《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》試卷及答案 共10套

裝訂線內(nèi)不要答題座號(hào)裝訂線內(nèi)不要答題座號(hào)學(xué)院年級(jí)專業(yè)班級(jí)學(xué)號(hào)姓名第1頁共2頁裝訂線內(nèi)禁止答卷第3頁共4頁裝訂線內(nèi)禁止答卷第2頁共2頁20XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷考試說明：1、本試卷共3頁，考試時(shí)間為120分鐘；2、考試方式：閉卷；3、全部試題均答在答題紙上。一、單項(xiàng)選擇題（在下列各小題的備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)把你認(rèn)為正確答案的代碼填入下列對(duì)應(yīng)的表格內(nèi)，多選不給分。本題共15小題，每小題2分，共30分）。1、函數(shù)的定義域是（）(A)(B)(C)(D)2、若兩非零向量滿足則一定有 （）（A）（B）（C）同向(D)反向3、直線與直線的位置關(guān)系（）(A)相交(B)平行(C)重合(D)異面4、函數(shù)的極大值點(diǎn)為（）(A)(B)(C)(D)5、在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點(diǎn)可微分的（）(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)無關(guān)條件6、設(shè)區(qū)域是由圍成，則二重積分（）(A)(B)(C)(D)7、設(shè)為橢圓逆時(shí)針路徑，則（）(A)(B)(C)(D)8、微分方程的通解是（）(A)(B)(C)(D)9、若級(jí)數(shù)發(fā)散，則有（）(A)(B)(C)(D)10、如果級(jí)數(shù)發(fā)散，為常數(shù)，則級(jí)數(shù)（）（A）發(fā)散（B）可能收斂，可能發(fā)散（C）收斂（D）無界11、設(shè)函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù)，則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)中不含哪個(gè)頻率的分量 （）

(A)ω=π(B)ω=2π(C)ω=3π(D)ω=4π12、若向量a與向量b垂直，則它們的數(shù)量積是 （）(A)|a|*|b|(B)-|a|*|b|(C)0(D)a*b（向量形式）13、函數(shù)的定義域是（）(A)(B)(C)(D)14、設(shè)，則＝ （）(A)(B)(C)(D)15、若級(jí)數(shù)收斂，則 （）(A)(B)(C)(D)二、判斷題(本題共10小題，每小題2分，共20分)16、格林公式僅適用于簡單閉合曲線。（）17、重積分的換元法總是適用，無論變換是否線性。（）18、在多元函數(shù)的極值問題中，拉格朗日乘數(shù)法總是能找到全局極值（）19、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑總是正數(shù)。（）20、極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。（）21、重積分的中值定理總是成立，無論被積函數(shù)是否連續(xù)。（）22、隱函數(shù)定理保證了從方程中解出的隱函數(shù)總是存在且唯一。（）23、曲線積分可以分為第一類曲線積分和第二類曲線積分，它們之間沒有聯(lián)系。（）24、無窮級(jí)數(shù)的收斂性只與級(jí)數(shù)的項(xiàng)有關(guān)，與項(xiàng)的順序無關(guān)。（）25、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)一定是連續(xù)且可導(dǎo)的。（）三、填空題（本大題共5空，每空2分，共10分）26、設(shè)積分區(qū)域的面積為，則.27、.28、設(shè)積分區(qū)域：，，則.29、微分方程的通解是.30、如果級(jí)數(shù)，則.四、計(jì)算題（本大題共5小題，每題6分,共30分）31、求的偏導(dǎo)數(shù)，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).（6分）32、求曲線在的切線與法平面方程.（6分）33、求微分方程的通解.（6分）34、計(jì)算，其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域（6分）35、計(jì)算，其中為由至的上半橢圓圓周.（6分）五、證明題（本大題共1小題，每題10分,共10分）36、設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,b)

上可導(dǎo)，且

f(a)=f(b)=0。證明：存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c?20XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷·參考答案單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）題號(hào)12345678910答案DCDDDDACCA題號(hào)1112131415答案BCCAC判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）16、√17、×18、×19、×20、√21、×22、×23、×24、×25、√三、填空題（本大題共5空，每空2分，共10分）26、1027、228、029、30、0四、計(jì)算題（本大題共5小題，每題6分,共30分）31、。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。332、解：因?yàn)椋?（2分）切平面方程為…………（2分）法線方程為………（2分）33、求微分方程的通解.（6分）解：方程為一階線性非齊次微分方程令，………….（1分）由一階線性非齊次微分方程的通解公式：…….（2分）………….（3分）34、解：畫出積分區(qū)域的草圖，交點(diǎn)為?！?（2分）視為是型區(qū)域：…….（2分）則有…………….（2分）35、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).（6分）解：………….（2分）所以…。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。.（1分）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?..（1分）設(shè)所求和函數(shù)為，即，………….（1分），………….（1分）35、計(jì)算，其中為由至的上半橢圓圓周解補(bǔ)充到的直線段，則成為閉曲線，且的方向?yàn)閰^(qū)域的正方向，由格林公式，………………………1有，………1于是………………2又在直線上，，由變到，故.所以……………2五、證明題（本大題共1小題，每題10分,共10分）36、設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,b)

