拔高點(diǎn)突破01 一網(wǎng)打盡平面向量中的范圍與最值問(wèn)題（十大題型）（含答案解析）

拔高點(diǎn)突破01一網(wǎng)打盡平面向量中的范圍與最值問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 5題型一：利用三角向量不等式 5題型二：定義法 8題型三：基底法 10題型四：幾何意義法 14題型五：坐標(biāo)法 19題型六：極化恒等式 23題型七：矩形大法 28題型八：等和線、等差線、等商線 31題型九：平行四邊形大法 37題型十：向量對(duì)角線定理 4303過(guò)關(guān)測(cè)試 44技巧一．平面向量范圍與最值問(wèn)題常用方法：（1）定義法第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問(wèn)題第三步：得出結(jié)論（2）坐標(biāo)法第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解（3）基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論（4）幾何意義法第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步：解得結(jié)果技巧二．極化恒等式（1）平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：證明：不妨設(shè)，則，①②①②兩式相加得：（2）極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式①平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．②三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）AABCM技巧三．矩形大法矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等已知點(diǎn)O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，證明：．【證明】（坐標(biāo)法）設(shè)，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy，則，設(shè)，則技巧四．等和線（1）平面向量共線定理已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然．（2）等和線平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線．①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；④當(dāng)?shù)群途€過(guò)點(diǎn)時(shí)，；⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；技巧五．平行四邊形大法1、中線長(zhǎng)定理2、為空間中任意一點(diǎn)，由中線長(zhǎng)定理得：兩式相減：技巧六．向量對(duì)角線定理題型一：利用三角向量不等式【典例1-1】已知，，則的范圍是.【答案】【解析】設(shè)，，，…①；，…②；①②得：，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），則，；（當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取等號(hào)），的取值范圍為.故答案為：.【典例1-2】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則向量的范圍是．【答案】【解析】設(shè)，所以①,一方面，，當(dāng)且僅當(dāng)與同向，與同向時(shí)取得最大值，另一方面，，其中，當(dāng)且僅當(dāng)與反向時(shí)取得最小值．故．故答案為：【變式1-1】已知，，且，則的最大值為（

）A．5.5 B．5 C．6.5 D．6【答案】A【解析】，又，當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取得等號(hào)；故.故選：A.【變式1-2】（2024·高三·浙江金華·開(kāi)學(xué)考試）已知向量滿足，，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，由于：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，所以，所以.故選：B【變式1-3】（2024·河北保定·二模）如圖，圓和圓外切于點(diǎn)，，分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，已知圓和圓的半徑都為1，且，則的最大值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解析】，所以，所以，即，解得..故選：D【變式1-4】已知平面向量滿足，設(shè)，若，則的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)，則，則由條件知，所以，所以，又所以．故答案為：.題型二：定義法【典例2-1】已知向量、滿足：，.設(shè)與的夾角為，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】/【解析】設(shè)，則，設(shè)向量、的夾角為，若，則，可得，由題意可得，解得，所以，，，所以，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最大值，且.故答案為：.【典例2-2】八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺(jué)．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長(zhǎng)，傳播范圍亦廣，在長(zhǎng)江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見(jiàn)刻有八角大汶口文化八角星紋．圖2是圖1抽象出來(lái)的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點(diǎn)O為圓心，中間部分是正方形且邊長(zhǎng)為2，定點(diǎn)A，B所在位置如圖所示，則的值為（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】如圖：連接因?yàn)橹虚g是邊長(zhǎng)為2的正方形，且圖中的各個(gè)三角形均為等腰直角三角形，所以，，，.所以.故選：A【變式2-1】已知點(diǎn)A，B，C均位于單位圓（圓心為O，半徑為1）上，且的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)為圓心，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：C.【變式2-2】已知是半徑為5的圓上的兩條動(dòng)弦，，則最大值是（

