題型九二次函數(shù)綜合題類型九二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）

題型九二次函數(shù)綜合題類型九二次函數(shù)與菱形有關(guān)的問題（專題訓(xùn)練）1.（2022·湖南湘潭）已知拋物線．(1)如圖①，若拋物線圖象與軸交于點，與軸交點．連接．①求該拋物線所表示的二次函數(shù)表達式；②若點是拋物線上一動點（與點不重合），過點作軸于點，與線段交于點．是否存在點使得點是線段的三等分點？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．(2)如圖②，直線與軸交于點，同時與拋物線交于點，以線段為邊作菱形，使點落在軸的正半軸上，若該拋物線與線段沒有交點，求的取值范圍．【答案】(1)①，②存在，點P坐標為(2，3)或（，），理由見解析(2)b<或b>【分析】（1）①直接用待定系數(shù)法求解；②先求出直線AB的解析式，設(shè)點M(m，m3)點P（m，m22m3）若點是線段的三等分點，則或，代入求解即可；（2）先用待定系數(shù)法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的長為5，因為四邊形CDFE是菱形，由此得出點E的坐標．再根據(jù)該拋物線與線段沒有交點，分兩種情況（CE在拋物線內(nèi)和CE在拋物線右側(cè)）進行討論，求出b的取值范圍．(1)①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直線AB的解析式為y=x3，設(shè)點M(m，m3)、點P（m，m22m3）若點是線段的三等分點，則或，即或，解得：m=2或m=或m=3，經(jīng)檢驗，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴點P坐標為(2，3)或（，）(2)解：把點D（3，0）代入直線，解得n=4，∴直線，當x=0時，y=4，即點C（0，4）∴CD==5，∵四邊形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴點E（5，4）∵點在拋物線上，∴（3）23b+c=0，∴c=3b9，∴，∵該拋物線與線段沒有交點，分情況討論當CE在拋物線內(nèi)時52+5b+3b9<4解得：b<當CE在拋物線右側(cè)時，3b9>4解得：b>綜上所述，b<或b>【點睛】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)以及圖形的綜合，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合和分情況討論．2．（2021·湖南中考真題）如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點和點，與y軸交于點C．（1）求的值；（2）點為拋物線上的動點，過P作x軸的垂線交直線于點Q．①當時，求當P點到直線的距離最大時m的值；②是否存在m，使得以點為頂點的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由；若存在，請求出m的值．【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由見解析【分析】（1）將A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；（2）①設(shè)點P（m，m22m3），則點Q（m，m），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；②分情況討論，利用菱形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A（1，0），B（3，0），∴，解得：，∴b=，c=；（2）①由（1）得，拋物線的函數(shù)表達式為：y=x2，設(shè)點P（m，m22m3），則點Q（m，m），∵0<m<3，∴PQ=m(m22m3)=m2+3m+3=+，∵1<0，∴當時，PQ有最大值，最大值為；②∵拋物線的函數(shù)表達式為：y=x22x3，∴C（0，3），∴OB=OC=3，由題意，點P（m，m22m3），則點Q（m，m），∵PQ∥OC，當OC為菱形的邊，則PQ=OC=3，當點Q在點P上方時，∴PQ=，即，∴，解得或，當時，點P與點O重合，菱形不存在，當時，點P與點B重合，此時BC=，菱形也不存在；當點Q在點P下方時，若點Q在第三象限，如圖，∵∠COQ=45°，根據(jù)菱形的性質(zhì)∠COQ=∠POQ=45°，則點P與點A重合，此時OA=1OC=3，菱形不存在，若點Q在第一象限，如圖，同理，菱形不存在，綜上，不存在以點O、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，其中，熟練掌握方程的思想方法和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．3.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，點，在軸上，拋物線經(jīng)過點，兩點，且與直線交于另一點．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對稱軸上一點，為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）為軸上一點，過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標為或或或；（3）存在最小值，最小值為，此時點M的坐標為．