浙江省十校聯(lián)盟2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

浙江省十校聯(lián)盟2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.42．已知是橢圓右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與圓相切于點(diǎn)，且，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.3．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)，均在y軸上，橢圓C的面積為，且短軸長(zhǎng)為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.4．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且，則當(dāng)取最大值時(shí)的值為（）A. B.C. D.5．若，則與的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定6．若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.27．為迎接2022年冬奧會(huì)，某校在體育冰球課上加強(qiáng)冰球射門(mén)訓(xùn)練，現(xiàn)從甲、乙兩隊(duì)中各選出5名球員，并分別將他們依次編號(hào)為1，2，3，4，5進(jìn)行射門(mén)訓(xùn)練，他們的進(jìn)球次數(shù)如折線圖所示，則在這次訓(xùn)練中以下說(shuō)法正確的是（）A.甲隊(duì)球員進(jìn)球的中位數(shù)比乙隊(duì)大 B.乙隊(duì)球員進(jìn)球的中位數(shù)比甲隊(duì)大C.乙隊(duì)球員進(jìn)球水平比甲隊(duì)穩(wěn)定 D.甲隊(duì)球員進(jìn)球數(shù)的極差比乙隊(duì)小8．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.無(wú)數(shù)個(gè) D.0或無(wú)數(shù)個(gè)9．如圖，奧運(yùn)五環(huán)由5個(gè)奧林匹克環(huán)套接組成，環(huán)從左到右互相套接，上面是藍(lán)、黑、紅環(huán)，下面是黃，綠環(huán)，整個(gè)造形為一個(gè)底部小的規(guī)則梯形．為迎接北京冬奧會(huì)召開(kāi)，某機(jī)構(gòu)定制一批奧運(yùn)五環(huán)旗，已知該五環(huán)旗的5個(gè)奧林匹克環(huán)的內(nèi)圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環(huán)圓心水平距離為2.6，兩排圓環(huán)圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為（）A. B.2.8C. D.2.910．由小到大排列的一組數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，另一組數(shù)據(jù)2、的中位數(shù)可以表示為（）A. B.C. D.11．在等差數(shù)列中，，則的公差為（）A.1 B.2C.3 D.412．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，線段的垂直平分線過(guò)，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（）A. B.3C.6 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____14．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱、的中點(diǎn)，G為面對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積的最小值為_(kāi)__________.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，以為圓心的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與拋物線的準(zhǔn)線相切，切點(diǎn)為，線段交拋物線于點(diǎn)，則___________.16．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則的最小值為_(kāi)________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線被C截得的線段長(zhǎng)為3（1）求C的方程；（2）若直線：與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)，且，求m的值18．（12分）已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性：（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍19．（12分）兩個(gè)頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，邊、所在直線的斜率之積等于，頂點(diǎn)的軌跡記為.（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，求直線的方程；（3）已知點(diǎn)為軌跡的下頂點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)在軌跡上，求的最大值.20．（12分）如圖，在梯形中，，，平面，四邊形為矩形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則三棱錐F-ABC的體積為多少？21．（12分）已知函數(shù)．其中e為然對(duì)數(shù)的底數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)22．（10分）過(guò)原點(diǎn)O的圓C，與x軸相交于點(diǎn)A(4,0)，與y軸相交于點(diǎn)B(0,2)(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l過(guò)B點(diǎn)與圓C相切，求直線l的方程，并化為一般式

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)閳A，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B2、A【解析】結(jié)合橢圓的定義、勾股定理列方程，化簡(jiǎn)求得，由此求得離心率.【詳解】圓的圓心為，半徑為.設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，由于，所以，所以，所以，由于，所以，所以，，.故選：A3、C【解析】設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)已知條件，求得，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，故可設(shè)其方程為，根據(jù)題意可得，，故可得，故所求橢圓方程為：.故選：C.4、D【解析】由橢圓的定義及雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得，，的關(guān)系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此時(shí)的的值.【詳解】設(shè)為第一象限的交點(diǎn)，、，則、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)故選：D5、B【解析】由題知，進(jìn)而研究的符號(hào)即可得答案.詳解】解：，所以，即.故選：B6、A【解析】先求出漸近線方程，進(jìn)而將點(diǎn)代入直線方程得到a,b關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，而一條漸近線過(guò)點(diǎn)，則，.故選：A.7、C【解析】根據(jù)折線圖，求出甲乙中位數(shù)、平均數(shù)及方差、極差，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題圖，甲隊(duì)數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，乙?duì)數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?，所以甲乙兩?duì)的平均數(shù)都為5，甲、乙進(jìn)球中位數(shù)相同都為5，A、B錯(cuò)誤；甲隊(duì)方差為，乙隊(duì)方差為，即，故乙隊(duì)球員進(jìn)球水平比甲隊(duì)穩(wěn)定，C正確.甲隊(duì)極差為6，乙隊(duì)極差為4，故甲隊(duì)極差比乙隊(duì)大，D錯(cuò)誤.故選：C8、D【解析】利用等比數(shù)列的求和公式討論公比的取值即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以無(wú)解，即方程的解的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，綜上，關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為0或無(wú)數(shù)個(gè).故選：D.9、C【解析】根據(jù)題意作出輔助線直接求解即可.【詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點(diǎn)，連接，所以，，又因?yàn)?，所以，所以即相鄰兩個(gè)相交的圓的圓心之間的距離為.故選：C10、C【解析】先根據(jù)題意對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，然后由中位數(shù)的定義求解即可【詳解】因?yàn)橛尚〉酱笈帕械囊唤M數(shù)據(jù)：，其中每個(gè)數(shù)據(jù)都小于，所以另一組數(shù)據(jù)2、從小到大的排列為，所以這一組數(shù)的中位數(shù)為，故選：C11、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得方程組，求得公差.【詳解】等差數(shù)列中,,，由通項(xiàng)公式可得解得故選：A12、C【解析】利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示，再利用均值不等式得到答案【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸，雙曲線實(shí)軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，.，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為6，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長(zhǎng)軸長(zhǎng)表示是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)后令求出切線斜率，即可寫(xiě)出切線方程.【詳解】由題意知：，當(dāng)時(shí)，，故切線方程為，即.故答案為：.14、【解析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系，則，設(shè)，球心，得到外接球半徑關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求出的最小值，即可得到答案；【詳解】解：以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.則，設(shè)，球心，，又.聯(lián)立以上兩式，得，所以時(shí)，，為最小值，外接球表面積最小值為.故答案為：.15、【解析】分析可知為等腰三角形，可得出，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可求得的值，可得出拋物線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，其中，分析可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示求出的值，進(jìn)而可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線的定義結(jié)合已知條件可知，則為等腰三角形，易知拋物線的焦點(diǎn)為，故，即點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，解得，所以，拋物線的方程為，故點(diǎn)、，因?yàn)橐渣c(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線相切于點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，其中，，，由題意可知，則，整理可得，解得，因此，.故答案為：.16、16【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，由，即可得也是等比數(shù)列，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可求出的最小值.【詳解】是等比數(shù)列，，即，也是等比數(shù)列，且，，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為16.故答案為：16三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)可得且，求出，即可得橢圓方程.（2）聯(lián)立直線l和橢圓C并整理為關(guān)于x的一元二次方程，由求出m的范圍，再應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求，進(jìn)而可得線段AB的中垂線，同理聯(lián)立曲線C求相交弦長(zhǎng)，再由已知條件求m值，注意其范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意知，，則，令，可得，由題設(shè)有，則，所以C的方程為【小問(wèn)2詳解】聯(lián)立方程得：，由，得設(shè)，，則，，所以，另一方面，，即線段AB的中點(diǎn)為，所以線段AB的中垂線方程為令，聯(lián)立方程得：同理求法，可得：，即因此，解得，故18、（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）【解析】（1）求導(dǎo)得，在分，兩種情況討論求解即可；（2）根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)最值即可.【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，令，得，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得，令，得綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以對(duì)恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立設(shè)函數(shù)，則，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，所以，則，所以在上單調(diào)遞減，所以；故，即的取值范圍是19、（1）（2）（3）【解析】（1）先表示出邊、所在直線的斜率，然后根據(jù)兩條直線的斜率關(guān)系建立方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出直線的斜率；（3）先表示出，然后利用橢圓的性質(zhì)，進(jìn)而確定的最大值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)，則由可得：化簡(jiǎn)得：故頂點(diǎn)的軌跡的方程：【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組消去可得：設(shè)直線與軌跡的交點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為由韋達(dá)定理得：點(diǎn)為、兩點(diǎn)的中點(diǎn)，可得：，即則有：解得：故求直線的方程為：【小問(wèn)3詳解】由（1）可知，設(shè)則有：又點(diǎn)滿足，即由橢圓的性質(zhì)得：所以當(dāng)時(shí)，20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）先證線面垂直，再證面面垂直即可解決；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求平面與平面所成銳二面角的余弦值，列方程解得的長(zhǎng)度，即可求得三棱錐F-ABC的體積.【小問(wèn)1詳解】在梯形中，，，，所以，，又，所以，所以，又所以，即又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，即平面又平面，則平面平面【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，，所以，令則，，，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得解得，取，則，又是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，即解之得，又，故即21、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【解析】(1)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于零求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零求減區(qū)間；(2)求導(dǎo)數(shù)，分、、a＞2討論函數(shù)f(x)單調(diào)性和零點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，易知定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，x正0負(fù)0正單增極大值單減極小值單增當(dāng)時(shí)，恒成立，∴；當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，，∴無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，∴有1個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，∴有2個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用22、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則分別代入原點(diǎn)和，得到方程組，解出即可得到；（2）由（1）得到圓心為，半徑，由于直線過(guò)點(diǎn)與圓相切，則分別討論斜率存在與否，運(yùn)用直線與圓相切的條件：，解方程