）

A．7 B．12 C．14 D．16【答案】C【解析】如圖，連接，作，，易知是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，由勾股定理得，，故，故，當(dāng)反向時(shí)等號(hào)成立，故C正確.故選：C題型三：基底法【典例3-1】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則的最大值為.【答案】/【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以,因?yàn)椋?，所以則，所以.因?yàn)?，所以由余弦定理得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：【典例3-2】在中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，若，則的最大值為.【答案】【解析】在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，則，設(shè)，由余弦定理可得，因?yàn)?，可得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?，則，則，即的最大值為．故答案為：．【變式3-1】在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為；若，則的最大值為．【答案】．【解析】在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，由，則，設(shè)，由余弦定理可得，因?yàn)?，可得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)?，則，則，即的最大值為．故答案為：；．【變式3-2】在中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．若，的面積為，則取最小值時(shí)，則（

）A．2 B． C．6 D．4【答案】D【解析】在中，由，的面積為，得，則，由是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，在中，由余弦定理得：，所以.故選：D【變式3-3】如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．為定值10 B．為定值6C．為變量且有最大值為10 D．為變量且有最小值為6【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)?，所?又，，所以，故選：A.題型四：幾何意義法【典例4-1】已知是同一平面上的3個(gè)向量，滿足，，，則向量與的夾角為，若向量與的夾角為，則的最大值為．【答案】/【解析】因?yàn)?，，，所以，又，所以，因?yàn)椋?，，如圖，設(shè)，，，則，，又向量與的夾角為，則，又，所以四點(diǎn)共圓，又，所以，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理，所以的最大值為.故答案為：；【典例4-2】已知向量，滿足，則的最小值是，最大值是．【答案】【解析】(幾何法)：本題的關(guān)鍵是要挖掘隱含條件:和是以為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線，故．如圖，是以為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線，是以為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)造2個(gè)全等的平行四邊形．所以．易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí);當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．(坐標(biāo)法)：設(shè)，，則，，所以，則，所以．(不等式法)：最小值:．(當(dāng)且僅當(dāng)和方向相反，即時(shí)，取“”)．最大值:．(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”)．(轉(zhuǎn)化為二元最值問(wèn)題)：令原題轉(zhuǎn)化為，且，求的最值．方法1(數(shù)形結(jié)合):直線與圓弧有交點(diǎn)，如圖可得．方法2(判別式法):化簡(jiǎn)得得，所以．故答案為：；【變式4-1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）已知O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)，可得，即可得；即可知點(diǎn)軌跡是以為圓心，半徑為的圓，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)與圓相切時(shí)，取到最大，又，可知此時(shí).故選：B.【變式4-2】已知平面向量，，，且，.已知向量與所成的角為60°，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，，，兩邊平方，整理得到，對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則，解得，則.由于，如上圖，，則，則的最小值為．當(dāng)且僅當(dāng)終點(diǎn)在同一直線上時(shí)取等號(hào).故選：B．【變式4-3】已知是平面向量，且是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】由，設(shè)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，由，得點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓上，又非零向量與的夾角為，設(shè)的起點(diǎn)為原點(diǎn)，則的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)的兩條射線上，設(shè)，則的最小值為，表示點(diǎn)到和的距離之和的最小值的倍，則最小值為，故選：B.【變式4-4】（2024·山東青島·三模）已知向量，，滿足，，，則的最小值為（