上可導(dǎo)，且

f(a)=f(b)=0。證明：存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c?證明：令

F(x)=(x?b)f(x)，則

F(x)

在

[a,b]

上連續(xù)，在

(a,b)

上可導(dǎo)?！?（2分）利用乘法法則，我們有F′(x)=(x?b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）由于

F(a)=(a?b)f(a)=0

和

F(b)=(b?b)f(b)=0，根據(jù)羅爾定理，存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

F′(c)=0。 ………………….…….………….（2分）由

F′(c)=0，我們得到

(c?b)f′(c)+f(c)=0?！?…….………….（2分）將上式整理，得到

f′(c)=?c?bf(c)?。…………….…….………….（1分）由于

c=b（因?yàn)?/p>

c∈(a,b)），我們可以進(jìn)一步寫為

f′(c)=?b?cf(c)?。因此，我們證明了存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c??！?（120XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷考試說明：1、本試卷共3頁，考試時(shí)間為120分鐘；2、考試方式：閉卷；全部試題均答在答題紙上。一、單項(xiàng)選擇題（在下列各小題的備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)把你認(rèn)為正確答案的代碼填入下列對(duì)應(yīng)的表格內(nèi)，多選不給分。本題共15小題，每小題2分，共30分）。1、函數(shù)的定義域是（）(A)(B)(C)(D)已知向量，，若與垂直，則（）(A)(B)(C)(D)不確定3、過點(diǎn)且以為方向向量的直線方程是（）(A)(B)(C)(D)4、函數(shù)的極小值點(diǎn)為（）(A)(B)(C)(D)5、在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點(diǎn)可微分的（）(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)無關(guān)條件6、設(shè)區(qū)域是由（）圍成，則二重積分（）(A)(B)(C)(D)7、設(shè)為橢圓的逆時(shí)針路徑，則（）(A)(B)(C)(D)8、微分方程的通解是（）(A)(B)(C)(D)9、若級(jí)數(shù)發(fā)散，為常數(shù)，則級(jí)數(shù)（）(A)發(fā)散(B)可能收斂，可能發(fā)散(C)收斂(D)無界10、設(shè)冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則在處（）(A)絕對(duì)收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)斂散性不確定11、微分方程的通解為（）（A）（B）（C）（D）12、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋ǎˋ）（B）（C）（D）13、函數(shù)的定義域是（）（A）（B）（C）（D）14、設(shè)函數(shù),則在點(diǎn)（0，0）處（）（A）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；（B）連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在；（C）不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在；（D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在.15、設(shè)在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則（）（A）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部；（B）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上；（C）最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在D的邊界上；（D）最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在D的邊界上.二、判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）16、若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)處連續(xù)，則它在(x0,y0)該點(diǎn)必可偏導(dǎo).（）17、若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則它在D上必可微.（18、重積分的中值定理總是成立，無論被積函數(shù)是否連續(xù)。（）19、對(duì)任何閉曲面，高斯公式中的曲面積分總等于零。（）20、格林公式僅適用于簡單閉合曲線。（）21、若函數(shù)f(x,y,z)在空間某區(qū)域內(nèi)是調(diào)和函數(shù)，則它滿足拉普拉斯方程.（）22、曲線積分與路徑無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)被積函數(shù)是某函數(shù)的全微分。（）23、任何無窮級(jí)數(shù)都可以通過部分和序列的極限來求和。（）24、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑總是正數(shù)。（）25、泰勒級(jí)數(shù)總是收斂于其原函數(shù)，無論函數(shù)性質(zhì)如何。（）三、填空題（本大題共5空，每空2分，共10分）26、已知向量，,則.27、設(shè)積分區(qū)域的面積為，則.28、設(shè)積分區(qū)域：，，則.29、微分方程的通解是.30、如果級(jí)數(shù)，則.四、計(jì)算題（本大題共5小題，每題6分,共30分）31、求空間曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.（6分）32、求函數(shù)的全微分.（6分）33、求微分方程的通解.（6分）34、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).（6分）35、計(jì)算，其中是由直線及所圍成的閉區(qū)域（6分）五、證明題（本大題共1小題，每題10分,共10分）36、設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,b)

