實驗二 LTI系統(tǒng)的時域分析

1、實驗二LTI系統(tǒng)的時域分析一、實驗?zāi)康睦斫饩矸e的含義，熟悉連續(xù)時間信號與離散時間信號的卷積計算方法。熟悉應(yīng)用MATLAB求解連續(xù)與離散系統(tǒng)在任意激勵下響應(yīng)的求解方法熟悉連續(xù)時間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)、階躍響應(yīng)的意義及求解方法二、實驗原理連續(xù)時間系統(tǒng)的描述對于連續(xù)的LTI系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)輸入為f(t)，輸出為y(t)，則輸入與輸出之間滿足如下的 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 線性常系數(shù)微分方程：ayo(t) = b f(j)(t)。MATLAB中，用兩個向量 ，ji=0j=0a = a ,a ,.,a ,b = b ,b

2、,.,b 完全表征系統(tǒng)，注意兩個向量對應(yīng)的冪次由高到低n n-10m m10排列。連續(xù)時間系統(tǒng)的響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位沖激信號5(t)時產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，用h(t) 表示。若輸入為單位階躍信號Mt)時，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)則稱為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)， 記為g(t)，如下圖所示。系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)包含了系統(tǒng)的固有特性，它是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)所決定 的，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。我們只要知道了系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，即可求得系統(tǒng)在不同激勵下產(chǎn)生 的響應(yīng)。因此，求解系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)對我們進(jìn)行連續(xù)系統(tǒng)的分析具有非常重要的意義。 單位沖激與單位階躍響應(yīng)在MATLAB中有專門用于求解連

3、續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)，并繪制其時域波形的 函數(shù)impulse。和step()。如果系統(tǒng)輸入為f(t)，沖激響應(yīng)為h(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y(t)，則有：y(t) = h(t) * f (t)。若已知系統(tǒng)的輸入信號及初始狀態(tài)，我們便可以用微分方程的經(jīng)典時域求解方法，求 出系統(tǒng)的響應(yīng)。但是對于高階系統(tǒng)，手工計算這一問題的過程非常困難和繁瑣。在MATLAB中，應(yīng)用lsim(涵數(shù)很容易就能對上述微分方程所描述的系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn) 行仿真，求出系統(tǒng)在任意激勵信號作用下的響應(yīng)。lsim()函數(shù)不僅能夠求出連續(xù)系統(tǒng)在指定 的任意時間范圍內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值解，而且還能同時繪制出系統(tǒng)響應(yīng)的時域波形圖。以上各函數(shù)

4、的調(diào)用格式如下：impulse()函數(shù)函數(shù)impulse()將繪制出由向量a和b所表示的連續(xù)系統(tǒng)在指定時間范圍內(nèi)的單位沖激響 應(yīng)h(t)的時域波形圖，并能求出指定時間范圍內(nèi)沖激響應(yīng)的數(shù)值解。impulse(b,a) 以默認(rèn)方式繪出由向量a和b所定義的連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的時域波 形。impulse(b,a ,t0) 繪出由向量a和b所定義的連續(xù)系統(tǒng)在0 t0時間范圍內(nèi)沖激響 應(yīng)的時域波形。impulse(b,a,t1:p:t2) 繪出由向量a和b所定義的連續(xù)系統(tǒng)在t1 t2時間范圍內(nèi)，并 且以時間間隔p均勻取樣的沖激響應(yīng)的時域波形。y=impulse(b,a,t1:p:t2)只求出由向量a和b所

5、定義的連續(xù)系統(tǒng)在t1 t2時間范圍內(nèi)，并且以時間間隔p均勻取樣的沖激響應(yīng)的數(shù)值解，但不繪出其相應(yīng)波形。(2)step()函數(shù)函數(shù)step()將繪制出由向量a和b所表示的連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，在指定的時間范圍內(nèi) 的波形圖，并且求出數(shù)值解。和impulse()函數(shù)一樣，step()也有如下四種調(diào)用格式：step( b,a)step(b,a,t0)step(b,a,t1:p:t2)y=step(b,a,t1:p:t2)上述調(diào)用格式的功能和impulse()函數(shù)完全相同，所不同只是所繪制(求解)的是系統(tǒng) 的階躍響應(yīng)g(t)，而不是沖激響應(yīng)h(t)。卷積的計算Conv ()函數(shù)可以實現(xiàn)兩個信號的卷積；舉例

