第02講根的判別式根與系數(shù)關系（核心考點講與練）-2022年暑假新九年級數(shù)學核心考點講與練（蘇科版）

第02講根的判別式、根與系數(shù)關系（核心考點講與練）【基礎知識】一．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．二．根與系數(shù)的關系（1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反過來也成立，即ba=-（x1+x2（3）常用根與系數(shù)的關系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．③不解方程求關于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．【考點剖析】一．根的判別式（共4小題）1．（2022?東坡區(qū)校級模擬）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．不能確定【分析】根據(jù)根的判別式公式，求該方程的判別式，根據(jù)結(jié)果的正負情況即可得到答案．【解答】解：根據(jù)題意得：Δ＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣1）＝49+8＝57＞0，即該方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．【點評】本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關鍵．2．（2022?興化市模擬）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），當a+b+c＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）A．b＝c≠a B．a(chǎn)＝b≠c C．a(chǎn)＝c≠b D．a(chǎn)＝b＝c【分析】利用根的判別式的意義得到Δ＝b2﹣4ac＝0，再把b＝﹣（a+c）代入得到（a+c）2﹣4ac＝0，所以a＝c，b＝﹣2a，由于a≠0，則a≠b，從而可對各選項進行判斷．【解答】解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，∵a+b+c＝0，即b＝﹣（a+c），∴（a+c）2﹣4ac＝0，∴（a﹣c）2＝0，∴a﹣c＝0，即a＝c，∴b＝﹣2a，而a≠0，∴a≠b．故選：C．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．3．（2022?南京一模）若關于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的最小值是12【分析】由方程有兩個相等的實數(shù)根可得出Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：∵方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝9（m﹣2）2﹣8c+4＝0，∴（m﹣2）2=8c-4∵（m﹣2）2≥0，∴8c-49∴c的最小值是12故答案為：12【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關鍵．4．（2022?邗江區(qū)校級開學）已知關于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求證：無論k取何值，方程總有實數(shù)根；（2）若等腰三角形的底邊長3，另兩邊長恰好是這個方程的兩根，求此三角形的周長．【分析】（1）通過計算Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣1）2，由偶次方的非負性可證明結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得該方程由兩個相等的實數(shù)根，結(jié)合根的判別式可求解k值，再將k值代入方程，得到x2﹣4x+4＝0，解方程求出兩腰的長為2，又已知底邊是3，則根據(jù)三角形的周長公式即可求解．【解答】（1）證明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4?（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴無論k取何值，方程總有實數(shù)根；（2）解：∵等腰三角形的底邊長3，∴另兩邊長即為等腰三角形的腰長，∵另兩邊長恰好是這個方程的兩根，∴該方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4?（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0，解得k＝1，將k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．此時△ABC三邊為3，2，2；所以周長為3+2+2＝7．【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式及三角形的周長，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．二．根與系數(shù)的關系（共6小題）5．（2021秋?泰興市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的兩個根為x1、x2，則x1+x2的值為（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系x1+x2=-【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的兩個根，∴x1+x2=-故選：B．【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-ba，x1x6．（2022?工業(yè)園區(qū)校級模擬）已知關于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一個根為2，則另一個根是﹣4．【分析】設另一個根為a，利用根與系數(shù)的關系求出a的值即可．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一個根為2，另一個根為a，∴2+a＝﹣2，解得：a＝﹣4，則另一根是﹣4．故答案為：﹣4．【點評】此題考查了根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．7．（2021秋?鼓樓區(qū)期末）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，證明：x1+x2=-ba，x1?x【分析】利用求根公式表示出方程的兩個根，進而求出兩根之和與兩根之積，即可即可得證．【解答】證明：∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，∴當b2﹣4ac≥0時，x1=-b+b2-4ac2a則x1+x2=-b+x1?x2=-b+b2【點評】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個根是x1，x2，則有x1+x2=-ba，x1?x8．（2021秋?東臺市期末）已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）當該方程的一個根為﹣1時，求m的值及方程的另一根．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ≥0，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出實數(shù)m的取值范圍；（2）將x＝﹣1代入原方程可求出m的值，進而可得出原方程為x2﹣4x﹣5＝0，設另一根為x1，利用根與系數(shù)的關系可得出關于x1的方程，解之即可求出x1的值．