上可導(dǎo)，且

f(a)=f(b)=0。證明：存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c?20XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷·參考答案單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）題號(hào)12345678910答案ABADBDBDCB題號(hào)1112131415答案DCCCB判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）16、×17、√18、×19、×20、√21、√22、√23、×24、×25、×三、填空題（本大題共5空，每空2分，共10分）26、27、28、029、30、0四、計(jì)算題（本大題共5小題，每題6分,共30分）31、求空間曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.（6分）解：點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)…………….（1分）則在該點(diǎn)處切線的切向量…………….（1分）所以在點(diǎn)處的切線方程為………….（2分）法平面方程為…………….（2分）31、求函數(shù)的全微分.（6分）解：因?yàn)?，………?（2分）………….（2分）所以………….（2分）32、求微分方程的通解.（6分）解：方程為一階線性非齊次微分方程由一階線性非齊次微分方程的通解公式：……….（3分）………….（3分）33、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解：設(shè)和函數(shù)為兩邊由0到積分，得…………（4分）兩邊對(duì)求導(dǎo)，即得.………………（2分）34、求函數(shù)的極值.解解方程組得駐點(diǎn)為……………………（3分）再求出二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處,又,所以函數(shù)在處有極小值在點(diǎn)處,所以不是極值．……（3分）35、解：畫出積分區(qū)域的草圖，交點(diǎn)為。……………….（2分）視為是型區(qū)域：…….（2分）則有…………….（2分）五、證明題（本大題共1小題，每題10分,共10分）36、設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,b)

上可導(dǎo)，且

f(a)=f(b)=0。證明：存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c?證明：令

F(x)=(x?b)f(x)，則

F(x)

在

[a,b]

上連續(xù)，在

(a,b)

上可導(dǎo)。………….（2分）利用乘法法則，我們有F′(x)=(x?b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）由于

F(a)=(a?b)f(a)=0

和

F(b)=(b?b)f(b)=0，根據(jù)羅爾定理，存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

F′(c)=0。 ………………….…….………….（2分）由

F′(c)=0，我們得到

(c?b)f′(c)+f(c)=0?！?…….………….（2分）將上式整理，得到

f′(c)=?c?bf(c)??！?…….………….（1分）由于

c=b（因?yàn)?/p>

c∈(a,b)），我們可以進(jìn)一步寫為

f′(c)=?b?cf(c)?。因此，我們證明了存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c?。…….（120XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷考試說明：1、本試卷共3頁，考試時(shí)間為120分鐘；2、考試方式：閉卷；全部試題均答在答題紙上。一、單項(xiàng)選擇題（在下列各小題的備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)把你認(rèn)為正確答案的代碼填入下列對(duì)應(yīng)的表格內(nèi)，多選不給分。本題共15小題，每小題2分，共30分）。1、點(diǎn)到點(diǎn)的距離（）(A)3(B)4(C)5(D)6已知向量，，若與垂直，則（）(A)(B)(C)(D)不確定3、直線與直線的位置關(guān)系（）(A)相交(B)平行(C)重合(D)異面4、兩個(gè)向量與垂直的充要條件是（）(A)(B)(C)(D)5、在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點(diǎn)可微分的（）(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)無關(guān)條件6、向量，則有（）(A)∥(B)⊥(C)(D)7、設(shè)區(qū)域是由圍成，則二重積分（）(A)(B)(C)(D)8、設(shè)為橢圓的逆時(shí)針路徑，則（）(A)(B)(C)(D)9、微分方程的通解是（）(A)(B)(C)(D)10、函數(shù)的極小值是（）(A)2(B)(C)1(D)11、若級(jí)數(shù)收斂，則（）(A)(B)(C)(D)12、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋ǎ?A)(B)(C)(D)13、冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的和函數(shù)是（）(A)(B)(C)(D)14.微分方程的通解為（）(A)(B)(C)(D)15、二元函數(shù)在處可微的充分條件是（）（A）在處連續(xù)；（B），在的某鄰域內(nèi)存在；（C）當(dāng)時(shí)，是無窮?。唬―）.二、判斷題(本題共10小題，每小題2分，共20分)16、重積分的中值定理總是成立，無論被積函數(shù)是否連續(xù)。（）17、泰勒級(jí)數(shù)總是收斂于其原函數(shù)，無論函數(shù)性質(zhì)如何。（）18、若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)處連續(xù)，則它在(x0,y0)該點(diǎn)必可偏導(dǎo).19、曲線積分與路徑無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)被積函數(shù)是某函數(shù)的全微分。（）20、無窮級(jí)數(shù)的收斂性只與級(jí)數(shù)的項(xiàng)有關(guān)，與項(xiàng)的順序無關(guān)（）21、對(duì)任何閉曲面，高斯公式中的曲面積分總等于零。（）22、隱函數(shù)定理保證了從方程中解出的隱函數(shù)總是存在且唯一。（）23、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)一定是連續(xù)且可導(dǎo)的。（）24、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑總是正數(shù)。（）25、極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。（）三、填空題（本大題共5空，每空2分，共10分）26.一平面過點(diǎn)且垂直于直線，其中點(diǎn)，則此平面方程為______________________.27.函數(shù)的全微分是______________________.28.設(shè)，則______________________.29.的麥克勞林級(jí)數(shù)是______________________.30.微分方程的通解為______________________.四、計(jì)算題（本大題共5小題，每題6分,共30分）31、求曲線在的切線與法平面方程.（6分）32、求的偏導(dǎo)數(shù)，其中具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).（6分）33、求微分方程的通解.（6分）34、計(jì)算，其中是拋物線自到的一段弧.（6分）35、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).（6分）五、證明題（本大題共1小題，每題10分，共10分）36、設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,b)