6、：x1 = 0:0.1:2; x2 = 3:0.1:6; t1 = -1:0.1:1; t2 = -2:0.1:1;s = conv(x1, x2);tmin = t1(1) + t2(1);tmax = t1(end) + t2(end);plot(tmin:0.1:tmax, s);零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)(1)lsim()函數(shù)求零狀態(tài)響應(yīng)與全響應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)有無初始狀態(tài)，lsim()函數(shù)有如下兩種調(diào)用格式：系統(tǒng)無初態(tài)時，調(diào)用lsim()函數(shù)可求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，其格式如下： lsim(b,a,x,t)繪出由向量a和b所定義的連續(xù)系統(tǒng)在輸入為x和t所定義的信號時， 系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的時域仿真波形

7、，且時間范圍與輸入信號相同。其中x和t是表示輸入信號 的行向量，t為表示輸入信號時間范圍的向量，x則是輸入信號對應(yīng)于向量t所定義的時間 點上的取樣值。y=lsim(b,a,x,t)與前面的impulse和step函數(shù)類似，該調(diào)用格式并不繪制出系統(tǒng)的 零狀態(tài)響應(yīng)曲線，而只是求出與向量t定義的時間范圍相一致的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的數(shù)值解。 系統(tǒng)有初始狀態(tài)時，調(diào)用lsim()函數(shù)可求出系統(tǒng)的全響應(yīng)，格式如下：lsim(A,B,C,D,e,t,X0) 繪出由系數(shù)矩陣A,B,C,D所定義的連續(xù)時間系統(tǒng)在輸入為e 和 t所定義的信號時，系統(tǒng)輸出函數(shù)的全響應(yīng)的時域仿真波形。t為表示輸入信號時間范圍 的向量，e則是

8、輸入信號e(t)對應(yīng)于向量t所定義的時間點上的取樣值，X0表示系統(tǒng)狀態(tài)變 量X=x1,x2,.xn在t=0時刻的初值。Y,X= lsim(A,B,C,D,e,t,X0)不繪出全響應(yīng)波形，而只是求出與向量t定義的時間范 圍相一致的系統(tǒng)輸出向量Y的全響應(yīng)以及狀態(tài)變量X的數(shù)值解。顯然，函數(shù)lsim()對系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行仿真的效果取決于向量t的時間間隔的密集程度，t 的取樣時間間隔越小則響應(yīng)曲線越光滑，仿真效果也越好。說明：當(dāng)系統(tǒng)有初始狀態(tài)時，若使用lsim()函數(shù)求系統(tǒng)的全響應(yīng)，就要使用系統(tǒng)的狀態(tài)空間 描述法，即首先要根據(jù)系統(tǒng)給定的方式，寫出描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。假如系統(tǒng)原 來給定的是微分方程或

9、系統(tǒng)函數(shù)，則可用相變量法或?qū)蔷€變量等方法寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程 和輸出方程。其轉(zhuǎn)換原理如前面實驗四所述。顯然利用lsim()函數(shù)不僅可以分析單輸入單輸出系統(tǒng)，還可以分析復(fù)雜的多輸入多輸 出系統(tǒng)。例題1：若某連續(xù)系統(tǒng)的輸入為。，輸出為)，系統(tǒng)的微分方程為：J ”(t) + 5 j (t) + 6 j (t) = 3f() + 2 f (t)求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)及其單位階躍響應(yīng)g(t)。若f (t) = e-2t& (t)求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)分析： 求沖激響應(yīng)及階躍響應(yīng)的MATLAB程序：a=1 5 6;b=3 2;subplot(2,1,1), impulse(b,a,4)sub

