直線相交，交點只有1個，當n=3時,三條直線相交,交點有3個，……當n-1條直線相交時,交點個數(shù)為an—1，現(xiàn)在來考慮n條直線的情況。任取其中的1條直線，記為l，除l以外的其他n-1條直線的交點個數(shù)an—1.又因為已知任何兩條直線不平行，所以直線l必與平面內(nèi)其他n-1條直線都相交，有n-1個交點，又因為已知任何三條直線不過同一點，所以上面的n-1個交點兩兩不相同，且與平面內(nèi)其他的an—1個交點也兩兩不相同.從而平面內(nèi)n條直線交點的個數(shù)是an=an—1+（n-1).9.某魚塘養(yǎng)魚，由于改進了飼養(yǎng)技術(shù),預計第一年產(chǎn)量的增長率為200%，以后每年的增長率是前一年增長率的一半，設此魚塘里原來的魚儲存量為a。寫出改進飼養(yǎng)技術(shù)后的第一年、第二年、第三年、第四年的產(chǎn)量,并寫出第n年與第(n—1)年（n∈N且n≥2)的產(chǎn)量之間的關(guān)系式（不要求證明）.解：不妨設改進技術(shù)后第n年的產(chǎn)量為an，則a1=a（1+200％)=3a，a2=a1（1+×200%）=6a，a3=a2(1+×200%)=9a，a4=a3(1+×200%）=。依此，得an=an—1(1+×200％)=an—1［1+()n—2］(n∈N*，n≥2）。10.為了測試某種金屬的熱膨脹性質(zhì)，將這種金屬的一根細棒加熱，從100℃開始第一次量細棒長度，以后每升高50℃量一次，把依次量得的數(shù)據(jù)所成的數(shù)列｛ln}表示成圖象，如下圖,根據(jù)圖象完成下列問題:（1）第5次量得金屬棒的長度是多少？此時金屬棒的溫度是多少？（2）求{ln｝的通項和金屬棒長度l(m）關(guān)于溫度t（單位:℃）的函數(shù)關(guān)系式；(3）在30℃的溫度條件下，如果把兩塊這種矩形金屬板平鋪在一個平面上，這個平面的最高溫度可達到500℃，問鋪設時兩塊金屬板之間至少要留出多寬的空隙？解：(1）從圖上不難看到第5次量得金屬棒長度是2.005m，這時溫度為（5-1）×50+100=300℃.（2)設ln=dn+b，由待定系數(shù)法可得通項公式ln=0。001n+2，由題意可得t=50（n-1)+1