上可導(dǎo)，且

f(a)=f(b)=0。證明：存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c?20XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷·參考答案單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）題號(hào)12345678910答案CBDADBDBCD題號(hào)1112131415答案CCBDD判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）16、×17、×18、×19、√20、×21、×22、×23、√24、×25、√三、填空題（本大題共5空，每空2分，共10分）26、27、28、29、30、四、計(jì)算題（本大題共5小題，每題6分,共30分）31、解：因?yàn)椋?（2分）切平面方程為…………（2分）法線方程為………（2分）32、。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（3分）33、求微分方程的通解.（6分）解：方程為一階線性非齊次微分方程令，………….（1分）由一階線性非齊次微分方程的通解公式：…….（2分）………….（3分）34、解：畫出積分區(qū)域的草圖，交點(diǎn)為?！?（2分）視為是型區(qū)域：…….（2分）則有…………….（2分）35、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).（6分）解：………….（1分）所以…。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。.（1分）當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤?..（2分）設(shè)所求和函數(shù)為，即，………….（1分），………….（1分）五、證明題（本大題共1小題，每題10分,共10分）36、設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,b)

上可導(dǎo)，且

f(a)=f(b)=0。證明：存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c?證明：令

F(x)=(x?b)f(x)，則

F(x)

在

[a,b]

上連續(xù)，在

(a,b)

上可導(dǎo)?！?（2分）利用乘法法則，我們有F′(x)=(x?b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）由于

F(a)=(a?b)f(a)=0

和

F(b)=(b?b)f(b)=0，根據(jù)羅爾定理，存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

F′(c)=0。 ………………….…….………….（2分）由

F′(c)=0，我們得到

(c?b)f′(c)+f(c)=0?！?…….………….（2分）將上式整理，得到

f′(c)=?c?bf(c)??！?…….………….（1分）由于

c=b（因?yàn)?/p>

c∈(a,b)），我們可以進(jìn)一步寫為

f′(c)=?b?cf(c)?。因此，我們證明了存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c?。…….（120XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷考試說明：1、本試卷共3頁，考試時(shí)間為120分鐘；2、考試方式：閉卷；全部試題均答在答題紙上。一、單項(xiàng)選擇題（在下列各小題的備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)把你認(rèn)為正確答案的代碼填入下列對(duì)應(yīng)的表格內(nèi)，多選不給分。本題共15小題，每小題2分，共30分）。1、函數(shù)的定義域是（）(A)(B)(C)(D)2、點(diǎn)到點(diǎn)的距離（）(A)3(B)4(C)5(D)63、過點(diǎn)且以為方向向量的直線方程是（）(A)(B)(C)(D)4、函數(shù)的極小值是 （）(A)2(B)(C)1(D)5.設(shè)，則＝ （）(A)(B)(C).(D)6、在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在是在該點(diǎn)可微分的（）(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)無關(guān)條件7、設(shè)函數(shù)f(x)是周期為2的函數(shù)，則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)中不含哪個(gè)頻率的分量（）

(A)ω=π(B)ω=2π(C)ω=3π(D)ω=4π8、設(shè)為橢圓的逆時(shí)針路徑，則（）(A)(B)(C)(D)9、設(shè)，則＝ （）(A)(B)(C)(D)10、若級(jí)數(shù)發(fā)散，為常數(shù)，則級(jí)數(shù)（）(A)發(fā)散(B)可能收斂，可能發(fā)散(C)收斂(D)無界11、微分方程的通解為 （）(A)(B)(C)(D).12、設(shè)冪級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則在處（）(A)絕對(duì)收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)斂散性不確定13、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)? （）(A)(B)(C)(D)14、函數(shù)的定義域是（）(A)(B)(C)(D)15、若級(jí)數(shù)收斂，則 （）(A)(B)(C)(D)二、判斷題(本題共10小題，每小題2分，共20分)16、極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。（）17、泰勒級(jí)數(shù)總是收斂于其原函數(shù)，無論函數(shù)性質(zhì)如何。（）18、曲線積分與路徑無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)被積函數(shù)是某函數(shù)的全微分。（）19、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑總是正數(shù)。（）20、若函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則它在該點(diǎn)必連續(xù)。（）21、格林公式僅適用于簡單閉合曲線。（）22、隱函數(shù)定理保證了從方程中解出的隱函數(shù)總是存在且唯一。（）23、任何無窮級(jí)數(shù)都可以通過部分和序列的極限來求和。（）24、重積分的中值定理總是成立，無論被積函數(shù)是否連續(xù)。（）25、對(duì)任何閉曲面，高斯公式中的曲面積分總等于零。（）三、填空題（本大題共5空，每空2分，共10分）26、.27、設(shè)積分區(qū)域的面積為，則.28、設(shè)積分區(qū)域：，，則.29.的麥克勞林級(jí)數(shù)是__________________.30.微分方程的通解為_____________________.四、計(jì)算題（本大題共5小題，每題6分,共30分）31、求微分方程的通解.（6分）32、求函數(shù)的全微分.（6分）33、求空間曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.（6分）34、求函數(shù)的極值.（6分）35、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).（6分）五、證明題（本大題共1小題，每題10分,共10分）36、設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,b)