【解答】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×m≥0，解得：m≤4，∴實數(shù)m的取值范圍為m≤4．（2）把x＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣4×（﹣1）+m＝0，解得：m＝﹣5，∴原方程為x2﹣4x﹣5＝0．設另一根為x1，則x1+（﹣1）＝4，∴x1＝5，∴m的值為﹣5，方程的另一根為5．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系、根的判別式以及一元二次方程的解，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ≥0時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）牢記“兩根之和等于-ba，兩根之積等于c9．（2021秋?南關區(qū)校級期末）已知關于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求證：不論k取何實數(shù)，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若該方程的一個根為2，求它的另一個根．【分析】（1）首先計算△，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可判斷出Δ＞0，進而得到結(jié)論；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系即可即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝k2+8，∵不論k取何實數(shù)，k2≥0，∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，∴不論k取何實數(shù)，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設方程的另一個根為β，∴2β＝﹣2，∴β＝﹣1，∴另一個根為﹣1．【點評】此題主要考查了根的判別式，以及根與系數(shù)的關系，關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．10．（2022春?宜秀區(qū)校級月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：（1）通過計算，判斷下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣23x+1＝0；（2）已知關于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若關于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關系式．【分析】（1）據(jù)“差根方程”定義判斷即可；（2）根據(jù)x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，從而得到a＝±12（3）設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個實數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到(-ba)2-4?1a=【解答】解：（1）①設x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝4，x1?x2＝﹣5，∴|x1﹣x2|=(∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；②設x1，x2是一元二次方程2x2﹣23x+1＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2=3，x1?x2=∴|x1﹣x2|=(∴方程2x2﹣23x+1＝0是差根方程；（2）x2+2ax＝0，因式分解得：x（x+2a）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2a，∵關于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，∴2a＝±1，即a＝±12（3）設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）的兩個實數(shù)根，∴x1+x2=-ba，x1?x∵關于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，∴|x1﹣x2|＝1，∴|x1﹣x2|=(x1∴b2＝a2+4a．【點評】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系，正確的理解“差根方程”的定義是解題的關鍵．三．一元二次方程的整數(shù)根與有理根（共3小題）11．小明到商場購買某個牌子的鉛筆x支，用了y元（y為整數(shù)）．后來他又去商場時，發(fā)現(xiàn)這種牌子的鉛筆降價20%，于是他比上一次多買了10支鉛筆，用了4元錢，那么小明兩次共買了鉛筆40或90支．【分析】根據(jù)題意，求出降價前后的一支鉛筆的價格，然后再根據(jù)題意列出二元一次方程；最后根據(jù)x、y的取值范圍來解答．【解答】解：y元買了x只鉛筆，則每只鉛筆yx元；降價20%后，每只鉛筆的價格是（1﹣20%）yx，即4y5x，依題意得：4y∴y（x+10）＝5x∴x=∴5﹣y＞0，即y＜5；又∵x、y均是正整數(shù)，∴y的取值為1，2，3，4；∴y只能取3和4；①當y＝3時，x=505-3-10小明兩次共買了鉛筆：15+15+10＝40（支）②當y＝4時，x=505-4-10小明兩次共買了鉛筆：40+（40+10）＝90（支）故答案為：40或90．【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用及一元二次方程的整數(shù)根．解答此題時，要根據(jù)一元二次方程x=505-y-10的y的取值范圍及生活實際中的y12．若關于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整數(shù)，則整數(shù)r的值可以是0或1或7．【分析】利用根與系數(shù)的關系，得出方程的根，在進行分析得出整數(shù)解．【解答】解：當r＝0時，方程為﹣7x+7＝0顯然符合題意當r≠0時，x1+x2=x1x2=r+7∴x1x2﹣（x1+x2）＝﹣1（x1﹣1）（x2﹣1）＝0∴x1＝1，x2＝1．可知方程必有一根為1，則另一根為1+7∴r是7的正約數(shù)，即r＝7或1，∴r＝7，0，1故填：7或0或1．【點評】此題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的應用，題目比較新穎．13．（2020?儀征市一模）定義：若關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根均為整數(shù)，稱該方程為“全整方程”，規(guī)定T（a，b，c）=4ac-b24a為該“全整方程”的（1）判斷方程13x2-23x﹣1＝0是否為“全整方程”，若是，求出該方程的“（2）若關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m為整數(shù)，且滿足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整數(shù)”．【分析】（1）解出方程13x2-23（2）先求出b2﹣4ac＝4m+29，再利用“全整方程”判斷出4m+29是完全平方數(shù)，即可得出結(jié)論．【解答】解（1）是，理由：∵解方程13x2-23x﹣1＝0得x1＝﹣1，∴兩個根均為整數(shù)，滿足定義，∴方程為“全整方程”，∴T（a，b，c）=4×（2）∵一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0，∴b2﹣4ac＝4m+29，∵5＜m＜22，即：49＜4m+29＜117，∵關于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0是“全整方程”，∴b2﹣4ac是完全平方數(shù)，即4m+29是完全平方數(shù)，∴4m+29＝64或81或100，∵m為整數(shù)，∴m=354（舍去），m＝13，m即原方程為x2﹣23x+112＝0，∴T（a，b，c）=4×1×112-(-23【點評】此題主要考查了解一元二次方程的方法，完全平方數(shù)的特征，判斷出49＜4m+29＜117是解本題的關鍵．

