（中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類）填空中檔題：幾何綜合題附解析

專題04填空中檔題：幾何綜合題

一、填空題

1.(2023?天津?統(tǒng)考中考真題)如圖,在邊長為3的正方形A8CQ的外側(cè)，作等腰三角形

ADE,EA=ED=.

2

(1)VADE的面積為；

(2)若F為BE的中點,連接AF并延長,與8相交于點G,則AG的長為.

【答案】3V13

【分析】(1)過點￡作EHA.AD,根據(jù)正方形和等腰三角形的性質(zhì)，得到A”的長,再利用勾股定理,求出

EH的長，即可得到VAD石的面積；

⑵延長七”交AG于點K,利用正方形和平行線的性質(zhì)，證明AABF燈KEF(ASA),得到EK的長,進(jìn)而得到

K”的長,再證明△AZ/KSAWG,得到舞=金，進(jìn)而求出G的長,最后利用勾股定理,即可求出AG的

GDAD。

長.

【詳解】解：(1)過點￡作石“_14),

.?正方形45CD的邊長為3,

二.AD=3,

IAOE是等腰三角形，EA=ED=-tEHLAD,

13

..AH=DH=-AD=-,

22

在Rt中，EH=SIAE2-AH2

:.SADE=^ADEH=^X3X2=3,

故答案為：3;

⑵延長“/交AG于點A；

正方形48co的邊長為3,

.\ZBAD=ZAPC=90°,AB=3,

?.ABJ.AD,CD1AD,

EK-AD,

AR//FK//CD,

:.ZABF=ZKEF,

產(chǎn)為BE的中點,

:.BF=EF,

在△/IB產(chǎn)和AK砂中，

ZABF=NKEF

BF=EF,

NAFB=/KFE

.??A5/9.KM（ASA）,

:.EK=AB=3,

由（1）可知，AH=^AD,EH=2,

KH//CD,

.,.△/V/KSAADG,

.KHAH

"~GD~~AD'

\GD=2,

在RtVADG中,AG=>JAD2+GD2=>/32+22=713,

故答案為：\7T3.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性

質(zhì),勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵.

2.（2022?天津?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形AHCO的邊長為2,NDA8=60°,￡為A8的中點，〃為CE的

中點，4'與OE相交于點￡則G尸的長等于.

【答案】叵

4

【分析】連接冏作CG_LAB交仍的延長線于點G.由菱形的性質(zhì)得出

NCBG=/DAB=600,49=AB=3C=8=2,解直角及由C求出CG=右，8G=1,推出所為AECG的中位線,

進(jìn)而求出FB,利用勾股定理求出AF,再證明MEGAAM,得出AG=GF=^AF.

【詳解】解：如圖，連接外,作CG_LAB交力〃的延長線于點6.

???四邊形A8CO是邊長為2的菱形，

/.AD//BC,AD=AB=BC=CD=2,

VZDAB=60°,

NCBG=NDAB=60。,

/.CG=BCsinNCBG=2x±=G

2

BG=BCcosNCBG=2xL1,

2

為AB的中點，

:.AE=EB=lt

???BE=BG,即點8為線段用的中點,

又???尸為CE的中點，

???/%為AECG的中位線，

???FB//CG,FB=-CG=—,

22

???FBLAB.即AABF是直角三角形，

在AAED和MGC中,

AD=BC

<NDAE=NCBG,'

AE=BG

作GMLCD,垂足為點和

TG點為郎中點，

???GV是△旌的中位線,

：.GM=^CE=1,A^C=^FC=^(CD+DF)=^x(4+1)=|,

53

:.MH=MC-HC=--1=~,

22

在Rt小MHG中,GH=\lMH2+MG2

故答案為：叵

2

【點睛】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能作出

輔助線構(gòu)造直角三角形，得到三角形的中位線,利用三角形中位線定理求出相應(yīng)線段的長,利用勾股定理解

直角三角形等.

4.（R23?天津河西?統(tǒng)考一模）如圖，YA8CD中，A8=2,8C=4,NC=120。，點￡是伙;邊的中點，連接

￡）￡尸是E。的中點,連接AF,則"'的長為.

【答案】幣

【分析】連接AE,由題意易得4EQ=90°,NWE=30。，然后根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理

可進(jìn)行求解.

【詳解】解：連接4E,如圖所示：

???四邊形ABC。是平行四邊形，

JAD=BC=4,AB=CD=2,AD//BC,AB//CD,

VZC=120°,

/B=60°,

???點￡是5。邊的中點，

:.BE=EC=2=AB=AD,

：.^ABE是等邊三角形，ZDEC==30。，

/.ZAEB=60°,AB=AE=2,

JAAED=180°-ZAEB-/DEC=90°,ZADE=/DEC=30°,

，在RtAAED中，DEMJAD-AE?=2瓜

???點"是EZ）的中點，

：.EF=4,

工在RQAE/中，AF=yjEF2+AE2=V7；

故答案為g.