10、plot(2,1,2), step(b,a,4)運(yùn)行結(jié)果如右： Impulse Response :LIIIIIII-1 00.511.522.533.54Time (sec)eaJT.3mA 求零狀態(tài)響應(yīng)的MATLAB程序：a=1 5 6;b=3 2;p1=0.01;%定義取樣時間間隔為0.01t1=0:p1:5;%定義時間范圍x1=exp(-2*t1);%定義輸入信號lsim(b,a,x1,t1),%對取樣間隔為0.01時系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行仿真hold on;%保持圖形窗口以便能在同一窗口中繪制多條曲線p2=0.5;%定義取樣間隔為0.5t2=0:p2:5;%定義時間范圍x2=exp(-2*t2

11、);%定義輸入信號lsim(b,a,x2,t2), hold off %對取樣間隔為0.5時系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行仿真并解除保持 運(yùn)行結(jié)果如下：零輸入響應(yīng)描述n階線性時不變(LTI)連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為:dnydn-1 ydyr dmu , du ,a + a + a + a y b+ + b + b u1 dtn2 dtn-1n dtn+11 dtmm dt m+1已知y及各階導(dǎo)數(shù)的初始值為y(0),y(1)(0)，y(n-1)(0)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。當(dāng)LIT系統(tǒng)的輸入為零時，其零輸入響應(yīng)為微分方程的其次解(即令微分方程的等號右端為零)，其形式為(設(shè)特征根均為單根)C ePntny (t) C e

12、p1 + C ep2t +12其中p1,p2,.,pn是特征方程al入n+a2入n-1+.+an入+an=0的根，它們可以用root(a)語句求得。各系數(shù)由y及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值來確定。對此有C + C + C ypC + p C +7 p C Dypn-1C + p n-1C +.+ p n-1C Dn-1 y1122n n0寫成矩陣形式為: HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 11pp12 HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 1pnC1C2p n-1 p n-112p n-1ny0Dy0Dn-1

13、 y0即 VC=Y0其解為：C=VY0式中 C = lcC C J C = *Dy Dn-1 *11 一P PDn1 1 1p n-1 P n-1 P n-1 IV為范德蒙矩障，在MATLAB的特殊矩陣庫中有vander。以下面式子為例：y(t)+3y (t)+6y(t)=6f (t)-8f (t)初始條件為 y(0_)=0,y(0_)=10;MATLAB 程序：a=1,3,6;n=length(a)-1;Y0=0,10;p=roots(a);V=rot90(vander(p);c=VY0;dt=0.002;te=9;t=0:dt:te;y=zeros(1,length(t);for k=1:

14、n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t,y);gridxlabel(t) ;ylabel(y);title(零輸入響應(yīng))；離散時間系統(tǒng)LTI離散系統(tǒng)中，其輸入和輸出的關(guān)系由差分方程描述：二 y(k + & /(k + j)(前向差分方程)Iji=0j=0ay (k - i ) = b f (k n + j)(后向差分方程)lji=0j=0當(dāng)系統(tǒng)的輸入為單位序列郵)時產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)，用0(k)表示。當(dāng)輸入為 ，(k)時產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的單位階躍應(yīng)，記為：g(k)，如下圖所示。如果系統(tǒng)輸入為e(k)，沖激響應(yīng)為h(k)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y

15、(k)，則有:y(k) = h(k)* f (k)。與連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h相類似，離散系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)h(k)也包含了系統(tǒng)的固有特性，與輸入序列無關(guān)。我們只要知道了系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)，即可求 得系統(tǒng)在不同激勵信號作用下產(chǎn)生的響應(yīng)。因此，求解系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)h(k)對我們進(jìn)行 離散系統(tǒng)的分析也同樣具有非常重要的意義。MATLAB中為用戶提供了專門用于求解離散系統(tǒng)單位函數(shù)響應(yīng)，并繪制其時域波形 的函數(shù)impz()。同樣也提供了求離散系統(tǒng)響應(yīng)的專用函數(shù)filter()，該函數(shù)能求出由差分方 程所描述的離散系統(tǒng)在指定時間范圍內(nèi)的輸入序列作用時，產(chǎn)生的響應(yīng)序列的數(shù)值解。當(dāng)系 統(tǒng)初值不為零時，可以