上可導(dǎo)，且

f(a)=f(b)=0。證明：存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c?20XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷·參考答案單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）題號(hào)12345678910答案ACADABBBAC題號(hào)1112131415答案DBCCC判斷題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）16、√17、×18、√19、×20、√21、√22、×23、×24、×25、×三、填空題（本大題共5空，每空2分，共10分）26、227、28、029、30、四、計(jì)算題（本大題共5小題，每題6分,共30分）31、求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解：設(shè)和函數(shù)為兩邊由0到積分，得…………（4分）兩邊對(duì)求導(dǎo)，即得.………………（2分）32、求函數(shù)的全微分.（6分）解：因?yàn)?，………?（2分）………….（2分）所以………….（2分）33、求空間曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.（6分）解：點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)…………….（1分）則在該點(diǎn)處切線的切向量…………….（1分）所以在點(diǎn)處的切線方程為………….（2分）法平面方程為…………….（2分）34、求函數(shù)的極值.解解方程組得駐點(diǎn)為……………………（3分）再求出二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處,又,所以函數(shù)在處有極小值在點(diǎn)處,所以不是極值．……（3分）35、求微分方程的通解.（6分）解：方程為一階線性非齊次微分方程由一階線性非齊次微分方程的通解公式：……….（3分）………….（3分）五、證明題（本大題共1小題，每題10分,共10分）36、設(shè)函數(shù)

f(x)

在閉區(qū)間

[a,b]

上連續(xù)，在開區(qū)間

(a,b)

上可導(dǎo)，且

f(a)=f(b)=0。證明：存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c?證明：令

F(x)=(x?b)f(x)，則

F(x)

在

[a,b]

上連續(xù)，在

(a,b)

上可導(dǎo)?！?（2分）利用乘法法則，我們有F′(x)=(x?b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）由于

F(a)=(a?b)f(a)=0

和

F(b)=(b?b)f(b)=0，根據(jù)羅爾定理，存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

F′(c)=0。 ………………….…….………….（2分）由

F′(c)=0，我們得到

(c?b)f′(c)+f(c)=0?！?…….………….（2分）將上式整理，得到

f′(c)=?c?bf(c)??！?…….………….（1分）由于

c=b（因?yàn)?/p>

c∈(a,b)），我們可以進(jìn)一步寫為

f′(c)=?b?cf(c)?。因此，我們證明了存在至少一個(gè)