【點睛】本題主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定及平行四邊形的

性質(zhì)，熟練掌握勾股定埋、含30度直角二角形的性質(zhì)、等邊二角形的性質(zhì)與判定及平行四邊形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

5.（2023?天津和平?統(tǒng)考一模）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABC。，NA3c=60。，對角線3。平分—4X1,過點8

作班:〃CO交的延長線于點E,若"）=2,DC=3,則_BDE的面積為.

【答案］空叵

4

【分析】首先證明NA8C=NBC4=N84C=60。，再過點/作AM_LCO,垂足為點黑過點B作BNLAC,垂

足為點N.根據(jù)虱邊形皿〃=5做+54，分別求出48C,.MC。的面積，即可求得四邊形A8CD的面積，然

后通過證得aEAB蘭.DCB,即可求得△8QE的面積二四邊形ABCD的面積.

【詳解】???四邊形ABCO內(nèi)接于圓，

/./ARC+/Anc=mr,

VzS4eC=60°,

???NADC=120°,

YOB平分NADC,

Z.ZADB=NCDB=g

：.ZACB=ZADB=60°,ABAC=NCDB=60°,

：.ZABC=NBCA=ABAC=60°,

???MBC是等邊三角形，

過點力作AMCD,垂足為點機(jī)過點5作BN1AC,垂足為點N,

：.ZWD=90°,

VZADC=120°,

:.ZADM=60。，

ZDAM=3Cf,

/.DM=-AD=\,AM=4AD1-DM2=722-12=瓜

2

,?CD=3,

ACW=CD+DAf=1+3=4,

8AM=卜乂氏手，

RtAz\A/C中，ZAMD=90°,

AC=\lAM2+CM2=J3+16=M,

???.ABC是等邊三角形，

AB=BC=AC=y/\9,

BN=—BC=—

22y

.c145719G

-5MBC=TxVl9x——,

:.四邊形A8CO的面積=吆叵+還=至叵，

424

'：BE//CD,

:.Z￡+ZAZ)C=180°,

*/ZADC=120°,

/.Z￡=60°,

J空二NBDC,

???四邊形ABC。內(nèi)接于OO,

:.NEAB=NBCD,

在aEAB和中，

NE=NBDC

<NEAB=NDCB,

AB=BC

???EABmDCB,

???/XBOE的面積=四邊形48CD的面積=空叵.

4

故答案為：空叵

4

【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識,解題的

關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

6.(2023?天津南開?統(tǒng)考一模)如圖，正方形A8CD中，￡為8c上一點，過8作8G_LAE于G,延長BG至

點尸便ZCFB=45°,延長FC、AE交于點機(jī)連接8M,若C為尸M中點，BM=1(),則FG的長為.

【答案】46

【分析】過。點作8_L8產(chǎn)于〃點，證明SGB-BHC,得出AG=CH,證明C7/=gGM,根據(jù)勾股定理求

出GM,根據(jù)等腰三角形的判定求出FG=GM即可解決問題.

【詳解】解：過C點作于〃點，如圖所示：

A\D

F

與

???四邊形4BCO為正方形，

AB=BC=CD=AD,ZABC=NBCD=ZADC=/BAD=90°,

,:AGA.BF,CHI.BF,

:.ZAGB=/BHC=9O0,

AZABG+ZBAG=90°,4BE+N4BG=9(F,

???^BAG-ZFBE,

在和△B〃C中，

,/ZAGB=/BHC,/BAG=NHBC,AB=BC,

：.AGB^ABHC(AAS),

BG=CH,

YC為尸”的中點，

：.CF=-MF,

2

VC//1GF,AG_LB尸，

：.CH//GM,

.CTCF1

：,CH=-GM,

2

???BG=-GM,

2

?：8朋=10,NBGM=90°,

:.BG2+GM2=BM2,

???BG2+(2BG)2=102,解得：BG=2石，負(fù)值舍去，

，GM=46，

■:/FGM=90°,4GFM=45°,

，/GMF=90°-45°=45°,

NGFM=NGMF,

/.FG=GM=4右.

故答案為：4逐.

【點睛】本題主要考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是作出輔助線,構(gòu)造全等一:角形,證明

7.（2023-天津紅橋?統(tǒng)考一模）如圖，已知正方形"CQ的邊長為8,￡為4）的中點，尸為防上一點，且

EF=3FB,若G,〃分別為BE,CF的中點,連接GH,則GH的長為.