16、使用dlsim()函數(shù)求出離散系統(tǒng)的全響應(yīng)，其調(diào)用方法與前面連續(xù)系 統(tǒng)的lsim()函數(shù)相似。另外，求解離散系統(tǒng)階躍響應(yīng)可以通過如下兩種方法實現(xiàn)：一種是直 接調(diào)用專用函數(shù)dstep(),其調(diào)用方法與求解連續(xù)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的專用函數(shù)step()的調(diào)用方法 相似；另一種方法是利用求解離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的專用函數(shù)filter。，只要將其中的激勵 信號看成是單位階躍信號Kk)即可。函數(shù)的調(diào)用格式分別如下：impz()函數(shù)impz(b,a)以默認(rèn)方式繪出由向量a和b所定義的離散系統(tǒng)單位函數(shù)響應(yīng)的時域波形。impz(b,a,n) 繪出由向量a和b所定義的離散系統(tǒng)在0n(n必須為整數(shù))的離 散時間范圍內(nèi)單位函

17、數(shù)響應(yīng)的時域波形。impz(b,a,n1:n2) 繪出由向量a和b所定義的離散系統(tǒng)在n1n2(n1、n2必須為 整數(shù))的離散時間范圍內(nèi)單位函數(shù)響應(yīng)的時域波形。y=impz(b,a,n1:n2)求出由向量a和b所定義的離散系統(tǒng)在n1 n2(n1、n2必須為整數(shù))的離散時間范圍內(nèi)單位函數(shù)響應(yīng)的數(shù)值解，但不繪出波形。filter()函數(shù)filter(b,a,x) 其中a和b與前面相同，x是包含輸入序列非零樣值點的的行向量。 此命令將求出系統(tǒng)在與x的取樣時間點相同的輸出序列樣值。例題：已知描述離散系統(tǒng)的差分方程為：y (k)-0.25 y(k 1)+0.5 y (k 2) = f (k) + f (k

18、 1)，且已知系統(tǒng)輸入序列為 f (k) = (+)k e (k)，求出系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)h(k)在-3 10離散時間范圍內(nèi)響應(yīng)波形。求出系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)在0 15區(qū)間上的樣值；并畫出輸入序列的時域波形以及系統(tǒng)零狀 態(tài)響應(yīng)的波形分析：求系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)的MATLAB程序：a=1,-0.25,0.5;b=1,1,0;impz(b,a,-3:10), title(單位響應(yīng))繪出單位函數(shù)響應(yīng)在-3 10區(qū)間上的波形運(yùn)行結(jié)果如圖a。求零狀態(tài)響應(yīng)的MATLAB程序：a=1,-0.25,0.5;b=1,1,0k=0:15;%定義輸入序列取值范圍x=(1/2).Ak; %定義輸入序列表達(dá)式y(tǒng)=filter(

19、b,a,x)%求解零狀態(tài)響應(yīng)樣值subplot(2,1,1),stem(k,x)%繪制輸入序列的波形title(輸入序列) subplot(2,1,2),stem(k,y)%繪制零狀態(tài)響應(yīng)的波形title (輸出序列) 運(yùn)行結(jié)果如下：y =Columns 1 through 10 1.0000 1.7500 0.6875 -0.3281 -0.23830.1982 0.2156 -0.0218 -0.1015 -0,0086Columns 11 through 160.0515 0.0187 -0.0204 -0.0141 0.00690.0088 I 單位響成輔入序列n (sampliSE)