【過關檢測】一．選擇題（共5小題）1．（2019秋?蘇州期末）關于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一個實數(shù)根x＝1，則下面關于該方程根的判別式△的說法正確的是（）A．Δ＞0 B．Δ＝0 C．Δ＜0 D．無法確定【分析】先將x＝1代入方程得出a+b＝0，再依據(jù)判別式Δ＝b2﹣4ac計算可得．【解答】解：將x＝1代入方程，得：a﹣2a﹣b＝0，則a+b＝0，Δ＝（﹣2a）2﹣4a?（﹣b）＝4a2+4ab＝4a（a+b）＝0，故選：B．【點評】本題主要考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：①當Δ＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當Δ＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．2．（2021秋?儀征市期末）關于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個不相等實數(shù)根，則整數(shù)a最大是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】若一元二次方程有兩不等實數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立關于a的不等式，求出a的取值范圍．還要注意二次項系數(shù)不為0．【解答】解：∵關于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有兩個不相等實數(shù)根，∴Δ＝4﹣4a＞0且a≠0，解得a＜1且a≠0，則a的最大整數(shù)值是﹣1．故選：D．【點評】考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．3．（2021秋?寶應縣期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情況為（）A．沒有實數(shù)根 B．只有一個實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【分析】先把方程化為一般式，然后進行判別式的值，再根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況即可．【解答】解：方程整理得，x2﹣x+2＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴方程無實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0時，方程無實數(shù)根．4．（2021秋?儀征市期末）已知方程-12（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜A．m＜b＜n＜c B．b＜m＜n＜c C．m＜n＜b＜c D．m＜b＜c＜n【分析】畫出函數(shù)y=-12（x﹣b）（x﹣c）與函數(shù)y【解答】解：由題意，畫出函數(shù)y=-12（x﹣b）（x﹣c）與函數(shù)y∴拋物線開口向下，與x軸的交點為（b，0），（c，0），函數(shù)y＝x+1隨x的增大而增大，且經(jīng)過點（﹣1，0），∵方程-12（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝∴兩函數(shù)的交點的橫坐標為m和n，∵m＜n．b＜﹣1＜0＜c，由圖象可知，m＜b＜n＜c，故選：A．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點及一元二次方程的關系，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，注意理解“函數(shù)y=-12（x﹣b）（x﹣c）與函數(shù)y＝x+1交點的橫坐標為m和5．（2020?南通模擬）已知數(shù)m滿足6＜m＜20，如果關于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（）A．11 B．12 C．m有無數(shù)個解 D．13【分析】由題意得m≠0，若關于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有理根，則△≥0，并且△為有理數(shù)的平方．而△＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，再由m滿足6＜m＜20，確定出△的范圍，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0是一元二次方程，∴m≠0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（2m﹣1）2﹣4m×（m﹣2）＝4m+1，又∵6＜m＜20，∴25＜4m+1＜81，∵如果關于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，∴△為有理數(shù)的平方，∴有無數(shù)個有理數(shù)m，使（4m+1）是有理數(shù)的平方，（如△＝6或7或8或30.25或36或37.21或42.25等），故選：C．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程有理根的判斷方法，掌握判別式是有理數(shù)的平方，此一元二次方程的根是有理數(shù)是解本題的關鍵．二．填空題（共10小題）6．（2019?京口區(qū)校級開學）已知關于x的方程x2+px+q＝0的兩根為﹣4和﹣1，則p＝5，q＝4．【分析】由根與系數(shù)的關系可得出關于p與q的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關于x的方程x2+px+q＝0的兩根為﹣4和﹣1，∴﹣4+（﹣1）＝﹣p，（﹣4）×（﹣1）＝q，∴p＝5，q＝4．故答案為：5；4．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-ba，x1?x2=ca．根據(jù)根與系數(shù)的關系得出﹣4+（﹣1）＝﹣p，（﹣4）×7．（2022?秦淮區(qū)一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，則x+y﹣2xy的值是﹣2．【分析】根據(jù)已知等式得到x，y為一元二次方程a2﹣4a+3＝0的兩根，利用根與系數(shù)的關系求出x+y與xy的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，∴x，y為方程a2﹣4a+3＝0的兩根，∴x+y＝4，xy＝3，則原式＝4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】此題考查了根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解本題的關鍵．8．（2022?鼓樓區(qū)一模）已知關于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，則m+n＝﹣10．【分析】先利用根與系數(shù)的關系得﹣1+3=-m2，﹣1×3=n2【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關系得﹣1+3=-m2，﹣1×解得m＝﹣4，n＝﹣6，所以m+n＝﹣4﹣6＝﹣10．故答案為：﹣10．