）A．－1 B． C．2 D．1【答案】A【解析】由題意設(shè)，，，則，即，且，解得，或.由可得，即，則，即的終點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上,故.由圓的對(duì)稱性，不妨令，即，如圖，連接，交圓于，由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，.故選：A.題型五：坐標(biāo)法【典例5-1】（2024·河北滄州·一模）如圖，在等腰直角中，斜邊，點(diǎn)在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B．8 C． D．12【答案】D【解析】如圖：以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.則，，可設(shè)，則，所以所以.又因?yàn)?，所?故選：D【典例5-2】已知，，若動(dòng)點(diǎn)P，Q與點(diǎn)A，M共面，且滿足，，則的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，由，得點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，由，得點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，能取到所有等號(hào)，所以的最大值為1.故選：C【變式5-1】在梯形中，，，，，，，分別為線段和線段上（包括線段端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．3【答案】D【解析】以AB為x軸，過(guò)A垂直于AB的直線為y軸，因?yàn)椋?因?yàn)?，所?,當(dāng)時(shí)，的最大值為3.故選：D.【變式5-2】在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點(diǎn)，在△ABC所在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，即，所以．因?yàn)椋?，所以點(diǎn)A在以BC為弦的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）．設(shè)所在圓的圓心為M，連接MB、MC、MD，則MD⊥BC，，可得，，．以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，可得，圓M的方程為，設(shè)，則，結(jié)合，可得，因?yàn)锳點(diǎn)在圓M：上運(yùn)動(dòng)，所以，可得當(dāng)時(shí)，，達(dá)到最大值．綜上所述，當(dāng)時(shí)，有最大值．故選：D．【變式5-3】在中，，，是以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖：以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，所以，，所以.因?yàn)椋ㄆ渲星遥?所以.從而.故選：A題型六：極化恒等式【典例6-1】已知中，，若所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的最大值為.【答案】【解析】如圖，設(shè)中點(diǎn)為，因?yàn)?，所有，所以為中點(diǎn)，所以,又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以所以.故答案為：.【典例6-2】在中，，點(diǎn)Q滿足，則的最大值為.【答案】【解析】設(shè)中點(diǎn)為M，則，則，，又，由余弦定理可得：，有，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，即.故答案為：.【變式6-1】在邊長(zhǎng)為2的正方形中，動(dòng)點(diǎn)P，Q在線段上，且，則的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【解析】方法一：設(shè)的中點(diǎn)為，則（當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）.方法二：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，因?yàn)樵谶呴L(zhǎng)為2的正方形中，動(dòng)點(diǎn)P，Q在線段上，且，所以，，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值1.故選：C.【變式6-2】點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【解析】分別取，中點(diǎn)Q，R，連接，，則由題，，即，所以，作圖如下，由圖可知當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到D或E時(shí)PQ最大，所以，所以的最大值為3.故選：C.【變式6-3】勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知為弧（含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的范圍為．【答案】【解析】取中點(diǎn)為，則，其中易得，故．故答案為：.【變式6-4】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以在高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為12，轉(zhuǎn)盤的直徑為10，A，B為摩天輪在地面上的兩個(gè)底座，，點(diǎn)P為摩天輪的座艙，則的范圍為．【答案】【解析】設(shè)C為AB的中點(diǎn)，如圖示：由題意可知：,則，又因?yàn)?，所以的取值范圍?故答案為：題型七：矩形大法【典例7-1】已知圓與，定點(diǎn)，A、B分別在圓和圓上，滿足，則線段AB的取值范圍是．【答案】【解析】以為鄰邊作矩形，則由得，即，的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，，．【典例7-2】在平面內(nèi)，已知，，，若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，從而，因?yàn)?，所以，即【變?-1】已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】/【解析】解法1：如圖，因?yàn)椋?，故四邊形為矩形，設(shè)的中點(diǎn)為S，連接，則，所以，又為直角三角形，所以，故①，設(shè)，則由①可得，整理得：，從而點(diǎn)S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)部，所以，因?yàn)?，所以；解?：如圖，因?yàn)?，所以，故四邊形為矩形，由矩形性質(zhì)，，所以，從而，故Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)，所以．故答案為：．【變式7-2】設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，表示以為圓心，為半徑的圓，則的最小值表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值，因?yàn)閳A到原點(diǎn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為，故選：B題型八：等和線、等差線、等商線【典例8-1】如圖，在中，，是線段上一點(diǎn)，若，則的最大值為.【答案】【解析】因?yàn)?所以,因?yàn)樵谝粭l直線上，所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故答案為：.【典例8-2】（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量滿足，，，.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為B．若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，在上的投影的數(shù)量的取值范圍是C．若點(diǎn)P在以r=為半徑且與直線AB相切的圓上，取得最大值時(shí)，的值為3D．若點(diǎn)P在以r=為半徑且與直線AB相切的圓上，的范圍是【答案】BD【解析】因?yàn)?