［分析］根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理可得EF=3右，取EG的中點M,連接CM,過點M作MN_LCO于

點N,過點七作EQ_LMN于點Q,得矩形DEQN，然后證明sAm,得筆=器，所以4=2QM,利用

ABAE

勾股定理求出QM=1,則石Q=2,求出0知=病，再根據(jù)三角形中位線定理即可解決問題.

【詳解】解：〈正方形A8CD的邊長為8,E為AO的中點，

AE=DE=-AD=4,

2

:.BE=QAB2+AE2=jT+42=46,

、EF=3FB,

：.BE=EF+BF=4BF=4后,

：.BF=6

:.EF=3★,

如圖，取￡G的中點M,連接CM,過點M作MN_LC￡＞于點N,過點E作EQ_LMN于點Q,

得矩形DEQN,

:DN=EQ,DE=NQ=4,EQ||DN

NQEM=NEBA,

NEQM=ZA=90°,

EQMs.BAE,

.EQ=QM

"盜一運’

?絲=空=2

-QMAE'

EG=BG=-BE=245,

M是EG的中點，

，EM=；EG=B

:.EM=MG=GF=FB=M,

設(shè)QM=x，則EQ=2x,

QM2+EQ2=EM2,

.?./+(2x)2=(石)2,

X-1,

.3=1,則EQ=2,

;.MN=NQ+QM=4+1=5,

.CN=DC-DN=DC-EQ=S-2=6f

:.CM=JMM+CN?=>/52+62=而,

G,，分別為叱，CF的中點，

/.GH=-CA/=—.

22

故答案為：叵.

2

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線定理,相似三角形的判定與性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是得到

EQM^ABAE.

8.（2023?天津東麗?統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCO的邊長為4,點E是BC邊中點，G”垂直平分OE且分

別交MB、CEt于點G、〃，則AG的長為.

【答案】1/0.5

【分析】連接GZXGE,設(shè)AG=x，則GB=4-x,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得GD=GE,

則G。2=GE2.根據(jù)勾股定理列方程求出x即可得AG的長.

【詳解】

連接GZXGE,設(shè)AG=x,

???四邊形48co是正方形,且邊長為4,

AD=AB=BC=4tZA=NB=90。，

：.GB=4-x,

?.?E是中點，

:.BE=2.

???GH重直平分0E,

:.GD=GE,

GD2=GE2,

2222

AD+AG=GB+BEf

:.42+X2=（4-X）2+22,

解得/=",

/.AG=-.

2

故答案為：g

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理.設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列

方程是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?天津河?xùn)|-一模）已知，如圖，已知菱形A8CD的邊長為6,NABC=60°,點￡少分別在48,C8的

延長線上，且廠="8,G是。尸的口點，連接GE,則GE的長是.

【答案】a

［分析］取CF的中點M,連接GM,過點B作BHLCM于點H,過點E作EK_LGM于點K,分另U求出

GK,EK的長,利用勾股定理即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???菱形A3CD的邊長為6,N4BC=60。，

AB=BC=CD=6,CD//AB/EBF=ZABC=60°,

:.BE=BF=-AB=2,

3

；?CF=BC+BF=8,

取C戶的中點“，連接GM,則：MF=；CF=4,BM=MF-BF=2,

是。尸的中點，

,MC=-CD=\MG//CD

2.

：.MG//AB,

過點3作3”_LCM于點H,過點七作EKJ_GM于點K,

則BH//KE,/BHK=NBHM=90°,

???四邊形BEK”為矩形，

，HK=BE=2,BH=EK,ZABH=9（f,

■:ZAfiC=60°,

：.ZMBH=30°,

：.MH=*M=\,BH=\IBM2-MH2=6,

GK=GMiMHIHK^3\\I2=6,BH=EK=g,

??GE=y］GK2+EK2=739；

故答案為：回.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，含30度的直角三角形.解題的關(guān)

鍵是添加輔助線,構(gòu)造特殊圖形.

10.（2023?天津?校聯(lián)考一模）如圖，矩形A8C。對角線AC,BD相交于點O,E為OB上一點，連接CE,尸

為CE的中點,ZEOF=90.若OE=3,O尸=2,則BE的長為.

【答案】2

【分析】如圖，連接4E,。尸是A4CE的中位線，則。尸=“&O"〃AE,AE=4,a4比＞=90。，在

RtZUEO中，由勾股定理求A。的值，由矩形的性質(zhì)可得。3=。4,根據(jù)跖=OB-OE,求解監(jiān)的值即可.

【詳解】解:如圖，連接AE,

由題意知，O"是AACE的中位線，

：,OF=^AE,OF//AE,

：.AE=4,NAEO=9()。，

在RtZXAEO中，由勾股定理得40=，442+0爐=5,由矩形的性質(zhì)可得。8=。4=5,

:.BE=OB-OE=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了中位線，勾股定理,矩形的性質(zhì)等知識.解題的關(guān)鍵在于添加輔助線，構(gòu)造中位線.