【分析】（1）由題意易得，進而可得，則有，然后把點B、D代入求解即可；（2）設(shè)點，當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分①當時，②當時，然后根據(jù)兩點距離公式可進行分類求解即可；（3）由題意可得如圖所示的圖象，連接OM、DM，由題意易得DM=EM，四邊形BOMP是平行四邊形，進而可得OM=BP，則有，若使的值為最小，即為最小，則有當點D、M、O三點共線時，的值為最小，然后問題可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形為正方形，，∴，，∴，∴OB=1，∴，把點B、D坐標代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得，拋物線解析式為，則有拋物線的對稱軸為直線，∵點D與點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴，∴由兩點距離公式可得，設(shè)點，當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分：①當時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得，即，解得：，∴點F的坐標為或；②當時，如圖所示：∴由兩點距離公式可得，即，解得：，∴點F的坐標為或；綜上所述：當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標為或或或；（3）由題意可得如圖所示：連接OM、DM，由（2）可知點D與點E關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，，∴，DM=EM，∵過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，∴，∴四邊形BOMP是平行四邊形，∴OM=BP，∴，若使的值為最小，即為最小，∴當點D、M、O三點共線時，的值為最小，此時OD與拋物線對稱軸的交點為M，如圖所示：∵，∴，∴的最小值為，即的最小值為，設(shè)線段OD的解析式為，代入點D的坐標得：，∴線段OD的解析式為，∴．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.（2021·山西中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，連接，．（1）求，，三點的坐標并直接寫出直線，的函數(shù)表達式；（2）點是直線下方拋物線上的一個動點，過點作的平行線，交線段于點．①試探究：在直線上是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形為菱形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；②設(shè)拋物線的對稱軸與直線交于點，與直線交于點．當時，請直接寫出的長．【答案】（1）點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為，直線的函數(shù)表達式為：；直線的函數(shù)表達式為：；（2）①存在，點的坐標為或；②．【分析】（1）分別令和時即可求解，，三點的坐標，然后再進行求解直線，的函數(shù)表達式即可；（2）①設(shè)點的坐標為，其中，由題意易得，，，當時，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，進而可根據(jù)菱形的性質(zhì)分當時，是菱形，當時，是菱形，然后分別求解即可；②由題意可作圖，則由題意可得拋物線的對稱軸為直線，由（1）可得直線的函數(shù)表達式為：；直線的函數(shù)表達式為：，點的坐標為，點的坐標為，進而可得，設(shè)點，然后可求得直線l的解析式為，則可求得點，所以就有，最后根據(jù)面積公式及兩點距離公式可進行求解．【詳解】解：（1）當時，，解得，，∵點在點的左側(cè)，∴點的坐標為，點的坐標為，當時，，∴點的坐標為，設(shè)直線的函數(shù)表達式為，代入點A、C的坐標得：，解得：，∴直線的函數(shù)表達式為：．同理可得直線的函數(shù)表達式為：；（2）①存在．設(shè)點的坐標為，其中，∵點，點的坐標分別為，，∴，，，∵，∴當時，以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，當時，是菱形，如圖所示：∴，解得，（舍去），∴點的坐標為，∴點的坐標為；當時，是菱形，如圖所示：∴，解，得，（舍去），∴點的坐標為，∴點的坐標為；綜上所述，存在點，使得以，，，為頂點的四邊形為菱形，且點的坐標為或；②由題意可得如圖所示：由題意可得拋物線的對稱軸為直線，由（1）可得直線的函數(shù)表達式為：；直線的函數(shù)表達式為：，點的坐標為，點的坐標為，∴點，，∴，設(shè)點，∵，∴設(shè)直線l的解析式為，把點M的坐標代入得：，解得：，∴直線l的解析式為，∴聯(lián)立直線l與直線AC的解析式得：，解得：，∴，∴點，∵點是直線下方拋物線上的一個動點，且，∴點M在點N的上方才有可能，∴，∴，解得：（不符合題意，舍去），∴，∴由兩點距離公式可得．