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2=-ba，x1x9．（2021秋?東西湖區(qū)期中）設x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩實數(shù)根，則x1+x2的值為5．【分析】由根與系數(shù)的關系可直接求得x1+x2的值．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的兩實數(shù)根，∴x1+x2＝5，故答案為5．【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關系，掌握一元二次方程的兩根之和等于-ba、兩根之積等于10．（2021?棲霞區(qū)開學）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩個實數(shù)根，則x1+x2﹣x1x2＝1．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整體代入的方法計算．【解答】解：根據(jù)題意得x1+x2＝4，x1x2＝3，所以x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣x1x2＝4﹣3＝1．故答案為1．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-ba，x1x11．（2020秋?姜堰區(qū)期中）若關于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一個正整數(shù)解，則正整數(shù)a＝1或2．【分析】由一元二次方程的定義可得出a≠0，因式分解法得到（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，再根據(jù)正整數(shù)解的定義，即可求出正整數(shù)a的值．【解答】解：∵方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0是關于x的一元二次方程，∴a≠0，2ax2﹣（a+4）x+2＝0，（2x﹣1）（ax﹣2）＝0，解得x1=12，x2∵關于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一個正整數(shù)解，∴正整數(shù)a＝1或2．故答案為：1或2．【點評】本題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，由方程有一個正整數(shù)解確定a的值是難點．12．（2022春?崇川區(qū)校級月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的兩個根，則（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝1．【分析】利用一元二次方程解的定義得到α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0；根據(jù)根與系數(shù)的關系得到：αβ＝1，然后將其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）進行求值即可．【解答】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的兩個根，∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）＝（0+α）（0+β）＝αβ＝1．故答案是：1．【點評】本題主要考查了一元二次方程解和根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．13．（2022?海安市模擬）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩實根是x1，x2，則x1+x2﹣x1?x2的值是4．【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-ba，x1?x【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的兩實根是x1，x2，∴x1+x2＝3，x1?x2＝﹣1，∴x1+x2﹣x1?x2＝3+1＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-ba，x1?x14．（2021?棲霞區(qū)二模）已知關于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整數(shù)；若k為整數(shù)，則k的值為0或±1．【分析】①當k＝0時，此方程為一元一次方程，求解判斷即可得出結(jié)論；②當k≠0時，此方程為一元二次方程，先用判別式判斷出k為非0實數(shù)，然后利用根與系數(shù)的關系，即可得出結(jié)論．【解答】解：①當k＝0時，原方程可化為﹣x+2＝0，∴x＝2，此種情況符合題意；②當k≠0時，原方程為一元二次方程，∵關于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0有根，∴△＝[﹣（3k+1）]2﹣4k（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，∴k為非0實數(shù)，設關于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0的兩根為x1，x2，根據(jù)根與系數(shù)的關系得，x1+x2=3k+1k=3+1k，x1x∵關于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整數(shù)，∴x1+x2，x1x2也是整數(shù)，∴1k和2∵k為整數(shù)，∴k＝±1，即滿足條件的k為0或±1，故答案為0或±1．【點評】此題主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，用分類討論的思想是解本題的關鍵．15．（2020春?崇川區(qū)校級月考）使得關于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0與x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整數(shù)的整數(shù)m值是1．【分析】先根據(jù)一元二次方程根的判別式確定出m的范圍，進而求出m的值，最后，將m代入方程中，求出方程的解判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：∵關于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0有實數(shù)根，∴△＝16﹣16m≥0，且m≠0，∴m≤1且m≠0，∵關于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0有實數(shù)根，∴△＝16m2﹣4（4m2﹣4m﹣5）＝16m+20≥0，∴m≥-∴-54≤m≤1且∵m為整數(shù)，∴m＝﹣1或m＝1，當m＝1時，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即為x2﹣4x+4＝0，解得，x1＝x2＝2，一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，即為x2﹣4x﹣5＝0，解得，x1＝5，x2＝﹣1，兩方程的解都為整數(shù)，符合題意，當m＝﹣1時，一元二次方程mx2﹣4x+4＝0，即為x2+4x﹣4＝0，解得，x=-4±422=-2即滿足條件的整數(shù)m的值為1，故答案為1．【點評】此題主要考查了一元二次方程的意義，根的判別式，解一元二次方程，確定出m的范圍是解本題的關鍵．三．解答題（共9小題）16．（2020春?張家港市期末）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，當△ABC是直角三角形時，求k的值．