2025屆高三數(shù)學一輪總復(fù)習 第六章 第四講 直線、平面平行的判定與性質(zhì)配套課件

第四講直線、平面平行的判定與性質(zhì)2025年高考一輪總復(fù)習第六章

立體幾何表示方法文字語言圖形語言符號語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)

?l∥α1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理表示方法文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)?a∥b(續(xù)表)表示方法文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)?α∥β2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理表示方法文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行?a∥b(續(xù)表)【名師點睛】平行關(guān)系中的重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.(3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(4)垂直于同一平面的兩個平面不一定平行，平行于同一直線的兩個平面不一定平行.

考點一與線、面平行相關(guān)命題的判定1.(多選題)已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列命題中正確的是()A.若m∥α，m∥β，則α∥βB.若m∥α，n∥α，則m∥nC.若m⊥α，n⊥α，則m∥nD.若α⊥γ，α⊥β，則γ與β可能平行，也可能相交

解析：若α∩β＝n，m∥n，且m

α，m

β，則m∥α，m∥β，故A錯誤.若m∥α，n∥α，則m與n可能是異面直線、相交直線或平行直線，故B錯誤.若m⊥α，n⊥α，由線面垂直的性質(zhì)定理知m∥n，故C正確.若α⊥γ，α⊥β，則γ與β可能相交或平行，D正確.故選CD.答案：CD2.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1

中，下列直線或平面與平面ACD1

平行的是(

) A.直線A1B

C.平面A1DC1B.直線BB1

D.平面A1BC1解析：如圖D43所示，由A1B∥D1C，且A1B

平面ACD1，D1C?平面ACD1，圖D43故直線A1B與平面ACD1

平行，故A正確.BB1∥DD1，DD1與平面ACD1相交，故直線BB1

與平面ACD1相交，故B錯誤.平面A1DC1

與平面ACD1

相交，故C錯誤.由A1B∥D1C，AC∥A1C1，且A1B∩A1C1＝A1，AC∩D1C＝C，故平面A1BC1

與平面ACD1

平行，故D正確.故選AD.答案：AD【題后反思】

(1)判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系的各個定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉最容易判斷的選項進行確定或排除，再逐步判斷其余選項.(2)①結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷；

②特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.考點二直線與平面平行的判定與性質(zhì)[例1]如圖6-4-1所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點.(1)求證：AM∥平面BDE；

(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖6-4-1(1)證明：如圖

6-4-2，記AC與BD的交點為O，連接OE.圖6-4-2因為O，M分別為AC，EF的中點，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因為OE?平面BDE，AM

平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解：l∥m，證明如下.由(1)知AM∥平面BDE，又因為AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM.同理，AM∥平面BDE，又因為AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.【題后反思】證明直線與平面平行的方法(1)線面平行的定義：一條直線與一個平面無公共點.

(2)線面平行的判定定理：關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與已知直線平行的直線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊、成比例線段等，出現(xiàn)平行線或過已知直線作一平面找其交線.

(3)面面平行的性質(zhì)：①兩個平面平行，在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個平面，即α∥β，a?α?a∥β；②兩個平面平行，不在兩個平面內(nèi)的一條直線與其中一個平面平行，則這條直線與另一平面也平行，即α∥β，a

α，a

β，a∥α?a∥β.【變式訓練】

1.如圖6-4-3，四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，點G為線段DM上不與D，M重合的一點，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：GH∥平面PAD.圖6-4-3證明：如圖D44，平面PAG交BD于點H，連接AC交BD于點O，連接MO，圖D44因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點.又M是PC的中點，所以AP∥OM.又知OM?平面BMD，AP

平面BMD.根據(jù)直線和平面平行的判定定理，則有PA∥平面BMD.因為平面PAHG∩平面BMD＝GH，PA?平面PAHG.根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，所以PA∥GH.因為GH

平面PAD，PA?平面PAD，所以GH∥平面PAD.

2.如圖6-4-4，四邊形ABCD是矩形，P

平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點E，交DP于點F，求證：四邊形BCFE是梯形.圖6-4-4證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD.∵AD?平面PAD，BC

平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC?平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四邊形BCFE是梯形.考點三平面與平面平行的判定與性質(zhì)[例2]如圖6-4-5所示，在三棱柱ABC-A1B1C1

中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1

的中點，求證：(1)GH∥平面ABC；(2)平面EFA1∥平面BCHG.圖6-4-5證明：(1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1

中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC，∴GH∥BC.∵GH

平面ABC，BC?平面ABC，∴GH∥平面ABC.(2)∵在三棱柱ABC-A1B1C1

中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1

的中點，∴EF∥BC，A1G

BE，∴四邊形BGA1E是平行四邊形，∴A1E∥BG.∵A1E

平面BCHG，BG?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.同理EF∥平面BCHG.又A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【題后反思】證明面面平行的方法(1)面面平行的定義.(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行. (3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行.(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.

【變式訓練】

1.如圖6-4-6所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點.(1)求證：平面MNQ∥平面PCD；圖6-4-6(2)在線段PD上是否存在一點E，使得MN∥平面ACE？若存(1)證明：∵底面ABCD是平行四邊形，M，N，Q分別為BC，PA，PB的中點，∴NQ∥AB，MQ∥PC.∵AB∥CD，∴NQ∥CD.∵MQ

平面PCD，PC?平面PCD，∴MQ∥平面PCD.同理NQ∥平面PCD.又MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PCD.取PD中點E，連接NE，CE，AE，如圖D45所示.圖D45∵N，E，M分別是AP，PD，BC的中點，且BC

AD，∴NE

MC.∴四邊形MCEN是平行四邊形.∴MN∥CE.∵MN

平面ACE，CE?平面ACE，∴MN∥平面ACE，且

2.如圖6-4-7，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M是AD的中點.過點M且平行于平面PCD的平面交棱PB于圖6-4-7解：設(shè)過點M且平行于平面PCD的平面交棱BC于點N，連接MN，NE，ME，如圖D46所示.圖D46

因為平面MNE∥平面PCD，平面MNE∩平面ABCD＝MN，平面PCD∩平面ABCD＝CD，所以MN∥CD.同理可證EN∥CP.因為M是AD的中點，AB∥CD，所以N是BC的中點.所以E是BP的中點.⊙平行關(guān)系的綜合應(yīng)用三種平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化其中線面平行是核心，線線平行是基礎(chǔ)，要注意他們之間的靈活轉(zhuǎn)化.[例3]如圖6-4-8所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，四邊形EFGH為平行四邊形.圖6-4-8(1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.(1)證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF

平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.又∵AB

平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理可證，CD∥平面EFGH.【題后反思】

利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決.【高分訓練】

如圖6-4-9所示，平面α∥平面β，點A∈α，點C∈α，點B∈β，點D∈β，點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.(1)求證：EF∥平面β；

(2)若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC＝4，BD＝6，且AC，BD所成的角為60°，求EF的長.圖6-4-9

(1)證明：①當

AB，CD在同一平面內(nèi)時，由平面α∥平面β，平面α∩平面ABDC＝AC，平面β∩平面ABDC＝BD，知AC∥BD.∵AE∶EB＝