11.(2023?天津濱海新-統(tǒng)考一模)如圖,在正方形A8CD中，E是8c邊上一點,連接OE,點尸為0E的中

點,過點F作DE的垂線分別交A8,C。于點M,N,連接4C交MN于點G,若NDNG=60°,MN=2g,則

國的長為.

【答案】摳

【分析】過點時作交CD于點〃利用特殊角的三角函數(shù)值求出“N=石，M”=3,再根據(jù)正方形

的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，得到MW=4)=8=3,=連接EN,根據(jù)平分線的性質(zhì)，易證

?DFNWBFN(SSS),進(jìn)而證明、MHNQ.DCE(ASA)，得到CE=6利用特殊角的三角函數(shù)值求出

CN=\,EN=2,進(jìn)而得到硒=1,4河=?！?2-6,然后證明"1MGACNG,得到萼=某，進(jìn)而求得

CNNG

MG=X/5-1,即可求出FG的長.

【詳解】解：過點必作M”_LCO交C。于點〃

/MHN=90。,

/DNG=HT,MN-2^3,

:.HN=MNcos3=26總=6MH=MN-sin"。=2g與=3,

四邊形ABC￡>是正方形，

/.ZADC=90°,AD=CD,AB//CD,

:.ZMHN=ZADC=9(f,,

：.AD//MH,

二?四邊形AM"。是矩形，

:.MH=AD=CD=3,DH=AM,

連接EN,

,?,點F為。石的中點，MN上DE,

二.MV垂直平分。E,

:.EN=DN,DF=EF,NNF￡>=90°,

..ZHW=[80°_ZMT>_ZDM7=3(T,

在ADFN和,BFN中,

DN=EN

,FN=FN,

DF=EF

:.ADFN，BFN(SSS),

:./FEN=&DN=3y,Z￡7VF=ZD/VF=6O°,

.?.Z￡7VC=6O°,

在MHN和ADCE中,

/HMN=/CDE=30。

HM=CD,

NMHN=NDCE=90。

:.MHN-DCE(ASA),

:.HN=CE=>/3,

A_CE_75_0

在Rt&N中，CN=號片與=1尸=嬴旃=忑=2

tan60°x/3—

:.FN=QEN=1,AM=DH=CD-NH-CN=3-y/3-l=2-43,

AB//CD,

:.ZBAC=ZACD,

ZAGM=/CGN,

.,…AA7C700CNG,

.AMMG

,~CN~~NGf

2-6MG

1~2yf3-MGf

y.4&-6rr

??MGr=——^=-=v3-1,

FG=MN-MG-NF=2y/3-(y/3=>/3,

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形,正方形的性質(zhì)等

知識,作輔助線構(gòu)造全等三角形,靈活運用三角函數(shù)值求邊長是解題關(guān)鍵.

12.（2023年天津市西青區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試卷）如圖，點E是正方形ABCD中5c延長線上一點，連接AE,點

尸是AE的中點，連接。尸，若A3=4,。〃=石，則人后的長為.

【答案】2小

【分析】如圖所示，過點/作GH_LAO分別交A。、BC于G、〃則四邊形GDC”為矩

形，CH=DG,CD=G〃，NFG4=N/77f=90。，由正方形的性質(zhì)得到AB=8C=8=4,NB=90。，證明

△4/G絲△瓦H（AAS），得到G尸二卬7=2,=AG,在RtAGDF中，由勾股定理得DG=1,則

AG=EH=\CH=DG=1,進(jìn)而求出8E=6,在RtAABE中，由勾股定理得A￡=JA*+6序=2瓜

【詳解】解：如圖所示，過點尸作G〃_L4)分別交A。、BC于G、〃則四邊形GDCH為矩形，

:?CH=DG,CD=GH,NFGA=NFHE=90。,

???四邊形ABC。是正方形，

AB=BC=CD=4,N8=90。，

???點尸是4E的中點，

；?AF=EF,

又VNAFG=NEFH,

：.AXFG^AEF//(AAS),

GF=HF=-GH=2,EH=AG,

2

在RtAGD尸中，由勾股定理得Z)G=J。產(chǎn)—G產(chǎn)=1,

/.AG=EH=3,CH=DG=1,

：.CE=2,

：.BE=6,

在RtAABE中，由勾股定理得AE=JA^+BE?=2屈,

故答案為：2\/將.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì),矩形的性質(zhì)與判定,勾股定理,全等三角形的性質(zhì)與判定等等,正確

作出輔助線構(gòu)造全等二角形是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?天津河北?統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABC。中，48=4,N8AD=60。，將菱形ABC。繞點力順時針

方向旋轉(zhuǎn),對應(yīng)得到菱形AEFG,點、G在AC上，GF與BC交于點H,則BH的長.