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=?f(c)b?c??！?（120XX-20XX學(xué)年第下學(xué)期期末考試試卷《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》裝訂線內(nèi)不要答題裝訂線內(nèi)不要答題考試說明：1、本試卷共3頁，考試時(shí)間為120分鐘；2、考試方式：閉卷；全部試題均答在答題紙上。一、單項(xiàng)選擇題：（在下列各小題的備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)把你認(rèn)為正確答案的代碼填入下列對(duì)應(yīng)的表格內(nèi)，多選不給分。本題共15小題，每小題2分，共30分）。1、函數(shù)的定義域?yàn)?)A.B.C.D.2、在空間直角坐標(biāo)系中，方程的圖形是()A.平行于軸的直線B.垂直于軸的平面C.通過軸的平面D.通過原點(diǎn)的直線3、設(shè)函數(shù)，則全微分()A.B.C.D.4、設(shè)，則()A.B.C.D.5、下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是()A.B.C.D.6、在空間直角坐標(biāo)系中，方程組z2=x2+y2,y=1代表的圖形為()A.拋物線B.雙曲線C.圓D.直線7、二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)()可微是其在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在的()A.必要條件B.充分條件C.充要條件D.無關(guān)條件8、方程2z=x2+y2表示的二次曲面是()A.拋物面B.柱面C.圓錐面D.橢球面9、設(shè)L為：x=1,的弧段，則=()A.9B.6C.3D.級(jí)數(shù)的斂散性為()發(fā)散B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.斂散性不確定設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則二次積分等于()B.D.方程表示的二次曲面是()拋物面B.柱面C.圓錐面D.橢球面13、設(shè)平面曲線L為下半圓周,則曲面積分()A.0B.C.D.14二重積分的值與()函數(shù)f及變量x,y有關(guān)B.區(qū)域D及變量x,y無關(guān)函數(shù)f及變量D有關(guān)C.函數(shù)f無關(guān)，區(qū)域D有關(guān)設(shè)a為常數(shù)，則級(jí)數(shù)()A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對(duì)收斂D.收斂性與a的取值有關(guān)判斷題：（下列各題，你認(rèn)為正確的，請(qǐng)?jiān)谙铝袑?duì)應(yīng)題號(hào)的表格內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”，本題共10小題，每小題2分，共20分）一切初等函數(shù)都是有界函數(shù)()有限個(gè)無窮大之和還是無窮大()函數(shù)可導(dǎo)的點(diǎn)必然是連續(xù)點(diǎn)()‘0’是無窮小()可積函數(shù)一定是有界函數(shù)()函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是函數(shù)在該點(diǎn)可的充要條件()函數(shù)在某點(diǎn)來連續(xù)是函數(shù)在該點(diǎn)可微的必要條件()所有或者型的極限，都能通過洛必達(dá)法則求出結(jié)果()含有未知方程的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程()微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱他為微分方程的階()三、填空題：（本題共5小題，每小題2分，共10分）。26、過點(diǎn)且垂直于平面的直線方程___________.27、_____________.28、設(shè)，則________________.29、二次積分交換積分次序后__________.30、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)______________.四、計(jì)算題：（本題共5小題，每小題6分，共30分）。31、求曲線在點(diǎn)處的切線及法平面方程.裝訂線內(nèi)禁止答卷32、設(shè)，求，33、計(jì)算二重積分，其中是由圓周，所圍成的閉區(qū)域.34、設(shè)為在拋物線上由點(diǎn)到的一段弧，計(jì)算曲線積分.35、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域.期末考試試卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)及參考答案《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》一、單項(xiàng)選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）題號(hào)12345678910答案ACBBDBBAAB題號(hào)1112131415答案BACCC判斷題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)16.×(2分)17.×(2分)18.×(2分)19.√(2分)20.√(2分)21.√22.√23.×24.√25.√三、填空題（本大題共5小題，每空2分，共10分）26.27.28.29.30.四、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）31、解因?yàn)?，，，…………?分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)，所以切向量為……………1分于是，切線方程為…………………2分法平面方程為……2分32、解設(shè)，………1分則，………3分，……2分33、解把看作是型區(qū)域，…1分………2分……3分34、解這里，………1分…1分故曲線積分與路徑無關(guān)。所以………1分，…………1分，………1分.…1分35、解令，原級(jí)數(shù)變?yōu)榧?jí)數(shù)………1分因?yàn)椋浴?分當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散………1分當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為收斂……1分因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，?