遼寧省沈陽市二十中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

遼寧省沈陽市二十中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線的斜率為，則的傾斜角為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，.則使得的值為（）A. B.C. D.3．在棱長均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.64．若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.且5．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，則A. B.C. D.6．某一電子集成塊有三個元件a，b，c并聯(lián)構(gòu)成，三個元件是否有故障相互獨(dú)立．已知至少1個元件正常工作，該集成塊就能正常運(yùn)行．若每個元件能正常工作的概率均為，則在該集成塊能夠正常工作的情況下，有且僅有一個元件出現(xiàn)故障的概率為（）A. B.C. D.7．在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點(diǎn)，下列敘述正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面8．等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.2089．正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，，分別是，的中點(diǎn)，則與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．將直線繞著原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率是（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則的值為（）A. B.C. D.12．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長等于（）A. B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的實(shí)軸長為____14．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________15．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計公報顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進(jìn)出口總額x，y滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計劃2022年出口總額達(dá)到5千億元，預(yù)計該年進(jìn)口總額為______千億元16．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，則的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M（1）求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m，n表示）；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N，問：y軸上是否存在點(diǎn)Q（不與O重合），使得？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由18．（12分）已知函數(shù)（其中a常數(shù)）（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，時，的最小值為4，求a的值19．（12分）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），（），.（1）若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；（2）若方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，，，（）（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值；（3）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼成一個新的四棱柱，規(guī)定：若拼成的新四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問共有幾種不同的拼接方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的解析式．（直接寫出答案，不必說明理由）21．（12分）已知為直角梯形，，平面，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，滿足，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列對任意都有恒成立，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)直線l傾斜角為，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】設(shè)直線l的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率是，可得，又因?yàn)?，所以，即直線的傾斜角為.故選：C.2、B【解析】由，求得，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)時，適合上式，所以，則，所以.故選：B.3、C【解析】設(shè)，，，利用結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可得到答案.【詳解】設(shè)，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C4、A【解析】根據(jù)雙曲線定義，且焦點(diǎn)在y軸上，則可直接列出相關(guān)不等式.【詳解】若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則必有：，且解得：故選：5、B【解析】設(shè)，則，若函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點(diǎn)即有正根，當(dāng)有成立時，顯然有，此時．由，得參數(shù)a的范圍為．故選B考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值6、A【解析】記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現(xiàn)故障，進(jìn)而結(jié)合對立事件的概率公式得，再根據(jù)條件概率公式求解即可.【詳解】解：記事件為該集成塊能夠正常工作，事件為僅有一個元件出現(xiàn)故障，則為該集成塊不能正常工作，所以，，所以故選：A7、D【解析】利用反證法可判斷A選項(xiàng)；利用面面垂直的性質(zhì)可判斷BC選項(xiàng)；利用面面垂直的判定可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，平面，平面，平面，若平面，因?yàn)?，則平面平面，事實(shí)上，平面與平面相交，假設(shè)不成立，A錯；對于B選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，而過作平面的垂線，有且只有一條，故與平面不垂直，B錯；對于C選項(xiàng)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，則，，，則平面，若平面平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，平面，而過點(diǎn)作平面的垂線，有且只有一條，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四邊形為菱形，、不一定垂直，C錯；對于D選項(xiàng)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，平面，平面，，，平面，因?yàn)槠矫?，因此，平面平面平面，D對.故選：D.8、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，故選：D9、C【解析】以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PB與平面PEF所成角的正弦值.【詳解】∵正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴以P為原點(diǎn)，PA為x軸，PB為y軸，PC為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，設(shè)平面PEF的法向量，則，取，得，設(shè)PB與平面PEF所成角為，則，∴PB與平面PEF所成角的正弦值為.故選：C.10、B【解析】由題意知直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，將直線繞著原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到新直線的斜率為，化簡求值即可得到答案.【詳解】由知斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，將直線繞著原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，則故新直線的斜率是.故選：B.11、A【解析】由可求得，利用可構(gòu)造方程求得.【詳解】，，，，，解得：.故選：A.12、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知條件求得，由此求得實(shí)軸長.【詳解】由于，雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線與軸夾角小于，由得，實(shí)軸長故答案為：14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】解：因，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：15、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過點(diǎn)，由，解得，此時，，當(dāng)時，即，解得，所以，預(yù)計該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.6516、【解析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式建立函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)計算最值作答.【詳解】橢圓的右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，則，即，且，于是得，因，則當(dāng)時，，所以的最大值為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）存在或，使得，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)離心率，及求出，，進(jìn)而得到橢圓方程及用m，n表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）假設(shè)存在，根據(jù)得到，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，得到，結(jié)合得到，從而求出答案.【小問1詳解】由離心率可知：，又，，解得：，，故橢圓C：，直線PA為：，令得：，所以；【小問2詳解】存在或，使得，理由如下：假設(shè)，使得，則，其中，直線：，令得：，則，，解得：，其中，故，所以，所以或18、（1）；（2）.【解析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式為，然后解不等式，可得答案；（2）由計算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】（1），令，解得.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）當(dāng)時，，所以，所以，解得.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構(gòu)造新函數(shù)，由方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解問題，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，所以過該切點(diǎn)的切線的斜率為，因此該切線方程為：，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，所以，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，且函數(shù)過原點(diǎn)，所以曲線的切點(diǎn)為，于是有，即；【小問2詳解】由可得：，當(dāng)時，顯然不成立，當(dāng)時，由，設(shè)函數(shù)，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為，而，當(dāng)時，，函數(shù)圖象如下圖所示：方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象，在當(dāng)時，有兩個不同的交點(diǎn)，由圖象可知：，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用常變量分離法，結(jié)合轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.20、（1）證明見解析（2）（3）【解析】（1）取得中點(diǎn)，連接，可證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理可得，即，又側(cè)棱底面，可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量公式即可得出；（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案，新四棱柱共有此4種不同方案．寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，，四邊形是平行四邊形，，且，，，，又，側(cè)棱底面，，，平面（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，設(shè)與平面所成角為，則，解得，故所求（3）由題意可與左右平面，，上或下面，拼接得到方案新四棱柱共有此4種不同方案寫出每一方案下的表面積，通過比較即可得出【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理的應(yīng)用，利用向量求線面角、柱體的定義應(yīng)用和表面積的求法，意在考查學(xué)生的直觀想象能力，邏輯推理能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及化歸與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題21、（1）證明見解析；（2）.【解析】建立空間直角坐標(biāo)系.（1）方法一，利用向量的方法，通過計算，，證得，，由此證得平面.方法二，利用幾何法，通過平面證得，結(jié)合證得，由此證得平面.（2）通過平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，.（1）證明法一：因?yàn)?，，，所以，，所以，，，平面，平面，所以平?證明法二：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，即，，平面，平面，所以平?（2）由（1）知平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量，又，，且所以所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要