D

【答案】2G-2/-2+26

【分析】以A點為原點，AF所在的直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,延長8交y軸于點M,過G點作GN_Ly

軸于點A；根據(jù)菱形的性質(zhì)以及三角函數(shù)求出C（6,26）,G（2g,2）,F（4X/3,0）,5（4,0）,再利用待定系數(shù)法

求出直線尸G的解析式為：y=-當(dāng)x+4,直線8C的解析式為：〉，=3-46,進(jìn)而求出“（3+6,3-石）,

問題隨之得解.

【詳解】解：以4點為原點，質(zhì)所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，延長8交y軸于點火過6點作

GN_Ly軸于點人如圖，

???在菱形A8CO中，ABCD,AB=4,44￡>=60。,

.,.CM_Ly軸，ZM4O=30。，AB=AD=CD=CB=4,

：.MD=^AD=2,即MC=6,AM=ADxcosZMAD=2&,

AC（6,2A/3）,ACAM46,

cosZMAC

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：AG=AD=4,AC=AF=4^,

根據(jù)菱形的性質(zhì)有：ND4G=g/8AZ）=30。,

JZMAG=ZMAD+ZDAG=60°,

JAN=AGxcosZMAG=2,NG=AGxsinNM4G=26,

:.G（2x/3,2）,

,**AF-45/3,AB=4,

AF（45/3,0）,8（4,0）,

設(shè)直線尺7的解析式為：y=—b,

,6

2、①+6=2k=----

???廠，解得：3,

4、歐+〃=0

6=4

即直線r的解析式為：y=—且1+4,

3

同理可得：直線BC的解析式為：y=x/3x-45/3,

y=——x+4[x=3+V3

聯(lián)立：r3，解得：廠，

"0X-4+|y=3-6

???“（3+>/5,3-G）,

V5（4,0）,

???BH=yl（3+百一4）?3一可=26一2,

故答案為：26-2.

【點睛】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，勾股定理以及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識,構(gòu)建坐標(biāo)系,

求出“（3+0,3-石），是解答本題的關(guān)鍵.

14.（2023?天津河西?天津市新華中學(xué)校考一模）如圖，正方形4BCO的邊長為4,E是邊C。上一

點，DE=3CE，連接BE,與AC相交于點M,過點M作MNJLBE,交AD于點N，連接8N,則點E到BN的

距離為.

【分析】過"作M”_L8。于〃，交A。于K,連接NE,根據(jù)正方形的性質(zhì)得

AB=AD=BC=CD=4,NBCD=90°,NACB=45。=〃AC,再判斷6cMH是等腰直角三角形得M"=C”,

設(shè)MH=C”=x，則8〃=4x,由勾股定理求出8M=1折，再根據(jù)AAS證.BHM^^KN得

MN=BM=3后，設(shè)點E到BN的距離為h,根據(jù)2SBEN=8Nh=BE-MN求出答案.

【詳解】解：過M作MH上BC交AD于K,連接NE,

四邊形ABC。是正方形，

AR=AD=RC=rn=4,ZBCD=90°,ZACB=45°=ZDAC,

\-DE=3CE,

:.CE=\,

CEI_________

在RS8CE中，tanZEBC=—^=-,BE=y)BC2+CE2=V17>

r)C4

MH丁”1

/.=tanZ.EBC=—,

BH4

.?.BH=4NH,

.ZACB=45°,

.?.CM”是等腰直角三角形，

:.MH=CH,

i^MH=CH=x,則3”=4x,

?:BH+CH=BC=4,

4

/.4x+x=4,x=—,

164

:.BH=——，CH=MH=-=DK,

55

：.BM=^BH2+MH2=^Vr7,

zmc=45°,

：.MK=MA=BH,

.MNA.BE,

：.4BMH=9(r-2NMK=/LMNK,

-ZBHM=ZMKN=90°,

:.dBHMaMKN(AAS),

??,MN=BM=上屈,NK=MH=t,

55

:.AN=AD-NK-DK=—,

5

BN=JAB?+AN2=1x/34,

設(shè)點￡到8N的距離為力，

2S.BEN=BNh=BEMN,

,BEMNS7x734

,?h=----=---—=----,

BN8^2

5

故答案為：叵.

2

【點睛】本題是四邊形綜合題,主要考查E方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的判定

與性質(zhì)，三角函數(shù)的定義,勾股定理等知識點,解題關(guān)鍵是正確作出輔助線求出相關(guān)的線段長.