所以原級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?……………1分五、證明題（本大題共1小題，共10分）36、證明：當(dāng)點(diǎn)沿軸趨于點(diǎn)時(shí)，…………2分當(dāng)點(diǎn)沿軸趨于點(diǎn)時(shí)，，………2分雖然點(diǎn)以上述兩種方式趨于點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極限存在并相等，但當(dāng)沿著任意曲線趨于點(diǎn)時(shí)，有顯然它隨著值的不同而改變，因此極限不存在.……6分裝訂線內(nèi)禁止答卷五、解答題或者證明題：（本題共1小題，共10分）36、證明：極限不存在.20232024學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷考試說明：1、本試卷共3頁，考試時(shí)間為120分鐘；2、考試方式：閉卷；裝訂線內(nèi)不要答題3、全部試題均答在答題紙上。裝訂線內(nèi)不要答題裝訂線內(nèi)不要答題單項(xiàng)選擇題：（在下列各小題的備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)把你認(rèn)為正確答案的代碼填入下列對(duì)應(yīng)的表格內(nèi)，多選不給分。本題共15小題，每小題2分，共30分）。裝訂線內(nèi)不要答題1．設(shè)向量,，則（）A．－3B．C．5D．42．設(shè),則()A.B.C.D.3．設(shè)區(qū)域：，則的值為（）A.B.C.D.4．若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑（）A.B.C.D.無法求得5．設(shè)無窮級(jí)數(shù)收斂，則（）A.B.C.D.6.設(shè)連續(xù)，使成立的充分條件是（）D.7.下列級(jí)數(shù)中收斂的級(jí)數(shù)是（）8.設(shè)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則等于（）D.9.設(shè)L是正向圓周，則等于（）010.函數(shù)的圖形如圖示，則（）.A.是該函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)B.是該函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，但不是為最小值點(diǎn)C.是該函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)D.不是該函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)11.若函數(shù)有一個(gè)原函數(shù)，則不定積分（）.A.B.C.D.12.若定積分（）.A.B.C.D.13.定積分A.B.C.D.14.曲線的凸區(qū)間是（）．A.B.C.D.15..，則二重積分在極坐標(biāo)下的二次積分為（）A.B.C.D.以上結(jié)果都不對(duì)判斷題：（下列各題，你認(rèn)為正確的，請(qǐng)?jiān)谙铝袑?duì)應(yīng)題號(hào)的表格內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”，本題共10小題，每小題2分，共20分）若與互為反函數(shù)，則。（）若為上的奇函數(shù)，則必有。（）導(dǎo)數(shù)的幾何意義為：若在點(diǎn)處可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)處有切線，且有切線的斜率為。（）若在點(diǎn)處連續(xù)，則在點(diǎn)必定可導(dǎo)。（）若在上可積分，則定積分表示一個(gè)常數(shù)值，這個(gè)值與區(qū)間相關(guān)，與函數(shù)有關(guān)，但與積分變量無關(guān)。（）定積分的幾何意義為：其值為介于曲線，軸與直線，之間的曲線梯形的面積。（）的充分必要條件為，其中滿足。（）設(shè)，且存在偏導(dǎo)數(shù)，則必定能確定函數(shù)，且有，。（）若為有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則二重積分必定為常數(shù)值。（）二重積分的幾何意義為：其值等于以D為底，以為曲頂?shù)闹鼻斨w的體積。（）填空題：（本題共5小題，每小題2分，共10分）。26．設(shè)向量，則27．過點(diǎn)P（2，-1，2）且垂直于直線L：的平面方程28．29．設(shè)函數(shù)_________30．已知方程確定函數(shù)，則四、計(jì)算題：（本題共5小題，每小題6分，共30分）。31．求空間曲線L：在點(diǎn)（）處的切線方程和法平面方程.32．設(shè)求33．設(shè)函數(shù),其中是可微函數(shù)，求和.34．求曲面和所圍立體的體積.35．將函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.五、解答題或者證明題：（本題共1小題，共10分）。。36.若在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，，證明：在(0,1)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。20XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷·參考答案單項(xiàng)選擇題：（本題共15小題，每小題2分，共30分）。題號(hào)12345678910答案BBDAACCBCA題號(hào)1112131415答案CBCCA判斷題（本題共10小題，每小題2分，共20分）。16.√((2分)17.√((2分)18.√(2分)19.×(2分)20.√((2分)21.×(2分)22.√((2分)23.×(2分)24.√((2分)25.×(2分)填空題：（本題共5小題，每小題2分，共10分）。26.27.28.29.30.四、計(jì)算題：（本題共5小題，每小題6分，共30分）。31、解：點(diǎn)（）對(duì)應(yīng)的，(3分)曲線切向量為：（，，）法平面法向量為：（，，）切線方程為：(3分)法平面方程為：32..解：(3分)(3分)33.解：令(3分)(3分)34.解：(1分)(1分)(2分)(2分)35.解：因?yàn)?2分)所以(2分)(2分)五、解答題或證明題：（本題共1題,共10分）。36.證：設(shè)(2分)其中，，(2分)根據(jù)零點(diǎn)定理，必然存在一點(diǎn)使得，即，(2分)同時(shí)，(2分)根據(jù)羅爾定理必然存在一點(diǎn)使得，，(2分)20XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷考試說明：1、本試卷共3頁，考試時(shí)間為120分鐘；2、考試方式：閉卷；3、全部試題均答在答題紙上。