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出Δ＝1＞0，進而可證出方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）利用因式分解法可求出AB，AC的長，分BC為直角邊及BC為斜邊兩種情況，利用勾股定理可得出關于k的一元一次方程或一元二次方程，解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三邊關系判定其是否構(gòu)成三角形）即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×（k2+k）＝1＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）解：∵x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，即（x﹣k）[x﹣（k+1）]＝0，解得：x1＝k，x2＝k+1．當BC為直角邊時，k2+52＝（k+1）2，解得：k＝12；當BC為斜邊時，k2+（k+1）2＝52，解得：k1＝3，k2＝﹣4（不合題意，舍去）．答：k的值為12或3．【點評】本題考查了根的判別式、三角形三邊關系以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”；（2）利用勾股定理，找出關于k的方程．17．（2021秋?沭陽縣期末）關于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一根小于2，求k的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ≥0，進而可證出方程總有兩個實數(shù)根；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出原方程的兩個根，結(jié)合方程有一根小于2，即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣（k+1），c＝2k﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，∴方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：∵x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0，即[x﹣（k﹣1）]（x﹣2）＝0，∴x1＝2，x2＝k﹣1，又∵方程有一個根小于2，∴k﹣1＜2，∴k＜3，即k的取值范圍為k＜3．【點評】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ≥0時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）利用因式分解法，求出方程的兩根．18．（2021秋?鼓樓區(qū)校級月考）已知關于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（1）求證：無論m取任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1﹣x2＝2，求m的值．【分析】（1）根據(jù)題意求出△的值，判斷出△的符號即可；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)得到兩根之和和兩根之積，然后把（x1﹣x2）2轉(zhuǎn)化成（x1+x2）2﹣4x1x2，再代入求解即可．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4．∵無論m為任何實數(shù)，（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0．∴無論m為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：由x1﹣x2＝2可得（x1﹣x2）2＝4，∵x1+x2＝﹣（m+2），x1x2＝2m﹣1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝[﹣（m+2）]2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8，即m2﹣4m+8＝4，解得m1＝m2＝2，答：當x1﹣x2＝2時，m的值是2．【點評】本題考查的是根與系數(shù)的關系，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac的關系是解答此題的關鍵．19．（2021秋?海州區(qū)校級期中）已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若此方程的一個根是1，請求出方程的另一個根．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m﹣2）2≥0，進而可證出：不論m為何值，該方程總有兩個實數(shù)根；（2）將x＝1代入原方程可求出m的值，再利用兩根之積等于ca【解答】（1）證明：a＝1，b＝﹣（m+2），c＝2m．∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴不論m為何值，該方程總有兩個實數(shù)根．（2）解：將x＝1代入原方程得：1﹣（m+2）+2m＝0，∴m＝1，∴原方程為x2﹣3x+2＝0．∵2÷1＝2，∴方程的另一個根為2．【點評】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ≥0時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）牢記兩根之積等于ca20．（2021秋?梁溪區(qū)校級期中）已知關于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．（1）求證：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個實數(shù)根；（2）若該方程的一個根為2，求a的值及該方程的另一根．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（a﹣2）2≥0，進而可證出：不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個實數(shù)根；（2）代入x＝2可求出m值，再利用兩根之積等于ca【解答】（1）證明：∵Δ＝a2﹣4×1×（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，∴不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個實數(shù)根；（2）解：將x＝2代入原方程得：4+2a+a﹣1＝0，解得：a＝﹣1，∴原方程為x2﹣x﹣2＝0，∴方程的另一根為﹣2÷2＝﹣1，∴a的值為﹣1，方程的另一根為﹣1．【點評】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ≥0時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）牢記兩根之積等于ca21．（2021秋?阜寧縣期末）定義新運算：對于任意實數(shù)m，n都有m★n＝m2n+n，等式右邊是常用的加法、減法、乘法及乘方運算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根據(jù)以上知識解決問題：（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．（2）若2★a的值小于0，請判斷關于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情況．【分析】（1）根據(jù)新運算得出3（x+1）2+3＝15，解之可得到答案；（2）由2★a的值小于0知22a+a＝5a＜0，解之求得a＜0．再在方程2x2﹣bx+a＝0中由Δ＝（﹣b）2﹣8a≥﹣8a＞0可得答案．【解答】解