，即有，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，由，得，點(diǎn)確定的直線方程為：，即，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，即，，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，A錯(cuò)誤；在上的投影的數(shù)量，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒t，所以，即在上的投影的數(shù)量的取值范圍是，B正確；當(dāng)點(diǎn)P在以r=為半徑且與直線AB相切的圓上時(shí)，因?yàn)榕c直線AB相切，且半徑為的圓的圓心軌跡是與直線平行，到直線距離為的兩條平行直線，設(shè)這兩條與平行的直線方程為，則，解得或，因此動(dòng)圓圓心的軌跡為直線或直線，設(shè)圓心為，則點(diǎn)在圓上，其中或，于是令，，顯然點(diǎn)是直線或上任意一點(diǎn)，即，從而無(wú)最大值，即無(wú)最大值，C錯(cuò)誤；，其中銳角滿足，顯然，當(dāng)圓心在直線時(shí)，，則，當(dāng)圓心在直線時(shí)，，則，所以的范圍是，D正確.故選：BD【變式8-1】如圖所示，是的中點(diǎn)，是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，則當(dāng)時(shí)，的范圍是.【答案】【解析】如圖，過(guò)作，交于，作，交的延長(zhǎng)線于，則：，又因?yàn)?，，則點(diǎn)為中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以，則點(diǎn)在上，由圖形看出，當(dāng)與重合時(shí)：，此時(shí)取最小值，當(dāng)與重合時(shí)：，此時(shí)取最大值，所以的范圍是故答案為：【變式8-2】如圖，點(diǎn)是半徑為的扇形圓弧上一點(diǎn)，且，若，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【解析】如圖所示，以為軸，過(guò)作與垂直的線作為軸，，，，，則，，設(shè)，，，，其中，又，所以，，即時(shí)，取得最大值，即．故選：C．【變式8-3】如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，可得其外接圓的半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)在的外接圓上，設(shè)，其中，則，且，又因?yàn)?，可得且，所以，?dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值為，所以取得最大值為.故選：C.【變式8-4】（2024·河北滄州·三模）對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊中，，以三條邊為直徑向外作三個(gè)半圓，是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，設(shè)，可得.設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，由圖可知，當(dāng)與半圓相切時(shí)，最大，又由，，可得，所以，即最大為，所以的最大值為.故選：B.【變式8-5】平行四邊形中，，，以C為圓心作與直線BD相切的圓，P為圓C上且落在四邊形內(nèi)部任意一點(diǎn)，，若，則角的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，當(dāng)在直線上時(shí)，，當(dāng)圓與的切點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，圓落在四邊形內(nèi)部部分與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)恰好切于點(diǎn)時(shí)，則，又，，所以，則，所以，則，故.故選：B題型九：平行四邊形大法【典例9-1】如圖，圓是半徑為1的圓，，設(shè)，為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】連接，，設(shè)是線段的中點(diǎn)，連接，則有.設(shè)為和的夾角.則，，（當(dāng)即時(shí)取等）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值.，（當(dāng)即時(shí)取等）當(dāng)時(shí)，有最大值為3，即有最大值3，所以的取值范圍是.故答案為：【典例9-2】如圖，C，D在半徑為1的上，線段是的直徑，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】以點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，則，，則，其中，所以的最大值為：，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，最小值為，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，綜上，的取值范圍為.故答案為：.【變式9-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知為單位向量，平面向量，滿足，的取值范圍是____.【答案】【解析】建系，不妨設(shè)，，，則，再利用柯西不等式將所求轉(zhuǎn)化為，利用換元法求出最大值，最小值顯然為共線方向時(shí)取得.不妨設(shè)，，，由已知，得，，，令，則，又顯然當(dāng)，向量反向時(shí)，最小，即，，此時(shí)，綜上，的取值范圍是.故答案為：.【變式9-2】（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）半徑為的兩圓和圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)______.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓上，所以，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)、同向且、反向時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，所以，，所以，，所以，，因?yàn)椋瑒t，故當(dāng)且四邊形為菱形時(shí)，，因此，.故答案為：.【變式9-3】設(shè)圓，圓的半徑分別為1，2，且兩圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是圓，圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】連接分別與兩圓交于，又兩圓外切于點(diǎn)，三點(diǎn)共線，連，延長(zhǎng)交圓與，連，分別為圓，圓的直徑，，又，，設(shè)為中點(diǎn)，連，先固定，根據(jù)向量數(shù)量積的定義，當(dāng)在同向投影最大值時(shí)為與平行的圓切線的切點(diǎn)，記為圖中的點(diǎn)，此時(shí)在投影，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，同理當(dāng)在投影最小（在反向上）時(shí)，為與平行的圓切線的切點(diǎn)，記為圖中的點(diǎn)，此時(shí)在投影，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，所以的數(shù)量積取值范圍是.故選：C.題型十：向量對(duì)角線定理【典例10-1】已知平行四邊形，，，，與交于點(diǎn)，若記，，，則（）B．C．D．【答案】C【解析】由對(duì)角線向量定理得，所以，而，所以，選擇C．【典例10-2】如圖，在圓中，若弦，弦，則的值是（） B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，由對(duì)角向量定理得所以選D．【變式10-1】在四邊形ABCD中，，若，，，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，由對(duì)角線向量定理得=，所以選A．1．如圖，的三邊長(zhǎng)為，且點(diǎn)分別在軸，軸正半軸上移動(dòng)，點(diǎn)在線段的右上方．設(shè)，記，分別考查的所有可能結(jié)果，則（