15.（2023?天津和平?統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形A8C。的邊長為4,點E為邊3c上一點，8E=3,在AE

的右側(cè)，以AE為邊作正方形4瓦G,〃為5G的中點,則A”的長等于.

【分析】以點《為坐標(biāo)原點，8c所在直線為*軸，8A所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,得到點

B（0,0）,C（4,0）,A（0,4）,E（3,0）,過點G作GM_Ly軸于點斷則ZAMG=900,證明MMG&EM（AAS）MJ

MG=AB=4,AM=BE=3t得到OM=7,則點G的坐標(biāo)是（4,7），由〃為3G的中點,得到點〃的坐標(biāo)是

（2,￡|,進(jìn)一步即可求得477的長.

【詳解】解：以點笈為坐標(biāo)原點，BC所在直線為x軸，84所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

,/正方形48C。的邊長為4,點、E為邊BC上一點、，BE=3,

???點5（0,0）,C（4,0）,A（0,4）,E（3,O）,

過點G作GM±y軸于點M,則ZAMG=90°,

ZGW+ZAGA/=90p,

1以AE為邊作正方形AF.FG,

，NEAG=90。，AE=AG,

，ZGW+Za4￡=90°,

:.ZAGM=ZBAEt

,/ZAMG=ZEBA=9QP,

,AAMG絳EBA（AAS）,

MG=AB=4yAM=BE=3,

：.OM=AB+AM=7,

工點。的坐標(biāo)是（4,7）,

???〃為Z?G的中點，

???點〃的坐標(biāo)是（等,早），即,

故答案為：叵

2

【點睛】此題考查了勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識，數(shù)形結(jié)合

和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?天津紅橋?統(tǒng)考二模）如圖，E是矩形紙片ABC。的邊8c上一點，沿DE1折疊該紙片，使點C的

對應(yīng)點尸恰好落在上，若43=5,AO=3,則。石的長為.

【答案】亞

3

【分析】設(shè)庭=%則。尸=C￡>=AB=5,FE=CE=x,E8=3—x,勾股定理求得A尸=4,則8尸=1,在

Rt△在3中，勾股定理求得CE,在RtZ^CD七中，勾股定理即可求解.

【詳解】解：???￡：是矩形紙片A8Q9的邊BC上點，沿。七折疊該紙片，使點C的對應(yīng)點產(chǎn)恰好落在48匕

設(shè)CE=x

ADF=CD=AB=5,FE=CE=x,EB=3-x,

在RiAD廠中，AD=XDF=5

?'?AF=dDF?-AD?=4,

:.FB=AB-AF=5-^=\.

在RtAFEB中,EF2=EB2+FB2,

/.X2=（3-X）2+12

解得：”=|

.,.CE=|,

5M

在RtZXCDE中，DE=y/CD2+CE2=

故答案為：跡

3

【點睛】本題考查了矩形的折疊問題,勾股定理,熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?天津南開?統(tǒng)考二模）如圖,在平行四邊形4BCD中，對角線AC、8。相交于點。，A8=03,點

E,點尸分別是。4,。。的中點，連接所，NC斯=45。，EMA.BC于息M,EM交BD于點N,敬=4石，則

線段3c的長為；

【答案】16

【分析】連接跖.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出8E_LC4,根據(jù)中位線的性質(zhì)證得出

硒=；所，再用勾股定理列方程求出EN即可.

【詳解】解：如解圖，連接班.

D

￡

???在△QAD中，點E、尸分別為04、。。的中點,

:.AE=OE,E尸為△04。的中位線，

/.EF=^AD,EF//AD,

??,在YA8C￡＞中，AD^BC,AD=BC,

：.EF=-AD=-BC,EF//AD//BC.

22

,:AB=OB,AE=OE,

J.BE1OA,

???NCEF=45。,EMA.BC,

???NCEM=90。-NCEF=45。,

:.ZBEM=ZECM=45°,

；?NEBM=/BEM=45。,

：.BM=CM=EM=LBC=EF,

2

又??,EF//BC,

；?NFEM=/BMN=90。.

NFEN=NBMN

在BMN和△尸硒中，?/ENF=NMNB,

EF=BM

???二均FEN(AAS),

:.EN=MN=-EM=-EF=-BC,

224

又???在RtZXEFN中，EF2+EN2=FN2,尸N=4石,

，5球2=80,

???EN=4(負(fù)值已舍去)，

:.BC=4EN=16,

故答案為：16.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識,

解題關(guān)鍵是恰當(dāng)連接輔助線,通過全等、中位線和勾股定理等知識準(zhǔn)確推理計算.