20、a0.8圖b.運(yùn)行結(jié)果圖a.運(yùn)行結(jié)果三、實驗內(nèi)容1.已知描述系統(tǒng)的微分方程和激勵信號e(t)分別如下，用MATLAB繪出系統(tǒng)單位沖激響 應(yīng)、單位階躍響應(yīng)以及系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的波形4。J (t) + 4礦(t) + 4y(t)=廣(t) + 3f (t) ； f (t) = e-te (t)a=1 4 4;b=1 3;subplot(2,2,1);impulse(b,a,4),title(單位沖激響應(yīng),);subplot(2,2,2);step(b,a,4),title(單位階躍響應(yīng))；subplot(2,2,3);t=0:0.01:5;x=exp(-1*t);lsim(b,a,x,t),titl

21、e(零狀態(tài)響應(yīng),);eapumA5 .0單位沖激響應(yīng)1234Time (sec)單位階躍響應(yīng)0.80.60.40.2001234Time (sec)零狀態(tài)響應(yīng)12345Time (sec)5 .02.請用MATLAB分別求出下列差分方程所描述的離散系統(tǒng)，在020時間范圍內(nèi)的單位脈 沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)和系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的數(shù)值解，并繪出其波(1)J(k) + 2j(k -1) + j(k -2) = f (k) ； f (k) = & (k)4單位沖激響應(yīng) y=1 -1 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10 11 -12 13 -14 15 -16 17 -18 19 -20 21單位階躍響應(yīng) y

22、 =1.000 0 -0.1353 -0.0996 -0.0549 -0.0270 -0.0124 -0.0055 -0.0023 -0.0010 -0.0004 -0.0002 -0.0001 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000零狀態(tài)響應(yīng)y =Columns 1 through 8502161820單位脈沖響應(yīng)4-50016182068101214n (samples) 單位階躍響應(yīng)68101214零狀態(tài)響e應(yīng)420eqj -omA2o2 10 00161820681012140.125000.125

23、000.125000.12500Columns 9 through 160.125000.125000.125000.12500Columns 17 through 210.125000.125000.1250a=1,2,1;b=1,0,0;k=0:20;x=0.25.*heaviside(k);y=filter(b,a,x) subplot 311;impz(b,a,0:20),title(單位脈沖響應(yīng));subplot 312;dstep(b,a,0:20),title(單位階躍響應(yīng));subplot(3,1,3),stem(k,y) title(零狀態(tài)響應(yīng));(2)一帶通濾波器可由下列差

24、分方程描述：J(k) + 0.81j(k 2) = f (k) f (k - 2),其中f (k)為系統(tǒng)輸入，J (k)為系統(tǒng)輸出。請求出當(dāng)激勵為f (k) = 110 + 10cos(kn/2) + 10cos(kn)L (k)(選取適當(dāng)?shù)膎值)時濾波器的穩(wěn)態(tài)輸出。a=1,0,0.81;b=1,0,-1;k=0:10;x=10+10.*cos(2.*k)+10.*cos(4.*k);y=filter(b,a,x);subplot 311;impz(b,a,0:20),title(單位脈沖響應(yīng));subplot 312;step(b,a,0:20),title(單位階躍響應(yīng));subplot

25、313;stem(k,y),title(零狀態(tài)響應(yīng));單位脈沖響應(yīng)2 0 2 - qxrsIOFAoo 5- o o egj- -3mA 168101214161820n (samples) 單位階躍響應(yīng)68101214161820零狀態(tài)響e應(yīng)L-100012345678910編程實現(xiàn)下面兩個信號，并畫出兩個信號的卷積，看是否與理論計算值相一致。思考: 卷積后的信號長度與區(qū)間與原來兩個信號相比，有什么關(guān)系。t1=2:0.01:2f1=2火rectpuls(t1,2)t2=3:0.01:3f2=rectpuls(t2,4)a=conv(double(f1),double(f2)tmin=t1(1)+t2(1)tmax=t1(end)+t2(end)plot(tmin:0.01:tmax,a)EOO實驗總結(jié)經(jīng)過這次MATLAB的實驗