）A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值【答案】B【解析】設(shè)，由余弦定理得過(guò)點(diǎn)作軸，設(shè)垂足為，在中，，所以在中，，所以由即得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，沒(méi)有最大值．，其中，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最大值，沒(méi)有最小值．故選：B.2．在矩形中，，，為矩形所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所?，，，得到，所以，又因?yàn)?，所以，又，?dāng)且僅當(dāng)（在的延長(zhǎng)線上）三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以，故選：B.3．（2024·湖北黃岡·二模）已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為（

）A．9 B．3 C． D．10【答案】C【解析】根據(jù)條件得，得到，所以，即的最大值為，故選：C.4．已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為（

）A．9 B．2 C． D．8【答案】C【解析】依題意設(shè)，，由，所以，則，又，且，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為.故選：C.5．如圖，在等腰梯形中，，，，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心的半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，以為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.由題意，梯形的高長(zhǎng)為，則.因?yàn)橐詾閳A心的半徑為的圓的方程為：，可設(shè)點(diǎn)，.則其中，，故當(dāng)時(shí)，.故選：A.6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足.在平面中，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故設(shè)，則,，其中銳角滿足，故的最大值為,故選：A7．（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）已知，則的最大值為（

）A． B．4 C．6 D．【答案】C【解析】如圖所示，不妨設(shè)，，，，，滿足，，，又，即，由橢圓的定義可知點(diǎn)在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上運(yùn)動(dòng)，，，，所以該橢圓方程為，而，即，即，這表明了點(diǎn)在圓上面運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)為圓心，為半徑，又，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，故只需求的最大值即可，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上面運(yùn)動(dòng)，所以不妨設(shè)，則，所以當(dāng)，且，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，．故選：C．8．已知非零平面向量，的夾角為，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由向量，的夾角為及，得，即，則，令，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，由，解得，所以當(dāng)且時(shí)，取得最大值.故選：B9．如圖，在矩形中，與的交點(diǎn)為為邊上任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最大值為（