18.(2023?天津河?xùn)|?統(tǒng)考二模)如圖，已知四邊形ABCD和四邊形CE/P均為正方形，且G是48的中點，

連接若=不，則AE的長為.

【答案】姬

2

【分析】四邊形A8CO和四邊形CEFG均為正方形，且G是48的中點，回=石，如圖所示，過點E作

EH_LAD于"，交BC于。，AE與交于點P,可證ABCG出△QEC(SAS),ZkEQ修△ABP(SAS),根據(jù)勾

股定理即可求解.

【詳解】解：:四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形，且G是AB的中點，A8=逐，

???BG=AG=-AB=-X45=—,

222

??.在RtBCG中,CGNGB'BC?=Jy+(6月=|,

如圖所示，過點E作硝_LA。于，，交BC于Q,AE與BC交于點尸,

;四邊形C"G為正方形，

：.CE=CG,

丁4+N2=9O。，Z2+Z3=9O°,

Z1=Z3,

在△8CG,Z\QEC中，

Z1=Z3

<NEQC=NB=90。,

CE=CG

.??△BCG^A0EC(SAS),

:,EQ=BC=&CQ=GB=^、即。為BC中點，

同理，可證△EQgAABP(SAS),

???QP=BP=LBQ=LX或旦,EP=AP=^-AE

22242

???在RtaAB尸中,

AP=，AB?+BP2=(V5)2+

?Ak…O病屈

??AE=2AP=2x----=

42

故答案為：叵.

2

【點睛】本題主要考查正方形與直角三角形勾股定理的綜合，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì),

勾股定理是解題的關(guān)鍵.

19.（2023?天津河北?統(tǒng)考二模）如圖,在矩形A8CO中，43=2,8。=26，連接4C,點E在4C

上，/DEF=90。,EC平分/DEF,AE=.

【答案】3-G/—G+3

【分析】過點。作Z）G_LAC,由NDE尸=90。,反:平分/￡陀尸可得^。反；是等腰直角三角形,再根據(jù)矩形性

質(zhì)和勾股定理易求對角線4c長，進(jìn)而解三角形求出CG、DG即可解答.

【詳解】解：過點〃作。G_LAC,如圖：

???ZDEF=90°,EC平分/DEF,

：.ZDEG=45°,

:.DG=EG,

???在矩形4BC。中，AB=2,BC=2y/3,

：.CD=2,AD=2瓜ZADC=ZABC=90°,

?-AC=ylAD2+CD2=4.

sinZ.ACD=,cosZ.ACD=,

AC2AC2

/.EG=GD=CDsinZACD=2x

2

GC=CDcosZACD=2x1=1,

2

:"AE=AC-EG-GC=4-y[3-\=3-^,

故答案為：3-舊.

【點睛】本題主要考查了矩形性質(zhì)和解三角形，解題關(guān)鍵是過點〃作￡>G_L4C構(gòu)造aOEG是等腰直角三角

形,再解三角形.

3

20.（2023?天津?統(tǒng)考二模）如圖，.,4BC是等邊三角形，AB=10,D為4B上一點,DB=-ABtDE工AB與

BC的延長線相交于點￡產(chǎn)為OE的中點，，為8C的中點,連接FH.則FH的長為.

【答案】V13

[分析】過點/作FG_L3C于點G,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到BC=AB=\0,ZB=60°，根據(jù)。石_/AB

及=即可求出3￡=2。8=12,根據(jù)勾股定理即可求出止=赤叵旃=66,根據(jù)中點定義即可

求出。F=M==根據(jù)尸GJ_8?？汕蟪?G=也，根據(jù)勾股定理即可求出EG,根據(jù)中點

222

定義即可求出BH=5,進(jìn)一步求出GH,再用勾股定理可求出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，過點尸作AG_L4C于點6

???ABC是等邊三角形，AB=10

??.BC=AB=10,NB=60°

3

/.DB=±AB

5

￡>5=3x10=6

5

DEJ.AB.

???NBDE=90。

：.Z￡=90°-Zfi=30°.

/.BE=2DB=\2

?*-DE=\IBE2-DB2=6>/3

:尸為DE的中點，

DF=EF=-DE=3j3

2

???FG±BC

：.ZFGH=ZFGE=9(r

.”1??3石

??rG=—hr=-----

22

:.EG=>IEF2-FG2=-

2

???〃為BC的中點

BH=CH=-BC=5.

2

：,GH=BE-BH-EG=-

故答案為：J萬.

【點睛】本題考查勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線利用勾股定

理求長度是解題的關(guān)鍵.

21.（2023?天津河西?統(tǒng)考二模）如圖，已知正方形A5CD的邊長為6,E是邊A。的中點，連接比，在OC

邊上有一點F,滿足4FEB=NAEB,則EF的長為.