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合及菱形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合及菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.（2021·內(nèi)蒙古）如圖，拋物線交x軸于，兩點，交y軸于點C，動點P在拋物線的對稱軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）當以P，B，C為頂點的三角形周長最小時，求點P的坐標及的周長；（3）若點Q是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點Q，使得以A，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)；(2)P點坐標為(1,2)，的周長最小值為；(3)Q點坐標存在，為(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)【分析】(1)將，代入即可求解；(2)連接BP、CP、AP，由二次函數(shù)對稱性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，當C、P、A三點共線時，△PBC的周長最小，由此求出AC解析式，將P點橫坐標代入解析式中即可求解；(3)設(shè)P點坐標為(1，t)，Q點坐標為(m，n)，按AC為對角線，AP為對角線，AQ為對角線分三種情況討論即可求解．【詳解】解：(1)將，代入二次函數(shù)表達式中，∴，解得，∴二次函數(shù)的表達式為：；(2)連接BP、CP、AP，如下圖所示：由二次函數(shù)對稱性可知，BP=AP，∴BP+CP=AP+CP，BC為定直線，當C、P、A三點共線時，有最小值為，此時的周長也最小，設(shè)直線AC的解析式為：，代入，∴，解得，∴直線AC的解析式為：，二次函數(shù)的對稱軸為，代入，得到，∴P點坐標為(1,2)，此時的周長最小值=；(3)設(shè)P點坐標為(1，t)，Q點坐標為(m，n)，分類討論：情況一：AC為菱形對角線時，另一對角線為PQ，此時由菱形對角互相平分知：AC的中點也必定是PQ的中點，由菱形對角線互相垂直知：，∴，解得，∴P點坐標為(1，1)，對應(yīng)的Q點坐標為(2，2)；情況二：AP為菱形對角線時，另一對角線為CQ，同理有：，解得或，∴P點坐標為(1，)或(1，)，對應(yīng)的Q點坐標為(4，)或(4，)；情況三：AQ為菱形對角線時，另一對角線為CP，設(shè)P點坐標為(1，t)，Q點坐標為(m，n)，同理有：，解得或，∴P點坐標為(1，)或(1，)，對應(yīng)的Q點坐標為(2，)或(2，)；縱上所示，Q點坐標存在，為(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)對稱性求線段最值問題及菱形的存在性問題，本題第三問難度大一些，熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6.（2020?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c與直線AB相交于A，B兩點，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為直線AB下方拋物線上的任意一點，連接PA，PB，求△PAB面積的最大值；（3）將該拋物線向右平移2個單位長度得到拋物線y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，點D為原拋物線對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在點E，使以點B，C，D，E為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；（2）△PAB面積S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）=-（3）分BC為菱形的邊、菱形的的對角線兩種情況，分別求解即可．【解析】（1）將點A、B的坐標代入拋物線表達式得-4=9-3b+cc=-1，解得故拋物線的表達式為：y＝x2+4x﹣1；（2）設(shè)直線AB的表達式為：y＝kx+t，則-4=-3k+tt=-1，解得故直線AB的表達式為：y＝x﹣1，過點P作y軸的平行線交AB于點H，設(shè)點P（x，x2+4x﹣1），則H（x，x﹣1），△PAB面積S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）=-∵-32＜0，故S有最大值，當x=-32（3）拋物線的表達式為：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，則平移后的拋物線表達式為：y＝x2﹣5，聯(lián)立上述兩式并解得：x=-1y=-4，故點C（﹣1，﹣4設(shè)點D（﹣2，m）、點E（s，t），而點B、C的坐標分別為（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；①當BC為菱形的邊時，點C向右平移1個單位向上平移3個單位得到B，同樣D（E）向右平移1個單位向上平移3個單位得到E（D），即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且