）A．2 B．4 C．10 D．12【答案】C【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，所以，則，因?yàn)?，所以，即的最大值?0.故答案為：C10．如圖所示，中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值（

）A．1 B．3 C．5 D．8【答案】D【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D11．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).如圖甲是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖乙所示其外框是邊長(zhǎng)為4的正六邊形，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）

A．-8 B．-4 C．0 D．4【答案】C【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)點(diǎn)，由題意知，，則，，所以，因，則,故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值0.故選:C.12．已知點(diǎn)、在圓上，且，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)、在圓上，且，為圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)?，所以，是等邊三角形，則，不妨設(shè)、，設(shè)點(diǎn)，所以，，所以，即的最小值為.故選：C.13．已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系.則設(shè)，則所以所以當(dāng)時(shí),取得最小值為.故選：D.14．已知向量的夾角為，且，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄康膴A角為，且，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：C.15．扇形的半徑為1，，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A． B．0 C． D．-1【答案】A【解析】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，過(guò)作的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，其中，，，故，,，，，，，，的取值范圍為,，故的最小值為；故選：A．16．（多選題）在中，，點(diǎn)是等邊（點(diǎn)與在的兩側(cè)）邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則有（

）A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)必在線段的中點(diǎn)處 B．的最大值是C．的最小值是 D．的范圍是【答案】BCD【解析】如圖，過(guò)中點(diǎn)作的平行線與的三邊有兩個(gè)交點(diǎn)，所以時(shí)，點(diǎn)有兩種情況，故A錯(cuò)；在三角形中由余弦定理得,解得，則，，，以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)點(diǎn)垂直向上的方向?yàn)檩S建系，，，，，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，，，則，，，所以當(dāng)時(shí)，最大為，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，，，則，，，當(dāng)時(shí)，最大為，綜上可得，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)最大為，故B正確；根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)最小，此時(shí)，故C正確；取中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：BCD.17．（多選題）已知點(diǎn)A、B、P在上，則下列命題中正確的是（

）A．，則的值是B．，則的值是C．，則的范圍是D．，且，則的范圍是【答案】BCD【解析】由當(dāng)時(shí)，，則A錯(cuò)，B正確；由因?yàn)椋缘姆秶?，故C正確；設(shè)方程為，由得則，得所以，故D正確．故選：BCD18．（多選題）已知圓半徑為2，弦，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．的最大值為6C． D．滿足的點(diǎn)只有一個(gè)【答案】AB【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，圓半徑為2，弦，故為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，A正確；對(duì)于選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作平行于，交圓與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形，由投影向量可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，此時(shí)，故的最大值為，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，且，因?yàn)闉槎ㄖ?，故?dāng)與平行且方向相同時(shí)，取得最大值，最大值為，當(dāng)與平行且方向相反時(shí)，取得最小值，最小值為，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，故當(dāng)重合時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，滿足，故滿足的點(diǎn)有2個(gè)，D錯(cuò)誤.故選：AB19．（多選題）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦均過(guò)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．為定值B．的取值范圍是C．當(dāng)時(shí)，為定值D．的最大值為16【答案】ACD【解析】對(duì)于A，如圖，過(guò)作直徑，由題意，所以為定值，故A正確；對(duì)于B，若為中點(diǎn)，連接，則，由題意，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，故，則，又，則，同理可得，故，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，則當(dāng)弦均與重合時(shí)，此時(shí)有最大值，為16，故D正確.故選：ACD.20．（多選題）如圖，在梯形中，分別在線段上，且線段與線段的長(zhǎng)度相等，則（

）A．的最小值為 B．的最大值為18C．的最大值為 D．的面積的最大值為【答案】BCD【解析】如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，對(duì)于