【答案】5

【分析】利用正方形的性質(zhì)，證-”的工阻口立得EG=4E=3,8G=A8,從而得BG=8C,再證

Rl-BG尸gRt-Bb（HL）,得GF=CF,設(shè)GF=CGr,則DF=6-x,E尸=3+x,在RlZkCE尸中，由勾股定理，要

求得到局繼而可求解.

【詳解】解：過點〃作3G_L所于G,連接即，

???正方形A8C。

AZA=ZC=90°,AB=BC=CD=AD=6,

*/E是邊AO的中點，

:.AE=—AD=3,

2

■:BGLEF,

???^BGE-NBGF-90°,

JZA=NBGE

,:&EB=ZAEB,BE=BE,

.A6EAGBE（AAS）,

，EG=AE=3yBG=AB,

：.BG=BC,

*/BF=BF,

...RsBG尸gRLBC尸（HL）,

:?GF=CF,

設(shè)則。尸=6—x,EF=3+x,

在RtZ\CEF中，由勾股定理，得

32+（6-X）2=（3+X）2

解得：x=2,

：.EF=3+x=3+2=5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì),

勾股定理是解題的關(guān)鍵.

22.（2023?天津東麗?統(tǒng)考二模）如圖，正方形A3。的邊長是迷，對角線的交點為。，點E在邊CO上且

CE=^2,Cf_L8&連接OF，則。/=.

【答案】B

22

【分析】如圖，在砥上截取線段BG,使得BG=CF,可求得ZXOBG@AOCF,根據(jù)勾股定理求解相應(yīng)線段

的長度即可.

【詳解】解：如圖，在班上截取線段BG,使得BG二C”,

在正方形A8CO中，AB=BC=CD=DA=遍,N8OC=90°,NOBC=NOCB=NOCD=45。

ZBOC=ZBCD=ZEBC+ZBEC=9()°,OB=OC,

,:CF工BE,

???NCFE-"EC+NECF-好,

：“CF=EBC,

NOBG=NOBC-NEBC=ZOCD-ZFCD=NOCF,

:./\OBG^/\OCF(SAS),

OG=OF,NBOG=ZCOF,

???Z.GOF=ZGOC+ZFOC=ZGOC+ZAOG=90°,

???△GO尸為等腰直角三角形，ZOFB=45c,

在RtaBCE中，由勾股定理可得：BENBCCE?=’(扃+(可=20

則BG=CF=處室=①￡=也,

RE2忘2

在RtZXCE尸中，由勾股定理可得：EF=〃爐—C尸=J(可一隹=等

/.GF=BE-BG-EF=242--

2222

在Rf.中，”邛FG*殍*］修乎

乙乙\乙乙)乙乙

故答案為：3一立.

22

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì),解

題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線,找到全等三角形.

23.（2023?天津濱海新?統(tǒng)考二模）如圖,在矩形A8CD中，點￡尸分別是較長邊40,8C上的點，且

EF//AH,ED=AB,連接OB交于點M連接AM,^CF=2BF,AD=6,則4W=.

【答案】V13

【分析】先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)證明四邊形AB/石、四邊形石尸8為矩形，進(jìn)而證明矩形EF8是正方形,

FMBF1

過0作OGLC/于G,則GF=CG=OG,0G〃MF,證明得到/=；，進(jìn)而求得

OGBG2

FM=g0G=l.i^Rt/\AEW中利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：???四邊形ABC。是矩形，

AD//BC,AB//CD,BC=AD=6,AB=CD,ZABC=/BCD=90。，

?:EF//AB,^iEF//CD,

，四邊形AB/石、四邊形石尸8為矩形，

DE=CF,AB=EF=CD,AE=BF,

,/ED=AB,

:?ED=EF=CF,

???矩形EFC。是正方形，

:./OFC=NOCF=45°,OF=OC,

如圖，過。作。G1C產(chǎn)于G,則Gr=CG=OG,OG//MF,

?：CF=2BF,

???8尸=/6=。6=38。=2,則所=。尸=4,

?：OG〃MF、

，BFMs.BGO,

.FMBF\I_1

..---==—,則rM——O（J—1,

OGBG22

在RtzMEM中，AE=BF=2,EM=EF-FM=3,

?*-AM=JAE2+EM2=713,

故答案為：屈.

【點睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性

質(zhì)、勾股定理等知識,熟練掌握矩形和正方形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

24.（2023年天津市西青區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題）如圖，四邊形A8co是正方形，點E在8C邊上,點尸在C。的

延長線上,滿足BE=DF,連接EF與對角線BD交于點、G,連接AF,AG,若Ar=而，則AG的長為.

【答案】75

［分析］過點E作EP〃尸。交3。與點P,則PEJL