裝訂線內(nèi)不要答題單項(xiàng)選擇題：（在下列各小題的備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)把你認(rèn)為正確答案的代碼填入下列對(duì)應(yīng)的表格內(nèi)，多選不給分。本題共15小題，每小題2分，共30分）。裝訂線內(nèi)不要答題下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）。裝訂線內(nèi)不要答題裝訂線內(nèi)不要答題2.下列函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是（）。3.是在點(diǎn)連續(xù)的（）條件。充分不必要必要不充分充分必要既不充分也不必要4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）。C.5.曲線的水平漸近線是（）。A.B.C.D.6.的（）A.連續(xù)點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)C.跳躍間斷點(diǎn)D.無窮間斷點(diǎn)7.計(jì)算極限：（）012沒有正確答案8.定積分是（）的一個(gè)原函數(shù)一個(gè)常數(shù)的全體原函數(shù)任意常數(shù)9.設(shè)函數(shù)可微，則當(dāng)相比是（）A.等價(jià)無窮小B.同階非等價(jià)無窮小C.低階無窮小D.高階無窮小10.曲線的漸近線有（）條。A.1B.2C.3D.411.關(guān)于中結(jié)論不是正確的是（）A.有一個(gè)零點(diǎn)B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.有一個(gè)拐點(diǎn)D.有兩條漸近線12.在區(qū)間內(nèi)，如果，則必然不得不有（）。C13.當(dāng)p滿足（）時(shí)，反常積分分散。14.是定積分（）。A.1B.0C.0.5D.15.函數(shù)在取得最大值，則有（）A.B.C.D.判斷題：（下列各題，你認(rèn)為正確的，請(qǐng)?jiān)谙铝袑?duì)應(yīng)題號(hào)的表格內(nèi)打“√”，錯(cuò)誤的打“×”，本題共10小題，每小題2分，共20分）當(dāng)時(shí)，是無窮大。（）設(shè)的極限存在（）在區(qū)間（0,1）為有界變量。（）當(dāng)時(shí)，。（）。（）利用兩個(gè)重要極限，求極限。（）極限：0.（）互為反函數(shù)（）沒有拐點(diǎn)（0,0）.（）設(shè)函數(shù)可微，則當(dāng)相比是同階非等價(jià)無窮小。（）填空題：（本題共5小題，每小題2分，共10分）。26..27.當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)處連續(xù).28.若，則.29.在點(diǎn)可導(dǎo)是在點(diǎn)可微的條件.30.已知，則.四、計(jì)算題：（本題共5小題，每小題6分，共30分）。31.計(jì)算極限。（本小題共6分）32.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（本小題共6分）33.求函數(shù)的微分。（本小題共6分）34.求不定積分。（本小題共6分）35.求定積分。（本小題共6分）五、解答題或者證明題：（本題共1小題，共10分）36.證明：方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根。（本小題共10分）20XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷·參考答案單項(xiàng)選擇題：（本題共15小題，每小題2分，共30分）。題號(hào)12345678910答案DDBDABCBDC題號(hào)1112131415答案BACDD判斷題（本題共10小題，每小題2分，共20分）。16.×(2分)17.×(2分)18.√(2分)19.√(2分)20.×(2分)21.√(2分)22.×(2分)23.×(2分)24.×(2分)25.×(2分)三、填空題：（本題共5小題，每小題2分，共10分）。26.027.128.29.充分必要30.四、計(jì)算題：（本題共5小題，每小題6分，共30分）。31、--------(2分)。--------(4分)32.--------(3分)。--------(3分)33.--------(3分)。--------(3分)34.==--------(4分)。--------(2分)35.--------(2分)。--------(4分)五、解答題或證明題：（本題共1題,共10分）。36.證明：令，則在上連續(xù)，--------(2分)又，--------(2分)根據(jù)零點(diǎn)定理，至少存在一點(diǎn)，使得，--------(2分)即：--------(2分)故方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根.--------(2分)20XX20XX學(xué)年下學(xué)期《高等數(shù)學(xué)Ⅱ》期末考試試卷考試說明：1、本試卷共3頁，考試時(shí)間為120分鐘；2、考試方式：閉卷；3、全部試題均答在答題紙上。裝訂線內(nèi)不要答題單項(xiàng)選擇題：（在下列各小題的備選答案中，只有一個(gè)答案是正確的，請(qǐng)把你認(rèn)為正確答案的代碼填入下列對(duì)應(yīng)的表格內(nèi)，多選不給分。本題共15小題，每小題2分，共30分）。裝訂線內(nèi)不要答題下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）。裝訂線內(nèi)不要答題裝訂線內(nèi)不要答題2.當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)不是無窮小量的是（）下列函數(shù)中表示同一個(gè)函數(shù)的是（）。3.是在點(diǎn)連續(xù)的（）條件。充分不必要必要不充分充分必要既不充分也不必要4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）。5.在區(qū)間內(nèi)，如果，則必有（）。6.定積分是（）的一個(gè)原函數(shù)一個(gè)常數(shù)的全體原函數(shù)任意常數(shù)7.計(jì)算極限：（）01沒有正確答案8.（）A.當(dāng)x->0時(shí)為無窮小量B.當(dāng)x->0時(shí)為無窮大量C.在區(qū)間（0,1）為無界變量D.在區(qū)間（0,1）為有界變量9.下列各對(duì)函數(shù)中，互為反函數(shù)的是（）A．B.C.D.10.下列反常積分不是發(fā)散的是（）A.B.C.D.11.設(shè)為f(x)的原函數(shù)，則必有（）A.B.C.D.12.當(dāng)滿足（）時(shí)，反常積分發(fā)散13.下列曲線中存在著一個(gè)拐點(diǎn)（0,0）的是（）A.B.C.D.14.設(shè)函數(shù)可微，則當(dāng)相比是（）A